精品解析：江苏高邮市汪曾祺学校2025-2026学年下学期七年级数学教学质量调研

七年级数学教学质量调研 2026.05 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程组的解满足，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 无法确定 3. 已知，下列不等式变形中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 学校决定用240元专项资金为获奖同学购买奖品，以资鼓励．本次竞赛设一等奖和二等奖两个奖项，一等奖奖品为单价15元的文具盲盒，二等奖奖品为单价10元钢笔套装．专项资金恰好用完，且两种奖品均有购买，则购买方案有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种 6. 一元一次不等式的解集有且只有两个非负整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，小明妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为，那么小明告诉妈妈的信息是（ ） A. 买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不超过900元 B. 买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不超过900元 C. 买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D. 买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 8. 图中是李刚同学设计的一个计算程序，规定从“输入 x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就输出，那么的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 若方程是二元一次方程，则________． 10. 根据“的倍与的差大于”，可列不等式为__________． 11. 在一场篮球比赛中，某队罚球得分10分，投进2分球和3分球共48个，如果这支球队在本场比赛中总得分超过110分，则他们至少投进________个3分球． 12. 若关于x，y的方程组的解x，y满足，则k的取值范围是______． 13. 规定，若，，则的值是______． 14. 如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则小长方形的面积是______． 15. 在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 16. 新定义：对于任意实数a，符号表示不大于a的最大整数．若，则满足．例如：，，．如果，那么x的取值范围是_______________． 17. 已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 18. 对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 三、解答题（本大题共有10小题，共93分） 19. 解方程组： （1） （2） 20. 解不等式（组） （1）解不等式：． （2）解不等式组，并写出它的整数解． 21. 已知方程组和的解相同，求代数式的值． 22. 已知关于x的不等式． （1）若是该不等式的解，求a的取值范围． （2）在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 23. 在解多元方程组时，我们通常采用消元的方法，通过逐步消去未知数，将其最终转化为一元方程进行求解．常用的消元方法有“代入消元法”和“加减消元法”． （1）对于二元一次方程组，采用代入消元法，将①式代入②式，消去y可以得，则方程①是___________； （2）在解关于x，y的方程组时，采用加减消元法，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，求a和b的值． 24. 已知关于的方程的解是非负数． （1）求的取值范围； （2）若关于的不等式组的解集为，求所有符合条件的整数的和． 25. 根据以下素材，探究完成任务． 背景 红岭教育集团为了奖励竞赛中表现突出的学生，董老师提前在线上平台购买了笔袋与书签等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动，若买6个笔袋和10个书签共需210元；若买12个笔袋和12个书签共需324元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： （1）任务一：线上平台在无促销活动时，求笔袋和书签的销售单价各是多少元？ （2）任务二：董老师计划在促销期间购买笔袋和书签共35个，其中购买笔袋m个（），若董老师按方式一购买，共需____________元；若董老师按方式二购买，共需____________元．（均用含m的代数式表示） （3）任务三：请你帮董老师算一算，在任务二的条件下，购买笔袋的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 26. 对的定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知． （1）求、的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______． 27. 对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． （1）若有一个“开心”方程组的解为，则的值为______； （2）下列方程组是“开心”方程组的是______（填序号）； ①；②；③；④ （3）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求的值． 28. 阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴，即， 得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，， ①试确定y的取值范围； ②试确定的取值范围 （2）已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学教学质量调研 2026.05 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据二元一次方程的定义判断即可，二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有含未知数的项的次数都为1，满足以上条件即为二元一次方程． 【详解】解：选项A：，含有两个未知数，含未知数的项次数都是1，是整式方程，符合定义； 选项B：中，是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义； 选项C：中，的次数为，不符合要求，不符合定义； 选项D：中，含有三个未知数，不符合“含有两个未知数”的要求，不符合定义； 2. 若方程组的解满足，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由方程组两个方程相加得，再结合即可求出的值． 【详解】解：方程组两个方程相加得：， 即， 由， 得到， 解得：． 3. 已知，下列不等式变形中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、∵，不等式两边同时减2，不等号方向不变，∴，A变形错误； B、∵，当时，，此时，B变形错误； C、∵，不等式两边同时乘，不等号方向改变，∴，C变形正确； D、∵，不等式两边同时乘5，再加2，不等号方向不变，∴，D变形错误． 4. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示如下： ， 故选A 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 5. 学校决定用240元专项资金为获奖同学购买奖品，以资鼓励．本次竞赛设一等奖和二等奖两个奖项，一等奖奖品为单价15元的文具盲盒，二等奖奖品为单价10元钢笔套装．专项资金恰好用完，且两种奖品均有购买，则购买方案有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程，设购买一等奖奖品个，二等奖奖品个，，均为正整数，可得，结合奖品数量为正整数的条件，即可求得答案． 【详解】设购买一等奖奖品个，二等奖奖品个，，均为正整数． 根据题意，可得 变形，得 因为是正整数， 所以为整数，即为偶数． 因为， 所以． 所以． 所以的可取的值为，，，，，，，共个，每个对应唯一的正整数． 所以，共有种购买方案． 6. 一元一次不等式的解集有且只有两个非负整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先明确非负整数的定义，再根据不等式有且只有两个非负整数，确定符合条件的非负整数，进而推导的取值范围。 【详解】解：∵非负整数为 ，不等式的解集有且只有两个非负整数， ∴符合条件的两个非负整数只能是和， ∵解集需要包含和，且不能包含下一个非负整数， ∴可得． 7. 某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，小明妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为，那么小明告诉妈妈的信息是（ ） A. 买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不超过900元 B. 买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不超过900元 C. 买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D. 买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据不等式还原实际问题描述，解题关键是按照运算顺序理解不等式各部分的实际意义，明确不等号的含义． 【详解】解：∵一件商品定价为元，列出的不等式为 . ∴表示两件等值商品的总价，表示两件商品总价减去100元，即先减100元； 整体乘表示减100元后再打八折； 不等号表示最后总价不到900元； 因此信息为：买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元． 8. 图中是李刚同学设计的一个计算程序，规定从“输入 x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就输出，那么的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知两次就停止，则有第一次结果15，第二次结果15，由此可得关于x的一元一次不等式组，解之即可得． 【详解】解：由题可得 解得：． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 若方程是二元一次方程，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：因为方程是二元一次方程， 所以， 解得， 所以． 10. 根据“的倍与的差大于”，可列不等式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先明确“x的5倍”是 ，“的倍与的差”是，再根据“大于”对应的不等号，列出不等式． 【详解】解：由题意得：． 11. 在一场篮球比赛中，某队罚球得分10分，投进2分球和3分球共48个，如果这支球队在本场比赛中总得分超过110分，则他们至少投进________个3分球． 【答案】 【解析】 【分析】设投进个3分球，则投进2分球的个数为，然后根据题意列不等式求解，并取最小整数值即可解答． 【详解】解：设投进个3分球，则投进个2分球， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为， 即他们至少投进个3分球． 12. 若关于x，y的方程组的解x，y满足，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程组的两个方程相减，得到关于的表达式，再根据列出一元一次不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：， 由，得， 即， ， ， 解得． 13. 规定，若，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义的运算法则，列出关于，的二元一次方程组，解方程组得到，的值，再代入计算即可． 【详解】解：规定，，， ∴，解得 ． 14. 如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则小长方形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图中的数据，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组，根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，， 解得：， 则小长方形的面积是． 15. 在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 16. 新定义：对于任意实数a，符号表示不大于a的最大整数．若，则满足．例如：，，．如果，那么x的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组．根据新定义的概念将问题转化一元一次不等式组，最后求解即可． 【详解】解：由题意，可得， 解得． 故答案为：． 17. 已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组得到解集，再根据不等式组有且只有个整数解确定的取值范围，找出范围内所有整数，计算其和即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式，不等式两边同乘得， 展开得，移项得， ∴不等式组的解集为， 不等式组有且只有个整数解， 三个整数解为，可得， ∴， ∴， ∴满足条件的所有整数为，和为． 18. 对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据新定义求出的值，再把的值代入中，根据对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，求出的值，即可． 【详解】解：由题意， 解得或， 把代入，得， 整理，得， ∵对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组， ∴，解得， ∴； 把代入，得， 整理，得， ∴，解得， ∴； 综上：或． 三、解答题（本大题共有10小题，共93分） 19. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 把①代入②得， 解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 得， 得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 20. 解不等式（组） （1）解不等式：． （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（1） （2） 不等式组的解集为，整数解为 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为，，． 21. 已知方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】根据这四个方程的解相同，重新联立方程即可求出x和y，然后代入另外两个含a和b的方程中，即可求出a和b，最后代入即可． 【详解】解：联立得：， 解得 把代入 解得 ． 22. 已知关于x的不等式． （1）若是该不等式的解，求a的取值范围． （2）在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 【答案】（1） （2）整数a的值为：3，4 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，理解题意，是解题的关键． （1）根据是该不等式的解集，得出，解关于a的不等式，即可得出答案； （2）根据不是该不等式的解，得出，求出，再根据，得出a的整数值即可． 【小问1详解】 解：把代入，得： ， 解得：， ∴a的取值范围是． 【小问2详解】 解：当时，， 即， 解得：， ∵由（1）得， ∴， ∴在（1）的条件下，满足不是该不等式的解的整数a的值为：3，4． 23. 在解多元方程组时，我们通常采用消元的方法，通过逐步消去未知数，将其最终转化为一元方程进行求解．常用的消元方法有“代入消元法”和“加减消元法”． （1）对于二元一次方程组，采用代入消元法，将①式代入②式，消去y可以得，则方程①是___________； （2）在解关于x，y的方程组时，采用加减消元法，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，求a和b的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将变形得，即知答案； （2）根据消去未知数x，可知，根据消去未知数y，可知，联立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 可知； 【小问2详解】 解：可以消去未知数x， ， 可以消去未知数y， ， 联立方程组， 整理，得， ，得， ， 把代入③，得， ， ． 24. 已知关于的方程的解是非负数． （1）求的取值范围； （2）若关于的不等式组的解集为，求所有符合条件的整数的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组），不等式组的整数解，熟记解一元一次不等式（组），不等式组的整数解的法则是解题关键． （1）先求出方程的解，根据解是非负数，列出不等式求解； （2）先求出不等式组中各个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于待定字母的不等式求解，再求出所有符合条件的整数，并求出它们的和即可． 【小问1详解】 解：， 解得：， ∵关于的方程的解是非负数， ∴，解得：； 【小问2详解】 ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解得：， 由（1）可知：， ∴所有符合条件的整数为1、0、、、、、，所以它们的和为． 25. 根据以下素材，探究完成任务． 背景 红岭教育集团为了奖励竞赛中表现突出的学生，董老师提前在线上平台购买了笔袋与书签等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动，若买6个笔袋和10个书签共需210元；若买12个笔袋和12个书签共需324元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： （1）任务一：线上平台在无促销活动时，求笔袋和书签的销售单价各是多少元？ （2）任务二：董老师计划在促销期间购买笔袋和书签共35个，其中购买笔袋m个（），若董老师按方式一购买，共需____________元；若董老师按方式二购买，共需____________元．（均用含m的代数式表示） （3）任务三：请你帮董老师算一算，在任务二的条件下，购买笔袋的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【答案】（1）笔袋的销售单价是15元，书签的销售单价是12元 （2） （3）在任务二的条件下，购买笔袋的数量时，选择方式一更划算 【解析】 【分析】（1）设线上平台在无促销活动时，笔袋的销售单价是x元，书签的销售单价是y元，根据题意列方程组计算即可； （2）由题意可知购买笔袋m个，则购买书签个，再根据购买方式列代数式即可； （3）根据题意列不等式计算即可． 【小问1详解】 解：任务一：设线上平台在无促销活动时，笔袋的销售单价是x元，书签的销售单价是y元，根据题意得： ， ． 答：线上平台在无促销活动时，笔袋的销售单价是15元，书签的销售单价是12元； 【小问2详解】 解：任务二：根据题意得：若董老师按方式一购买，共需（元）； 若董老师按方式二购买，共需（元）； 【小问3详解】 解：任务三：根据题意得：， 解得：， 又， ． 答：在任务二的条件下，购买笔袋的数量时，选择方式一更划算． 26. 对的定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知． （1）求、的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据新定义及已知列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解； （）由（）可得，再根据新定义把不等式转化为，解不等式即可求解； （）由新定义可把不等式组转化为，求出不等式组的解集，再根据解的情况得到关于的不等式，解不等式即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式及一元一次不等式组解的情况求参数的取值范围，理解新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得， 即，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ∴不等式即为， 解得； 【小问3详解】 解：∵，， ∴不等式组可转化为， 解得， ∵不等式组只有一个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得， 故答案为：． 27. 对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． （1）若有一个“开心”方程组的解为，则的值为______； （2）下列方程组是“开心”方程组的是______（填序号）； ①；②；③；④ （3）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求的值． 【答案】（1）2或4 （2）②③ （3）或 【解析】 【分析】（1）根据计算即可； （2）分别判断是否符合即可； （3）根据加减消元法求出的值，根据列绝对值方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵有一个“开心”方程组的解为， ∴， 解得：或； 【小问2详解】 解：①由可知，不是“开心”方程组； ②由可知，是“开心”方程组； ③两方程相加得，化简得，可知，是“开心”方程组； ④两方程相加得，化简得，可知，不是“开心”方程组； 【小问3详解】 解： 得， ∴， ∵关于x，y的方程组是“开心”方程组， ∴， 即， 解得：或． 28. 阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴，即， 得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，， ①试确定y的取值范围； ②试确定的取值范围 （2）已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 【答案】（1）①；②； （2） 【解析】 【分析】（）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值；由得，进而求得，即，即可求得的取值范围； （）根据题意求得，再求出，从而得到关于，的方程组求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴，即， ∴， ∴的取值范围是； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $