23.1一次函数的概念 同步分层训练 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 分层清晰，从概念辨析到实际应用梯度进阶，适配同步教学，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一次函数定义及常数项、比例系数识别|选择题为主，聚焦核心概念辨析| |巩固|函数解析式判定与实际意义理解|选择填空结合，强化实际背景下的意义理解| |培优|综合情境下函数关系建立与应用|解答题为主，融入图形与生活情境，提升问题解决能力|

23.1一次函数的概念 同步分层训练 （含答案解析） 分层：基础✦ 巩固✦✦ 培优✦✦✦ 总分：100分 时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列一次函数中，常数项是的是 A. B. C. D. 2. 下列各式：；；；；．其中是一次函数的有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 下列函数中，图象经过原点的为( ) A. B. C. D. 4. 若与成正比例，则是的( ) A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 其他函数 D. 不存在函数关系 以上为基础层题目，重点考查一次函数定义的辨析及常数项、比例系数的识别。 5. 已知两个变量，满足关系，则是的函数吗？若是，写出与之间的关系式；若不是，请说明理由． 6. 下列选项：家庭用水的单价为每立方米元，每月的水费支出与用水量之间的关系；百米赛跑中，时间与速度之间的关系；相同规格的纸整齐放置，纸的厚度与纸的张数之间的关系；普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系．其中两个变量不是一次函数关系的是　　　　　　　　． 7. 出版社出版一本书的投入成本大致可以分为两部分：一部分与印刷数量有关，如所用纸张的费用等；另一部分与印刷数量无关，如这本书的编校、排版费用等．某出版社出版某种科普读物，当印刷数量不超过册时，出版社的投入成本（单位：元）与印刷数量（单位：册）之间的关系可以近似地表示为． (1) 当印刷数量为册时，出版社的投入成本是多少？ (2) 表达式中的的实际意义是什么？ (3) 出版社的投入成本与印刷数量之间的关系，为什么可以近似地表示为一次函数？ 以上为巩固层题目，涉及函数解析式的判定及实际背景下的意义理解。 二、填空题（每题3分，共18分） 8. 对于一次函数，当时，　　　　　　　　，当时，　　　　　　　　． 9. 正方形的边长为，为边上一动点（不与点，重合），设的长为，则的面积与之间的函数解析式为　　　　　　　　　　　　，自变量的取值范围为　　　　　　　　． 10. 已知函数，当　　　　　　　　时，是关于的一次函数，此时的函数表达式为　　　　　　　　　　　　　　　． 重点考查自变量取值范围及根据定义求参数，需注意 这一易错点。 三、解答题（共52分） 11. 如图所示，四边形是长方形，设长方形的周长是，面积是． (1) 写出与的函数关系式，并指出是否为的一次函数或正比例函数．若是，写出相应的，的值； (2) 写出与的函数关系式，并指出是否为的一次函数或正比例函数．若是，写出相应的，的值． 12. 试写出下列各题中与之间的函数关系式，并判断是不是的一次函数？是不是正比例函数？ (1) 已知等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为； (2) 已知某种商品每件的进价为元，售出件获得的利润，售出件的利润为元． 13. 若函数是一次函数，求的值． 14. 某综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到在一定年龄范围内的最大心率（最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数）数据如下： 年龄周岁 最大心率次 根据表中信息，可推断最大心率单位：次是年龄（单位：周岁）的　　　　　　　　函数关系（填“一次”或“正比例”），并求出关于的函数表达式． 15. 如图，表示某摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量之间的关系；表示摩托车厂一天的销售成本与销售量之间的关系．（利润销售收入销售成本） (1) 当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本？ (2) 当一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利？ (3) 求对应的函数表达式． (4) 你能求出利润与销售量之间的函数表达式吗？ 16. 看图说故事． 请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量，满足图示的函数关系．要求：指出变量和的含义；利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量． 温馨提示：请核对题目层级标注，并结合末尾解析进行错因诊断。 参考答案与解析 1. B A．函数中的常数项是，故不符合题意； B．函数中的常数项是，故符合题意； C．函数中的常数项是，故不符合题意； D．函数中的常数项是，故不符合题意． 2. B 一次函数的标准形式为（其中、为常数，且）。根据题目中的各式分析：1. 符合一次函数形式，，；2. 是反比例函数，不符合一次函数定义；3. 含有根号且自变量的次数不为1，不是一次函数；4. 是二次函数，自变量的最高次数为2，不符合；5. 符合一次函数形式，，。 综上，只有和是一次函数，共2个，故选B。 3. A 判断一个函数的图象是否经过原点，可以将代入函数中，计算对应的值。如果，则说明该函数的图象经过原点。对于选项A：，当时，，因此图象经过原点。对于选项B：，当时，，因此图象不经过原点。对于选项C：，当时，，因此图象不经过原点。对于选项D：，当时，，因此图象不经过原点。综上所述，只有选项A的函数图象经过原点。 4. B 根据题意，与成正比例，可以设比例系数为，得到关系式。将等式变形为，这是一个一次函数的标准形式（其中）。因此，是的一次函数，选项B正确。 5. 是的函数，与之间的关系式为 6. ② 首先回顾一次函数的定义：形如（、为常数，）的关系。 分析各选项： 水费用水量，符合（），是一次函数； 百米赛跑中，时间，属于反比例关系，不是一次函数； 纸的厚度单张厚度张数，符合，是一次函数； 钟表指针角度时间（分针），或时间（时针），均符合，是一次函数。 综上，只有不符合一次函数定义。 7. (1) 将代入 解得： 答：出版社的投入成本是元． (2) 代表每增加一册印刷数量，出版社的投入成本就会增加元． (3) 图像画出来接近一条直线． 8. ， 将代入一次函数中，计算得。 将代入一次函数中，解方程。首先两边同时加6得，然后两边同时除以3得。 9. ， 首先，正方形的边长为，为边上一动点，设，则。因为的底边为，高为，所以面积为，即。由于不与、重合，所以的取值范围为。 10. 或，或 由题意，得，且，解得或，此时函数表达式为或． 11. (1) ，是的一次函数，，． (2) ，是的正比例函数，，． 12. (1) ，是的一次函数，不是的正比例函数 (2) 且为整数，是的一次函数，也是的正比例函数 13. 函数是一次函数， ，， ． 14. 一次， 观察表格中的数据，可以发现随着年龄的增加，最大心率以固定的速率减少。具体来看，年龄每增加周岁，最大心率减少次每分钟。这表明与之间存在线性关系，即一次函数关系。设函数表达式为，通过任意两点（如和）代入计算斜率，再代入点求出截距，因此关于的函数表达式为。 15. (1) 当一天的销售量为辆时，销售收入等于销售成本． (2) 当一天的销售量超过辆时，工厂才能获利． (3) 设对应的函数表达式为，将代入，得，，． (4) 设直线对应的函数表达式为， 则解得． ． 与之间的函数表达式为． 16. （答案不唯一）小明以的速度匀速骑自行车，分钟后到达商店，购物用了分钟，然后以的速度匀速骑车返回．（单位：）表示小明骑车离出发地的路程，（单位：）表示小明所用的时间．该函数图象表示小明骑车离出发地的路程（单位：）与他所用的时间（单位：）的关系． ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $