专题8正方形易错必刷题型专项训练 2025-2026学年人教版八年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 聚焦正方形18大高频易错题型，以性质-判定-综合应用为逻辑主线，系统提炼折叠转化、最值对称等解题方法，强化几何推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质理解与计算|题型1-7（7类）|性质辨析、角度/线段/面积计算技巧|从边/角/对角线概念到折叠/重叠面积应用| |判定与证明|题型8-14（7类）|判定定理联用策略、正方形证明步骤|从判定条件推导到性质与判定综合证明| |综合应用|题型15-18（4类）|中点四边形规律、动点/最值问题转化|结合几何变换与动态问题拓展空间观念|

专题8 正方形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】18大高频压轴题型全覆盖，聚焦正方形高频易错考点，梳理判定、性质综合题型，深挖边长、对角线、折叠与全等结合易错点，总结解题思路，针对性突破审题疏漏、定理混用问题，夯实几何推理能力。 题型1 正方形性质理解 题型10 添加一个条件使四边形是正方形 题型2 根据正方形的性质求角度 题型11 根据正方形的性质与判定证明 题型3 根据正方形的性质求线段长 题型12 根据正方形的性质与判定求角度 题型4 根据正方形的性质求面积 题型13 根据正方形的性质与判定求线段长 题型5 正方形折叠问题 题型14 根据正方形的性质与判定求面积 题型6 求正方形重叠部分面积 题型15 中点四边形 题型7 根据正方形的性质证明 题型16（特殊）平行四边形的动点问题 题型8 正方形的判定定理理解 题型17 四边形中的线段最值问题 题型9 证明四边形是正方形 题型18 四边形其他综合问题 【题型1 正方形性质理解】 1．正方形具有，而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线垂直 B．对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查正方形与菱形的性质，解题关键是熟记两种图形的性质，对比即可找出正方形有而菱形不具有的性质． 【详解】解：∵ 正方形的性质为：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质为：四条边都相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角，菱形的对角线不一定相等； ∴ 正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形，菱形，矩形，正方形的基本性质，只需对比各图形的性质，找出四个图形共同具备的性质即可. 【详解】解：∵ 平行四边形的对角线互相平分，对角线不相等也不垂直，四条边不都相等； 菱形的对角线互相垂直平分，对角线不相等，四个角不都相等； 矩形的对角线相等且互相平分，对角线不垂直，四条边不都相等； 正方形的对角线互相垂直平分且相等，四条边相等，四个角相等； ∴ 四个图形都具有的性质只有对角线互相平分，因此选项A正确. 3．平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图所示，其中A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是______（写出一个即可）． 【答案】邻边相等（或对角线垂直） 【分析】先根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系得A区域图形表示的是正方形，B区域图形表示的是矩形，再根据正方形和矩形的性质即可解答． 【详解】解：由图可知，A区域图形表示的是正方形，B区域图形表示的是矩形， 正方形具有而矩形不具有的性质是邻边相等（或对角线垂直）， 即A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是邻边相等（或对角线垂直）． 故答案为：邻边相等（或对角线垂直）． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线交点为坐标原点O，点A，C在x轴上，点B，D在y轴上，若正方形的边长为2，则顶点A的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出对角线的长，再求出的长即可求得A点的坐标． 【详解】解：因为正方形的边长为2， 所以， 所以， 因为正方形的对角线交点为坐标原点O， 所以A点的坐标为 故答案为：． 【题型2 根据正方形的性质求角度】 5．如图，在正方形中，在的延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再根据三角形的内角和求出，则，即可解答． 【详解】解：正方形中，， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在正方形中，为对角线，为上一点，连接、，延长交于．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质，可得，，，证明，可得，由三角形的内角和定理，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 【答案】 【分析】根据题意利用证明即可． 【详解】解：在正方形中，，， ∴在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则的度数是______度． 【答案】 【分析】根据正多边形外角和定理求出，根据正方形的性质得出，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵是正五边形的外角， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 9．如图，正方形的边长为，为边上一点，为延长线上一点，为线段的中点，连接并延长交边于点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由四边形是正方形，得，然后证明，所以，又为中点，所以，即有垂直平分，所以，设，则，，在中，，即，解得，最后再通过勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 10．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 11．如图，在正方形中，F为上任意一点，连接，取中点M，过点M作交于点G，交于点H，连接交于点N，若，则为____． 【答案】2 【分析】连接，，推出是线段的垂直平分线，得到，作于点，作于点，证明四边形是正方形，再证明是等腰直角三角形，求得，作于点，证明，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵，且点M是中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 作于点，作于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点M是中点， ∴， 作于点， ∵正方形，∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 12．如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 【答案】 / 【分析】先通过赋值法确定正方形边长及相关线段长度，再利用中位线定理得到线段的平行关系与长度，结合正方形的性质构造等腰直角三角形，最后用勾股定理求出的长度，进而得到的值． 【详解】解：如图，取中点为，连接、， 设， ，，四边形是正方形， ，， ， ， 、分别是、的中点， 且， ， 又、分别是、的中点， 且， ∵在正方形中，， ， ， 过点作交延长线于点， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在中，， ． 【题型4 根据正方形的性质求面积】 13．“出入相补”原理是魏晋时期数学家刘徽创立．如图是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形，，均为正方形．若正方形的面积为，，则的面积为（     ） A．6 B．8 C． D．10 【答案】A 【分析】由正方形的面积为可得，利用勾股定理计算出，进而计算出，最后使用三角形的面积公式计算即可． 【详解】正方形的面积为， ， 四边形是正方形， ，， 在中，， 四边形是正方形， ，， 在中，， ． 14．在正方形中，对角线，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方形的面积等于对角线乘积的一半求解，即可选出正确选项． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴正方形对角线相等且互相垂直，， ∵正方形的面积等于对角线乘积的一半， ∴正方形的面积． 15．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3， ∴正方形的面积分别为和， ∴图中阴影部分的面积． 16．如图，这是我国古代数学家赵爽的弦图，它由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长为，，斜边长为．已知，，则图中小正方形的边长为______． 【答案】2 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，先求出每一个直角三角形的面积和大正方形的面积，然后根据求解即可． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积等于：， ∵， ∴每一个直角三角形的面积为：， ∵， ∴大正方形的面积为：， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型5 正方形折叠问题】 17．如图，在一张边长为的正方形纸片上，将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则线段与的长度之和最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，连接，交于，根据正方形的性质得出四边形是矩形，可得，根据折叠的性质及直角三角形两锐角互余得出，即可证明，得出，作点关于的对称点，连接、，得出当、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，连接，交于， ∵四边形是正方形，边长为 ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接、， ∴，， ∴， ∵， ∴当、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴线段与的长度之和最小值为． 18．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G， ∵正方形的边在x轴上， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 19．如图，在正方形中，，点E为的中点，点F为边一动点，将沿翻折得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，可得，由可得当点在线段上时，线段的长度最小，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ， 点为的中点 由折叠的性质可知： ∵， 则 ∴当点在线段上时，线段的长度最小 在中，由勾股定理得： 线段的长度的最小值为． 20．如图，在正方形中，点E为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点A的对应点F恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】由四边形为正方形，垂直平分，可得四边形是矩形，，，，再由折叠可得，，，，在中求得，可得，设，则，在中，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵垂直平分， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可知，，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即． 【题型6 求正方形重叠部分面积】 21．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 22．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的．根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 【详解】解：正方形和正方形的边长都是2， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是1， 故选：A． 23．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 24．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 【答案】13.5// 【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形， ∴由平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3（cm），长为6-1.5=4.5（cm）， ∴S阴影部分=3×4.5=13.5 （cm2）， 故答案为13.5cm2． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 【题型7 根据正方形的性质证明】 25．如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，相交于点，的延长线交的延长线于点．下列四个结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用正方形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．根据正方形的性质得到边相等、角为直角，再利用中点条件得到对应边相等，通过、证明三角形全等，进而推导角的关系、线段的位置关系与数量关系，对四个结论逐一判断正误． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ①正确； ， ， 又， ， ②正确； ， ， 不是等边三角形， ③错误； ， ， 在和中， ， ， ， ④正确； 综上所述，正确的为①②④． 故选：． 26．如图，在正方形中，，点在边上，，点，是正方形的边，上的动点，以，，，四点构造菱形．在点，运动变化过程中，点到的距离为___ ；点的运动路径（起点到终点）长度为___ ． 【答案】 / 【分析】过作于，延长，交于点，证明，可得，点到的距离为，点的运动轨迹是一条平行于的线段，且与相距，在下方，记与的交点为，此时，且，可得，当，重合时， ，当，重合时，同理：，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，延长，交于点， ，，， ， ，， ， ， ， ， 点到的距离为， 点的运动轨迹是一条平行于的线段，且与相距，在下方， 如图，当，重合时，位置为点起始位置，当，重合时，点在终点， 记与的交点为，此时，且， ， 当，重合时， ， ，， 当，重合时，同理：， ， ， 点的运动轨迹（起点到终点）长度为， 故答案为：，． 27．解决问题 (1)如图，在正方形中，点、分别在边上．已知：，求证：； (2)如图，若将边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中，折痕为，点在边上，点在边上，则折痕______； (3)如图3，在正方形中，，则的最小值为______．（直接填空） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据，结合角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出； （2）过点作，交于，利用勾股定理可求出，由（1）可得，根据，可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出． （3）连接，作点关于的对称点，连接，，证明，得出，根据轴对称的性质得出点、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作，交于， ∵边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中， ∴，，垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）可知， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）解：如图，连接，作点关于的对称点，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴点、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∴． 28．综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． (1)【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． (2)【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． (3)【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 【答案】(1)，见解析 (2)是等边三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质结合正方形的性质证明是等边三角形，再根据 即可得解． （2）连接，由折叠的性质结合正方形的性质证明可求，再证明，可得，进而得证； （3）分两种情况讨论，或2，再根据勾股定理设未知数列方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形， ， 由折叠可知，， ， 由（1）得，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形； （3）解：点H是边的三等分点， 或2； 由（2）知，， ， 由折叠可知， 当时，则， 设，则， ， 在中，， ， 解得 ， ， 当时，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 综上，的长为或． 【题型8 正方形的判定定理理解】 29．下列命题中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】C 【详解】A、根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项命题正确； B、根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项命题正确； C、矩形的对角线本来就相等，仅对角线相等无法判定它是正方形，故C选项命题不正确； D、菱形的对角线互相垂直平分，若对角线再相等，则满足正方形的判定条件，所以对角线相等的菱形是正方形，故D选项命题正确． 综上，不正确的是C． 30．下列命题中正确的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形是菱形 【答案】B 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，∴A错误； ∵菱形本身四边相等，若有一个角是直角，则四个角均为直角，满足正方形的定义，∴B正确； ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，∴C错误； ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，∴D错误． 31．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别平行；b对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：．你认为能得到正方形的是______．（填写你认为正确的序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了正方形的判定，根据对角线互相平分，垂直且相等的四边形正方形，判断即可． 【详解】∵两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故①正确； ∵对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故②正确； 组合③只能得到对角线互相平分，垂直，无法得证对角线相等，故错误， 故答案为：①②． 32．我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是_____    【答案】对角线互相垂直且相等 【分析】本题考查了正方形的判断方法，根据图形即可得到答案，熟记正方形的判断方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形， 故答案为：对角线互相垂直且相等． 【题型9 添一个条件使四边形是正方形】 33．已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得四边形是矩形，结合正方形的判定即可求解． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 若添加条件，则四边形是正方形， 若添加条件或或，无法推出四边形是正方形， ∴只有B选项符合题意． 34．如下图，要使矩形是正方形，需要增加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵矩形本身就有，，，故A，C，D错误； 添加，可以证明矩形是正方形，故B正确． 35．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可得四边形是矩形，所以添加，进而可得四边形为正方形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 所以添加条件：，则四边形是正方形． 36．如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形． 【题型10 证明四边形是正方形】 37．如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】由菱形性质得 ，；由 及 ，得 ，即 与 互相平分且相等，故四边形 是矩形；再由 ，得矩形 是正方形． 【详解】证明： 四边形 是菱形， ，． ， ． 与 互相平分，且 ． 四边形 是矩形． 又， 矩形 是正方形． 38．如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定定理判断四边形是矩形；再结合等腰直角三角形中是中点，利用等腰直角三角形的性质推导，进而根据正方形的判定定理证明该四边形为正方形． （2）因为四边形是正方形，所以与正方形的边长有关；先根据和等腰直角三角形的性质、中点的性质求出正方形的边长，再利用正方形的对角线公式计算的长度． 【详解】（1）证明：∵ ，，， ∴ ， ∴四边形是矩形． 连接，如图， ∵等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形． （2）解：∵ ，∴ ， 由（1）可知是中点、是中点， ∴ ，． 在中，，由勾股定理得． 39．如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)2 【分析】（1）由,，判定四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等及有一个内角是，判定其为正方形； （2）先证，进而即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是正方形； （2）∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 40．如图，菱形的对角线与相交于点O，． (1)求证：四边形是正方形． (2)E，F分别是上一点，，连接并延长与相交于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质，得出，，即可得出结论； （2）证明，得出，然后得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，      在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 41．在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作于，根据正方形的性质及垂直的定义，证得四边形为矩形，进而求得，即可解答． （2）连接、，过作于，证明，、、三点共线，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵四边形为正方形， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、，过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 又∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得， 由（1）知， ∴， ∴，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 42．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 43．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①由菱形性质得到，由等腰三角形性质得到．从而有．由等量代换得到，从而可证； ②由全等的性质得出，由菱形的性质得出，从而有，最后有等量代换即可得到； （2）由菱形的性质可求出，从而得到为等边三角形，得到，从而可证结论； （3）证明四边形是正方形，得到，同（1）可证，得到，进而得到为等腰直角三角形，从而得到结论． 【详解】（1）证明∶①如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∴； ②∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴．即． （2）解：． 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下： 如图， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． ∴， ∴． ∵， ∴在中，． ∵． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键． 44．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 45．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【详解】： 连接，      ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 46．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当或，再结合图形进一步求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 当落在对角线上时， ，，， 设，则，， ∴， 解得：，即， 如图，当时， ∴， 同理可得：，， ∴四边形为正方形， ∴． 综上：当为直角三角形，则的长为或． 故选：C 47．如图，正方形中，，是对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】过点E作于点M，根据正方形的性质先求得以及证明四边形为正方形，得到，结合，从而求得，进而求得和，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，过点E作于点M，则， ∵正方形中，，， ∴，，，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 48．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②128 【分析】（1）先推导出，然后根据角平分线的定义得到，结合三角形内角和定理，即可解答； （2）①过点A作于G，推导出，得到四边形为矩形，然后根据角平分线性质定理推导出，即可证得结论； ②由①得四边形为正方形，推导出，得到，同理可得，再根据勾股定理，得到，化简得，然后展开式子，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ， ∴， ∴； （2）①证明：过点A作于G， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形为正方形 ②解：如图 由①得四边形为正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， 化简，得， ∴． 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 49．如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 50．如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质；根据，可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形，再利用勾股定理结合正方形面积公式即可求解． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． ∵，， ∴， ∴，即四边形的面积为8， 故答案为：8． 51．如图，在中，的平分线交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）连接，先证明四边形是正方形，再根据得到，最后求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：连接，如图， ∵， ∴菱形形是正方形， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 52．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边，熟知菱形的判定定理和正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，则可得到，据此可得结论； （2）可证明四边形是正方形，再根据正方形对角线相等，且正方形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形． 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，四边形是菱形． ，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 53．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】证明得到，又可得四边形是矩形，得到，即可判断①；由点为的中点，可得和为的中位线，即可判断②；由，可得，进而可得，即可判断③；由四边形为正方形，得，，可证明，得到，即得，又由，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； 若点为的中点，则， ∵，， ∴，， ∴和为的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由①可知四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故②正确； 若，则， ∵， ∴，故③错误； 若四边形为正方形，则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④． 54．如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，再证明，推出，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小， ，求得，即得线段的最小值为，即可判定正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵矩形， ∵， 又∵ ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即的值为定值1，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 55．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 56．如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：． (2)如图2，过点作，交边于点，以，为边作矩形，连接． （ⅰ）求证：． （ⅱ）若正方形的边长为，求的值． 【答案】(1)证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ； (2)（ⅰ）证明：如图，在正方形中，作于点，于点， ， 四边形为矩形， 在正方形中，平分，且，， ， 四边形为正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （ⅱ）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、正方形的性质与判定． （1）根据正方形的性质可得，，即可判定，再利用全等三角形的性质即可求证； （2）（ⅰ）通过作，得出四边形为正方形，利用正方形的性质求得，得出，即可求解； （ⅱ）根据正方形的性质求出，根据全等三角形的性质得出，利用求解． 【详解】（1）略； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）四边形是矩形，， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 正方形的边长为， ， 的值为． 【题型15 中点四边形】 57．中国传统剪纸艺术讲究“对称精巧，形意兼备”，其图案设计常蕴含几何规律．如图是某剪纸作品中的四边形，点，，，分别是边的中点，顺次连接，，，得到四边形．已知对角线，，且，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过论证中点四边形是矩形来求面积即可. 【详解】解：∵分别是的中点， ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形， ∴. 58．如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 【答案】 【分析】连接，，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解：如图，连接，， E，F，G，H分别为，，，的中点， ，，，， 四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， 与应满足的条件是． 59．如图所示，学校有一块四边形草坪，其中、、、分别是、、、的中点，在中点位置各安装一个喷水头，并用管道依次连接这四个喷水头，得到中点四边形． (1)草坪为任意四边形时，猜想四边形的形状并证明； (2)现在测得草坪的两条对角线，，且，求四边形的面积． (3)尺规作图：已知线段和（），作一个四边形，使得它的中点四边形恰好是一个周长为的矩形，保留作图痕迹，不写作法，标明字母（不需要画出中点四边形）． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)12平方米 (3)见解析 【分析】（1）由三角形中位线定理分别得出且，且，可得且，即可证明； （2）设分别与交于点，与交于点，首先根据题意证得平行四边形为矩形，然后，由中位线定理得且，接着，证得，，根据矩形的面积公式代入计算即可； （3）如图3，按照作图步骤作图即可． 【详解】（1）证明：形状：平行四边形．理由如下： 如图1，连接， 在中，、分别是、的中点， 且． 在中，、分别是、的中点， 且， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：如图2，设分别与交于点，与交于点， ， ． 由（1）同理可得，， 四边形是平行四边形． ． 由（1）得四边形是平行四边形， 平行四边形为矩形． 在中，、分别是、的中点， 且． ∵，，由（1）得， ，， 矩形面积． 答：四边形的面积为． （3）解：如图3，首先，作水平射线，接着，在射线上以为圆心线段的长度为半径画弧交射线于，然后，在线段下方任取一点，以为圆心，任意长为半径画弧，交线段于两点，再分别以这两点为圆心大于这两点间的距离画弧交线段上方于一点，连接与这一点并延长，在此射线上以点为圆心，线段的长为半径画弧交射线于，顺次连接即可． 如图3所示，四边形即为所求． 60．如图，在四边形中，，E、F、G、H分别为、、、的中点，顺次连接E、G、F、H． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)当时，四边形为正方形；理由见解析 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，，，，，进而得到，，即可得四边形是平行四边形，又由得，即可得到四边形是菱形； （2）根据平行线的性质得到，，根据平角的定义，得到，根据正方形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由条件可知、、分别为、、的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：当时，四边形为正方形．理由如下： 由（1）同理可证， ∴， ∵， ∴， 由条件可知， ∴， ∴菱形是正方形． 【题型16（特殊）平行四边形的动点问题】 61．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、动点问题的分析知识点，掌握平行四边形对边相等的性质以及根据动点位置表示线段长度的方法是解题的关键． 先判断点的位置：当四边形为平行四边形时，点必须在上，利用平行四边形对边相等的性质，列方程求解运动时间． 【详解】解：由题意可知，当四边形为平行四边形时，点在上． 设运动时间为，则，． 根据题意，得，解得． 故选：B． 62．在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 【答案】2或8 【分析】根据E、F的位置不同，分两种情况，根据正方形的性质，利用线段相等列方程，求解出时间t的值． 【详解】解：第一种情况： ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 第二种情况：如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 当时，四边形为正方形， 过点B作，垂足为点H， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 解得． 综上所述，或．． 63．在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)秒 (3)或10或24． 【分析】（1）先证明，再利用路程等于速度乘以时间可得，再利用线段的和差可得； （2）证明是直角三角形，且，，可得当是等腰三角形时，，再证明，可得，据此建立方程求解即可； （3）如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心．当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积，证明，平行四边形可得，即，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时，而，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积，此时；然后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵点在边上运动， ∴，． （2）解：∵，，， ， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， 当是等腰三角形时，， ， 又∵， ， ， ， ， 又∵， ，解得：． ∴在（1）的条件下，当是等腰三角形时，t的值是秒． （3）解：如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心． 当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积， ∵， ，，而， ， ，即，解得：； ∴； 如图：过P作交延长线于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为； 当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时， ， ，则， ∴； ∴的面积为； 如图：Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积， 此时，的面积等于的面积，即：． 综上，的面积为或10或24． 64．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)16 (2)或 (3)或 (4)或或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分三种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点， ，， ∵， ； （2）解：∵在中，，， ∴，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； （3）解：∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且， ， 或， 解得：或； （4）解：当点在上，点在上时，则， ， ， 当在线段的延长线上时，点在上时， 当时，如图所示， ， 又， ∴， 解得：， ∴时，； 当点在线段的延长线上，点在上时，则， ， 解得：， 综上所述：或或． 【题型17 四边形中的线段最值问题】 65．如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，当三点共线且时，最小，利用面积求解即可. 【详解】解：作点关于的对称点，连接，当三点共线且时，最小， ∵菱形的对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：. 66．如图，矩形，点E，F分别是边，上的动点，且，连接，．若，，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】以点B为原点建立平面直角坐标系，设其中，则，则的最小值转化为的最小值，进一步求解即可． 【详解】解：以点B为原点建立平面直角坐标系，如图， ∵矩形，，， ∴， 设其中，则， 所以，， ∴的最小值转化为的最小值， ∵ 表示到距离与到的距离之和， 当，，三点共线时，取得最小值，即为的长度， ， 即的最小值是． 67．在数学实践活动课上，创新小组的同学对含角的菱形进行探究． 【问题情境】如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，且． 【初步感知】 (1)若点是的中点，点是的中点，则与的数量关系为：________ 【拓展应用】 (2)若，分别为边，上任意一点，当时，求周长的最小值； 【问题解决】 (3)当点在边上运动（不与端点重合）时，小明发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小明验证他的发现． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）由菱形的性质得，，，根据证明，故可得； （2）连接，可证，当时，取得最小值，由勾股定理求出，则可得出答案． （3）根据，得出，根据解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵点E是的中点，点是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 要求等边三角形周长的最小值，即求出边长的最小值即可， ∵点E为边上的一点， ∴当时，取得最小值， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时，， ∴周长的最小值为． （3）解：由（2）可知，， ， ， ∴四边形的面积与的面积相等， 的底与高均为定值， ∴当点E在边上运动（不与端点重合）时，四边形的面积保持不变． 68．平行四边形中，，连接，点G为延长线上一点，连接，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，过点C作，交延长线于点E，过点G作，交延长线于点F，以为斜边构造等腰直角三角形，过点H作交于点K，交于点I．猜想线段、、的关系，并证明； (3)如图3，若、，点M、N、K分别是、、上的动点，请直接写出长度的最小值． 【答案】(1)7 (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）过点A作交于点Q，利用等腰三角形三线合一的性质和平行四边形的性质得到相关线段的长度，再利用等腰直角三角形的性质可求得的长度，从而利用三角形面积即可得出结果； （2）连接，，先证明，设，则，利用等腰直角三角形的性质证得，从而证得，和是等腰直角三角形，进而证得结论； （3）利用轴对称的性质，解的直角三角形的性质，勾股定理及三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点A作交于点Q， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）解：， 证明：如图，连接，， ∵，四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理，，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点A作交于点S， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， 过点G作交延长线于点R， ∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别是、上的动点， 作点C关于的对称点，连接交于点L，连接，过点作交于点N，交于， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 将绕点G顺时针旋转得射线，过点N作交于点P，与交点K， 在中，， ∴， ∴， 当点N，K，P三点共线时，有最小值，即， 过点N作于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ． 【题型18 四边形其他综合问题】 69．正方形的边长为，点是边的三等分点，连接，将沿翻折到正方形所在的平面内得，点的对应点为点，连接，点为边上的一点，且，连接分别交，于点，，点为的中点，连接，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接与交于点，过点作交于点，根据折叠的性质得出，，推得，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，推得，根据全等三角形的判定和性质得出，，结合直角三角形的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出，，结合三角形内角和定理求得，根据等腰直角三角形的性质推得，根据勾股定理和三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，，求得，根据全等三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：连接与交于点，过点作交于点，如图： 根据题意可得，，，， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴，， 故， 又∵， ∴， 即； ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， 则 ∴， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴， ∴． 在中，， ∵， 即， 解得：， 即； 在中，， ∴， 则； ∵，，， ∴， ∴， 故的面积为． 70．如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点N为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为 __．若点M，N，E在同一直线上，且点H到的距离与到的距离相等，则印章区域的面积为 __． 【答案】 64 12.25 【分析】本题考查正方形的性质及矩形的性质，能由图1求出各图形的边长是解题的关键．根据“台灯”的造型及图1，可求出的长，进而可求出矩形的周长；延长经过点E并与相交于点L，连接，可得出四边形是平行四边形，求出长即可解决问题． 【详解】解：由图1可知， 七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为6，然后，最小的直角边长为3， 正方形和平行四边形的短边长都是3． 过点N作和的垂线，垂足分别为J，K，则， 又 ，且是等腰直角三角形， ，故． 又， 四边形是矩形， ． 又， ， 故矩形的周长为． 延长经过点E与交于点L，连接， ，且， ． 又点H到的距离与到的距离相等， 点H在的角平分线上，则． ， ， 又， 四边形是平行四边形． 又， ． ．则， 四边形是正方形， 印章区域的面积为． 故答案为：64，12.25． 71．小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 【答案】(1)③④ (2) (3)，证明见解析 (4) 【分析】（1）回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，根据垂美四边形对角线互相垂直的定义，逐一判断各图形是否符合要求． （2）因为垂美四边形对角线互相垂直，所以可将四边形拆分为两个以为公共底的三角形，面积和即为四边形面积，代入对角线长度用公式计算． （3）因为对角线互相垂直，所以四个三角形均为直角三角形，利用勾股定理分别表示四条边的平方，再整理得出数量关系． （4）因为D、E是中点，所以是中位线，可得到与的数量关系；再由得四边形是垂美四边形，利用第三问得出的垂美四边形边长性质，结合已知的、长度求出、长度，代入式子计算． 【详解】（1）解： ①平行四边形对角线互相平分但不一定垂直；②矩形对角线相等但不一定垂直；③菱形、④正方形的对角线一定互相垂直，因此一定是垂美四边形． （2）解： ； （3）解：数量关系：，证明如下： 设对角线、交于点， 由勾股定理： ，， ∴； 同理，，， ∴， ∴． （4）解： ∵，分别是，的中点， ∴，，，且． 又∵，四边形是垂美四边形， 由（3）的结论得： ， 代入，，，得 ， 整理得， 解得（边长为正，舍去负根）． 72．定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对补四边形”． 【尝试判断】 （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“对补四边形”的是__________； （2）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则边的长是__________； 【操作探究】如图2，在菱形中，于点E，请在边找一点，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对补四边形”，直接写出的长是__________； 【拓展延伸】如图3，在正方形中，，点E，F，G分别从点B，B，C同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边方向运动（保持），再分别过点作的垂线交于点H，连接．试说明：四边形为“对补四边形”； 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对补四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长． 【答案】[判断尝试]（1）②④；（2）；[操作探究]；[拓展延伸]见解析；[实践应用] 或或或3 【分析】[判断尝试]（1）根据相关四边形的性质判断即可； （2）连接，根据勾股定理求得结果； [操作探究]连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； [拓展延伸]延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； [实践应用]分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】[判断尝试]解：（1）矩形和正方形的四个角都是直角， 矩形和正方形是“对补四边形”， 故答案为：②④； （2）如图，连接， 四边形是对补四边形，， ， ， ， ， 故答案为：； [操作探究]解：在菱形中，，，， ，， ，均为等边三角形， ， ， ，， ， 如图，取的中点，连接， 则， 同理：，， ，， 四边形是“对补四边形”， 为等边三角形， ， 故答案为：； [拓展延伸]证明：如图，延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度运动， ， 四边形是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为“对补四边形”； [实践应用]解：①如图，作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对补四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ； ②如图，作于，作于， 同上可知，四边形是“对补四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， ③如图，作，交于，作于， 则四边形是“对补四边形”， 由上知， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ④如图，以为底边作等腰直角三角形，连接，作，交的延长线于点，交于， ，，四边形是“对补四边形”， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 和是边长相等的等腰三角形， ， ， 综上，等腰三角形的腰长为或或或3． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是掌握新定义和分类讨论的思想． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8 正方形易错必刷题型专项训练 【温馨提示】18大高频压轴题型全覆盖，聚焦正方形高频易错考点，梳理判定、性质综合题型，深挖边长、对角线、折叠与全等结合易错点，总结解题思路，针对性突破审题疏漏、定理混用问题，夯实几何推理能力。 题型1 正方形性质理解 题型10 添加一个条件使四边形是正方形 题型2 根据正方形的性质求角度 题型11 根据正方形的性质与判定证明 题型3 根据正方形的性质求线段长 题型12 根据正方形的性质与判定求角度 题型4 根据正方形的性质求面积 题型13 根据正方形的性质与判定求线段长 题型5 正方形折叠问题 题型14 根据正方形的性质与判定求面积 题型6 求正方形重叠部分面积 题型15 中点四边形 题型7 根据正方形的性质证明 题型16（特殊）平行四边形的动点问题 题型8 正方形的判定定理理解 题型17 四边形中的线段最值问题 题型9 证明四边形是正方形 题型18 四边形其他综合问题 【题型1 正方形性质理解】 1．正方形具有，而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线垂直 B．对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 3．平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图所示，其中A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是______（写出一个即可）． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线交点为坐标原点O，点A，C在x轴上，点B，D在y轴上，若正方形的边长为2，则顶点A的坐标为_____． 【题型2 根据正方形的性质求角度】 5．如图，在正方形中，在的延长线上取一点E，使，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，为对角线，为上一点，连接、，延长交于．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 8．如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则的度数是______度． 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 9．如图，正方形的边长为，为边上一点，为延长线上一点，为线段的中点，连接并延长交边于点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 11．如图，在正方形中，F为上任意一点，连接，取中点M，过点M作交于点G，交于点H，连接交于点N，若，则为____． 12．如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 【题型4 根据正方形的性质求面积】 13．“出入相补”原理是魏晋时期数学家刘徽创立．如图是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形，，均为正方形．若正方形的面积为，，则的面积为（     ） A．6 B．8 C． D．10 14．在正方形中，对角线，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 15．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是____________． 16．如图，这是我国古代数学家赵爽的弦图，它由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长为，，斜边长为．已知，，则图中小正方形的边长为______． 【题型5 正方形折叠问题】 17．如图，在一张边长为的正方形纸片上，将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则线段与的长度之和最小值为（    ） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 19．如图，在正方形中，，点E为的中点，点F为边一动点，将沿翻折得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 20．如图，在正方形中，点E为上一点，将正方形沿所在直线折叠后，点A的对应点F恰好落在边的垂直平分线上．若，则的长为_____． 【题型6 求正方形重叠部分面积】 21．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 22．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是2，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 23．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 24．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 【题型7 根据正方形的性质证明】 25．如图，在正方形中，，分别是，的中点，连接，相交于点，的延长线交的延长线于点．下列四个结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 26．如图，在正方形中，，点在边上，，点，是正方形的边，上的动点，以，，，四点构造菱形．在点，运动变化过程中，点到的距离为___ ；点的运动路径（起点到终点）长度为___ ． 27．解决问题 (1)如图，在正方形中，点、分别在边上．已知：，求证：； (2)如图，若将边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中，折痕为，点在边上，点在边上，则折痕______； (3)如图3，在正方形中，，则的最小值为______．（直接填空） 28．综合与实践课上，小磊通过折叠矩形做的角后，发现将矩形纸片换成正方形纸片，也可以折叠出特殊角，于是他进行了以下探究． (1)【操作判断】 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平． 根据以上操作，请写出图1中的度数，并说明理由． (2)【拓展应用】 小磊在以上操作的基础上，继续研究，延长交于点M，连接交于点N，如图2．试判断的形状，并说明理由． (3)【迁移探究】 如图③，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长． 【题型8 正方形的判定定理理解】 29．下列命题中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 30．下列命题中正确的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形是菱形 31．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别平行；b对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：．你认为能得到正方形的是______．（填写你认为正确的序号） 32．我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元索及相关元素之间的关系也越来越特殊.下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是_____    【题型9 添一个条件使四边形是正方形】 33．已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 34．如下图，要使矩形是正方形，需要增加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 35．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 36．如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 【题型10 证明四边形是正方形】 37．如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 38．如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 39．如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 40．如图，菱形的对角线与相交于点O，． (1)求证：四边形是正方形． (2)E，F分别是上一点，，连接并延长与相交于点H，求证：． 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 41．在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 42．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 43．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 44．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 45．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 46．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 47．如图，正方形中，，是对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接，若，则的长为__________． 48．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 49．如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 50．如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 51．如图，在中，的平分线交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求四边形的面积． 52．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 53．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 54．如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 55．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则_____． 56．如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：． (2)如图2，过点作，交边于点，以，为边作矩形，连接． （ⅰ）求证：． （ⅱ）若正方形的边长为，求的值． 【题型15 中点四边形】 57．中国传统剪纸艺术讲究“对称精巧，形意兼备”，其图案设计常蕴含几何规律．如图是某剪纸作品中的四边形，点，，，分别是边的中点，顺次连接，，，得到四边形．已知对角线，，且，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 58．如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 59．如图所示，学校有一块四边形草坪，其中、、、分别是、、、的中点，在中点位置各安装一个喷水头，并用管道依次连接这四个喷水头，得到中点四边形． (1)草坪为任意四边形时，猜想四边形的形状并证明； (2)现在测得草坪的两条对角线，，且，求四边形的面积． (3)尺规作图：已知线段和（），作一个四边形，使得它的中点四边形恰好是一个周长为的矩形，保留作图痕迹，不写作法，标明字母（不需要画出中点四边形）． 60．如图，在四边形中，，E、F、G、H分别为、、、的中点，顺次连接E、G、F、H． (1)猜想四边形是什么特殊的四边形，并说明理由； (2)当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由． 【题型16（特殊）平行四边形的动点问题】 61．如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿向终点运动．当四边形为平行四边形时，运动时间为（   ） A．4s B．3s C．2s D．1s 62．在四边形中，，，．点E从点D出发，沿方向运动到点C，点F从点B出发，沿方向运动到点A，点E，F的速度均为每秒1个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点E，F的运动时间为t．分别过点E，F作于点P，于点Q，当以E，P，F，Q四个点为顶点的四边形是正方形时t的值为________． 63．在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 64．如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【题型17 四边形中的线段最值问题】 65．如图，，是菱形的对角线，点，，分别是边，，上的点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 66．如图，矩形，点E，F分别是边，上的动点，且，连接，．若，，则的最小值是_________． 67．在数学实践活动课上，创新小组的同学对含角的菱形进行探究． 【问题情境】如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，且． 【初步感知】 (1)若点是的中点，点是的中点，则与的数量关系为：________ 【拓展应用】 (2)若，分别为边，上任意一点，当时，求周长的最小值； 【问题解决】 (3)当点在边上运动（不与端点重合）时，小明发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小明验证他的发现． 68．平行四边形中，，连接，点G为延长线上一点，连接，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，过点C作，交延长线于点E，过点G作，交延长线于点F，以为斜边构造等腰直角三角形，过点H作交于点K，交于点I．猜想线段、、的关系，并证明； (3)如图3，若、，点M、N、K分别是、、上的动点，请直接写出长度的最小值． 【题型18 四边形其他综合问题】 69．正方形的边长为，点是边的三等分点，连接，将沿翻折到正方形所在的平面内得，点的对应点为点，连接，点为边上的一点，且，连接分别交，于点，，点为的中点，连接，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 70．如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点N为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为 __．若点M，N，E在同一直线上，且点H到的距离与到的距离相等，则印章区域的面积为 __． 71．小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 72．定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对补四边形”． 【尝试判断】 （1）在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“对补四边形”的是__________； （2）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则边的长是__________； 【操作探究】如图2，在菱形中，于点E，请在边找一点，使得以点A，E，C，F组成的四边形为“对补四边形”，直接写出的长是__________； 【拓展延伸】如图3，在正方形中，，点E，F，G分别从点B，B，C同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边方向运动（保持），再分别过点作的垂线交于点H，连接．试说明：四边形为“对补四边形”； 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对补四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $