7.2离散型随机变量及其分布列教案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该教案聚焦离散型随机变量及其分布列、均值与方差核心知识，通过取球、掷骰子等实例导入，衔接概率基础，构建从实际问题到抽象概念的学习支架，梳理定义、性质及应用脉络。 资料题型系统且联系现实，如奥运会参赛、投篮得分等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过分布列构建与性质推理发展数学思维，用表格符号规范表达提升数学语言能力，助力学生掌握知识，为教师提供丰富例题与变式，提升教学效率。

第16讲：离散型随机变量及其分布列 一、教学目标 ①了解离散型随机变量的概念，理解随机变量的分布列及其性质 ②会求离散型随机变量的分布列及两点分布列的相关量。 ③通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的均值。 二、教学重难点 1.要求掌握离散型随机变量的均值，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议. 2.能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中与方差的求解问题。 3、 知识精讲 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，，，我们称X取每一个值的概率P(X=)= ，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 分布列也可以用等式形式表示为P(X=)=，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①0，i=1，2，，n； ②+++=1. 3．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 4．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称D(X)=+++=为随机变量X 的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X). (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程 度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=D(X). 3．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 四、例题精析 题型01 随机变量 【典例1】袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率 【典例2】将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　） A．两次掷出的点数之和 B．两次掷出的最大点数 C．第一次与第二次掷出的点数之差 D．两次掷出的点数 题型02 分布列及其性质的应用 【典例1】设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 【典例2】随机变量ξ的分布列如下： 其中，则等于（    ） A． B． C． D． B． 【典例3】随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则 . 【典例4】已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m的值为 . 0 1 2 3 题型03求离散型随机变量的分布列 【典例1】某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人． (1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率； (2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列． 【典例2】一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立． (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列． 【典例4】第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中． (1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大? (2)如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列． 【变式1】学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列 【变式2】已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项. 为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. (1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率； (2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列. 【变式3】设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量的分布列； (2)求随机变量的分布列. 题型04由随机变量分布列求概率 【典例1】设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 4 P 0.15 0.15 0.15 0.25 m 若随机变量，则等于（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【典例2】一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量的分布列为： X 1 2 3 P m 则 ， ． 【变式1】设随机变量X的分布列，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（    ）． A． B． C． D． 【变式3】设随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 P m 则 ． 题型05两个相关随机变量的分布列 【典例1】已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【典例2】已知随机变量的分布列如表所示． 0 1 2 3 (1)求随机变量的分布列； (2)若，求实数的取值范围． 【变式1】随机变量的取值范围是{1，2，3，4，5}，且．则Y的取值范围是 ． 【变式2】某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元． (1)当时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若，求的值 题型06两点分布 【典例1】已知随机变量X服从两点分布，且，，那么 . 【典例2】已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 . 【典例3】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列． 【变式1】已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ． 【变式2】从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布． 【变式3】掷一颗骰子，观察掷得的点数. (1)求点数X的分布； (2)只关心点数6是否出现.若出现，则记，否则记.求Y的分布. 【例2】已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 . 【例3】若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知随机变量的分布列如下: 0 1 设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ） X 0 1 2 3 P a b A． B． C． D． 题型07 求离散型随机变量的方差、标准差 【例1】已知随机变量X的分布列为 0 1 2 0.1 0.2 0.4 则 . 【例2】已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（   ） A． B． C． D． 1 2 【例4】已知随机变量的分布列如表: 若，则 【例5】（多选）若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 五、课堂小结 6、 家庭作业 1．（2025•青羊区校级模拟）在的展开式中，x7的系数为 　 　 ．（用数字作答） 2．（2025•郫都区模拟）已知x9＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，则a2＝ 　 　 ．（用数字作答） 3．（2024秋•温江区校级期中）（1﹣2x）（1+3x）6的展开式中，含x2的项的系数为 　 　 ．（用数字作答） 4．（2024秋•成都月考）2014年10月四川省天府新区成为国家级新区．其中包括高新区的中和、桂溪和石羊三个街道，现在三个街道共引进A、B、C、D四个项目，每个街道至少引进一个项目，共有　 　 种不同的引进方法． 5．（2024春•青羊区校级期中）将某四名同学分别保送到清华、北大和复旦等三所大学深造，每所学校至少保送1人，则不同的保送方案共有　 　 种． 6．（2025春•成都校级期中）已知数列{an}的前n项和为Sn且满足；等差数列{bn}满足b1＝1，且b2，b3+1，b6+1成等比数列． （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）求数列的最大项； （3）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn． 7．（2025春•成都校级期中）已知函数f（x）＝xlnx+2，g（x）＝f（x）﹣2x． （1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程． （2）求函数g（x）的极值． （3）若函数y＝f（x）+ax在区间（e，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围． 8．（2025春•青羊区校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥平面ABB1A1，D为A1C的中点，AA1＝BC＝2，，． （1）证明：AA1⊥平面ABC； （2）求平面ABD与平面ABA1的夹角的余弦值． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $