拓展4 离散型随机变量的分布列与数字特征14种常见考法归类讲义（90题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 拓展4 离散型随机变量的分布列与数字特征14种常见考法归类（90题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求离散型随机变量的分布列 考点二 离散型随机变量分布列的性质及其应用 考点三 求离散型随机变量的均值 考点四 由离散型随机变量的均值求参数 考点五 求离散型随机变量的方差 考点六 方差期望表示 考点七 由离散型随机变量的方差求参数 考点八 两个相关离散型随机变量 （一）两个相关离散型随机变量的分布列 （二）两个相关离散型随机变量的均值 （三）两个相关离散型随机变量的方差 考点九 离散型随机变量的均值和方差最值问题 考点十 离散型随机变量均值与方差在实际问题中的应用 考点十一 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 考点十二 两点分布的均值和方差 考点十三 期望的线性可加性的应用 考点十四 期望递推 1、求离散型随机变量的分布列关键有三点 (1)随机变量的取值． (2)每一个取值所对应的概率． (3)用所有概率之和是否为1来检验． 2、写离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找：理解并确定的意义，找出随机变量X的所有可能的取值() (2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率()注意应用计数原理、古典概型等知识 (3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质. 注意：写出分布列时要注意将化为最简分式形式，但是在利用检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果. 3、分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 4、求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． (2)求出X取每个值的概率P(X＝k)． (3)写出X的分布列． (4)利用均值的定义求E(X)． 5、求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可． 6、求离散型随机变量方差的步骤 ①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值； ②求出X取每个值的概率； ③写出X的分布列； ④计算E(X)； ⑤计算D(X)． 7、离散型随机变量方差的性质 (1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)D(c)＝0(其中c为常数)． 注：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)； (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2； (5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)； 考点一 求离散型随机变量的分布列 1．（2026高二·北京延庆·期中）学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设选出的女教师人数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)求． 【答案】(1) 0 1 2 (2)1 (3) 【分析】（1）由题设可得的可能取值为0，1，2，据此可得分布列； （2）由题可得，由超几何分布期望公式可得答案； （3）由（1）解析可得答案. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2，且． 从而的分布列为 0 1 2 （2）因为， 所以． （3）． 2．（2026高二·全国·课后作业）一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票， 其中奖金为 500 元的一等奖彩票有 2 张， 奖金为 300 元的二等奖彩票有 3 张，奖金为 100 元的三等奖彩票有 7 张，从中随机抽出 3 张彩票. (1)求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率； (2)记 表示抽出 3 张彩票中一等奖彩票的张数，求 的分布列. 【答案】(1) (2) 的分布列为： 【分析】（1）利用组合数求出样本空间中样本点的总数和随机事件中含有的样本点的个数，根据古典概型的概率公式可求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率. （2）先确定的可能的取值，再根据超几何分布可求 的分布列. 【详解】（1）设为“抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元”， 则. （2）由题设有可取， 又，， ， 故的分布列为： 3．（2026高二·山西朔州·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格.甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会. (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)的分布列为 【详解】（1）设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格， 由题知，相互独立，， 因为，， 所以， 所以甲、乙面试都合格的概率为． （2）由题知，随机变量X的所有可能取值为， ，， ，， 所以的分布列为 4．（2026高二·全国·专题练习）某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列. 【答案】(1) (2) 0 50 100 150 200 【分析】（1）按“两人费用均为0元、均为50元、均为100元”三类情况分类，利用独立事件概率乘法公式计算每类概率，再求和得到费用相同的概率. （2）先确定随机变量（两人健身费用之和）的所有可能取值，再结合两人不同费用的组合情况，用独立事件概率公式计算各取值的概率，列出分布列. 【详解】（1）依题意，两人都付0元的概率； 两人都付50元的概率； 两人都付100元的概率， 则甲、乙两人所付的健身费用相同的概率为. （2）由题意知，的所有可能取值为0，50，100，150，200， ， 所以的分布列为 0 50 100 150 200 5．（2026高二·河南·期中）4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 【答案】(1)0.85 (2) 0 1 2 0.02 0.26 0.72 【分析】（1）根据全概率公式求解即可. （2）分析可能取值为，再求出其相应概率，写出分布列即可. 【详解】（1）设事件为选用机器人A，事件为选用机器人B， 用事件表示机器人成功，则 由全概率公式得. （2）由题意得的取值可能为. ， ， ， 的分布列为 0 1 2 0.02 0.26 0.72 6．（2026高二·宁夏银川·阶段检测）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【答案】(1) (2)的分布列为： 2 3 4 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 7．（2026高二·河南·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先利用组合数公式分别求出甲、乙面试合格的概率，再根据事件的独立性，通过两概率相乘计算出甲乙都合格的概率； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再针对每个取值，用组合数公式计算出对应概率，最后整理得到分布列. 【详解】（1）设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格， 由题知，A，B相互独立，， ∵，， ∴， ∴甲、乙面试都合格的概率为． （2）由题知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P 8．（2026高二·新疆·期中）暑假来临，有大学生四人各自通过互联网订购回家的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若获得火车票的概率分别是,其中 ，又成等比数列，且两人恰好有一人获得火车票的概率是 (1)求的值； (2)若是同乡，两人约定只有两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家，设表示能够回家过暑假的人数，求的分布列. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 【分析】（1）根据条件列出方程和，联立求出，即可求解； （2）根据条件可得的可能取值，求出相应取值对应的概率，即可求解. 【详解】（1）因为成等比数列，所以，整理得到①， 又两人恰好有一人获得火车票的概率是，则， 整理得到②，由①②可得③，联立①③解得或， 又，所以. （2）因为是同乡，两人约定只有两人都获得火车票才一起回家，两人都获得火车票，一起回家的概率为， 易知的可能取值为， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 考点二 离散型随机变量分布列的性质及其应用 9．（2026高二·吉林长春·期中）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由题意可得，解得． 10．【多选】（2026高二·广东深圳·期中）已知随机变量的分布列如表，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据分布列的性质求解. 【详解】，得， 且，得. 11．（2026高二·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，根据分布列的性质有，解得. 12．（2026高二·辽宁沈阳·期中）离散型随机变量X的分布列如下，则（    ） X －1 0 1 2 P m 2m 0.3 0.1 A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【详解】可知，解得， 所以. 13．【多选】（河北保定市2025-2026学年高二学期5月期中考试数学试题）设离散型随机变量的分布列如下表所示，其中，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据分布列的性质判断A；结合概率的加法公式及不等式的性质判断BCD. 【详解】由题意知，，，故A正确. ，. 因为，则，，， 所以，，，故B正确，CD错误. 14．（2026·广东惠州·模拟预测）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数的值域为. 考点三 求离散型随机变量的均值 15．（2026高二·云南玉溪·期中）笼子里有6只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，重复3次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为，则数学期望_________. 【答案】 【分析】确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【详解】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， 其中：三次飞出同一只蝴蝶，选择蝴蝶的情况有6种， 故， ：恰好两只不同蝴蝶飞出（即一只飞出两次，另一只飞出一次）， 选取飞出两次的蝴蝶有6种方式，选取飞出一次的蝴蝶有5种方式， 其中选取飞出一次的蝴蝶的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三只不同蝴蝶飞出， 由排列数可知事件的可能情况有种， 故， 所以. 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知盒子中共有10个大小相同的球，有红、黄、白三种颜色，且红球、黄球、白球的个数分别为2，3，5，每次随机取出一个球不放回，记随机变量X为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为_______. 【答案】 【分析】由题意得到随机变量的可能取值，求出概率，再由期望公式计算可得. 【详解】由题意可得随机变量的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10， 其概率为，， 所以期望 . 17．（2026·浙江台州·模拟预测）已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. 【答案】/ 【详解】由题设可取， 又，， ， 故. 18．（2026高二·山东济宁·期中）已知袋中有1个红球，2个白球，每次从中随机取一个球，若取出红球，则放回袋中并再放入一个白球；若取出白球，则不放回.记第次取球后，袋中白球个数为，则的数学期望__________. 【答案】/ 【分析】设取到红球的次数为，可得，结合概率乘法公式求相应概率，进而可得期望. 【详解】设取到红球的次数为，则第3次取球后，袋中白球个数为， 由题意可知：随机变量的可能取值为1，3，5，则有： ； ； ； 所以. 19．（2026高二·广东珠海·期中）把四个球（标号为1～4号），随机放入编号为1～4号的四个盒子中.若球的编号与盒子的编号相同即为一个配对，记为总的配对个数，则______. 【答案】 【分析】由于表示配对的个数，由题意则可能取：，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列，根据期望公式求出所求． 【详解】由题意可能取：，则 ，， 的分布列为： 0 1 2 4 20．（2026·陕西榆林·模拟预测）随着人们健康意识的提高，全民健身热潮席卷而来.从城市到乡村，从清晨到傍晚，总能看到人们运动的身影.某社区从参加晨跑的25岁到50岁的人群中，随机抽查100人，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：. (1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这100人中年龄不低于40岁的人数； (2)经过一段时间的晨跑，这100人中每个人的身体状况都有所改变.其中跑步后身体状况得到明显改善的人，年龄在区间的人数为4，年龄在区间内的人数为12，现从身体状况得到明显改善的这16人中选择3人，记这3人中年龄不低于40岁的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)，55 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积之和为1可以计算出的值，再利用相应公式计算出相应组中抽取的人数. （2）根据题意的可能取值为，利用超几何分布列的计算公式及数学期望公式即可求解. 【详解】（1）因为直方图中各个小矩形的面积之和为1，所以， 解得. 所以估计这100人中年龄不低于40岁的人数为. （2）的可能取值为， 则. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 21．（2026·山西朔州·模拟预测）某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 2 3 4 5 . 【分析】（1）用对立事件处理，即“至少抽到1个乙类芯片”的对立事件是“抽到的2个芯片均为甲类芯片”； （2）把6个芯片的检测顺序看作随机排列，停止时间由2个乙类芯片的位置决定：若前2个均为乙类则，若第2个乙类出现在第3位则，若第2个乙类出现在第4位或前4个均为甲类则，其余情况为.分别计数即可得到分布列，再由数学期望公式求出. 【详解】（1）（1）设“至少抽到1个乙类芯片”为事件，则表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯片”， 则. （2）由题意知的所有可能取值为2，3，4，5. ，， ，，         所以的分布列为 2 3 4 5 . 22．（2026·江苏镇江·模拟预测）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. （2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. （3）由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 考点四 由离散型随机变量的均值求参数 23．（2026·福建厦门·模拟预测）随机变量X的分布列为，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为随机变量X的分布列为，， 所以，即，又因为， 所以，解得. 24．（2026高二·江苏无锡·期中）已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 a P 0.2 0.2 b 0.3 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由分布列性质求得，再由期望值求出，进而求得. 【详解】由分布列性质可得，解得， 则，又， 所以，解得， 所以. 25．（2026高二·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分布列的性质，得，所以； 所以的均值为 ，解得. 26．（2026高二·全国·寒假作业）设随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 【答案】C 【分析】根据概率和为1以及列方程组求解a、b即可． 【详解】由分布列的性质得，①， 又由，得②， 由①②解得， ． 故选：C． 27．（2026高二·江苏徐州·期中）已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分布列的性质以及期望公式列方程组即可求解． 【详解】由分布列的性质可得，，所以， 又因为，所以，即； 联立方程，解得， 所以 故选：B 28．（2026高二·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【详解】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 考点五 求离散型随机变量的方差 29．（2026高二·河北邢台·期中）若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（    ） A．1 B．1.4 C．2 D．2.4 【答案】A 【详解】因为， 所以． 30．（2026高三·湖北咸宁·专题练习）随机变量X的分布列如表所示，若，则等于（   ） X 0 1 P a b A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故，故， 故，故. 31．（2026·福建泉州·模拟预测）为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的期望计算公式列出方程，再由方差公式即可求解． 【详解】由题可设，则，， 所以，解得． 所以． 32．（2026高二·福建厦门·月考）已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，解得， 因为，解得， 所以. 33．（2026高二·广东东莞·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 【答案】(1) 0 1 2 3 (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知的可能取值为，根据古典概型计算概率即可写出分布列； （2）由分布列即可计算期望与方差； （3）先求“一个豆沙粽都没有取到”的概率，再利用对立事件即可求“至少取到一个豆沙粽的概率”. 【详解】（1）由题意，的可能取值为， 则 ，， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . （3）记“至少取到一个豆沙粽”为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”， 则. 34．（2026·北京顺义·模拟预测）在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)分布列见详解； (3) 【分析】（1）利用古典概型求概率. （2）利用古典概型求离散型随机变量的分布列与期望. （3）利用古典概型求离散型随机变量的方差. 【详解】（1）因为第部播放的短片共有种情况，且每部短片随机展播一次， 所以播放的短片是文明出行宣传短片的概率为. （2）最后一部反诈宣传短片可能在第部或第部播放完成， 所以可取值为. 则；. 可得的分布列为： 所以. （3）文明出行宣传短片可能在第部、第部、第部播放完成， 所以可取值为. 则；；. 所以， 则. 而，所以. 35．（2026·北京房山·模拟预测）4月23日是世界读书日．某市调研小学生阅读状况，得到男生、女生最喜爱的一种阅读内容的频率分布如下图： 假设不同学生的选择相互独立．用频率估计概率． (1)从该市小学生中随机抽取名男生，估计他最喜爱的阅读内容为科学类（包括自然科学和社会科学）的概率； (2)从该市小学生中随机抽取名男生和名女生，记这人中最喜爱的阅读内容为漫画的人数为，求的分布列和数学期望； (3)从该市小学生中随机抽取名男生，用“”表示他最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示他最喜爱的阅读内容不是科学类；从该市小学生中随机抽取名女生，用“”表示她最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示她最喜爱的阅读内容不是科学类．判断方差与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)的分布列为 数学期望 (3) 【分析】（1）根据题干将对应的频率相加即可； （2）先确定的取值范围，分别计算对应的概率，列出分布列，再根据期望公式求解即可； （3）均服从两点分布，分别计算方差，比较大小即可. 【详解】（1）记事件B为“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为自然科学”， 记事件C为“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为社会科学”， 由图可知， 记事件A为“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为科学类”， 则； （2）的取值范围为， “从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为漫画”的概率为， “从该市小学生中随机抽取名女生，她最喜爱的阅读内容为漫画”的概率为， ， ， ， ， 的分布列为 数学期望. （3），理由如下： 由（1）可知，男生喜爱科学类的概率为，女生喜爱科学类的概率为， 均服从两点分布，故；， 故. 考点六 方差期望表示 36．（2026高二·广西桂林·期末）一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则__________． 【答案】/ 【分析】先求出期望，借助期望求方差. 【详解】由题知，一次射门命中次数为0次或1次， , 因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3， , 故答案为： 37．（2026高三·浙江·期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则_______，_______． 【答案】 1 1 【分析】根据题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，进而求出和，根据计算即可. 【详解】解：的所有可能取值为0，1，2，3． ； ； ； ． 得， 所以， 所以． 故答案为：1；1 38．（2026高二·上海浦东新·期中）一个袋子中有大小、质地都相同仅颜色不同的8个小球，其中5个是红球，3个是黄球．规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分．现随机从袋中摸出3个球，记这三个球的得分之和为随机变量．求： (1)的所有可能的取值（直接列出，不需要说明理由）； (2)的分布； (3)的期望和方差（结果保留三位小数）． 【答案】(1)，4，5，6 (2) X 3 4 5 6 P (3)， 【分析】（1）根据取出小球分类即可得到X的值； （2）根据离散型分布列的步骤求解即可； （3）利用方差与期望之间的关系求解可得. 【详解】（1）取出的小球有3红、2红1黄、1红2黄、3黄，共4种情况， 所以 （2）因为 所以的分布列为： X 3 4 5 6 P （3）因为 所以 39．（2026高二·辽宁沈阳·开学考试）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 【答案】(1)分布列见解析，期望为. (2) 【分析】（1）首先确定，根据超几何分布求概率，写出分布列和数学期望； （2）每位职工培训合格与否相互独立，计算一位职工的期望与方差，可得总的期望与方差，利用方差公式求解. 【详解】（1）由题意可知，， ，，， 所以随机变量的分布列如下， 0 1 2 ； （2）由题意一个职工培训合格的概率为，不合格的概率为， 设为第个职工创造的年利润， 则， 所以， 解得， 所以，， 所以， 所以. 考点七 由离散型随机变量的方差求参数 40．【多选】（2026高二·辽宁朝阳·期中）已知随机变量的概率分布表如下： 其中，，都是正数，若随机变量的数学期望，方差，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由概率分布表的性质及离散型随机变量的期望与方差公式，列出相应的数量关系解决问题. 【详解】由概率分布表性质可知，解得， 又，则， 整理得，所以. 又由概率的性质，，所以，故. 因为，所以，因为，所以. 综上，，. 考点八 两个相关离散型随机变量 （1） 两个相关离散型随机变量的分布列 41．（2026高二·全国·课堂例题）已知离散型随机变量X的分布列． (1)求常数的值； (2)求； (3)求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【分析】(1)利用分布列中概率之和为可求得实数的值； (2)根据分布列可求得； (3)由题意可知，的所有可能值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列. 【详解】（1）由题意得随机变量X的分布列如下表所示． 1 由分布列的性质得，解得． （2） （3）由题意可知，的所有可能值为、、、， ，， ，， 所以的分布列为： P 42．（2026高一·全国·专题练习）有一个数字生成器，它可以等可能地生成这四个数字．定义随机变量X为生成的数字，再定义两个新的随机变量，． (1)求随机变量X的概率分布列． (2)求Y的概率分布列． (3)求Z的概率分布列． (4)求和． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析； (3)分布列见解析； (4)，. 【分析】（1）根据等可能事件可求得X取所有可能值时的概率进而可得分布列； （2）随机变量，我们需要根据X的取值来确定Y的取值和概率； （3）随机变量，根据X的取值来确定Z的取值和概率； （4）根据（2）（3）中的概率分布列即可求解． 【详解】（1）由于数字生成器是等可能的，X的每个取值的概率都是， 所以X的概率分布列为： X 1 2 3 4 （2）当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 由于X的取值互不相同，Y的取值也互不相同．Y的概率分布由X的概率分布直接决定．所以Y的概率分布列为： Y 1 4 9 16 （3）随机变量，当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 由于X的取值互不相同，Z的取值也互不相同， 所以Z的概率分布列为： Z 3 5 7 9 （4）计算累积概率：的取值中小于等于10的有． ． 的取值中小于等于7的有． ． （2） 两个相关离散型随机变量的均值 43．（2026高二·江苏泰州·期中）若随机变量X的期望，则（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】A 【详解】随机变量X的期望，所以. 44．（2026高二·安徽六安·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据概率之和为1求出，再根据期望公式求解即可. 【详解】由题意知，，解得， 所以， 故. 45．（2026·云南昭通·模拟预测）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的取值为，因此的取值为，，对应概率分别为， 因此 . 因为，解得. 则，进而. 46．（2026高二·浙江台州·期中）已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 (1)求的值； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），； （2）； （3）. 所以 （三）两个相关离散型随机变量的方差 47．（2026高二·广东深圳·期中）若，则（    ） A．2 B．6 C．8 D．18 【答案】D 【分析】根据方差的性质求解. 【详解】. 48．（2026高二·天津滨海新区·期中）已知随机变量的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算和，再根据方差公式求解 【详解】由题可知，解得， 因为，所以， 所以， 得到，故. 49．（2026高二·山东德州·阶段检测）设离散型随机变量X服从参数为0.4的两点分布，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点分布的期望、方差公式求出的期望和方差，再根据期望与方差的线性性质计算的期望和方差，对比选项找出错误结果. 【详解】A：两点分布的期望，因此，A正确； B：两点分布的方差，因此，B正确； C：，C正确； D：，D错误. 50．（2026高二·广西崇左·期中）已知随机变量的均值，方差，则（    ） A． B． C．11.8 D．2 【答案】C 【详解】，； ，； . 51．（2026高二·全国·期末）已知随机变量的分布如下：若，则（    ） 0 1 2 A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列的性质与确定，的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意可得，，解得，因为，所以， 解得，所以，，所以，所以. 52．【多选】（2026高二·江苏宿迁·期中）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（    ） 0 1 0.6 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据期望和方差的公式及线性运算性质，求解即可. 【详解】由分布列的性质得，所以. 则离散型随机变量X的数学期望为，故A正确； 而，故C正确； 而方差为，故B错误； 可得，故D错误. 考点九 离散型随机变量的均值和方差最值问题 53．（2026·江苏·模拟预测）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若，则的最大值是_________；的取值范围是___________． 【答案】 ； ； 【分析】结合二项分布可计算随机变量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函数的性质可求其范围. 【详解】随机变量可能的取值为. . ， 故的分布列为： 2 3 故 因为，故，故. 而， 令，因为， 故，此时， 故答案为：，. 54．（2027高三·全国·专题练习）随机变量的分布列如表：则的取值范围是（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用概率和为求出参数的值，再根据概率非负得到的范围，然后写出期望，将方差表示为关于b的二次函数，结合的范围求出方差的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为解得， 所以， ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D. 55．（2026高二·重庆·期中）设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据期望公式求出，再将其代入方差公式得到关于的函数，最后通过求函数的最小值来确定的值. 【详解】根据期望公式可得： 根据方差公式 则对称轴， 所以当时，方差取得最小值 故选：B. 56．（2026高二·吉林长春·期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是______． X 0 1 2 P 【答案】1 【分析】根据所给的分布列，写出关于概率p的不等式组，解出p的范围，写出期望和方差的表示式，根据p的范围，求出最值. 【详解】，， ，， ， 当时，. 故答案为：1 57．（2026高二·安徽·竞赛）一离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.1 其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为__________． 【答案】0.1/ 【分析】由题意得再利用期望、方差的性质计算可得答案. 【详解】由题意得，， ， 当时有最大值，此时，解得． 故答案为：． 58．（2026高二·江苏南通·月考）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出随机变量的分布，再利用期望的定义及方差的期望表示列式，借助二次函数求出范围. 【详解】随机变量的所有可能值为2，3， ，， 当时，令， 则， ， 因此， 二次函数的开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以， 即的取值范围为. 59．（2026高二·浙江·期中）已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（   ） A．增大，增大 B．增大，减小 C．减小，增大 D．减小，减小 【答案】B 【详解】随机变量服从两点分布，其分布列为：， ， 当增大时，减小，因此增大， 两点分布的方差公式为，其中，故： ， 由对勾函数性质，当时，随增大而递增，因此分母增大，减小． 综上，增大，减小． 60．（2026高二·广东清远·月考）已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据概率的性质求出，再根据期望公式求出，然后根据方差公式得出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出方差的最小值. 【详解】由，可得， 所以随机变量的期望为， 则方差为， 所以当时，方差取得最小值，最小值为. 故选：A. 考点十 离散型随机变量均值与方差在实际问题中的应用 61．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为m，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金. (1)当时，求顾客可以获得奖金的概率； (2)当n取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列分别计算期望比较大小即可. 【详解】（1）当时， 记事件A为“顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球”，事件B为“顾客可以获得奖金”， 则 . （2）当时，记顾客获得的奖金为X元，则X的所有可能取值为0，30，40， 且，，， 则. 当时，记顾客获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为0，60，80， 且，，， 则. 因为，所以当时，顾客获得奖金金额的期望更大. 62．（2026·河北衡水·模拟预测）为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. (1)设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； (2)由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) 1 2 3 4 5 6 【详解】（1）已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为， 所以甲连胜两局的概率为，乙两局中胜一局的概率为， 所以， 前两局共得3分分为两种情况： 甲得2分，乙得1分，概率为； 甲得1分，乙得2分，概率为， 所以， 所以 （2）每局结束后，两位大师和AI的总得分可能情况为： 甲乙都输：0分，AI：2分，分差为2分； 甲乙一胜一负：1分，AI：1分，分差为0分； 甲乙都赢：2分，AI：0分，分差为2分； 所以单局结束后继续比赛的情况为，结束比赛的概率为， 所以的可能取值为1,2,3,4,5,6， ， ， 分布列为 1 2 3 4 5 6 . 63．（2026·西藏日喀则·模拟预测）李先生计划在五一后错峰旅游，从自然景观类中的泸沽湖、玉龙雪山、大理洱海、石林风景区4个景区和人文与民族风情类中的大理古城、丽江古城2个景区中，随机选取3个景区游玩． (1)求李先生选取的3个景区既有自然景观类，又有人文与民族风情类的概率； (2)设X表示选取人文与民族风情类景区的个数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【分析】（1）应用古典概型结合超几何分布概率计算求解； （2）应用超几何分布结合组合数计算概率及分布列，最后计算数学期望即可. 【详解】（1）李先生选取的3个景区既有自然景观类，又有人文与民族风情类的概率为． （2）X的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 则． 64．（2026·湖南湘潭·模拟预测）为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金． (1)当时，求顾客可以获得奖金的概率； (2)当取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，根据全概率公式求解；方法二，根据互斥事件的概率加法公式和独立事件乘法公式求解； （2）分别求出和时，顾客获得的奖金的期望，比较大小得解. 【详解】（1）方法一，当时，记事件为“顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球”，事件为“顾客可以获得奖金”， 则． 方法二，由题可知，当时，若顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球，且他获得奖金的概率， 若顾客所选的箱子中有1个白球和3个红球，且他获得奖金的概率， 则当时，顾客可以获得奖金的概率. （2）当时，记顾客获得的奖金为元，则的所有取值可能为， 且， 则. 当时，记顾客获得的奖金为元，则的所有取值可能为. 且， 则. 因为， 所以当时，顾客获得奖金金额的期望更大. 65．（2026高二·山东烟台·期中）已知甲盒中有2个白球和3个黑球；乙盒中有2个白球和2个黑球，所有小球除颜色外完全相同.定义一次“双向置换”操作：先从甲盒中随机取出1个球放入乙盒，搅拌均匀后，再从乙盒中随机取出1个球放入甲盒. (1)完成1次“双向置换”后，求甲盒中恰有2个白球的概率； (2)若已连续完成2次“双向置换”. （ⅰ）求此时乙盒中白球个数的分布列和数学期望； （ⅱ）已知此时乙盒中有白球，求乙盒中恰有2个白球的概率. 【答案】(1) (2) （i）分布列见解析，；（ii） 【分析】（1）根据甲盒中白球不变，分析出从甲拿出白（黑）球，再从乙拿回白（黑）球，进而求出概率. （2）（i）分析2次“双向置换”之后乙盒的白球个数，再求出相应的概率得到分布列，再求出数学期望. （ii）根据条件概率求解即可. 【详解】（1）甲盒白球数不变，分两种情况： ①从甲拿出白球，再从乙拿回白球：概率. ②从甲拿出黑球，再从乙拿回黑球：概率. 故所求概率. （2）（i）总白球数为，次操作后乙盒白球数的可能取值为， 其概率为，，. 设两次操作后乙盒中白球个数为，的可能取值为. ，， ，， . 分布列如下： 0 1 2 3 4 数学期望：. （ii）由条件概率公式. 66．（2026·山东淄博·模拟预测）下图是某校高一学生“运动与健康”评价得分的频率分布直方图，评分在区间，，，上，分别对应A，B，C，D四个等级.为了进一步加强学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变；对其余学生学校将进行一次复评.复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学生有的概率提升为B等级；原获D等级的学生有的概率提升为C等级，未提升等级的保持等级不变.假设用频率估计概率，且每名学生复评结果相互独立. (1)求该校高一学生“运动与健康”评价得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)从全体高一学生中任选1人，在已知该学生是复评提升等级的条件下，求该学生初评是B等级的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析，. (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图，以及平均数公式求解即可. （2）根据题意分析甲乙丙三人为级的概率，再求解分布列以及数学期望即可. （3）根据条件概率以及全概率公式求解即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图，各组组距为， 则平均值. （2）甲初评，不升级为的概率为； 乙、丙初评，升级为的概率均为，不升级的概率为. 的所有可能取值为. ，， ，. 分布列如下： 因此. （3）设事件：学生复评提升等级，事件分别为初评等级为，由条件概率公式. ，，，各等级提升概率，，. . 由全概率公式，因此. 考点十一 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 67．（2026高三·全国·专题练习）某蔬菜批发商分别在甲､乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲､乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲､乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量概率分布列； (2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【答案】(1)分布列见解析 (2)， (3)应选 【分析】（1）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可； （2）根据题意，结合已知数据和（1）中的分布列，求解即可； （3）根据题意，分别列出和的分布列，由数学期望的计算公式分别求出相应的期望值，比较即可得到答案． 【详解】（1）设甲市场需求量为的概率为，乙市场需求量为的概率为，则由题意得 ， ， 设两个市场总需求量为的概率为，则由题意得所有可能的取值为 且， 所以的分布列如下表： 16 17 18 19 20 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （2）由题意得，当时，， 当时，． 所以 设“销售利润不少于8900元”，则 当时，， 当时，，解得． 由（1）中的分布列可知，． （3）由（1）知，． 当时，的分布列为： 0.06 0.94 所以； 当时，的分布列为： 0.06 0.23 0.71 所以， 因为，所以应选． 68．（2026高三·重庆沙坪坝·开学考试）某气象观测站计划购买两套新型气象监测设备． 每套设备有一关键传感器， 在五年使用期内可能需更换 (设备使用五年后淘汰)． 购进设备时，可额外购买该传感器作为备件， 每个成本为 300 元． 在使用期间， 若备件不足需紧急采购， 则每个 800 元． 五年后未使用的备件可由厂家回购， 每个回购价为 100 元． 现需决策购买设备时应同时购买几个备件， 为此搜集并整理了100套同型号设备在五年使用期内的传感器更换数据， 得到如下频数分布表： 每套设备更换数 频数 8 20 9 30 10 50 以频率估计概率．记随机变量为两套设备五年内共需更换的传感器的个数，为购买设备时同时购买的备件数． (1)求的概率分布列； (2)若要求 ，求的最小值； (3)记净成本为，以净成本期望值为决策依据，求净成本期望值最低时的备件数． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3) 【分析】（1）先确定的取值，依据表中数据可求取各值时的概率，故可求分布列； （2）根据（1）中的分布列可求的最小值； （3）依次求出取各值时，比较后可得净成本期望值最低时的备件数. 【详解】（1）可取，由题设中的数据可得： ，， ， ，， 故的分布列为： （2）因为，而， 故的最小值为. （3）若，则， 若，则， 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 若，则可取值， 故的分布列如下： 此时. 综上，净成本期望值最低时的备件数. 69．（2026高二·安徽·月考）某单位春节期间，为烘托节日气氛，让员工既能感受到单位对员工的关爱，又能增加单位凝聚力，增强员工之间的感情，特拿出一部分资金，通过举行趣味乒乓球赛的方式给员工发福利.因为是趣味性的比赛，所以在比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率都受到现场气氛及前一局结果的影响.现甲、乙两位选手上场，根据以前的比赛情况，第一局甲胜的概率为；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是．每场比赛设奖金600元，奖金两人分完.因为是趣味比赛，比赛规则也别具一格，比赛采用五局三胜制，先赢三局者获胜，结束比赛，拿走全部奖金；若比赛三局后，没有决出胜负，也可由胜两局者提出，结束比赛.每局比赛没有平局. (1)求在第3局后即决出胜负的概率； (2)现甲、乙已经打了3局，其中甲胜了2局，若甲见好就收，停止比赛，则甲拿走奖金的；如果再继续比赛一局，第4局甲失败，若结束比赛，奖金平分.请你帮助甲，从获得更多的奖金的角度，对接下来的比赛如何进行决策. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率； （2）根据已知分别求出3局即停止比赛、进行第4局比赛，不管结果，结束比赛、若甲在第4局比赛失败，进行决胜局比赛对应的期望，比较大小得结论. 【详解】（1）第3局后即决出胜负，即甲连胜三场或乙连胜三场， 所以第3局后即决出胜负的概率为. （2）甲的决策有三种方案， 方案一：3局即停止比赛，甲拿到奖金的期望为（元）； 方案二：进行第4局比赛，不管结果，结束比赛，设甲拿到奖金的期望为， 设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为， 前3局的情况有： 胜胜负，概率； 胜负胜，概率； 负胜胜，概率． 再继续比赛，第4局甲获胜的概率为 ， 则第4局甲失败的概率为， 所以甲拿到奖金的期望（元）； 方案三：若甲在第4局比赛失败，进行决胜局比赛，设甲拿到奖金的期望为， 由方案二知，第4局甲失败的概率， 所以甲拿到奖金的期望（元）. 因为，所以选择方案二即四场比赛后即停止比赛，拿到奖金的期望更高. 70．（2026高二·广东佛山·月考）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购买机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用300元，另外，实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次60元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修费用720元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，根据大数据统计显示，每台机器在三年使用期内的维修次数可能是4次，5次或6次，其概率分别是，，．记X表示2台机器在三年使用期内的维修次数，n表示购买2台机器时，一次性购买的维修服务次数． (1)求X的分布列； (2)以机器维修所需费用的期望值为决策依据，在和之中选取其一，应选用哪个？ 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）先写出X可能取值，计算每个的概率，注意有顺序. （2）法一：当时，根据第一问写出对应的费用，注意时，9个维修服务费用，只有8次小费，算出期望，同理算出时的期望，两数比较大小；法二：直接计算和的期望值，再比较大小. 【详解】（1）X的取值为8，9，10，11，12．     ．     ． ． ． ． 所以X的分布列为 X 8 9 10 11 12 P （2）法1：当时，设为机器维修所需费用，则的分布列为 3180 3240 3960 4680 5400 P 于是． 当时，设为机器维修所需费用，则的分布列为 3480 3540 3600 4320 5040 P 于是， 因为3645<3670，所以应选用． 法2：当时，机器维修所需费用的期望值为， 当时，机器维修所需费用的期望值为． 因为，所以应选用． 71．（2026高二·全国·单元测试）某学生在解答数学考试题中有两种方案：方案一，按题号顺序解答；方案二，先做解答题，后做选择题、填空题，且分别按题号顺序依次解答.根据以往经验，若能顺利地解答某题，就增强了解答题目的信心，提高后面答题正确率的；若解答受挫，就增加了心理负担，降低了后面答题正确率的.为了科学地决策，他采用了一个特例模型：在某次考试中有6道题，他答对每道题的概率分布和题目的分值如下表： 题号 1 2 3 4 5 6 概率 0.95 0.9 0.85 0.8 0.5 0.2 分值 5 5 5 5 12 14 (1)在方案一中，求他答对第2题的概率； (2)在方案一中，求他答对第3题的概率； (3)请你帮助他作出科学的决策. 【答案】(1)0.972 (2) (3)他应该采用方案一答题，才是科学的. 【分析】（1）分第1题答对和第1题受挫两种情况利用独立事件的概率公式分别求出概率，然后利用互斥事件的概率公式可求得结果； （2）分第2题答对和第2题受挫两种情况利用独立事件的概率公式分别求出概率，然后利用互斥事件的概率公式可求得结果； （3）分别求出按方案一和方案二所答对每个题的概率，然后分别列分布列，求出期望比较即可. 【详解】（1）若第1题答对，则他答对第2题的概率为． 若第1题受挫，则他答对第2题的概率为. 他答对第2题的概率为． （2）若第2题答对，则他答对第3题的概率为. 若第2题受挫，则他答对第3题的概率为． 他答对第3题的概率为． （3）在方案一中，他答对第4题的概率为， 他答对第5题的概率为， 他答对第6题的概率为， 则他在方案一中答对各题概率分布如下： 题号 1 2 3 4 5 6 概率 0.95 0.972 0.92548 0.856154 0.521231 0.181698 他得分的数学期望是 . 在方案二中，他答对第6题的概率为， 他答对第1题的概率为， 他答对第2题的概率为， 他答对第3题的概率为， 他答对第4题的概率为， 则他在方案二中答对各题的概率分布如下： 题号 5 6 1 2 3 4 概率 0.5 0.18 0.7334 0.894024 0.898968 0.84767 他得分的数学期望是 ． 因为 所以他应该采用方案一答题，才是科学的. 72．（2026·江西·模拟预测）某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加.某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定个问题，假设李明能且只能对其中个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为.由李明和王华各自从中随机抽取个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立. (1)求李明和王华回答问题正确的个数均为的概率； (2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为和，求的期望､和方差､，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好. 【答案】(1) (2)，，，，派李明代表该班参加竞赛更好 【分析】（1）根据超几何分布和二项分布概率公式分别计算李明和王华回答问题正确的个数为的概率，由独立事件概率乘法公式可求得结果； （2）根据超几何分布概率公式可得每个取值对应的概率，由此可计算得到；根据二项分布期望和方差计算公式可求得，根据，可得结论. 【详解】（1）李明回答问题正确的个数为的概率； 王华回答问题正确的个数为的概率； 李明和王华回答问题正确的个数均为的概率. （2）由题意知：李明回答问题正确个数所有可能的取值为， ，， ，； 王华回答问题正确的个数， ，； ，，派李明代表该班参加竞赛更好. 考点十二 两点分布的均值和方差 73．（2026高二·山西·期中）在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（    ） A．0.8 B．0.64 C．0.2 D．0.16 【答案】A 【分析】首先求的取值，再求其概率，最后代入期望公式. 【详解】由条件可知，，，， 所以. 74．（2026高二·陕西渭南·期末）已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 【答案】C 【分析】根据两点分布的期望公式即可求解. 【详解】因为随机变量服从参数为的两点分布， 所以， 又，所以. 故选：C. 75．（2026高二·广东惠州·阶段检测）若离散型随机变量X服从分布，且，则_________． 【答案】/ 【分析】根据两点分布可得，再结合已知可得，进而可求. 【详解】∵随机变量X服从分布，且， ∴， ∴， 所以 故答案为： 76．（2026高二·重庆·期中）若随机变量服从两点分布，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则. 77．（2026高二·江苏连云港·期中）已知随机变量服从分布，则，则______. 【答案】 【分析】使用分布的方差公式求解. 【详解】. 78．【多选】（2026高二·江苏无锡·期中）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由两点分布的期望、方差计算公式和期望、方差的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：由概率和为，则​，A正确； 选项B：， 根据期望性质，得，B错误； 选项C：根据方差公式，得​，C正确； 选项D：根据方差性质，得，D正确. 考点十三 期望的线性可加性的应用 79．（2026高二·吉林·期中）整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行编码，记编码为0的数字个数为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】每次编码可看成一次独立的随机试验，定义随机变量：当第个数字编码为0时，，否则， 则，， 所以. 80．（2026高三·山东菏泽·月考）投掷一枚均匀的骰子（六面分别标有点）．规则如下：若某人投出点，则本轮得分；若投出其他点数，则本轮得分为该点数．投掷一次为一轮，共进行三轮．记此人的总得分为随机变量，则_____． 【答案】 【分析】假设某人在第轮投掷的得分为随机变量，先求出某人第一轮投掷的得分期望，分析可知、、相互独立，且，再利用期望的可加性可求得结果. 【详解】假设某人在第轮投掷的得分为随机变量， 先求某人第一轮投掷的得分期望， 投掷一枚均匀骰子，结果为点的概率为，得分； 结果为、、、、点的概率均为，分别得对应分数． 由离散型随机变量的期望公式得， 共进行三轮，此人总得分， 且、、相互独立，且， 由期望的可加性可得. 81．（2026高二·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 【答案】 / / 【分析】①把四种情况对应概率相加即可 ②（方法一）用表示红色，黄色，蓝色，绿色小球被取到，分别求出各自对应概率及数学期望，最后相加即可 （方法二）分别列出的所有可能取值，分别计算出，，，再计算期望即可. 【详解】①：. ②：（方法一） 设，则服从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，， 设，则也从两点分布，，， ， （方法二）， ， ， . 故答案为： ； 82．（2026·湖南怀化·模拟预测）如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 【答案】 【分析】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，，可得，结合两点分布可得，即可得结果. 【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，， 则，可得， 在电路系统正常工作的条件下，可知系统均正常工作，对应概率为， 则，可得，， 则，所以. 83．（2026·江苏·模拟预测）甲､乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片.记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲､乙两人得分之和的数学期望__________. 【答案】 【分析】①根据的可能取值分类讨论即可，②先考虑单局游戏得分之和的数学期望，再根据每局游戏是相互独立的，从而计算结果. 【详解】①甲先从张卡片中随机抽取张，有种组合，乙从剩下的张中随机抽取张，有种组合， 因此一局游戏中甲乙抽卡的所有可能结果总数为种， 甲抽取张卡片中较大编号为，乙抽取张卡片编号为，“默契局”的条件是， 由题意可知，的可能取值是， 当时，甲抽到的卡片只能是，此时需满足，则乙只能抽到，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或，此时需满足，则乙可以抽到或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或，此时需满足，则乙可以抽到或或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或，此时需满足，则乙可以抽到或或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或或，此时需满足，则乙可以抽到或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或或或，此时需满足，则乙只能抽到，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或或或或，此时需满足，没有满足条件的，情况数为种； 因此，“默契局”的总情况数为种，一局游戏成为“默契局”的概率为. ②设单局游戏中甲乙得分之和为，则 如果是“默契局”：乙得分，甲得分，此时，概率为； 如果不是“默契局”：乙得分，甲得分，此时，概率为； 则单局得分之和的期望为， 由于三局游戏是相互独立的，总得分之和是三局得分之和的累加，根据数学期望的线性性质，有. 84．（2026·山东济南·模拟预测）甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 【答案】 【分析】设为第i门课是否被选中，利用独立事件乘法公式求解，再利用数学期望的线性性质求出. 【详解】将门选修课编号为， 设为第i门课是否被选中，， 则， 又， 则． 85．（2026·山东德州·模拟预测）某挑战赛设置了个连续关卡，分别记为第1关卡，第2关卡，⋯，第关卡，每个参赛团队的选手人数均为，每2名选手组成一个双人挑战组，共个双人挑战组，每个关卡均由其中1个双人挑战组进行挑战，各关卡参赛选手均不相同，关卡挑战从第1关卡开始依次挑战，每个关卡至少有1名选手挑战成功（即该关卡挑战成功），才能进入下一个关卡的挑战.若某参赛团队这个连续关卡均挑战成功，则该参赛团队的挑战赛通关.已知参赛团队的每名选手挑战成功的概率均为，且各选手的挑战结果相互独立，若在挑战赛通关的情况下，记内挑战不成功的选手总人数为，则__________. 【答案】8 【分析】求出双人挑战组关卡挑战成功的概率，再结合条件概率公式求出每个关卡挑战不成功人数的期望，进而列式求解. 【详解】依题意，当参赛团队挑战赛通关时，每个关卡至少有1名选手挑战成功， 在挑战赛通关的情况下，设第个双人挑战组的挑战不成功的选手人数为， 的可能值为，挑战不成功的选手总人数，于是， 双人挑战组关卡挑战成功的概率，则， ，， 所以. 86．（2026·河南周口·模拟预测）小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件，三人中恰有两人答对题目记为事件，利用相互独立事件的概率乘法公式即可得， （2）利用数学期望的性质，结合两点分布的期望公式即可得解. 【详解】（1）小张、小陈、小王答对题目分别记为事件， 小张、小陈、小王三人中恰有两人答对题目记为事件， ， 故在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率为， （2）设表示第位同学的得分，分别对应小林，小张，小陈，小王）， 则， 由数学期望的性质可知， 对于，答对得2分，答错得0分，服从两点分布， ； ； 则. 考点十四 期望递推 87．（2026高三·山东潍坊·月考）某同学每次投篮命中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为___________． 【答案】/ 【分析】设投篮总次数的数学期望为，分析第一次和第二次投篮结果，及对应的投篮总次数，得到关于的方程，求解可得. 【详解】设投篮总次数的数学期望为， 若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况发生的概率为0.4，投篮总次数的数学期望为； 若第一次投中，且第二次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况发生的概率为，投篮总次数的数学期望为； 若第一次投中，第二次投中，则停止投篮， 此情况发生的概率为，投篮总次数为2. 故投篮总次数的数学期望为， 整理得，， 解得. 即投篮总次数的数学期望为. 88．（2026·湖南·模拟预测）某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为___________． 【答案】/ 【分析】设投篮总次数的数学期望为，根据题意列出关于数学期望的方程求解即可. 【详解】设投篮总次数的数学期望为， 若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况下发生的概率为0.2，投篮总次数为， 若第一次投中，且第二次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为， 此情况发生的概率为，投篮总次数为， 若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率为，投篮总次数为2， 则投篮总次数的数学期望为， 解得 故答案为： 89．【多选】（2026·云南昆明·模拟预测）“暮春时节，兰亭雅集再现，文人雅士围坐庭中，以投壶为乐”，某同学进行投壶游戏，每次投壶的命中率为，且投壶结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投壶，游戏结束，则下列选项中正确的是（    ） A．当时，投壶2次游戏结束的概率为 B．当时，投壶3次游戏结束的概率大于投壶4次游戏结束的概率 C．当时，游戏结束时投壶总次数的数学期望为 D．设游戏结束时投壶总次数的数学期望为，则 【答案】ACD 【分析】选项A，直接利用独立事件概率乘法公式，计算两次投壶均命中的概率，验证投壶2次游戏结束的概率.选项B，分别分析投壶3次、4次游戏结束的条件，利用独立事件概率公式计算对应概率，再比较两者大小.选项C，采用递推法，分第一次投壶命中/未命中、第二次投壶命中/未命中的情况，建立关于数学期望的方程，求解得到期望.选项D，考虑首次达到连续次命中后的下一次投壶结果（命中/未命中），建立与的递推方程，整理验证是否成立. 【详解】对于A，投壶2次均命中即游戏结束，概率为，A正确； 对于B，投壶3次游戏结束的事件为“第2，3次命中，第1次不中”，概率为， 投壶4次结束的事件为“第3，4次必须命中， 且第2次必须不中（否则游戏在第3次或第2次就已结束），第1次投壶结果不影响”， 概率为，两者概率相等，B错误； 对于C，当时，即出现连续2次命中，那么停止投壶，游戏结束， 设投壶的总次数的数学期望为，考虑第一次投壶的结果： ①第一次命中， 若第一次命中，第二次也命中（概率为），则投壶总次数为2； 若第一次命中，第二次未命中（概率为），则游戏重置，投壶的总次数可看作； ②第一次未命中（概率为），则游戏重置，投壶的总次数可看作； 则，解得，C正确； 对于D，由题意，设为出现连续次命中，则停止投壶，游戏结束时投壶总次数的数学期望， 在连续次命中，停止投壶的游戏中，考虑首次达到出现连续命中次的时刻， 此时当前投壶的总次数期望为，即出现连续次都投壶命中，那么现在从此状态开始， 游戏还需要进行直至停止（即连续次命中），则考虑下一次投壶的结果： ①若下一次投壶命中（概率为），则出现连续次命中，停止投壶，游戏结束， 即投壶的总次数可看作次； ②若下一次投壶不中（概率为），则游戏重置，还需再进行次投壶， 游戏才能结束，即投壶的总次数可看作次； 综上，故，整理得，，D正确. 90．（2026高三·湖北·期末）为提高学生的身体素质，某学校每天免费给学生提供水果和牛奶两种营养餐，且每人每天只能选择其中一种.经过统计分析发现：学生第一天选择水果和牛奶的概率均为.若前一天选择水果则第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；若前一天选择牛奶则第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复. (1)求某同学第天选择水果的概率； (2)若某同学累计次选择水果时共花了天，求； (3)若某同学累计次选择牛奶时共花了天，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过分析前一天的选择对当天概率的影响，利用全概率公式建立关于的线性递推关系，再通过构造等比数列的方法求解通项公式； （2）利用几何分布求出首次选水果所需天数的期望，再基于状态转移建立累计次数与总天数的递推期望关系，最终推导出期望的线性表达式； （3）引入辅助随机变量处理非对称转移概率，先求首次选牛奶在特定条件下的期望，再通过类似的状态转移递推得到累计次数与天数的期望关系. 【详解】（1）由题意得，且. 所以. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，所以. （2）若第一天选择水果，目标达成，概率为； 若第一天选中牛奶，目标未达成，第二天选中水果的概率为， 与第一天选中水果的概率相同，而目标还是选中水果，根据题设，因此还需要天， 所以的分布列为 1 所以，解得. 首先达累计天选水果时，由题设，花了天. 接着再选一天，如果选中水果，则目标达成，概率为； 如果选中牛奶，则目标未达成，由于选中牛奶时，下一天选中水果的概率为， 与第一天选中水果的概率相同，而还需要累计1天选中水果达标， 故还需要天，所以达成目标一共需要天. 所以的分布列为 所以. 所以. （3）设第一天选牛奶的概率为时，首次选中牛奶时共选了天. 同求，可求得的分布列为 1 所以，解得. 第一天如果选中牛奶，目标达成，概率为； 第一天如果选中水果，目标未达成，第二天选中牛奶的概率为，故还需要天，合计天. 所以. 首先达累计天选中牛奶时，由题设，花了天. 接着再选一天，如果选中牛奶，则目标达成，概率为； 如果选中水果，则目标未达成，由于选中水果时，下一天选中牛奶的概率为， 故还需要天，所以达成目标一共需要天. 所以的分布列为 所以. 所以. $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 拓展4 离散型随机变量的分布列与数字特征14种常见考法归类（90题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求离散型随机变量的分布列 考点二 离散型随机变量分布列的性质及其应用 考点三 求离散型随机变量的均值 考点四 由离散型随机变量的均值求参数 考点五 求离散型随机变量的方差 考点六 方差期望表示 考点七 由离散型随机变量的方差求参数 考点八 两个相关离散型随机变量 （一）两个相关离散型随机变量的分布列 （二）两个相关离散型随机变量的均值 （三）两个相关离散型随机变量的方差 考点九 离散型随机变量的均值和方差最值问题 考点十 离散型随机变量均值与方差在实际问题中的应用 考点十一 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 考点十二 两点分布的均值和方差 考点十三 期望的线性可加性的应用 考点十四 期望递推 1、求离散型随机变量的分布列关键有三点 (1)随机变量的取值． (2)每一个取值所对应的概率． (3)用所有概率之和是否为1来检验． 2、写离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找：理解并确定的意义，找出随机变量X的所有可能的取值() (2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率()注意应用计数原理、古典概型等知识 (3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质. 注意：写出分布列时要注意将化为最简分式形式，但是在利用检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果. 3、分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 4、求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． (2)求出X取每个值的概率P(X＝k)． (3)写出X的分布列． (4)利用均值的定义求E(X)． 5、求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可． 6、求离散型随机变量方差的步骤 ①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值； ②求出X取每个值的概率； ③写出X的分布列； ④计算E(X)； ⑤计算D(X)． 7、离散型随机变量方差的性质 (1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)D(c)＝0(其中c为常数)． 注：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)； (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2； (5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)； 考点一 求离散型随机变量的分布列 1．（2026高二·北京延庆·期中）学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设选出的女教师人数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)求． 2．（2026高二·全国·课后作业）一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票， 其中奖金为 500 元的一等奖彩票有 2 张， 奖金为 300 元的二等奖彩票有 3 张，奖金为 100 元的三等奖彩票有 7 张，从中随机抽出 3 张彩票. (1)求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率； (2)记 表示抽出 3 张彩票中一等奖彩票的张数，求 的分布列. 3．（2026高二·山西朔州·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格.甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会. (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列. 4．（2026高二·全国·专题练习）某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列. 5．（2026高二·河南·期中）4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 6．（2026高二·宁夏银川·阶段检测）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 7．（2026高二·河南·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 8．（2026高二·新疆·期中）暑假来临，有大学生四人各自通过互联网订购回家的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若获得火车票的概率分别是,其中 ，又成等比数列，且两人恰好有一人获得火车票的概率是 (1)求的值； (2)若是同乡，两人约定只有两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家，设表示能够回家过暑假的人数，求的分布列. 考点二 离散型随机变量分布列的性质及其应用 9．（2026高二·吉林长春·期中）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 A．4 B．3 C．2 D．1 10．【多选】（2026高二·广东深圳·期中）已知随机变量的分布列如表，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·山东青岛·期中）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026高二·辽宁沈阳·期中）离散型随机变量X的分布列如下，则（    ） X －1 0 1 2 P m 2m 0.3 0.1 A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 13．【多选】（河北保定市2025-2026学年高二学期5月期中考试数学试题）设离散型随机变量的分布列如下表所示，其中，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 14．（2026·广东惠州·模拟预测）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 考点三 求离散型随机变量的均值 15．（2026高二·云南玉溪·期中）笼子里有6只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，重复3次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为，则数学期望_________. 16．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知盒子中共有10个大小相同的球，有红、黄、白三种颜色，且红球、黄球、白球的个数分别为2，3，5，每次随机取出一个球不放回，记随机变量X为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为_______. 17．（2026·浙江台州·模拟预测）已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. 18．（2026高二·山东济宁·期中）已知袋中有1个红球，2个白球，每次从中随机取一个球，若取出红球，则放回袋中并再放入一个白球；若取出白球，则不放回.记第次取球后，袋中白球个数为，则的数学期望__________. 19．（2026高二·广东珠海·期中）把四个球（标号为1～4号），随机放入编号为1～4号的四个盒子中.若球的编号与盒子的编号相同即为一个配对，记为总的配对个数，则______. 20．（2026·陕西榆林·模拟预测）随着人们健康意识的提高，全民健身热潮席卷而来.从城市到乡村，从清晨到傍晚，总能看到人们运动的身影.某社区从参加晨跑的25岁到50岁的人群中，随机抽查100人，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：. (1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这100人中年龄不低于40岁的人数； (2)经过一段时间的晨跑，这100人中每个人的身体状况都有所改变.其中跑步后身体状况得到明显改善的人，年龄在区间的人数为4，年龄在区间内的人数为12，现从身体状况得到明显改善的这16人中选择3人，记这3人中年龄不低于40岁的人数为，求的分布列和数学期望. 21．（2026·山西朔州·模拟预测）某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 22．（2026·江苏镇江·模拟预测）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 考点四 由离散型随机变量的均值求参数 23．（2026·福建厦门·模拟预测）随机变量X的分布列为，.若，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026高二·江苏无锡·期中）已知随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 a P 0.2 0.2 b 0.3 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 25．（2026高二·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 26．（2026高二·全国·寒假作业）设随机变量的分布列如表所示，且，则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 27．（2026高二·江苏徐州·期中）已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 28．（2026高二·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点五 求离散型随机变量的方差 29．（2026高二·河北邢台·期中）若随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 0.4 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差（    ） A．1 B．1.4 C．2 D．2.4 30．（2026高三·湖北咸宁·专题练习）随机变量X的分布列如表所示，若，则等于（   ） X 0 1 P a b A．1 B． C． D． 31．（2026·福建泉州·模拟预测）为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 32．（2026高二·福建厦门·月考）已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 33．（2026高二·广东东莞·期中）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 34．（2026·北京顺义·模拟预测）在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. (1)求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (2)记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； (3)设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 35．（2026·北京房山·模拟预测）4月23日是世界读书日．某市调研小学生阅读状况，得到男生、女生最喜爱的一种阅读内容的频率分布如下图： 假设不同学生的选择相互独立．用频率估计概率． (1)从该市小学生中随机抽取名男生，估计他最喜爱的阅读内容为科学类（包括自然科学和社会科学）的概率； (2)从该市小学生中随机抽取名男生和名女生，记这人中最喜爱的阅读内容为漫画的人数为，求的分布列和数学期望； (3)从该市小学生中随机抽取名男生，用“”表示他最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示他最喜爱的阅读内容不是科学类；从该市小学生中随机抽取名女生，用“”表示她最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示她最喜爱的阅读内容不是科学类．判断方差与的大小．（结论不要求证明） 考点六 方差期望表示 36．（2026高二·广西桂林·期末）一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则__________． 37．（2026高三·浙江·期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则_______，_______． 38．（2026高二·上海浦东新·期中）一个袋子中有大小、质地都相同仅颜色不同的8个小球，其中5个是红球，3个是黄球．规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分．现随机从袋中摸出3个球，记这三个球的得分之和为随机变量．求： (1)的所有可能的取值（直接列出，不需要说明理由）； (2)的分布； (3)的期望和方差（结果保留三位小数）． 39．（2026高二·辽宁沈阳·开学考试）DeepSeek是我国自主研发的人工智能模型．某公司为提升其应用能力，组织两个部门全体员工共60人参加培训． (1)此次培训的员工中有5名部门领导，其中有3人来自A部门．从这5名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若每位员工是否合格相互独立，且经过培训后合格的概率均为，经预测，培训合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，培训未合格的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，若该公司A，B两部门经培训后创造的年利润为万元，且，求． 考点七 由离散型随机变量的方差求参数 40．【多选】（2026高二·辽宁朝阳·期中）已知随机变量的概率分布表如下： 其中，，都是正数，若随机变量的数学期望，方差，则正确的是（    ） A． B． C． D． 考点八 两个相关离散型随机变量 （1） 两个相关离散型随机变量的分布列 41．（2026高二·全国·课堂例题）已知离散型随机变量X的分布列． (1)求常数的值； (2)求； (3)求随机变量的分布列． 42．（2026高一·全国·专题练习）有一个数字生成器，它可以等可能地生成这四个数字．定义随机变量X为生成的数字，再定义两个新的随机变量，． (1)求随机变量X的概率分布列． (2)求Y的概率分布列． (3)求Z的概率分布列． (4)求和． （2） 两个相关离散型随机变量的均值 43．（2026高二·江苏泰州·期中）若随机变量X的期望，则（    ） A． B． C．6 D．7 44．（2026高二·安徽六安·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 则（   ） A． B．1 C．2 D．3 45．（2026·云南昭通·模拟预测）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 46．（2026高二·浙江台州·期中）已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 (1)求的值； (2)求； (3)求. （三）两个相关离散型随机变量的方差 47．（2026高二·广东深圳·期中）若，则（    ） A．2 B．6 C．8 D．18 48．（2026高二·天津滨海新区·期中）已知随机变量的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 49．（2026高二·山东德州·阶段检测）设离散型随机变量X服从参数为0.4的两点分布，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（    ） A． B． C． D． 50．（2026高二·广西崇左·期中）已知随机变量的均值，方差，则（    ） A． B． C．11.8 D．2 51．（2026高二·全国·期末）已知随机变量的分布如下：若，则（    ） 0 1 2 A． B．7 C．21 D．22 52．【多选】（2026高二·江苏宿迁·期中）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（    ） 0 1 0.6 A． B． C． D． 考点九 离散型随机变量的均值和方差最值问题 53．（2026·江苏·模拟预测）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若，则的最大值是_________；的取值范围是___________． 54．（2027高三·全国·专题练习）随机变量的分布列如表：则的取值范围是（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 55．（2026高二·重庆·期中）设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 56．（2026高二·吉林长春·期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是______． X 0 1 2 P 57．（2026高二·安徽·竞赛）一离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.1 其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为__________． 58．（2026高二·江苏南通·月考）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 59．（2026高二·浙江·期中）已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（   ） A．增大，增大 B．增大，减小 C．减小，增大 D．减小，减小 60．（2026高二·广东清远·月考）已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点十 离散型随机变量均值与方差在实际问题中的应用 61．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为m，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金. (1)当时，求顾客可以获得奖金的概率； (2)当n取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 62．（2026·河北衡水·模拟预测）为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. (1)设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； (2)由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 63．（2026·西藏日喀则·模拟预测）李先生计划在五一后错峰旅游，从自然景观类中的泸沽湖、玉龙雪山、大理洱海、石林风景区4个景区和人文与民族风情类中的大理古城、丽江古城2个景区中，随机选取3个景区游玩． (1)求李先生选取的3个景区既有自然景观类，又有人文与民族风情类的概率； (2)设X表示选取人文与民族风情类景区的个数，求X的分布列与数学期望． 64．（2026·湖南湘潭·模拟预测）为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金． (1)当时，求顾客可以获得奖金的概率； (2)当取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 65．（2026高二·山东烟台·期中）已知甲盒中有2个白球和3个黑球；乙盒中有2个白球和2个黑球，所有小球除颜色外完全相同.定义一次“双向置换”操作：先从甲盒中随机取出1个球放入乙盒，搅拌均匀后，再从乙盒中随机取出1个球放入甲盒. (1)完成1次“双向置换”后，求甲盒中恰有2个白球的概率； (2)若已连续完成2次“双向置换”. （ⅰ）求此时乙盒中白球个数的分布列和数学期望； （ⅱ）已知此时乙盒中有白球，求乙盒中恰有2个白球的概率. 66．（2026·山东淄博·模拟预测）下图是某校高一学生“运动与健康”评价得分的频率分布直方图，评分在区间，，，上，分别对应A，B，C，D四个等级.为了进一步加强学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变；对其余学生学校将进行一次复评.复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学生有的概率提升为B等级；原获D等级的学生有的概率提升为C等级，未提升等级的保持等级不变.假设用频率估计概率，且每名学生复评结果相互独立. (1)求该校高一学生“运动与健康”评价得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)从全体高一学生中任选1人，在已知该学生是复评提升等级的条件下，求该学生初评是B等级的概率. 考点十一 离散型随机变量均值与方差在决策中的应用 67．（2026高三·全国·专题练习）某蔬菜批发商分别在甲､乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，末售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲､乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下： 以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲､乙两个市场同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，（单位：元）表示下个销售周期两个市场的销售总利润． (1)求变量概率分布列； (2)当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率； (3)以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 68．（2026高三·重庆沙坪坝·开学考试）某气象观测站计划购买两套新型气象监测设备． 每套设备有一关键传感器， 在五年使用期内可能需更换 (设备使用五年后淘汰)． 购进设备时，可额外购买该传感器作为备件， 每个成本为 300 元． 在使用期间， 若备件不足需紧急采购， 则每个 800 元． 五年后未使用的备件可由厂家回购， 每个回购价为 100 元． 现需决策购买设备时应同时购买几个备件， 为此搜集并整理了100套同型号设备在五年使用期内的传感器更换数据， 得到如下频数分布表： 每套设备更换数 频数 8 20 9 30 10 50 以频率估计概率．记随机变量为两套设备五年内共需更换的传感器的个数，为购买设备时同时购买的备件数． (1)求的概率分布列； (2)若要求 ，求的最小值； (3)记净成本为，以净成本期望值为决策依据，求净成本期望值最低时的备件数． 69．（2026高二·安徽·月考）某单位春节期间，为烘托节日气氛，让员工既能感受到单位对员工的关爱，又能增加单位凝聚力，增强员工之间的感情，特拿出一部分资金，通过举行趣味乒乓球赛的方式给员工发福利.因为是趣味性的比赛，所以在比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率都受到现场气氛及前一局结果的影响.现甲、乙两位选手上场，根据以前的比赛情况，第一局甲胜的概率为；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是．每场比赛设奖金600元，奖金两人分完.因为是趣味比赛，比赛规则也别具一格，比赛采用五局三胜制，先赢三局者获胜，结束比赛，拿走全部奖金；若比赛三局后，没有决出胜负，也可由胜两局者提出，结束比赛.每局比赛没有平局. (1)求在第3局后即决出胜负的概率； (2)现甲、乙已经打了3局，其中甲胜了2局，若甲见好就收，停止比赛，则甲拿走奖金的；如果再继续比赛一局，第4局甲失败，若结束比赛，奖金平分.请你帮助甲，从获得更多的奖金的角度，对接下来的比赛如何进行决策. 70．（2026高二·广东佛山·月考）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购买机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用300元，另外，实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次60元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修费用720元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，根据大数据统计显示，每台机器在三年使用期内的维修次数可能是4次，5次或6次，其概率分别是，，．记X表示2台机器在三年使用期内的维修次数，n表示购买2台机器时，一次性购买的维修服务次数． (1)求X的分布列； (2)以机器维修所需费用的期望值为决策依据，在和之中选取其一，应选用哪个？ 71．（2026高二·全国·单元测试）某学生在解答数学考试题中有两种方案：方案一，按题号顺序解答；方案二，先做解答题，后做选择题、填空题，且分别按题号顺序依次解答.根据以往经验，若能顺利地解答某题，就增强了解答题目的信心，提高后面答题正确率的；若解答受挫，就增加了心理负担，降低了后面答题正确率的.为了科学地决策，他采用了一个特例模型：在某次考试中有6道题，他答对每道题的概率分布和题目的分值如下表： 题号 1 2 3 4 5 6 概率 0.95 0.9 0.85 0.8 0.5 0.2 分值 5 5 5 5 12 14 (1)在方案一中，求他答对第2题的概率； (2)在方案一中，求他答对第3题的概率； (3)请你帮助他作出科学的决策. 72．（2026·江西·模拟预测）某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加.某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定个问题，假设李明能且只能对其中个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为.由李明和王华各自从中随机抽取个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立. (1)求李明和王华回答问题正确的个数均为的概率； (2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为和，求的期望､和方差､，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好. 考点十二 两点分布的均值和方差 73．（2026高二·山西·期中）在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（    ） A．0.8 B．0.64 C．0.2 D．0.16 74．（2026高二·陕西渭南·期末）已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 75．（2026高二·广东惠州·阶段检测）若离散型随机变量X服从分布，且，则_________． 76．（2026高二·重庆·期中）若随机变量服从两点分布，其中，则（   ） A． B． C． D． 77．（2026高二·江苏连云港·期中）已知随机变量服从分布，则，则______. 78．【多选】（2026高二·江苏无锡·期中）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（    ） A． B． C． D． 考点十三 期望的线性可加性的应用 79．（2026高二·吉林·期中）整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行编码，记编码为0的数字个数为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 80．（2026高三·山东菏泽·月考）投掷一枚均匀的骰子（六面分别标有点）．规则如下：若某人投出点，则本轮得分；若投出其他点数，则本轮得分为该点数．投掷一次为一轮，共进行三轮．记此人的总得分为随机变量，则_____． 81．（2026高二·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则________，数学期望________. 82．（2026·湖南怀化·模拟预测）如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 83．（2026·江苏·模拟预测）甲､乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片.记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲､乙两人得分之和的数学期望__________. 84．（2026·山东济南·模拟预测）甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 85．（2026·山东德州·模拟预测）某挑战赛设置了个连续关卡，分别记为第1关卡，第2关卡，⋯，第关卡，每个参赛团队的选手人数均为，每2名选手组成一个双人挑战组，共个双人挑战组，每个关卡均由其中1个双人挑战组进行挑战，各关卡参赛选手均不相同，关卡挑战从第1关卡开始依次挑战，每个关卡至少有1名选手挑战成功（即该关卡挑战成功），才能进入下一个关卡的挑战.若某参赛团队这个连续关卡均挑战成功，则该参赛团队的挑战赛通关.已知参赛团队的每名选手挑战成功的概率均为，且各选手的挑战结果相互独立，若在挑战赛通关的情况下，记内挑战不成功的选手总人数为，则__________. 86．（2026·河南周口·模拟预测）小林、小张、小陈、小王4位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为，，，，每位同学答对与否相互独立. (1)在小林答对的情况下，求恰有3位同学答对题目的概率； (2)若答对题目得2分，答错题目得0分，X表示4位同学得分之和，求X的数学期望. 考点十四 期望递推 87．（2026高三·山东潍坊·月考）某同学每次投篮命中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投篮，那么投篮总次数的数学期望为___________． 88．（2026·湖南·模拟预测）某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为___________． 89．【多选】（2026·云南昆明·模拟预测）“暮春时节，兰亭雅集再现，文人雅士围坐庭中，以投壶为乐”，某同学进行投壶游戏，每次投壶的命中率为，且投壶结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投壶，游戏结束，则下列选项中正确的是（    ） A．当时，投壶2次游戏结束的概率为 B．当时，投壶3次游戏结束的概率大于投壶4次游戏结束的概率 C．当时，游戏结束时投壶总次数的数学期望为 D．设游戏结束时投壶总次数的数学期望为，则 90．（2026高三·湖北·期末）为提高学生的身体素质，某学校每天免费给学生提供水果和牛奶两种营养餐，且每人每天只能选择其中一种.经过统计分析发现：学生第一天选择水果和牛奶的概率均为.若前一天选择水果则第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；若前一天选择牛奶则第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复. (1)求某同学第天选择水果的概率； (2)若某同学累计次选择水果时共花了天，求； (3)若某同学累计次选择牛奶时共花了天，求. $