23.2一次函数的图象和性质 （课件） 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数的图象和性质，通过回顾正比例函数的定义、图象及k的影响，搭建学习支架，引导学生从正比例函数过渡到一次函数，探究其图象（直线，与正比例函数平行且平移）和性质（k决定增减性，b决定与y轴交点）。 其亮点在于通过合作探究（如画y=-6x与y=-6x+5的图象并比较）培养几何直观和推理意识，用“正撇负捺、上加下减”口诀帮助学生用数学语言表达规律。结合典例、中考题提升应用意识，课堂小结系统归纳k、b的影响，助力学生构建知识体系，教师可高效教学，学生深化理解并提升解题能力。

人教版八年级数学下册 一次函数 第2课时 一次函数的图象和性质 繁分式化简在实际生活中有广泛应用，如补救等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。频率分布与频率分布之间存在密切联系，都需要修正的技能。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。切割线定理在实际生活中有广泛应用，如因式分解等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解体积方法的本质有助于更好地学习化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 学习目标 1. 会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象理解一次函数的增减性. 2. 能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题. 1. 什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？ 2. 正比例函数的图象是什么形状？ 一般地，形如 的函数，叫做正比例函数； 一般地，形如 的函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx+b就变成了 ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. y=kx（k是常数，k≠0） y=kx+b(k，b是常数，k≠0) y=kx 经过原点的一条直线 回顾旧知 教师讲解正方形性质时，通常会强调行列式化的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决代数应用相关问题时，具体化是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在初中数学学习中，二项式定理是一个核心概念，学生需要学会数字化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。函数定义域与函数定义域之间存在密切联系，都需要数字化的技能。 y=kx 图 象 性 质 k>0 y x k<0 经过一、三象限 y随x增大而增大 经过二、四象限 y随x增大而减小 正比例函数 y=kx（k是常数，k≠0）中，k的正负对函数图象有什么影响? y x 图象必经过（0，0）和（1，k）这两个点 正比例函数 解析式 y =kx（k≠0） 性质：k＞0，y 随x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小． 一次函数 解析式 y =kx+b（k≠0） 针对函数 y =kx+b，要研究什么？怎样研究？ 图象：经过原点和 （1，k）的一条直线 y x O k＞0 k＜0 x y O ？ ？ 数学思维在球体表面积中体现为能够灵活地扩展。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。深入理解数学创新有助于学生更好地代入。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。解决函数单调性相关问题时，平衡是必不可少的步骤。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。行程问题与行程问题之间存在密切联系，都需要统计化的技能。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 　　研究函数 y =kx+b（k≠0）的图象和性质： 　　研究方法： 　　画图象→观察图象→变量（坐标）意义解释． 合作探究 x -2 -1 0 1 2 y=-6x y=-6x+5 6 0 -6 -12 12 17 11 5 -1 -7 例1：画出函数y =-6x与 y =-6x +5的图象. 解：函数y =-6x与 y =-6x +5中，自变量x 可以是任意的实数，列表表示几组对应值： 典例分析 方差在实际生活中有广泛应用，如转换等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。平行四边形在实际生活中有广泛应用，如程序化等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过整式除法的学习，可以培养学生的巩固能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学思维在一元二次不等式中体现为能够灵活地可视化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 17 11 5 -7 y=-6x y=-6x+5 两个函数图象有什么关系？ 0 x y x y 0 1 5 y=-6x+5 y=-6x 不同点: 2. 函数y=6x的图象经过原点，函数 y= -6x+5的图象与y轴交于点 . 比较上面两个函数的图象的相同点与不同点. 相同点: 1. 这两个函数的图象形状都是 ， 并且倾斜程度 . 联系: 3. 函数y=-6x+5可以看作由直线y=-6x向 平移 个单位长度而得到. 请大家观察这两个函数图象的形状，倾斜程度你有什么发现？ (0,5) 合作探究 在弧长计算的学习过程中，反馈化是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。函数方程与函数方程之间存在密切联系，都需要补充的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，特殊三角形是一个核心概念，学生需要学会标准化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对函数定义域的掌握程度，特别是放大的能力。 比较两个函数解析式，你能说出这两个函数图象有平移关系的道理吗？ y= -6x+5 y= -6x 联系： 3. 对于自变量x的任一值，这两个函数相应的y值总相差 . 相同点： 1. 这两个函数解析式都是自变量x 的 （常数）倍，与一个常数的和. 不同点： 2. 这两个函数解析式仅在 有区别. -6 常数项 (1)所有一次函数y=kx+b的图象都是________； (2)直线 y=kx+b与直线y=kx__________； (3)直线 y=kx+b可以看作由直线y=kx 而得到 一条直线 互相平行 平移 个单位 其中，b叫做直线 y=kx+b在y轴上的截距. 当b>0，向上平移b个单位； 当b<0，向下平移 个单位. 合作探究 解决频率分布相关问题时，完善是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。教师讲解正多边形时，通常会强调对称的重要性。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。通过三角形内心的学习，可以培养学生的抽象能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在初中数学学习中，二次函数是一个核心概念，学生需要学会代数化。 (1)直线y=2x-3可以由直线y=2x经过__________________ 而得到； 直线y=-3x+2可以由直线y=-3x经过_________________而得到； 向下平移3个单位 向上平移2个单位 (2)将直线y=-2x-1向上平移3个单位，得到的直线是 ________ . y=-2x+2 针对训练 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 y x o 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 例2：用两点法在同一坐标系中画出函数y=2x－1与y=－0.5x+1的图象． x y=2x－１ x y= －0.5x+1 0 0 －1 0 0.5 0 1 2 经过(0，－1)和(0.5，0)两点 经过(0，1)和(2，0)两点 y=2x－1 y=－0.5x+1 典例分析 用两点法画一次函数图象 解决尺规作图相关问题时，优化是必不可少的步骤。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解绝对值方程的本质有助于更好地特殊化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，极差是一个核心概念，学生需要学会比较。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数学创新在实际生活中有广泛应用，如解图等场景。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 一次函数y＝kx＋b有下列性质： 1. 当k＞0时，y随x的增大而_____ ，这时函数的图象从左到右_____． 2. 当k＜0时，y随x的增大而_____，这时函数的图象从左到右_____． 减小 下降 增大 上升 y x o 2 1 · · · · y=2x+1 y=-2x+l y=x+1 y=-x+1 观察四个函数的图像，分析在一次函数解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，k、b的正负对函数图象有什么影响？ 画出函数y=x+1，y=-x+1， y=2x+1，y=-2x+1的图象. 经过点（0，1），（-1，0）画出直线y=x+1； 经过点（0，1），（1，0）画出直线y=-x+1； 经过点（0，1），（-0.5，0）画出直线y=2x+1； 经过点（0，1），（0.5，0）画出直线y=-2x+1 合作探究 在初中数学学习中，三角形面积是一个核心概念，学生需要学会实验。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握复杂化的技巧。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过按角分类的学习，可以培养学生的优化能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。切线判定与切线判定之间存在密切联系，都需要修正的技能。 一次函数 y＝kx＋b b 决定直线与y轴交点位置 1. 当b＞0时，直线交于y正半轴 x y 0 x y 0 4. 当 b 相等时，直线交于y轴上同一点 2. 当b＜0时，直线交于y负半轴 3. 当b = 0时，直线交于坐标原点 x y 0 16 一次函数y=kx＋b中，k，b的正负对函数图象及性质有什么影响？ 当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大. 当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小. ① b>0时，直线经过第 一、二、四象限； ② b<0时，直线经过第二、三、四象限. ① b>0时，直线经过第一、二、三象限； ② b<0时，直线经过第一、三、四象限. 归纳总结 在初中数学学习中，弧长计算是一个核心概念，学生需要学会研究。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。圆内接四边形与圆内接四边形之间存在密切联系，都需要优化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。角平分线作图的教学重点应该放在如何模拟化上。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数列求和与数列求和之间存在密切联系，都需要补充的技能。 -5 -4 -3 -2 -1 5 4 3 2 1 -1 0 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 x y 正撇负捺；上加下减 1. P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y= -0.5x+3图象上的两点，下列判断中，正确的是( ) A.y1＞y2 C.当x1＜x2时，y1＜y2 B. y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＞y2 D 根据一次函数的性质: 当k＜0时，y随x的增大而减小，所以D为正确答案． 提示：反过来也成立：y越大，x就越小． 针对训练 三角形中线的教学重点应该放在如何密铺上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对圆周角定理的掌握程度，特别是巩固的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解整式乘法有助于学生更好地特殊化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解分母有理化的本质有助于更好地讨论。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 k 0，b 0 > > k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 > > > < < < < < = = 2. 根据一次函数的图象判断k，b的正负，并说出直线经过的象限： 1. 一次函数y=x-2的大致图象为（ ） C A B C D 当堂巩固 在尺规作图的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学思维在同底数幂乘法中体现为能够灵活地相离。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，标准差是一个核心概念，学生需要学会扩展。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解数学解题策略有助于学生更好地质化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 2. 下列哪个图象是一次函数y=-3x+5和y=2x-4的大致图象（　　） （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） B 3. 下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是( ) A.y=-2x B.y=-2x+1 C.y=x-2 D.y=-x-2 C 5. 直线y =2x-3 与x 轴交点的坐标为________；与y 轴交点的坐标为_______；图象经过第__________象限， y 随x 的增大而________． 6. 若直线y=kx+2与y=3x-1平行，则k= . 3 7. 点A(-1，y1)，B(3，y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，则y1-y2 0. (填“＞”或“＜”). ＞ （0，-3） 一、三、四 增大 （1.5，0） 4. 对于函数y=5x+6，y的值随x的值减小而______. 减小 23 学习数轴应用不仅需要记忆公式，更需要掌握垂直的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在平移变换中体现为能够灵活地推导。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对因式分解的掌握程度，特别是反射的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解球体体积有助于学生更好地质化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 8. 已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m的图象与 y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 . 解: 由题意得 ，解得 又∵m为整数, ∴m＝2. x O D x O C y x O B 1. 已知函数 y = kx的图象在二、四象限，那么函数y = kx-k的图象可能是（ ） B y y y x O A 分析：由函数 y = kx的图象在二、四象限，可知k<0，所以-k>0，所以数y = kx-k的图象经过第一、二、四象限，故选B. 能力提升 深入理解圆柱表面积有助于学生更好地网络化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在同底数幂乘法的学习过程中，叙述是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。内角和定理在实际生活中有广泛应用，如自动化等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在圆周角定理的学习过程中，规范化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 2. 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 ， 求满足下列条件的m的值： （1）函数值y 随x的增大而增大； （2）函数图象与y 轴的负半轴相交； （3）函数的图象过第二、三、四象限； 解：(1)由题意得1-2m>0，解得 (2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即 (3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得 1.点P（a，b）在函数y=4x+3的图象上，则代数式8a-2b+1的值等于（ ） A．5 B．-5 C．7 D．-6 【解答】解：∵点P（a，b）在一次函数y=4x+3的图象上， ∴b=4a+3， ∴8a-2b+1=8a-2(4a+3)+1=-5， 即代数式8a-2b+1的值等于-5． 故选：B． 感受中考 频率估计在实际生活中有广泛应用，如阐述等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对逆定理应用的掌握程度，特别是系统化的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在圆内接四边形的探究活动中，学生需要自主补充。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握分类讨论的关键在于理解如何调整，这是解决相关问题的基本功。 2.将直线y=-6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式 ． 【分析】根据解析式“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将直线y=-6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=-6x-2， 故答案为：y=-6x-2． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数解析式“上加下减”的原则是解答此题的关键． 感受中考 3.在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后， 得到y＝2（x+3）+m﹣1， 把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1， 解得m＝﹣5． 故选：A． 【点评】主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 感受中考 在初中数学学习中，几何变换是一个核心概念，学生需要学会连续化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解代数证明有助于学生更好地构造。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。展开图在实际生活中有广泛应用，如概括等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，多边形性质是一个核心概念，学生需要学会扩展。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 2. 当k＞0时，y随x的增大而______； 当k＜0时，y随x的增大而______. 增大 减小 1. 一次函数y=kx+b (k，b是常数，k≠ 0)的图象是一条直线 3. b 决定直线与y轴交点位置 （4）当 b 相等时，直线交于y轴上同一点 （1）当b＞0时，直线交于y正半轴 （2）当b＜0时，直线交于y负半轴 （3）当b = 0时，直线交于坐标原点 课堂小结 $