精品解析：2026年河南新乡市河师大附属中学等校第三次阶段测试 数学试题

2025-2026学年第二学期九年级模拟练习 《数学》试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查倒数的概念，掌握乘积是1的两个数互为倒数是解题关键．根据倒数的概念即可求解． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 2. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题用科学记数法的知识即可解答． 【详解】解：． 故选C． 【点睛】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与0的个数的关系要掌握好． 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（　　） A. 主视图相同 B. 左视图相同 C. 俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图的相关概念解答即可． 【详解】解：图①的主视图，左视图，俯视图分别为： 图②的主视图，左视图，俯视图分别为： 故选C． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 5. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简已知不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则结合选项逐一判断选项． 【详解】解：解得． A选项，组成的不等式组为，符合“大大小小找不到”，不等式组无解，符合题意； B选项，组成的不等式组为，根据“同小取小”，解集为，有解，不符合题意； C选项，组成的不等式组为，解集为，有解，不符合题意； D选项，组成的不等式组为，根据“大小小大中间找”，解集为，有解，不符合题意． 6. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 由作图过程可得，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图过程可知：，， 在和中，， ， 判定的依据是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：A． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算括号内个相加的和，再根据幂的乘方法则计算最终结果． 【详解】解：． 8. 现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“ ”，1张卡片正面上的图案是“ ”，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：直接利用树状图法列举出所有可能进而求出概率． 详解：令3张 用A1，A2，A3，表示， 用B表示， 画树状图为： ， 一共有12种可能的情况，其中两张卡片正面图案相同的有6种情况， 故从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是：． 故选D． 点睛：此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可. 【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H， 则有AD=2AH，∠AHO=90°， 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=， ∴∠A=30°， ∴OH=OA=，AH=AO•cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°， ∴AD=2AH=， ∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==， 故选A. 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 10. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，的：， ∴； 故答案为：． 12. 要表示一个家庭一年用于“教育”， “服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是_______. 【答案】扇形统计图 【解析】 【分析】根据条形统计图适用于看出数量的多少，折线统计图适用于看出数量的增减变化，扇形统计图适用于看出各部分数量占总量的百分比进行解答即可. 【详解】要表示一个家庭一年用于“教育”，服装，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，最适合的统计图是扇形统计图， 故答案为扇形统计图. 【点睛】本题考查了统计图的选择，熟练掌握各统计图的作用是解题的关键.(1)条形统计图作用：从条形统计图中很容易看出各种数量的多少.(2)拆线统计图作用：折线统计图不但可以表示出数量的多少,而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况.(3)扇形统计图作用：通过扇形统计图可以很清楚地表示各部分数量同总数之间的关系. 13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，据此列出关于的方程即可求解． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得． 14. 如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由作图的特点可知，是的角平分线，由平行四边形的性质，可知，证明是等腰三角形，，因为轴，所以点A与点G纵坐标相同，根据勾股定理求出，即，进而得到点G的横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：交y轴于点P，由作图的特点可知，是的角平分线， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 轴，， ，，， 在中，， 即， ， 点的坐标为． 15. 如图，在平行四边形中，，，将线段绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当点在平行四边形的边上时，恰好，则点到直线的距离为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】由四边形为平行四边形，可得，由题意知，分在上，在上两种情况求解：①当在上，如图①，过点作于点，由旋转的性质可得，证明为等边三角形，则，根据，计算求解即可；②当在上时，如图②，连接，过点作于点，则为等边三角形，，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 由题意知，分在上，在上两种情况求解： ①当在上，如图①，过点作于点， 由旋转的性质可得， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ②当在上时，如图②，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点到直线的距离为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． 治理杨絮一一您选哪一项？（单选） A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量 B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 C．选育无絮杨品种，并推广种植 D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 E．其他 根据以上统计图，解答下列问题： （1）本次接受调查的市民共有 　人； （2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是　 　； （3）请补全条形统计图； （4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数． 【答案】（1）2000；（2）28.8°；（3）补图见解析；（4）36万人. 【解析】 【分析】（1）将A选项人数除以总人数即可得； （2）用360°乘以E选项人数所占比例可得； （3）用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得； （4）用总人数乘以样本中C选项人数所占百分比可得． 【详解】解：（1）本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人， （2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是360°×=28.8°， （3）D选项的人数为2000×25%=500， 补全条形图如下： （4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为90×40%=36（万人）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）先求出值，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）分三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由图象可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得； 综上：点坐标为或或． 19. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，． （1）所在圆的圆心M的坐标是_________； （2）所在圆的半径是_________； （3）求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，根据求出y即可； （2）计算的长度即可； （3）根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：由图可得：，，， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∴圆心与点B的横坐标相同， 设圆心为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可得：为圆的半径， ∵，， ∴， ∴圆的半径为5， 【小问3详解】 解：如图， 圆心为M，连接，， ∵， ∴， ∴的长为． 20. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到）.参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点E作于，则，，由题意可得，，，， 解求出、，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点E作于，则，，由题意可得，，，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴在，， ∴， ∴． 21. 2026年3月23日，歼首飞成功28年，近年来，歼家族不断突破、不断壮大．小明和小亮到一家科技体验馆购买航模，已知该体验馆有两种优惠方案可以选择，且两种方案只能参加其中一种． 方案一：科技体验馆推出70元抵100元的代金券，付费时可以抵扣100元，可购买多张代金券，但是不到100元的部分不能使用代金券抵扣． 方案二：购买航模的费用一律打八折． （1）若小明选中的航模的价格为元，方案一需付费元，方案二需付费元． ①请写出，关于的函数表达式； ②通过计算，小明发现参加两种方案所需费用相差8元，求的值． （2）小亮也选中了一个航模，价格为元，发现参加方案一更划算，求的取值范围． 【答案】（1）①，；②m的值为260 （2）n的取值范围为 【解析】 【分析】（1）①根据题意，直接列出函数关系式即可；②分两种情况分析令，令，分别求解即可； （2）分两种情况分别分析两种方案的优惠价格，即可得出结果． 【小问1详解】 解：①根据题意得：． ； ②令， 解得（不符合题意，舍去）． 令， 解得（符合题意）． 故m的值为260． 【小问2详解】 解：小亮选中了一个航模，价格为元， 当时， 方案一购买需n元，方案二购买需元，，不符合题意． 当时，令， 解得， ∴． 综上，n的取值范围为． 22. 某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度，水柱落地点到水池中心的水平距离为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）点，点的坐标分别为________、__________； （2）求水柱所在抛物线对应的函数表达式； （3）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为的地方，通过计算说明身高的王师傅是否会被淋湿？ 【答案】（1）， （2） （3）王师傅不会被淋湿，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由图可得点C、D的坐标； （2）根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可； （3）求出时y的值，与1.85比较大小即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知抛物线顶点D坐标为，点C坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意，可设抛物线的表达式为， 将点C的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为：； 【小问3详解】 解：当时，， ． 答：王师傅不会被淋湿． 23. 综合与探究 综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答． 【初步研究】 （1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____． 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长． 【答案】（1）1；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，可得，从而可得答案； （2）作于点M，作于点N，记的交点为，证明即可得到结论； （3）当时，如图，过作的平行线交的延长线于，过作于，证明，证明，如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于，再仿照（2）的方法结合三角函数可得答案． 【详解】证明：（1）∵四边形正方形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； ∴； （2）解：作于点M，作于点N，记的交点为， 则， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）当时，如图，过作的平行线交的延长线于，过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得：， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于， 同理可得：，四边形为矩形，，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：； 综上：为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形和相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级模拟练习 《数学》试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（　　） A. 主视图相同 B. 左视图相同 C. 俯视图相同 D. 三种视图都不相同 5. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“ ”，1张卡片正面上的图案是“ ”，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 要表示一个家庭一年用于“教育”， “服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是_______. 13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则_________． 14. 如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为_________． 15. 如图，在平行四边形中，，，将线段绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，当点在平行四边形的边上时，恰好，则点到直线的距离为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 17. 每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． 治理杨絮一一您选哪一项？（单选） A．减少杨树新增面积，控制杨树每年的栽种量 B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 C．选育无絮杨品种，并推广种植 D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 E．其他 根据以上统计图，解答下列问题： （1）本次接受调查的市民共有 　人； （2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是　 　； （3）请补全条形统计图； （4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 19. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，． （1）所在圆的圆心M的坐标是_________； （2）所在圆的半径是_________； （3）求的长． 20. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到）.参考数据：，，）． 21. 2026年3月23日，歼首飞成功28年，近年来，歼家族不断突破、不断壮大．小明和小亮到一家科技体验馆购买航模，已知该体验馆有两种优惠方案可以选择，且两种方案只能参加其中一种． 方案一：科技体验馆推出70元抵100元的代金券，付费时可以抵扣100元，可购买多张代金券，但是不到100元的部分不能使用代金券抵扣． 方案二：购买航模的费用一律打八折． （1）若小明选中的航模的价格为元，方案一需付费元，方案二需付费元． ①请写出，关于的函数表达式； ②通过计算，小明发现参加两种方案所需费用相差8元，求的值． （2）小亮也选中了一个航模，价格为元，发现参加方案一更划算，求的取值范围． 22. 某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度，水柱落地点到水池中心的水平距离为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）点，点的坐标分别为________、__________； （2）求水柱所在抛物线对应的函数表达式； （3）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为的地方，通过计算说明身高的王师傅是否会被淋湿？ 23. 综合与探究 综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答． 【初步研究】 （1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____． 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $