精品解析：重庆实验外国语学校2026届高三下学期第一次周考数学试题

重庆外国语学校高2026届高三（下）第一次周考 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的相关系数为5.2 B. 当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分 C. 该样本数据中，至少有一个点在回归直线上 D. 若某学生每日阅读时间为2小时，则他语文成绩一定为分 4. 已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是减函数，则当取得最小值时，（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知圆：，圆：，其中，，若两圆外切，则最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 已知函数定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，给出下列四个命题中的真命题有（ ） A. 在上单调递增 B. 的最小正周期是 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有且只有一个零点 B. 点为曲线的对称中心 C. 曲线在点处的切线方程为 D. ， 11. 已知正三棱台的所有顶点都在球的球面上，且，点满足，则（ ） A. 当为棱的中点时， B. C. 若直线平面，则 D. 若，则球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，且，则__________. 13. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，P是C上一点，且，，则C的离心率为_______． 14. 甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局的输赢互不影响．若表示在甲所得分数为时，最终甲获胜的概率，若，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万把 7 8 10 11 14 （1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把： （2）已知该工坊2023年售出油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列． 附：回归直线方程，． 16. 在中，角的对边分别是，已知 （1）求； （2）若点满足，且，求． 17. 已知函数．若函数有两个不相等的零点． （1）求a的取值范围； （2）证明：． 18. 如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，为中点. （1）若为线段中点，求证：，，，四点共面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 19. 已知双曲线：的离心率为2，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知数列是公比为的等比数列，首项记为．按照如下方式构造点列：过点作斜率分别为，的两条直线，，直线交双曲线于，两点，直线交双曲线于，两点，记弦与的中点分别为，，直线与轴交于点． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设的面积为，若，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆外国语学校高2026届高三（下）第一次周考 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模计算公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集运算求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 3. 为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（ ） A. 该样本数据的相关系数为5.2 B. 当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分 C. 该样本数据中，至少有一个点在回归直线上 D. 若某学生每日阅读时间为2小时，则他的语文成绩一定为分 【答案】B 【解析】 【分析】根据相关系数范围可以判断A；由回归系数定义可以判断B对；根据回归方程性质可以判断C，D. 【详解】对于A，相关系数取值范围是，故错误； 对于B，回归系数的含义是：当自变量每增加1个单位时，因变量平均增加的量。 这里表示每日自主阅读时间（小时），表示语文成绩（分），所以当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分，故正确； 对于C，回归直线是对样本的拟合直线，不一定经过样本点，故错误； 对于D，当时，，为预测值，不是确定值，故错误. 4. 已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的项的性质判断A；根据时，判断B；根据基本不等式计算求解判断C，根据常数列判断D； 【详解】对于A选项，数列是公比为的等比数列，且，则，所以或，故错误； 对于B选项，若，当时，有，则，故错误； 对于C选项，数列是公比为的等比数列，则，， 又因，所以，所以，故正确； 对于D选项，当等比数列为公比为的非零常数列时，始终满足， 但不一定成立，故错误； 5. 已知，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 详解】由，，可得， ．而向量在向量上的投影向量为， 因， 故在上的投影向量为． 6. 已知函数减函数，则当取得最小值时，（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性和分段函数的单调性进行求解即可. 【详解】由条件知，可得，当且仅当时等号成立， 于是． 7. 已知圆：，圆：，其中，，若两圆外切，则最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法1：根据两圆相切列出等式，设，进而求出结果；方法2：根据两圆相切列出等式，所以点在圆上，根据直线与圆的位置关系结合图形，求出最大值即可. 【详解】方法1：圆：，则，半径， 圆：，则，半径， 因为两圆外切，所以， 即，即， 所以可设，（）， 则， 因为，所以. 方法2：因为，所以点在圆上， 设，则点在直线上， 所以直线与圆有公共点，如下图所示： 所以圆的圆心到直线距离小于等于半径， 即，解得， 故的最大值为，即最大值为. 故选：C. 8. 已知函数的定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB，可通过确定的代入判断，对于C，可通过构造函数，由其单调性和最值，确定方程有解判断，对于D，取，通过和分析方程无解，可判断. 【详解】对于A， ，定义域为， 取，，即，A可能， 对于B， ，定义域为， 取，，即，B可能， 对于C，，定义域为， 由， ， ， ， 构造函数，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 最小值，且当时，， 即存在，使得，即， 也即存在，使得，C可能， 对于D，，定义域为， 由得， 取，方程为：， 当时，不成立， 当时，两边取对数得， 即，因为，显然此方程无解， 综上可知：当时，不存在满足条件，即D不可能. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，给出下列四个命题中的真命题有（ ） A. 在上单调递增 B. 的最小正周期是 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦函数的图象与性质，利用验证法，结合选项计算依次判断即可. 【详解】A：由，得， 又函数在上单调递增，故A正确； B：由，可知的最小正周期为，故B错误； C：，所以的图象关于直线对称，故C正确； D：，所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD． 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 有且只有一个零点 B. 点为曲线的对称中心 C. 曲线在点处的切线方程为 D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：令，解出即可得；对B：举出反例即可得；对C：借助导数的几何意义计算即可得；对D：利用导数研究函数单调性，求出时的最大值与时的最小值即可得. 【详解】对A：令，解得， 故有且只有一个零点，故A正确； 对B：由， 故点不为曲线的对称中心，故B错误； 对C：因，则， 故曲线在点处的切线方程为，故C正确； 对D：因函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 故、上单调递增，在、上单调递减， 则当时，，当时，， 故不存在，使得，故D错误. 11. 已知正三棱台的所有顶点都在球的球面上，且，点满足，则（ ） A. 当为棱的中点时， B. C. 若直线平面，则 D. 若，则球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助空间向量线性运算法则计算即可得；对B：设该三棱台高为，建立适当空间直角坐标系后可表示出、，再利用向量坐标运算即可得；对C：求出平面的法向量及向量后计算即可得解；对D：可计算出，从而得到、坐标，再设出球心坐标，利用外接球性质计算可得球心及该球半径，再利用球的表面积公式计算即可得. 【详解】对A：当为棱的中点时，， 则，故A正确； 对B：以为原点，为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设该三棱台高为，则、、， 设该三棱台上下底面中心为、，作底面于点， 则，，， 则，，故， 则，， 则，故B错误； 对C：、， 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，即， 、、， 则， 则， 由直线平面，则， 即， 故，故C正确； 对D：若，则， 则，， 由正三棱台性质，可设球心坐标， 则，即有， 解得，则， 故球的表面积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，且，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据递推公式逐项检验可知数列的一个周期为5，进而运算求解. 【详解】因为，且， 则，，，，， 可知数列的一个周期为5，所以. 故答案为：2. 13. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，P是C上一点，且，，则C的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义、勾股定理和离心率公式计算即可. 【详解】根据椭圆的定义得，平方得， 化简得①， 因为，所以，所以②， ①-②得，即， 又，得到，，代入②得，得到. 所以椭圆的离心率为. 14. 甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局的输赢互不影响．若表示在甲所得分数为时，最终甲获胜的概率，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合全概率公式分析可得数列（）是以为公比的等比数列，然后利用累加法结合等比数列的求和公式求解即可. 【详解】由题意得甲所得分数为时，下一局可能的结果有三种情况： 若甲胜，则甲得分变为，对应概率为， 若乙胜，则甲得分变为，对应概率为， 若平局，则甲得分保持，对应的概率为， 所以由全概率公式可得， 所以，， 所以（）， 所以数列（）是以为公比的等比数列， 所以， 所以，，， ，， 所以 , 所以， 所以， 因为，，所以，解得. 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万把 7 8 10 11 14 （1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把： （2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列． 附：为回归直线方程，． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题中公式求出关于的线性回归方程，再运用代入法进行求解即可； （2）运用二项分布的定义和性质进行求解即可. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 所以关于的线性回归方程为； 当， 所以预测该工坊油纸伞的销量最早在年能超过20万把. 【小问2详解】 该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率， 所以2023年售出的油纸伞中，通过线上售出的概率为， 由题意可知：， 所以， ， ， ， 所以其中线上售出数量的分布列为： 16. 在中，角的对边分别是，已知 （1）求； （2）若点满足，且，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理转化得到，再结合两角和的正弦公式求解； （2）由，得到为的中点，再由，利用中线定理得到，再由，得到，再在中，利用勾股定理求解. 【小问1详解】 由正弦定理及， 得， ∵，∴， ∴， ∵，∴，∴ ∵，∴． 【小问2详解】 ∵，∴为的中点，且， 又，即，故， 又，∴为等边三角形，∴， 在中，由，得， 解得． 17. 已知函数．若函数有两个不相等的零点． （1）求a的取值范围； （2）证明：． 【答案】（1）； （2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及最值，结合零点存在性定理计算即可； （2）构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可证明. 【小问1详解】 由题意可知：， 若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点， 故， 显然当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以若要符合题意，需， 此时有，且， 令， 而， 即在上递减，故， 所以， 又， 故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意， 综上； 【小问2详解】 结合（1），不妨令， 构造函数， 则， 即单调递减，所以， 即， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增，所以由， 故. 18. 如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，为中点. （1）若为线段中点，求证：，，，四点共面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用共面判定定理进行证明即可； （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小； （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，所以， 所以，，，四点共面； 【小问2详解】 取中点，连接，由，得， 而平面平面，平面平面平面， 则平面， 过作，则平面，又平面， 于是， 在矩形中，，， 则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为， 则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 连接，由，得，而， 则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线 分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为， 则， 令，得， 设平面的法向量为， 因为，， 则， 令，得， 设平面和平面的夹角为， 则 令，，则，即， 则当时，有最小值， 所以平面和平面的夹角余弦值的最小值为． 19. 已知双曲线：的离心率为2，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）已知数列是公比为的等比数列，首项记为．按照如下方式构造点列：过点作斜率分别为，的两条直线，，直线交双曲线于，两点，直线交双曲线于，两点，记弦与的中点分别为，，直线与轴交于点． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设的面积为，若，，，证明：． 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的离心率和过定点的条件，联立方程求得双曲线方程； （2）(i)通过直线与双曲线的中点坐标，推导直线与轴交点的坐标，结合等比数列的定义证明为等比数列； （ii）先用写出的表达式，对于含的部分，单独求出其最大值，最后由等比数列求和即可证明. 【小问1详解】 双曲线的离心率为2，故，结合得. 双曲线过点，代入得，结合， 得，故，. 双曲线的方程为. 【小问2详解】 (i) 数列为等比数列，故，， 过作直线，， 由消去并化简得， 其中，所以. ， 所以，. 过作直线， 同理可求得，. 所以直线的方程为， 直线的方程令，得， ， ，， . 因，故，即是等比数列. (ii) 由，，得. 的面积. 设， 由于， 由对勾函数单调性，当或时，， 当时，， 设，则单调递增，， 故. 求和得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $