精品解析：重庆市实验外国语学校2025-2026学年高三下学期模拟考试八数学试题

重庆实验外国语学校 2025－2026学年度（下）高2026届模考八 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】，则. ，所以， 所以. 2. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，即，移项整理得, ，所以， 故的虚部为1. 3. 设为等比数列， 则“为递增数列”是“存在，使得 ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由数列单调性的定义，即可验证充分性成立，再举出反例即可得到必要性不成立，从而得到结果. 【详解】当“为递增数列”时，对任意“，必有 ”，故充分性成立； 假设等比数列的公比是，首项是1，则数列依次为， 当时，有，使得 ，但不是递增数列，故必要性不成立； 故“为递增数列”是“存在，使得 ”的充分而不必要条件. 4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，的最小正周期为，在区间上单调递增，错误； 对于B，，最小正周期为，在区间上单调递减，正确； 对于C，最小正周期为，在区间上单调递增，错误； 对于D，最小正周期为，在区间上单调递减，错误. 5. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 B. 在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.007 D. 将总体划分为三层，通过分层抽样，得到三层的样本平均数和样本方差分别为，，和，，，若，则总体方差 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，上四分位数（即第75百分位数）的计算位置为， 则上四分位数应取第6个数和第7个数的平均值，即，A正确； 对于B，相关系数的含义是两个变量没有线性相关关系，但可能存在非线性关系，B正确； 对于C，残差的定义是观测值与预测值之差，即， 则残差为，C正确； 对于D，设总体分为三层，各层样本容量为，总样本容量为. 各层样本平均数为，样本方差为. 总体方差. 当时，设， ， 即， 则总体方差等于， 仅当时，，而题目未说明各层样本容量相等（），不正确，故选D. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. 或 B. 1或 C. 或 D. 1或 【答案】A 【解析】 【详解】由知，即，得或， 故或. 7. 直线与把圆分成长度相等的三段弧，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过圆心到两条直线的距离相等以及距离和圆半径的关系，得出是二次方程的两个不相等的实根，最后利用韦达定理即可求解. 【详解】 由题意得，圆的方程为，所以圆心，半径， 如图所示，直线与把圆分成长度相等的三段弧， 因此为等边三角形，，因此圆心到直线的距离， 而圆心到直线的距离，即，两边同时平方后化简得， 同理，对于直线，也满足方程 ， 因此是二次方程的两个不相等的实根， 根据韦达定理有， 所以 ，故C正确. 8. 已知对恒成立，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析函数在区间的零点和正负区间，再根据不等式分析函数的零点，利用韦达定理表示 关系，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】当，，则， 当，， 当，，， 当，， 当，，， 若对恒成立， 则，并且函数的两个零点分别是1和7， 则，则，，， 所以， 当，，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化为分析两个函数和 的零点. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是 A. 异面直线AC与所成的角为60° B. 直线与平面成角为45° C. 二面角的正切值为 D. 四面体的外接球的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，平移直线到直线；对B，作出线面所成的角，再利用三角函数求解；对C，作出二面角的平面角，再求正切值；对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球. 【详解】如图所示，连接， 对A，平移直线到直线，则异面直线AC与所成的角，显然为正三角形，，故A正确； 对B，，，，平面，为线面角，，，，故B错误； 对C，在三角形中，，为二面角的平面角，，故C正确； 对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球，，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查空间中角的概念与计算，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题. 10. 已知数列中，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. 当取最小值时， D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，可得数列是等差数列，进而可求得数列的通项公式，可判断选项A正确； 再根据等差数列的前项和公式，可求得，令，可求得，可得选项B正确； 根据等差数列前项和的二次函数性，可得选项C错误； 由通项可得数列的通项，结合裂项相消法可求得前项和，可得选项D正确. 【详解】由题意，，则，所以数列是公差为的等差数列， 又，所以，故A选项正确； 因为等差数列中，，，所以，故B选项正确； 又， 所以当时，取最小值，故C选项错误； 又，所以， 所以 ，故D选项正确. 综上所述，选项ABD正确. 11. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（ ） A. B. 直线经过点 C. D. 与面积之和的最小值是3 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及计算判断A，B；利用向量模的坐标表示表示出模长，再结合韦达定理代换，最后用基本不等式求解最值判断C，利用三角形面积公式建立关系，借助基本不等式求解判断D即可. 【详解】对于A，显然直线不垂直于y轴，设直线方程为， 由，消去得， 得到，，得， 而，，可得， 由，得，解得或， 而，即，因此，，故A正确； 对于B，此时直线恒过点，故B正确； 对于C，由模长公式得， 同理可得， 则 ， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，得到， 可得，故C错误， 对于D，不妨设，而， 则 ， 当且仅当时取等号，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知向量，则与的夹角为__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由题可知， 解得， 所以，又， 则. 13. 已知，从集合中随机取出两个数且，连接原点和两点，则的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题设条件求出数对总的个数，然后利用求出满足题意的数对的个数，最后利用古典概型概率公式计算出结果． 【详解】从集合中任取两个不同的数，不考虑顺序时，总共有种取法. 已知为原点，，设， 斜率​（其中为直线的倾斜角）， 斜率（其中为直线的倾斜角）， 则. 由题，则. 不妨设，整理得，式分解得. 因，故，所以满足条件的两个数中，一个是另一个的2倍. 集合中满足条件的无序数对有，共4对. 因此概率. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由三角形内切圆的性质结合椭圆的定义可得，再结合条件可得，，然后在与中，结合余弦定理列出方程，再由离心率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 设的内切圆与相切于点， 由切线长定理可得， 又，则，即， 由椭圆的定义可得， 即， 所以，又，即，所以， 则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得 化简可得，即，即， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 利用三角形内切圆的性质和椭圆的定义，得到，从而得到的值. 四、解答题：本大题共5小题，共67分． 15. 记的内角的对边分别为，满足． （1）若为等腰三角形，求； （2）若，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换得，进而得，再根据等腰三角形即可求得答案； （2）结合（1），根据已知条件得，再结合正弦定理得，进而得，最后计算面积即可. 【小问1详解】 解：由 可得：即 整理得： 又，且，所以 因为为等腰三角形， ①当时，，得 ②当时，，得 故的值为或 【小问2详解】 解：结合（1）得，时， 由正弦定理得， 所以 又， 所以 所以的面积为 16. 记数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）设为正整数，从集合中随机抽取一个数，若抽到，则记随机变量，假设抽到的概率与的值成正比，求.（用表示） 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，求解即可； （2）由及，求得，从而得，，利用错位相减求出的值，即可得答案. 【小问1详解】 当时，则有， 解得； 当时，由， 可得， 所以， 即， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以； 【小问2详解】 由题意可得，为常数， 因为， 即， 所以， 所以， 所以， 设， 即， 所以， 两式相减，得 ， 所以， 所以， 17. 在以为坐标原点的平面直角坐标系中，直线交双曲线于A，B两点．为直线上一点且．点为直线与轴的交点． （1）求双曲线的渐近线方程和焦距； （2）若线段AB上一动点满足，求直线OM与ON的斜率之积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线的概念及其焦距的概念即可求得答案； （2）先设，，联立直线和交双曲线即可得到关于一元二次方程，再根据韦达定理得到，，从而结合即可得到点的坐标，结合即可得到点的坐标，进而即可求解． 【小问1详解】 由双曲线，则，， 所以双曲线的渐近线方程为， 又，所以焦距为． 【小问2详解】 设，， 由，可得， 则， 所以，， 因为直线与双曲线交于轴上方的A，B两点， 所以，解得， 又为直线上一点且，即为的中点， 所以，， 所以，所以， 由点为直线与轴的交点，即， 又，可得，解得， 所以，所以，所以， 故直线OM与ON的斜率之积为． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）点M为线段上靠近C的四等分点， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【小问1详解】 因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 【小问2详解】 因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. 【小问3详解】 如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 19. 已知函数 （1）当时，求证:； （2）若在处取得极大值，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程 有两个不同实根，写出实数的取值范围 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数单调性，进而求解证明最值； （2）求导，对参数进行分类讨论，进而结合函数单调性和极值确定的取值范围； （3）将方程解的问题转化为函数零点问题，构造函数，结合导数和零点存在定理求解. 【小问1详解】 证明：当时，，求导得：， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此的最大值为，故，得证. 【小问2详解】 对求导并因式分解得：， 若：恒成立，时，时， 处取极大值，符合要求； 若：，时，时， 处取极大值，符合要求； 若：，单调递增，无极值，不符合； 若：，时，时， 处取极小值，不符合. 综上，的取值范围为： 【小问3详解】 整理方程，代入化简得：. 设，则有两个不同零点，， 若：，单调递增，最多1个零点，不符合； 若：令得，在递增，递减， 最大值为. 要存在两个零点，需最大值大于，即，得， 即，且和时，故有两个零点， 综上，的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆实验外国语学校 2025－2026学年度（下）高2026届模考八 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 设为等比数列， 则“为递增数列”是“存在，使得 ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 B. 在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.007 D. 将总体划分为三层，通过分层抽样，得到三层的样本平均数和样本方差分别为，，和，，，若，则总体方差 6. 已知向量，，若，则（ ） A. 或 B. 1或 C. 或 D. 1或 7. 直线与把圆分成长度相等的三段弧，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 8. 已知对恒成立，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是 A. 异面直线AC与所成的角为60° B. 直线与平面成角为45° C. 二面角的正切值为 D. 四面体的外接球的体积为 10. 已知数列中，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. 当取最小值时， D. 数列的前项和为 11. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（ ） A. B. 直线经过点 C. D. 与面积之和的最小值是3 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知向量，则与的夹角为__________. 13. 已知，从集合中随机取出两个数且，连接原点和两点，则的概率为__________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为________． 四、解答题：本大题共5小题，共67分． 15. 记的内角的对边分别为，满足． （1）若为等腰三角形，求； （2）若，求的面积． 16. 记数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）设为正整数，从集合中随机抽取一个数，若抽到，则记随机变量，假设抽到的概率与的值成正比，求.（用表示） 17. 在以为坐标原点的平面直角坐标系中，直线交双曲线于A，B两点．为直线上一点且．点为直线与轴的交点． （1）求双曲线的渐近线方程和焦距； （2）若线段AB上一动点满足，求直线OM与ON的斜率之积． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． （1）设平面平面，证明：； （2）证明：； （3）线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数 （1）当时，求证:； （2）若在处取得极大值，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程 有两个不同实根，写出实数的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $