7.2离散型随机变量及其分布列7题型分类(讲+练）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.2离散型随机变量及其分布列7题型分类 一、随机变量 1．定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 二、离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 三、随机变量和函数的关系 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集． 四、离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． 2．可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 五、离散型随机变量的分布列的性质 1．pi≥0，i＝1，2，…，n； 2．p1＋p2＋…＋pn＝1. 六、两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． （一） 随机变量的概念 随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值． 题型1：随机变量的判断 1．（2026高二·江苏·课后作业）判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由． (1)从张已编好号码的卡片（从号到号）中任取一张，被抽出卡片的号数； (2)抛两颗质地均匀的骰子，出现的点数之和； (3)体积为的正方体的棱长． 【答案】(1)是随机变量，理由见解析 (2)是随机变量，理由见解析 (3)不是随机变量，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）根据随机变量定义依次进行判断即可. 【详解】（1）被抽取卡片的号数可能是，共种结果，出现哪种结果是随机的，是随机变量． （2）抛两颗质地均匀的骰子，出现的点数之和可能为，共种结果，出现哪种结果都是随机的，是随机变量． （3）体积为的正方体的棱长为，是定值，不是随机变量． 2．（2026高二·江苏·课后作业）指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)某人射击一次命中的环数； (2)掷一颗质地均匀的骰子，出现的点数； (3)某个人的属相随年龄的变化． 【答案】(1)是随机变量，理由见解析 (2)是随机变量，理由见解析 (3)不是随机变量，理由见解析 【分析】根据随机变量的定义对（1）（2）（3）逐一进行判断即可. 【详解】（1）某人射击一次，可能命中的所有环数是0，1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的， 因此命中的环数是随机变量； （2）掷一颗质地均匀的骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的， 因此出现的点数是随机变量； （3）一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化， 因此属相不是随机变量． （二） 离散型随机变量的判断 1.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 2.判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 题型2：离散型随机变量的判断 3．（2026高二·全国·课堂例题）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的特点逐一判断即可. 【详解】因为离散型随机变量的取值是可以一一列举的， 对于A，描述是一个对象的集合，而不是一个数值变量，不满足题意； 对于B，C，由题意可知是连续型随机变量，不满足题意； 对于D，由题意可知投中的次数可能为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.满足题意. 故选：D. 4．（2026高二·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐项判断即可. 【详解】因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量． 故选：C. 5．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列随机变量是离散型随机变量的是（   ） A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数 B．南京长江大桥一天经过的车辆数 C．某型号彩电的寿命 D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和 【答案】ABD 【分析】由随机变量的特点逐一判断即可. 【详解】因为B,D中的取值有限，且可以一一列举出来， 故B,D中的均为离散型随机变量． 因为中的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来， 故为离散型随机变量． 而C中的取值不能一一列举出来， 所以中的不是离散型随机变量． 故选：ABD 6．【多选】（2026高二·辽宁铁岭·期末）下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 【答案】BD 【分析】根据离散型随机变量的概念，离散型随机变量是可取值为有限个或可以一一列举的随机变量，逐项判断即可． 【详解】对于A，车载大灯的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为能一一列举，是离散型随机变量； 对于C，某次物理实验测量所得的实验误差不能一一列举，不是离散型随机变量； 对于D，某培养皿上的细菌个数能一一列举，是离散型随机变量． 故选：BD． 7．【多选】（2026高二·江苏·课后作业）下列随机变量中是离散型随机变量的是（　　） A．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数 B．某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 C．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 D．某高中每年参加高考的人数 【答案】AD 【分析】根据离散型随机变量的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义； 对于B，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值，是连续型随机变量； 对于C，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，是连续型随机变量； 对于D，每年参加高考的人数可一一列出，符合离散型随机变量的定义． 故选：AD （三） 离散型随机变量的取值 离散型随机变量的取值：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn ．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和。 解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点： (1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果． (2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果． 题型3：离散型随机变量的取值 8．【多选】（2026高二·江苏·课后作业）抛掷两颗骰子各一次，记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数的差为X，则“”表示的试验的结果有（　　） A．第一颗为5点，第二颗为1点 B．第一颗大于4点，第二颗也大于4点 C．第一颗为6点，第二颗为1点 D．第一颗为6点，第二颗为2点 【答案】ACD 【分析】根据减法运算的结果进行判断即可. 【详解】因为， 所以选项ACD符合题意， 对于选项B：第一颗大于4点，可以是5点，6点， 第二颗也大于4点，可以是5点，6点， 因为， 所以本选项不符合题意， 故选：ACD 9．（2026高二·全国·课后作业）一个口袋中有6个同样大小的球，球的编号分别为．现从中随机取出3个球，用表示取出的球的最大号码，则的所有可能的取值有哪些？ 【答案】 【分析】根据题意用列举法表示即可. 【详解】由题意可知，离散型随机变量的可能取值为. 10．（2026高二·全国·课后作业）（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？ （2）在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为，则可取哪些数字？ 【答案】（1）可以；（2） 【分析】（1）可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上； （2）根据题意，写出的所有值. 【详解】（1）可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上. （2）. 11．（2026高二·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【答案】D 【分析】根据题意，分两种情况，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 【详解】由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故分成两种情况， 即或者，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 故选：D （四） 求离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列： 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． (1)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． (2)可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列． 题型4：求离散型随机变量的分布列 12．（2026高二·全国·课前预习）某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【分析】根据古典概型的概率公式求解概率，即可列出分布列. 【详解】解  将四种血型分别编号为1，2，3，4，则的可能取值为1，2，3，4． ， ， ， . 故的分布列为 1 2 3 4 13．（2026高二·山东枣庄·期中）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球． (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据取球的结果结合古典概型分析求解； （2）由随机变量的可能取值，计算相应的概率，进而求分布列. 【详解】（1）设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”， 则取出的2个球没有白球，得， 所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为． （2）依题意，随机变量的取值为1，2，3， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 14．（2026高二·河南·期中）4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 【答案】(1)0.85 (2) 0 1 2 0.02 0.26 0.72 【分析】（1）根据全概率公式求解即可. （2）分析可能取值为，再求出其相应概率，写出分布列即可. 【详解】（1）设事件为选用机器人A，事件为选用机器人B， 用事件表示机器人成功，则 由全概率公式得. （2）由题意得的取值可能为. ， ， ， 的分布列为 0 1 2 0.02 0.26 0.72 15．（2026高二·江西鹰潭·期末）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 【答案】(1)甲； (2)分布列见解析. 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可； （2）利用相互独立事件的概率公式，列式解方程求出，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为，而，则， 所以甲进入决赛的可能性最大. （2）甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率， 整理可得，解得或，而，所以. 则， 所以甲、乙、丙进入决赛的概率分别为， 随机变量的可能取值有0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 16．（2026高二·宁夏银川·阶段检测）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【答案】(1) (2)的分布列为： 2 3 4 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 17．（2026高二·河南·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先利用组合数公式分别求出甲、乙面试合格的概率，再根据事件的独立性，通过两概率相乘计算出甲乙都合格的概率； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再针对每个取值，用组合数公式计算出对应概率，最后整理得到分布列. 【详解】（1）设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格， 由题知，A，B相互独立，， ∵，， ∴， ∴甲、乙面试都合格的概率为． （2）由题知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P （五） 分布列的性质及其应用 离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2) p1＋p2＋…＋pn＝1. 离散型随机变量的分布列的性质的应用： (1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列． (2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立． 题型5：分布列的性质及其应用 18．（2026高二·吉林长春·期中）设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列中所有概率和为1求解． 【详解】由题意，． 故选：A． 19．（2026高二·辽宁·期末）设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分布列的性质，列式计算即得. 【详解】由，得， 所以. 故选：D 20．（2026高二·山东·期中）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示. 4 5 6 7 8 9 10 0.03 0.05 0.07 0.08 0.26 0.23 则（    ） A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90 【答案】C 【分析】由分布列中所有概率和为1，计算得a，再计算即可求解. 【详解】由题意，解得. ∴＝ ． 故选：C 21．（2026·广东惠州·模拟预测）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数的值域为. 22．（2026高二·上海·期末）某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 【答案】0.4/ 【分析】根据分布列的性质列式计算即可. 【详解】由，得. 故答案为：0.4 23．（2026高二·河北衡水·期中）已知随机变量的分布列为： 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，解得， 所以. 24．（2026高二·青海西宁·期末）某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 【答案】A 【分析】利用分布列的性质，将射中环数为9、10环对应的概率相加即可得解． 【详解】若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9，10环，其概率为， 故他射击一次为优秀的概率是0.55. 故选：A. 25．（2026高二·河南信阳·期中）已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意，得. 所以对应，共个取值， 则，即，解得. 26．（2026高二·全国·专题练习）已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则_______． 【答案】 【分析】利用概率和为1可构造方程求得a的值，由可求得结果. 【详解】因为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 题型6：两个相关离散型随机变量的分布列 27．（2026高二·全国·课后作业）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量的分布列． 【答案】答案见详解 【分析】由离散型随机变量的性质，可得，再由 的对应关系可得解. 【详解】由离散型随机变量的性质，可得， 依题意知，η的值为0，1，4，9，16. 列表为： X 0 1 2 3 4 0 1 4 9 16 从而的分布列为： η 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 28．（2026高二·全国·课堂例题）已知离散型随机变量X的分布列． (1)求常数的值； (2)求； (3)求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【分析】(1)利用分布列中概率之和为可求得实数的值； (2)根据分布列可求得； (3)由题意可知，的所有可能值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列. 【详解】（1）由题意得随机变量X的分布列如下表所示． 1 由分布列的性质得，解得． （2） （3）由题意可知，的所有可能值为、、、， ，， ，， 所以的分布列为： P 29．（2026高二·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 求随机变量的分布列． 【答案】分布列见解析 【分析】由题意得当，5时，；当，4，6时，；当时，．结合互斥概率加法公式计算相应的概率即可得解. 【详解】由，得 当，5时，； 当，4，6时，； 当时，． 则， ， ， 所以随机变量Y的分布列为 Y 1 0 P 30．（2026高二·河北秦皇岛·月考）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求的分布列； (2)求． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）计算出后，结合的可能取值计算对应概率即可得； （2）由题意可得，计算即可得. 【详解】（1），故， 的可能取值为、、、， ，， ，， 故其分布列为： 0 1 2 3 0.1 0.3 0.3 0.3 （2）由，可得， 故. （六） 两点分布 两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它 题型7：两点分布 31．（2026高二·山西运城·期中）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点分布得，与条件联立解得结果. 【详解】因为的分布列服从两点分布，所以， 又，所以， 所以，所以. 故选：A. 32．（2026高二·河南洛阳·月考）已知随机变量X服从两点分布，且，则______． 【答案】/0.6 【分析】根据随机变量X服从两点分布，得到，再结合条件求解. 【详解】解：由随机变量X服从两点分布，得， 又因为， 所以． 故答案为： 33．（2026高二·山东聊城·期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么________． 【答案】/0.5 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可知或， 由于，所以， 故答案为： 34．（2026高二·全国·课堂例题）已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则______. 【答案】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从参数为p的两点分布，所以，且， 所以即，∴. 故答案为： 1．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（    ）． A．从10张已编好号码的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号码 B．一个袋子中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数 C．某林场的树木最高可达30m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度 D．从某加工厂加工的某种铜管中任选一根，所选铜管的外径尺寸与规定的外径尺寸之差 【答案】CD 【分析】利用离散型随机变量的定义，逐一分析各个选项，判断作答. 【详解】对于A，被取出的卡片的号码是1，2，3，…，10，共有10个值，是随机变化的，符合离散型随机变量的定义； 对于B，从10个球中取3个球，所含白球的个数有0，1，2，3，共有4个值，是随机变化的，符合离散型随机变量的定义； 对于C，所选树木的高度是随机变化的，它可以取内的一切值，无法一一列出，不是离散型随机变量； 对于D，实际测量值与规定值之间的差值是随机变化的，它充满了某个区间，无法一一列出，不是离散型随机变量. 故选：CD 2．（2026高二·全国·课堂例题）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐个判断即可. 【详解】①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来； ②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来； ④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来 ③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来， 因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足． 故选：C 3．（2026高二·全国·课堂例题）写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）根据随机变量的含义即可求解. 【详解】（1）设所需要的取球次数为，则． 表示“第1次就取到白球”，表示前次取到的均是红球，第次取到白球，． （2）设所取卡片上的数字之和为，则． 表示“取出标有1，2的两张卡片”； 表示“取出标有1，3的两张卡片”； 表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”； 表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”； 表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”； 表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”； 表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”； 表示“取出标有4，6的两张卡片”； 表示“取出标有5，6的两张卡片”． 4．（2026高二·全国·课堂例题）从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量，请问有哪些取值？其中表示什么含义？ 【答案】的所有可能取值有：1，2，3，4，5．表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片”． 【分析】根据随机变量的定义可得. 【详解】所取卡片上的数字之差的绝对值可能是：1，2，3，4，5， 故随机变量Y的可能取值有：1，2，3，4，5. 其中表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片” 5．（2026高二·全国·课堂例题）一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以表示取出的篮球的最大号码，则所有可能的取值为______，其中表示的试验结果有______种． 【答案】 3，4，5，6 3 【分析】根据题意确定的可能取值，根据的含义知另两个球从1，2，3中选取，由组合数求解即可. 【详解】根据题意可知的可能取值为3，4，5，6， 其中当时，表示取得的一球编号为4，另两个球从1，2，3中选取，有（种）． 故答案为：3，4，5，6；3 6．（2026高二·全国·课堂例题）袋中有3个白球，5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（    ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 【答案】C 【分析】根据随机变量的定义及随机变量定义判断即可. 【详解】选项A，B是随机事件． 选项D取到球的个数是定值2． 选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示， 故选：C． 7．（2026高二·全国·课后作业）在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】依题意可得可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，即可得到得分的可能取值； 【详解】解：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，分，分，因此甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值有4个． 故选：B 8．（2026高二·全国·课堂例题）下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可. 【详解】由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的， 故均匀离散型随机变量，而②中的随机变量可以取内的任意值，无法一一列举， 故它不是离散型随机变量． 故选：C. 9．（2026高二·全国·课后作业）由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20 根据该表可知X取奇数值时的概率是________. 【答案】 【分析】先利用离散型随机变量的分布列的性质可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，即可求出X取奇数值时的概率. 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15， 故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 故答案为：. 10．（2026高二·全国·课堂例题）对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示 0 1 我们称服从______分布或分布． 【答案】两点 【分析】略 【详解】略 11．（2026高二·全国·课后作业）已知一个离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P p 则p的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分布列性质，根据随机变量取值概率和为1运算求解. 【详解】由题意可得：，解得. 故选：C. 12．（2026高二·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案. 【详解】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2. ，，， 所以的分布列为： X P 故选：C. 13．（2026高二·全国·课后作业）已知随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 若，则的值为________. 【答案】0.2 【解析】利用，求出的值，观察表格即可. 【详解】当时， 由得， 所以. 故答案为：. 14．（2026高二·全国·课后作业）袋中有8个形状､大小均相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. （1）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率； （2）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为，求的分布列. 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析. 【解析】（1）求出摸出的2个小球为异色球的种数后可得所求的概率. （2）符合条件的摸法有：3个不同颜色的球或2个红球和另一个颜色的球或3个红球，分别求出它们的概率后可得所求的离心率. 【详解】（1）摸出的2个小球为异色球的种数为， 从8个球中摸出2个小球的种数为，故所求概率. （2）由题意知，随机变量的所有可能取值为1，2，3. 符合条件的摸法包括以下三种： ①摸得1个红球，1个黑球，1个白球，共有种， ②摸得2个红球，1个其他颜色球，共有种， ③所摸得的3个球均为红球，共有种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种. 故， ， 故的分布列为 1 2 3 【点睛】方法点睛：离散型随机变量的分布列、数学期望和数学方差的计算，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.概率计算时可利用排列组合的知识求解. 15．（2026高二·全国·课后作业）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.1 0.3 试求： (1)的分布列； (2)的分布列. 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 【分析】（1）由，求得m，得到的取值，列出分布列； （1）由，求得m，得到的取值，列出分布列； 【详解】（1）解：由分布列的性质知， 所以.列表为 0 1 2 3 4 1 3 5 7 9 1 0 1 2 3 的分布列为 1 3 5 7 9 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 （2）的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.3 0.3 0.3 16．（2026高二·河北唐山·期末）已知随机变量服从的分布列为 1 2 3 n P 则的值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用分布列的性质即可得解. 【详解】由概率和等于1可得：，则. 故选：A. 17．（2026高二·吉林·期中）设随机变量的分布列，则______. 【答案】 【分析】根据分布列的性质，求得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得，解得， 因此. 故答案为：. 18．（2026高二·全国·课后作业）已知袋内有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记，求X的分布列. 【答案】分布列见解析 【分析】随机变量X服从超几何分布，写出X所有取值的概率即可. 【详解】由题意得，X的可能取值为0，1， ， . 可得X的分布列如表所示： X 0 1 P 19．（2026高二·全国·课后作业）设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么（    ） A．n＝3 B．n＝4 C．n＝10 D．n＝9 【答案】C 【分析】根据随机变量及其分布的意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C 20．（2026高二·全国·课堂例题）若离散型随机变量的分布列如下： -2 -1 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质直接求解. 【详解】由分布列知， ，， 则当时，，所以实数的取值范围是. 故选：C 21．（2026高二·宁夏银川·期末）下列问题中的随机变量不服从两点分布的是（    ） A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量 B．某选手射击一次，击中目标的次数为随机变量 C．从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球，令随机变量 D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量 【答案】A 【分析】根据两点分布的定义判断即可. 【详解】对A，随机变量的可能取值有6个，不服从两点分布，故A错误； 对B，某选手射击一次，击中目标的次数为0或1，服从两点分布，故B正确； 对C，随机变量的可能取值有2个，服从两点分布，故C正确； 对D，随机变量的可能取值为0或1，有2个，服从两点分布，故D正确. 故选：A 22．（2026高二·全国·课后作业）下列表中能称为随机变量X的分布列的是（    ） A． X －1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 B． X 1 2 3 P 0.4 0.7 C． X 0 1 P 0.3 0.4 0.3 D． X 1 2 3 P 0.3 0.4 0.4 【答案】C 【分析】由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为1，可得答案. 【详解】对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确； 对于D，由，故D错误. 答案：C 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学同步知识·题型解题秘籍精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 7.2离散型随机变量及其分布列7题型分类 一、随机变量 1．定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 二、离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 三、随机变量和函数的关系 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集． 四、离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． 2．可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 五、离散型随机变量的分布列的性质 1．pi≥0，i＝1，2，…，n； 2．p1＋p2＋…＋pn＝1. 六、两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． （一） 随机变量的概念 随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值． 题型1：随机变量的判断 1．（2026高二·江苏·课后作业）判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由． (1)从张已编好号码的卡片（从号到号）中任取一张，被抽出卡片的号数； (2)抛两颗质地均匀的骰子，出现的点数之和； (3)体积为的正方体的棱长． 2．（2026高二·江苏·课后作业）指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)某人射击一次命中的环数； (2)掷一颗质地均匀的骰子，出现的点数； (3)某个人的属相随年龄的变化． （二） 离散型随机变量的判断 1.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 2.判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 题型2：离散型随机变量的判断 3．（2026高二·全国·课堂例题）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 4．（2026高二·河北邢台·月考）下列是离散型随机变量的是（   ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 5．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列随机变量是离散型随机变量的是（   ） A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数 B．南京长江大桥一天经过的车辆数 C．某型号彩电的寿命 D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和 6．【多选】（2026高二·辽宁铁岭·期末）下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 7．【多选】（2026高二·江苏·课后作业）下列随机变量中是离散型随机变量的是（　　） A．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数 B．某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 C．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 D．某高中每年参加高考的人数 （三） 离散型随机变量的取值 离散型随机变量的取值：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn ．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和。 解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点： (1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果． (2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果． 题型3：离散型随机变量的取值 8．【多选】（2026高二·江苏·课后作业）抛掷两颗骰子各一次，记第一颗骰子掷出的点数与第二颗骰子掷出的点数的差为X，则“”表示的试验的结果有（　　） A．第一颗为5点，第二颗为1点 B．第一颗大于4点，第二颗也大于4点 C．第一颗为6点，第二颗为1点 D．第一颗为6点，第二颗为2点 9．（2026高二·全国·课后作业）一个口袋中有6个同样大小的球，球的编号分别为．现从中随机取出3个球，用表示取出的球的最大号码，则的所有可能的取值有哪些？ 10．（2026高二·全国·课后作业）（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？ （2）在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为，则可取哪些数字？ 11．（2026高二·全国·课后作业）甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 （四） 求离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列： 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． (1)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． (2)可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列． 题型4：求离散型随机变量的分布列 12．（2026高二·全国·课前预习）某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列. 13．（2026高二·山东枣庄·期中）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球． (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量，求的分布列． 14．（2026高二·河南·期中）4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 15．（2026高二·江西鹰潭·期末）某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中 (1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三人均未进入决赛的概率为，设进入决赛的人数为，求的分布列. 16．（2026高二·宁夏银川·阶段检测）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 17．（2026高二·河南·期中）甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格．甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会． (1)求甲、乙面试都合格的概率； (2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列． （五） 分布列的性质及其应用 离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2) p1＋p2＋…＋pn＝1. 离散型随机变量的分布列的性质的应用： (1)通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列． (2)求对立事件的概率或判断某概率是否成立． 题型5：分布列的性质及其应用 18．（2026高二·吉林长春·期中）设随机变量X的分布列为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．（2026高二·辽宁·期末）设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（    ） A． B． C． D． 20．（2026高二·山东·期中）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示. 4 5 6 7 8 9 10 0.03 0.05 0.07 0.08 0.26 0.23 则（    ） A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90 21．（2026·广东惠州·模拟预测）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 22．（2026高二·上海·期末）某射击运动员射击所得环数的分布为，则的值为______. 23．（2026高二·河北衡水·期中）已知随机变量的分布列为： 1 2 3 则（    ） A． B． C． D． 24．（2026高二·青海西宁·期末）某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 25．（2026高二·河南信阳·期中）已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．（2026高二·全国·专题练习）已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则_______． 题型6：两个相关离散型随机变量的分布列 27．（2026高二·全国·课后作业）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求随机变量的分布列． 28．（2026高二·全国·课堂例题）已知离散型随机变量X的分布列． (1)求常数的值； (2)求； (3)求随机变量的分布列． 29．（2026高二·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 求随机变量的分布列． 30．（2026高二·河北秦皇岛·月考）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求的分布列； (2)求． （六） 两点分布 两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它 题型7：两点分布 31．（2026高二·山西运城·期中）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 32．（2026高二·河南洛阳·月考）已知随机变量X服从两点分布，且，则______． 33．（2026高二·山东聊城·期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么________． 34．（2026高二·全国·课堂例题）已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则______. 1．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（    ）． A．从10张已编好号码的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号码 B．一个袋子中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的个数 C．某林场的树木最高可达30m，从此林场中任选一棵树，所选树木的高度 D．从某加工厂加工的某种铜管中任选一根，所选铜管的外径尺寸与规定的外径尺寸之差 2．（2026高二·全国·课堂例题）下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026高二·全国·课堂例题）写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 4．（2026高二·全国·课堂例题）从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量，请问有哪些取值？其中表示什么含义？ 5．（2026高二·全国·课堂例题）一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以表示取出的篮球的最大号码，则所有可能的取值为______，其中表示的试验结果有______种． 6．（2026高二·全国·课堂例题）袋中有3个白球，5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（    ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 7．（2026高二·全国·课后作业）在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（2026高二·全国·课堂例题）下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．（2026高二·全国·课后作业）由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.1□ 0.20 根据该表可知X取奇数值时的概率是________. 10．（2026高二·全国·课堂例题）对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示 0 1 我们称服从______分布或分布． 11．（2026高二·全国·课后作业）已知一个离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P p 则p的值为（　　） A． B． C． D． 12．（2026高二·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（    ） A． X 1 2 P B． X 0 1 P C．   X 0 1 2 P                           D．    X 0 1 2 P                 13．（2026高二·全国·课后作业）已知随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 若，则的值为________. 14．（2026高二·全国·课后作业）袋中有8个形状､大小均相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球. （1）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率； （2）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为，求的分布列. 15．（2026高二·全国·课后作业）设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.1 0.3 试求： (1)的分布列； (2)的分布列. 16．（2026高二·河北唐山·期末）已知随机变量服从的分布列为 1 2 3 n P 则的值为（　　） A．1 B．2 C． D．3 17．（2026高二·吉林·期中）设随机变量的分布列，则______. 18．（2026高二·全国·课后作业）已知袋内有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记，求X的分布列. 19．（2026高二·全国·课后作业）设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么（    ） A．n＝3 B．n＝4 C．n＝10 D．n＝9 20．（2026高二·全国·课堂例题）若离散型随机变量的分布列如下： -2 -1 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2026高二·宁夏银川·期末）下列问题中的随机变量不服从两点分布的是（    ） A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量 B．某选手射击一次，击中目标的次数为随机变量 C．从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球，令随机变量 D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量 22．（2026高二·全国·课后作业）下列表中能称为随机变量X的分布列的是（    ） A． X －1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 B． X 1 2 3 P 0.4 0.7 C． X 0 1 P 0.3 0.4 0.3 D． X 1 2 3 P 0.3 0.4 0.4 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $