精品解析：江苏省扬州市高邮市高邮镇秦邮初级中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷

七年级 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列运算结果正确的是（　　） A. 105+103＝108 B. x3•x4＝x7 C. ﹣a•a3＝a4 D. ﹣a•（﹣a）2＝a3 2. 若，，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 若，则的值为（　　） A. B. 8 C. D. 4. 下列各题中，能用平方差公式计算的是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知.(a+b)2=9，ab= －1，则a2+b2的值等于（ ） A. 84 B. 78 C. 12 D. 6 6. 将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（　　） A. （x-2）2+3 B. （x+2）2-4 C. （x+2）2-5 D. （x+2）2+4 7. 已知a＝2﹣55，b＝3﹣44，c＝4﹣33，d＝5﹣22，则这四个数从小到大排列顺序是（　　） A. a＜b＜c＜d B. d＜a＜c＜b C. a＜d＜c＜b D. b＜c＜a＜d 8. 如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（ ） A. 正方形边长 B. 正方形的边长 C. 正方形的边长 D. 正方形的边长 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 一个氧原子的直径为0.000000000148m，用科学记数法表示为_____m． 10. 计算__________． 11. 要使的结果中不含项，则为______. 12. 若，则的值为________． 13. 规定两数a、b之间一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：若，，则的值为____________． 14. 若方程4x2+（m+1）x+1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为__． 15. 计算：的值为___________． 16. 已知，，若用含的代数式表示，则__________． 17. 如图所示，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a、b，如果a+b＝17，ab＝60，那么阴影部分的面积是______． 18. 对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和）和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 计算： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 23. 已知5a＝3，5b＝8，5c＝72． （1）求（5a）2的值． （2）求5a﹣b+c的值． 24. 若（且是正整数），则．请你利用上面的结论，回答下列问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 25. 我们知道，同底数幂乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： （1）①若，则________； ②若，则________； （2）若，求的值． 26. 我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． （1）观察图形，写出一个、、三者之间的等量关系式： ； （2）运用（1）中的结论，当，时，求的值； （3）若，求的值． 27 定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． （1）设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． （2）如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式值． 28. 【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，，则， ， ， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）若满足，则__________； （2）若满足，求的值； （3）如图，在长方形中，，点，是，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列运算结果正确的是（　　） A. 105+103＝108 B. x3•x4＝x7 C. ﹣a•a3＝a4 D. ﹣a•（﹣a）2＝a3 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝100×103+103＝101×103＝1.01×105，故A不符合题意． B、原式＝x7，故B符合题意． C、原式＝﹣a4，故C不符合题意． D、原式＝﹣a3，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的运算法则． 2. 若，，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法的逆运算及幂的乘方的逆运算解答． 【详解】解：∵，， ∴==3÷8=， 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法的逆运算及幂的乘方的逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 3. 若，则的值为（　　） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式展开，根据多项式相等即可求得对应字母的值，进而代入代数式求解即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 解得：，， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，负整数指数幂，掌握以上知识是解题的关键． 4. 下列各题中，能用平方差公式计算的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故不能用平方差公式，不合题意； B、，故能用平方差公式，符合题意； C、，故不能用平方差公式，不合题意； D、故不能用平方差公式，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 5. 已知.(a+b)2=9，ab= －1，则a2+b2的值等于（ ） A. 84 B. 78 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据完全平方式 可由(a+b)2=9，ab= －1知 a2+b2=（a+b）2-2ab=9+3=12 故选C. 6. 将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（　　） A. （x-2）2+3 B. （x+2）2-4 C. （x+2）2-5 D. （x+2）2+4 【答案】C 【解析】 【分析】将代数式前两项结合，加上一次项系数一半的平方即加上4，后面减去4保证与原式相等． 【详解】根据配方法，若二次项系数为1，则需要配一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C． 【点睛】本题考查了配方法的应用. 7. 已知a＝2﹣55，b＝3﹣44，c＝4﹣33，d＝5﹣22，则这四个数从小到大排列顺序是（　　） A. a＜b＜c＜d B. d＜a＜c＜b C. a＜d＜c＜b D. b＜c＜a＜d 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及负指数幂的性质、分数的性质统一各数指数，进而比较即可． 【详解】解：∵a＝2﹣55＝（2﹣5）11＝， b＝3﹣44＝（3﹣4）11＝， c＝4﹣33＝（4﹣3）11＝， d＝5﹣22＝（5﹣2）11＝ ∴b＜c＜a＜d． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及负指数幂的性质、分数的性质，正确将各数统一指数是解题关键． 8. 如图，有三张正方形纸片，将三张纸片按照如图所示的方式放置于一个长方形中，已知中间重叠部分四边形恰好是一个正方形，记图中两块未被覆盖的阴影部分面积分别为和，已知，，若要知道和的面积差，只需要知道（ ） A. 正方形的边长 B. 正方形的边长 C. 正方形的边长 D. 正方形的边长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算． 解法一：延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积，分别设正方形的边长分别为，正方形的边长为，表示出，，再作差即可得解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解法二：延长交于点L，证明，则即可求解． 【详解】解：解法一： 如图，延长交于点，则右上角未被覆盖部分阴影部分的面积， 设正方形的边长分别为，正方形的边长为， 则，，，，，， ∴，， ∴ 故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长， 故选：． 解法二： 设正方形的边长分别为，正方形的边长为， 如图，延长交于点L， 由图可得， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故要知道和的面积差，只需要知道的值即可，即要知道正方形的边长， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 一个氧原子直径为0.000000000148m，用科学记数法表示为_____m． 【答案】1.48×10﹣10． 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于0.000000000148有10个0，所以可以确定n=﹣10． 【详解】解：0.000 000 000 148=1.48×10﹣10． 故答案为1.48×10﹣10． 【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定n值是关键． 10. 计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算法则，直接利用积的乘方运算法则化简，得出答案，正确掌握相关性质和运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 11. 要使的结果中不含项，则为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握多项式乘多项式是解决本题的关键． 先计算多项式乘多项式，再使项系数为即可． 【详解】解：原式， ∵不含项， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 若，则的值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】将变形，用含b的式子表示a，将变形后的式子代入所求的代数式中进行化简即可． 【详解】解：由得， 将代入，得： ． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了代数式求值及合并同类项．解题的关键是利用了整体代入的思想，准确计算． 13. 规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定，填空：若，，则的值为____________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了新定义，同底数幂的乘法和除法，平方差公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据新定义得，从而，，求出，进而可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ， ． 故答案为：50． 14. 若方程4x2+（m+1）x+1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为__． 【答案】-5或3 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解：∵4x2+（m+1）x+1可以写成一个完全平方式， ∴4x2+（m+1）x+1＝（2x±1）2＝4x2±4x+1， ∴m+1＝±4， 解得：m＝-5或3， 故答案为：-5或3． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键． 15. 计算：的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，解题的关键是将原式变形为平方差的形式． 在原式前乘以，再根据平方差公式进行求解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 16. 已知，，若用含的代数式表示，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆运算法则把y表示为，进而得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图所示，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a、b，如果a+b＝17，ab＝60，那么阴影部分的面积是______． 【答案】54.5 【解析】 【分析】根据两正方形的面积减去两三角形的面积表示出阴影部分面积，化简得到最简结果，将a+b与ab的值的计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得： S阴影＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b） ＝a2+b2﹣a2﹣ab﹣b2 ＝（a2+b2﹣ab） ＝ [（a+b）2﹣3ab]， 当a+b＝17，ab＝60时，S阴影＝×（289﹣180）＝54.5． 故答案为：54.5 【点睛】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，多项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 18. 对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和）和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是6的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是36， 的最大值为． 故答案为： 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法与除法、积的乘方与幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方、负整数指数幂与零指数幂，再计算有理数的加减法即可得； （2）先计算同底数幂乘法与除法、积的乘方与幂的乘方，再计算整式的加减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了幂的相关运算以及整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）分别计算单项式乘单项式、积的乘方，进而即可求解； （2）根据整式的混合运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算及乘法公式，可利用平方差公式计算，利用完全平方公式计算． 先算乘方和乘法，再合并同类项，最后代入求值． 详解】解：原式 当时， 原式． 22. 计算： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）81 （2） 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，幂的乘方逆运算，同底数幂相乘，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用幂的乘方逆运算，得出原式，再结合同底数幂相乘，得，最后代入数值计算，即可作答． （2）先把原式整理得，再把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 23. 已知5a＝3，5b＝8，5c＝72． （1）求（5a）2的值． （2）求5a﹣b+c值． 【答案】（1）9 （2）27 【解析】 【分析】（1）由已知条件直接代入计算即可； （2）利用同底数幂的乘除法法则解答． 【小问1详解】 解：∵5a＝3， ∴（5a）2＝32＝9； 【小问2详解】 ∵5a＝3，5b＝8，5c＝72， ∴5a﹣b+c＝＝＝27 【点睛】本题考点同底数幂的乘除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 24. 若（且是正整数），则．请你利用上面的结论，回答下列问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算， （1）根据同底数幂乘法、幂的乘方及其逆运算即可求解； （2）根据幂的乘方及其逆运算即可求解． 【小问1详解】 解：因为， 所以， 所以， 解得． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 解得． 25. 我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： （1）①若，则________； ②若，则________； （2）若，求的值． 【答案】（1）①；② （2）27或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，熟练应用新运算的规定是解题的关键． （1）①利用新运算的规定进行运算即可；②利用新运算的规定进行运算即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴； ②， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 当时，； 当时，； 的值为27或． 26. 我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． （1）观察图形，写出一个、、三者之间的等量关系式： ； （2）运用（1）中的结论，当，时，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据图中阴影部分的面积可进行求解； （2）根据（1）中结论可进行求解； （3）根据（1）中结论及整体思想可进行求解 【小问1详解】 解：由图中阴影部分的面积可得：； 故答案为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：令，，则，， ∴． 27. 定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． （1）设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． （2）如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 【答案】（1），；； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据规定的新运算可知，又因为方程为一元一次方程，可得为一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知、，从而求出的值，把的值代入方程中可得方程为，解方程即可； 根据可以求出，根据中不含一次项可以求出的值，把、的值代入计算求值即可； （2）根据“嘉幸数”的定义列方程求出、的值，根据整式的运算法则把代数式化简，再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【小问1详解】 解：， 又方程为一元一次方程， 为一元一次方程， ， 解得：， 方程为， 解得：， ，； 解：的值满足， ， ， ， 解得：， ，， ， 整理得：， 不含一次项， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 整理得到， ∴ 数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 整理得到，， ∴ 【点睛】本题主要考查了新运算、一元一次方程的定义、同底数幂的乘法、整式的化简求值、有理数的混合运算．解决本题的关键是理解题目中规定的新运算，根据规定的新运算，把指定的运算转化为一般的运算；理解“嘉幸数”的意义，根据“嘉幸数”列方程求出字母的值． 28. 【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，，则， ， ， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 （1）若满足，则__________； （2）若满足，求的值； （3）如图，在长方形中，，点，是，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1）125 （2）120 （3） 【解析】 【分析】（1）设20-x=a，x-5=b，则a+b=（20-x）+（x-5）=15，ab=（20-x）（x-5）=50，再根据a2+b2=(a+b)2-2ab，整体代入计算即可； （2）设，，则，利用2ab=（a+b）2-（a2+b2）整体代入计算即可； （3）设，，则，，利用求解即可． 【小问1详解】 解：设20-x=a，x-5=b，则 a+b=（20-x）+（x-5）=15，ab=（20-x）（x-5）=50， (a+b)2-2ab=152-2×50=115， 故答案为：115． 【小问2详解】 解：设，， 则， ． 【小问3详解】 解：依题意，设，， ∴， ∵长方形面积为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，理解a2+b2，（a+b）2，2ab之间的关系是正确解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $