精品解析：重庆市第一中学校2026届高三5月高考模拟考试数学试题

重庆一中高2026届高三5月高考模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.试卷由”整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，， 则（ ） A. B. C. D. 2. 复数 z 满足 (其中 i 为虚数单位)，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正项等比数列的前项积为， 且，， 则 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 某游客计划一天内游览重庆 5 个景点: 洪崖洞、解放碑、长江索道、磁器口古镇、李子坝轻轨站，每个景点仅游览一次，要求洪崖洞与解放碑必须相邻， 且长江索道不能排在第一位， 则不同的游览顺序共有（ ） A. 24 种 B. 28 种 C. 32 种 D. 36 种 7. 已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点,点为坐标原点，点，在抛物线上，且，则为（ ） A. B. C. D. 27 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在处取得极小值 D. 曲线在处的切线斜率为 10. 已知一组个数据：，，…，，满足：，平均值为，中位数为，方差为，则（ ） A. B. C. 函数的最小值为 D. 若，，…，成等差数列，则 11. 已知正方体 的棱长为 2， ， 点 在底面 上运动. 则下列说法正确的是（ ） A. 当 ∥面 时， 点 的轨迹长度为 B. 当 与底面 所成角为 时， 点 的轨迹长度为 C. 点 到直线 的距离为 ， 到直线 的距离为 ， 且满足 时， 在一条抛物线上运动 D. 存在点 ，使得 . 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设随机变量 的概率分布为 ，为常数，，则 ____. 13. 已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 14. 若对任意,均有不等式成立，则实数的取值范围是 ____. 四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 随机变量与之间具有相关关系，在一次实验中得到如下表数据： 1 3 5 7 9 4 6 10 其中且，，. 参考公式： （1）求的值; （2）求关于的回归直线方程. 16. 在中，角、、所对的边长分别为、、，. （1）若，求角； （2）在（1）的条件下，若，求的面积. 17. 如图，几何体为圆柱的一部分，为底面圆的圆心，底面， ，，为弧上任意一点，为弧的中点，. （1）证明: 平面平面; （2）已知二面角的大小为，且，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）若在处取得极值，求和的值（其中为自然对数的底）； （2）已知，记为的导函数，，若存在两个极值点，. (i)证明：； (ii)已知，求的取值范围. 19. 已知椭圆过点，离心率为. （1）求的方程; （2）按如下规则作直线:在椭圆上任取一点，过点作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点，过作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点，过作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点，以此类推，过点作一条斜率为的直线，与椭圆相交于另一点，过点作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点.(在作这些直线的过程中，若出现新作直线与已有直线重合或者直线与椭圆相切的情况时，则作图结束，不再作直线) (i)对于不同的初始点，求三角形的面积的最大值； (ii)证明：对任意起始点，这样作出的直线的条数是有限的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2026届高三5月高考模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.试卷由”整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由 ，解得 ，即； 由有意义，可得 ，故， 所以. 2. 复数 z 满足 (其中 i 为虚数单位)，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由虚数单位的运算性质求出复数z，再由共轭复数的定义计算即得. 【详解】由 ，可得  移项得  ，其共轭复数为 . 3. 已知平面向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，则， 即，则. 4. 已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结合定义域求解即可. 【详解】因是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则在上单调递减. 则 等价于 ，可得 ，即， 由①得；由②得或 故  的解集为 . 5. 已知正项等比数列的前项积为， 且，， 则 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的性质和通项公式的基本量的运算，求得和公比为，进而求得的值. 【详解】由等比数列的性质，可得， 因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 所以等比数列的公比为，所以. 6. 某游客计划一天内游览重庆 5 个景点: 洪崖洞、解放碑、长江索道、磁器口古镇、李子坝轻轨站，每个景点仅游览一次，要求洪崖洞与解放碑必须相邻， 且长江索道不能排在第一位， 则不同的游览顺序共有（ ） A. 24 种 B. 28 种 C. 32 种 D. 36 种 【答案】D 【解析】 【详解】先捆绑洪崖洞与解放碑共有种， 再与剩下3个景点排，又长江索道不能排在第一位， 则共有种． 7. 已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正三棱台的上下底面的中心分别为，证得平面，得到为直线与底面所成的角，求得正三棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】设正三棱台的上下底面等边三角形的中心分别为, 分别连接，过作的垂线，垂足为，则， 因为平面，所以平面， 所以为直线与底面所成的角，所以， 因为正三棱台的上下底面的面积分别为和， 即等边的边长为，等边的边长为， 可得，所以， 因为，可得，所以， 即正三棱台的高， 所以正三棱台的体积为. 8. 已知点,点为坐标原点，点，在抛物线上，且，则为（ ） A. B. C. D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据向量的坐标运算得到，再利用模长公式求解． 【详解】设， ， ，解得， ， ， ． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在处取得极小值 D. 曲线在处的切线斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据函数的平移变换得到，再根据正弦函数的性质及极值的定义求解判断ABC；根据导数的几何意义求解判断D. 【详解】由题意，先将图象上的所有点的横坐标缩短为原来的得到的图象， 再向右平移个单位可得的图象， 即； 对于A，当时，， 因为函数在上不单调递增， 则函数在区间上不单调递增，故A错误； 对于B，由， 则函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C，由， 则函数在处取得最大值，也为极大值，故C错误； 对于D，由，得， 则， 所以曲线在处的切线斜率为，故D正确. 10. 已知一组个数据：，，…，，满足：，平均值为，中位数为，方差为，则（ ） A. B. C. 函数的最小值为 D. 若，，…，成等差数列，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A特例{1,2,4,17}即可判断；B由中位数定义判断；C由均值与数据总和关系展开函数式，结合二次函数性质确定最小值；D利用等差数列前n项和公式，及平均数、中位数定义判断. 【详解】A：当时，一组数据1,2,4,17，则，不在2，4之间，故错误； B：由中位数定义知：，正确； C：， 当时，最小值为，正确； D：若，，…，成等差数列，则，故正确． 故选：BCD 11. 已知正方体 的棱长为 2， ， 点 在底面 上运动. 则下列说法正确的是（ ） A. 当 ∥面 时， 点 的轨迹长度为 B. 当 与底面 所成角为 时， 点 的轨迹长度为 C. 点 到直线 的距离为 ， 到直线 的距离为 ， 且满足 时， 在一条抛物线上运动 D. 存在点 ，使得 . 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平行的判定与性质分析判断A；由线面角判断B；利用已知条件求出，即可判断C；作关于平面的对称点即可判断D. 【详解】在上取，在上取，连接，则可得平面平面， 即当在上运动时，∥面 ，根据相似三角形可得点 的轨迹长度为 ，故A正确， 因为平面，所以与平面所成角为，则，解得， 所以点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆弧，长度为，故B选项错误； 过点作于，再过点作于，则面，， 则，故，，，， 故点在以点为焦点，以为准线的抛物线上，故C正确， 作关于平面的对称点，则，且 ， 当点与点A重合时，则 ，所以存在满足题意，故D选项正确； 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设随机变量 的概率分布为 ，为常数，，则 ____. 【答案】 【解析】 【分析】由离散型随机变量所有可能取值的概率之和为，建立关于的方程并求解即可. 【详解】由，， 可得： 所以，即 解得. 13. 已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 【答案】 【解析】 【详解】由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则. 14. 若对任意,均有不等式成立，则实数的取值范围是 ____. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的导数，研究函数的单调性，从而求得函数的最值，根据不等式恒成立求得实数的取值范围. 【详解】要使得对任意,均有不等式 成立，即恒成立， 令函数，则导数， 当时，导数 ，则函数在上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值 ， 需满足，∴，即； 当时，函数，当时，，满足条件； 当时，令 ，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，端点值 ，， 所以令，所以，所以； 当时，在上单调递减，值域为，满足题意； 当时，函数在上单调递减，最小值 ，不满足题意. 综上所述：. 四、解答题（本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 随机变量与之间具有相关关系，在一次实验中得到如下表数据： 1 3 5 7 9 4 6 10 其中且，，. 参考公式： （1）求的值; （2）求关于的回归直线方程. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）根据和列出关于的方程组，求解出即可. （2）先根据公式求解出，再根据求解出，然后写出经验回归方程. 【小问1详解】 ，①， 又，②， 联立①②解得. 【小问2详解】 . . 关于的回归直线方程为 16. 在中，角、、所对的边长分别为、、，. （1）若，求角； （2）在（1）的条件下，若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、二倍角的正弦公式化简得出的值，结合可求得角的值； （2）由（1）可知，利用三角恒等变换化简得出，利用同角三角函数的基本关系可得出的值，再利用两角和的正弦公式可得出的值，即可得出，利用正弦定理结合已知条件可得出、的值，再利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，， 由结合正弦定理可得， 又因为、，则，所以，即， 因为，则，所以，可得，所以，故. 【小问2详解】 由（1）可知， 故 ，即， 因为，故，所以， 故 ， 所以， 由正弦定理可得，即，整理可得， 解得，故， 因此. 17. 如图，几何体为圆柱的一部分，为底面圆的圆心，底面， ，，为弧上任意一点，为弧的中点，. （1）证明: 平面平面; （2）已知二面角的大小为，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）以为坐标原点如图建立空间直角坐标，设， 则， 则，， ∴ ，， ∴，且，平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到点的坐标，由空间向量的数量积证明线线垂直，从而证明结论； （2）由二面角定义及题意求得点坐标，由空间向量的数量积求得面的法向量，然后利用法向量由空间向量的数量积求得面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，， ∴二面角为，∴， ∴， ∴， 设向量分别为平面与平面的一个法向量， 则，令，则，即， ，令，则，即， 平面与平面夹角为， 则. 18. 已知函数. （1）若在处取得极值，求和的值（其中为自然对数的底）； （2）已知，记为的导函数，，若存在两个极值点，. (i)证明：； (ii)已知，求的取值范围. 【答案】（1），； （2）（i）当时，，求导得. 因有两个极值点，故方程 有两个正实根，因此，解得. 因是方程 的根，故. 由，得 ，因，若 则矛盾， 故，且. 将代入，得. 要证，即证， 即证， 即证， 令 ，，则 ， 在上单调递增， 故 ，即. （ii） 【解析】 【分析】（1）利用极值点的函数值与导数值为0列方程求参数，再通过导数验证极值点的有效性； （2）先化简，利用导数分析极值点条件，（i）通过参数替换构造辅助函数证明不等式；（ii）引入比例变量，转化为函数单调性问题求解取值范围. 【小问1详解】 由题意，函数 的定义域为，求导得 . 因在处取得极值，故且. ，得；代入，得 ，解得. 此时，令， 则 ，故在上单调递增. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增，故为极小值点，符合题意. 综上，，. 【小问2详解】 （i）略 （ii）令，由，得，，故. . 令 ，，. 令 ，则 ，在上单调递增， 故 ，，在上单调递增. 已知 ，故，即 . 19. 已知椭圆过点，离心率为. （1）求的方程; （2）按如下规则作直线:在椭圆上任取一点，过点作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点，过作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点，过作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点，以此类推，过点作一条斜率为的直线，与椭圆相交于另一点，过点作一条斜率为的直线与椭圆相交于另一点.(在作这些直线的过程中，若出现新作直线与已有直线重合或者直线与椭圆相切的情况时，则作图结束，不再作直线) (i)对于不同的初始点，求三角形的面积的最大值； (ii)证明：对任意起始点，这样作出的直线的条数是有限的. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用离心率与椭圆上点的坐标，联立求解椭圆方程的参数； （2）（i）通过设点并结合直线与椭圆的位置关系，利用韦达定理得到点的坐标关系，结合直角三角形面积公式与椭圆方程求最值； （ii）推导点列的递推关系，证明其周期性，从而说明直线条数有限. 【小问1详解】 由离心率，得，故， 椭圆方程可化为 ，即. 将点代入，得，故，. 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设 ，直线的方程为， 代入椭圆方程得 ，整理得 . 由韦达定理，，故. 同理，直线的方程为，代入椭圆方程得 ，由韦达定理，，故. 直线与的斜率为和，故， 三角形为直角三角形，其面积 . ， ， 故 . 因在椭圆上，故 ，即，代入得 . 由 ，当 时，取得最大值. (ii)证明：对任意起始点,若构造直线过程中出现切线,则结论成立； 下面论证不出现切线的情况: 设直线, 联立椭圆方程有:, 设直线, , , 设直线, 同理:, , 于是对任意有:, , 类似的有, 即在构造直线过程中,最多有6条直线则会出现循环,即直线条数有限. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $