广东佛山市禅城区2025-2026学年第二学期九年级供题训练(二) 数学

**基本信息** 本试卷聚焦九年级三模备考，通过竹升面长度计算、“佛山新城之眼”直径测量等真实情境题，融合代数、几何与统计知识，考查抽象能力、推理意识和应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|代数基础、几何初步|基础概念辨析，梯度合理| |填空题|5/15|函数、圆、方程|含多解问题（如第15题-1或7）| |解答题（一）|3/21|平方差公式纠错、反比例函数应用、统计图表|结合生活情境（竹升面），考查运算能力| |解答题（二）|3/27|矩形正方形证明、实际测量、分式方程|几何证明多条件组合（第19题3种方法），无人机测量情境| |解答题（三）|2/27|二次函数、三角形综合、动态几何|海伦公式应用（第22题），动态几何求最值（第23题）|

2025-2026年下学期九年级九年级供题训练（二) 参考答案及评分标准（数学） 一。 选择题（每小题3分，共30分） 题号 3 4 8 9 10 答案 A D C C B A D D 填空题（每小题3分，共15分） 题号 11 12 13 14 15 答案 1080 10000 59 -1或7 三.解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16.解：(1)从第(1)步首次出错； 1分 错因是平方差公式运用错误： 3分 (2)(3+2V23-22)-32 =32-2V2)-V16x2 5分 =9-8-4V2 6分 =1-4V2 7分 17.解：1)设y与x之间的函数表达式为：y=冬 1分 S ,该函数图象过点A4,32), 32=k .k=128, 2分 ·y与S之间的函数表达式为：y=128 3分 128 (2)解法一：由题意得.y= ≤0.8， 4分 S>0, 5分 S≥128 6分 0.8 160, 故这根竹升面的总长度至少有160cm. 7分 解法二：由题意得y≤0.8， 4分 由图象可知，当S>0时，y随S的增大而减小， 5分 ·5≥128 0.8 160, 6分 故这根竹升面的总长度至少有160cm. 7分 18.解：(1)总人数=15÷15%=100， 1分 A的人数=100×30%=30. 2分 补全的条形统计图如图所示 3分 人数 30 2520 15 1510 13 5 景点 A B C D 360°×30%=108°. 4分 答：“A”的圆心角度数108°. 5分 (2)500x13 =65 6分 100 答：八年级意向前往“E”的学生人数为65人。 7分 四.解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19.方法一：选择①作为条件，②③作为结论，命题成立. 1分 连接PB, 2分 D M A N :AD=AB,矩形ABCD, .矩形ABCD是正方形. 3分 AB=BC,∠ABC=90° ∴.∠CAB=∠ACB=45°. 4分 又：PM⊥BC, .∠PMC=90°. .∠CPM=90°-∠PCM=45°. :∠ACB=∠CPM. 5分 :CM PM 6分 PN⊥BA, .∠PNB=90°， 又.∠PNB=∠ABC=∠PMB=90°， .四边形PNBM是矩形 :PB =M N 7分 又：AD=AB,∠DAC=∠BAC,AP=AP, .△APD≌△APB. 8分 :DP=PB. :D P M N 9分 方法二：选择②作为条件，①③作为结论，命题成立. 1分 连接PB, 2分 D C M A W :PM⊥BC,PN⊥BA, ∴.∠PMC=∠PNB=90°. 又：PM=CM, ∴.∠CPM=∠ACB=45° 3分 矩形ABCD, .∠ABC=90°，AD=BC. ∴.∠CAB=90°-∠PCM=45°. 4分 LACB=∠CAB. 5分 :AB BC AD 6分 又：AD=AB,∠DAC=LBAC,AP=AP, .△APD≌△APB. 7分 :DP=PB 又.∠PNB=∠ABC=∠PMB=90°， .四边形PNBM是矩形. .PB M N 8分 :D P M N 9分 方法三：选择③作为条件，①②作为结论，命题成立 1分 连接PB, 2分 D C P M A N B :PM⊥BC,PN⊥BA, ∴.∠PMC=∠PNB=90°. 又矩形ABCD, ∴.∠ABC=90°， ∴.四边形PNBM是矩形. :PB =MN. 3分 又对于AC上任意点P(除A、C外)，都有DP=MN, :DP=PB .AC垂直平分BD. 4分 即BD⊥AC 又四边形ABCD是矩形， .四边形ABCD是正方形 5分 AB=AD=BC,且∠ABC=90° 6分 ∠PCM=180-∠4BC=45. 2 又.·矩形PNBM, .∠PMC=90°. ∴.∠CPM=90°-∠PCM=45°. 即∠CPM=∠PCM. 8分 PM MC. 9分 21.(1)解：如图，过点A,B分别作CF的垂线，垂足分别为G,H,过点D作AB的垂线， 308 H 10° D c 则四边形AGHB均为矩形，∠HBD=19°，∠FAG=30°， 1分 :AB=GH,BH AG=30 m,DF=73.5. 2分 在Rt△BDH中，tan∠HBD= BH ≈0.34， DH HD=30×0.34=10.2. 3分 在Rt△FAG中，tan∠FAG= GF AG 即BGF 330 .GF=30×V3≈17.3. 4分 :GH =DF-HD-FG =73.5-17.3-10.2 =46. 答：佛山新城之眼的直径约为46m. 5分 (2)解法一： 测量工具：无人机 测量过程： 步骤1：如图，在空旷平地找一点C, A F D............. B M N 步骤2：无人机从点C处竖直向上飞行到点D,使得此时测得点B的仰角为O°，即BD处于同一水平面上； 步骤3：再竖直向上飞行b米到达点F,此时测得点A的俯角为0°，即AF处于同一水平面上： 则AB=FD=b米，所以AB的距离就是b米. 解法二： 测量工具：无人机 测量过程： 步骤1：如图，在在摩天轮的正前方的空旷平地一点C, D B M C N 步骤2：无人机从点C处竖直向上飞行到点D,使得此时测得点B的仰角为， 即BD处于同一水平面上； 步骤3：再竖直向上飞行b米到达点F,此时测得点A的俯角为，即AF处于同一水平面上； 易证四边形DBAF为平行四边形，所以AB=FD=b米，所以AB的距离就是b米. 解法三： 测量工具：无人机，测倾器 测量过程： 步骤1：如图，在摩天轮的正前方的空旷平地一个能够看到最高点A的地方，设为点C,架上测倾器 A B D E H N 步骤2：利用侧倾器，从D处测得点B的仰角为，测得点A的仰角为B 步骤3：利用无人机测得点C与直径AB的水平距离为n米， 延长AB交MN于H,过点D作DE⊥AH于点E, 则四边形DCHE是矩形. CH=DE=n米. 则LBDE=a,∠ADE=B, AE=DE.tanβ=n.tanB, BE DE.tana =n.tand, AB AE-BE n.tanB-n.tana 20.解：(1)该社团可能180人， 1分 方法一： 设该社团成员有x人， x≤200 依题意得： x+40>200 解得160<x≤200， .该社团可能180人 4分 方法二： :180小于200，只能按零售价买， 180加上40超过200，按批发价买 .该社团可能180人. 4分 (2)设该社团成员有y人 180 240=180 200, 6分 y+40 y 解得y=200 7分 经检验，y=200是原方程的解，且符合题意. 8分 答：该社团成员有200人. 9分 五.解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22.解：(1)6、12、9V月 3分 2)05万 4分 4 ②过点A作AD⊥BC, D a 设AD=h,BD=x,则DC=a-, 则：h2=c2-x2,h2=b2-(a-x2. a2+c2-b2 c2-x2=b2-(a-x2,解得= X= 2a 5分 S=-h.a a2+c2-b2 6分 2a a2+c2-b2 2 a2+c2-b2 a2+c2-b3 21 ac- ac+ 2 2 2ac-a2-c2+b2 2ac+a2+c2-b2 2V 2 2 1 c2-(a-b2(a+b2-c2 2 2 2 1 c-a+b(c+a-b)(a+b-c(a+b+c) 21 2 2 (c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c) 8分 2 2 2 2 a+b+c p= 2 ..S=p(p-a)(p-b)(p-c) 9分 (3)不能实现理由如下： 10分 设三角形景观展示架的三条边分别为a、b、C, 由题意得a+b+c=10,其中一条边为4，不妨设c为4， 由海伦公式得S=√p(p-a(p-b(p-c) 其中p=a+b+c C=6, S=√pp-a(p-b(p-cj =V5(5-a)5-b)(5-4) =5(5-a)(5-b) 11分 a+b+c=10,c=4, .a+b=6. .b=6-a. S=V5(5-a(5-b) =V5(5-a(a-l) .公司计划搭建6m的展区， .V5(5-a(a-1)=6 整理得5a2-30a+51=0, 12分 △=(-30)2-4×5×51=-120<0 .方程没有实数根 ∴.该公司的计划不能实现. 13分 23.(1) 解：：BE⊥AB,DE⊥CB, .∠ABE=90°，∠BDE=90° 又.∠C=∠BDE=90°， ,∠CAB+∠ABC=∠ABC+∠DBE. :Z CAB Z D B E 1分 △ABC∽△BED. 2分 AC BC ,即-8 BD DE 3 DE 解得DE=4; 3分 B E (2)答：AE是LBAC的角平分线 4分 如图，过点E作HE⊥CA交AC延长线于点H, F D B H E .∠DCH=∠H=∠CDE=90°， ∴.四边形CDEH是矩形 5分 .CD HE =B C -BD =5,CH DE=4. .AH =AC+CH =10. 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE=VBD+DE2=5, .BE=HE 在Rt△ACB中，由勾股定理得：BA=VAC2+BC2=10, ,BA=AH,且EA=AE. .△AHE≌△ABE. 7分 :∠CAE=LBAE. 即AE平分∠BAC; 8分 (3)AG存在最大值. 9分 方法一： :∠C=LEDC,LAFC=∠EFD, .△ACF∽△EDF. AC CF DE DF. AC=6,DE=4,CD=BC-BD=5, :.CF=CD -DF=5-DF. :650r 4 DF 解得DF=2. 10分 CF=5-DF=3. 11分 :∠GPQ=∠BAC,∠AGP+∠BAC=∠GPC=∠GPQ+∠CPF, :ZAGP Z CPF. 又：LACB=LABE, ∴.∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠EBC=90°， :ZBAC Z EBC 如图，延长AC至点N,作LEBC=LCNF, G 中 E .∠FCN=∠BDE=90°， △FCN∽△EDB, FC CN 3 CN EDDB,即43. 解得CW=9 4 33 .:AN=AC+CN= 4. 12分 在Rt△CFN中，由勾股定理得：NF=VCN2+CF_15 4 .点P在AC上运动 ..AP=x(0<x<6),CP=AC-AP=6-x, 则P=CP+Cw=33 4 :∠PNF=LEBC=∠BAC,∠AGP=∠NPF, .△GAP∽△PNF. AG AP NP NF. AG 33-x=X 43 15 4, 4G=433 4x2+ 11 4二 5 13分 当x=- b3 14分 2a 8时，4G=363 80 方法二： 如方法一先求CF=3, 过点P作PH⊥AB, H F D E :∠GPQ=∠BAC,∠AGP+∠BAC=∠GPC=∠GPQ+∠CPF, :LAGP=∠CPF. ZAHP ZACB,ZHAP=ZBAC .△AHP∽△ACB. 9分 AH AP PH ·AC AB BC 又：LAGP=LCPF,LPHG=LPCF, .aGHP∽△PCF. 10分 GH HP ·PCCF,且BC=8,AC=6,AB=10 设AP=5x, 11分 由AH=APPH AC AB BC AH =3x,PH =4x PC=6-5x. 由GHHP 得 GH 4x PC CF -5x3 则GH= 56-5 12分 4AG=4+66-5x+3x202 13分 当x=-b=33 时，AP=5x=3<6,4G可取最大值， 2a40 8 则AGns=80 363 14分 2025-2026学年第二学期九年级供题训练（二） 数学 说明：本训练卷分第I卷和第II卷两部分，共6页．满分120分，训练时间120分钟． 注意：1．本训练卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能作答在训练卷上． 2．如需作图或画表，应先用铅笔画图，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 第I卷（选择题） 一．选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确答案）． 1．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是 A．点 B．点 C．点 D．点 2．下列运动属于旋转的是 A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．传输带运输的物品 D．工作中的风力发电机叶片 3．2026年五一假期，西樵山景区累计营业收入约600万元，数据“600万”用科学记数法可以表示为 A． B． C． D． 4．以红纸为画卷，以刀剪作笔墨，佛山剪纸艺术承载着中华文明的千年智慧．下列图案是中心对称图形的是 A． B． C． D． 5．近日，佛山市各中小学顺利举办首届“数学文化周”活动．某校开设趣味游戏、文化讲座、实践探究、创意作品展四大特色项目．现随机抽取一名学生进行问卷调查，该生最喜爱项目为“趣味游戏”的概率是 A． B． C． D． 6．为弘扬传统文化，某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛，经过五轮次的角逐，甲、乙两名同学脱颖而出．根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜．这五轮次角逐中他们的得分如表： 同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 8 7 9 8 8 乙 7 9 6 9 9 下列说法正确的是 A．甲同学获胜 B．乙同学获胜 C．甲乙同学并列获胜 D．无法判断 7．如图，将一个含角的三角尺摆放在一张对边平行的纸条上，直角顶点落在纸条的一边上．若，则的度数为 A． B． C． D． 8．下列四个命题中，是真命题的是 A．同位角相等 B．无限小数都是无理数 C．若点在坐标轴上，则且 D．垂线段最短 9．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 A． B． C． D． 10．如图，的直径长为12，四边形内接于，，则的长为 A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．八边形的内角和的度数为________； 12．计算：的结果________： 13．如图为一条排水管的截面，若半径，水面宽，则排水管内水的最大深度为________； 14．一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，随机停留在某块地砖（大小、质地完全相同）上，则小球停留在阴影区域的概率是________； 15．二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 三．解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16．以下是小军同学的根式运算过程： 计算： 解：原式第①步 第②步 第③步 上述解答过程，第几步首次出错？错误的原因是什么？写出正确的计算过程． 17．师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度是横截面积的反比例函数，其图象（如图所示）经过点． （1）求与之间的函数关系式； （2）若竹升面的横截面面积不超过，则其总长度至少是多少？ 18．某校计划组织八年级学生从以下景点中选择1个开展春游活动：．亚洲艺术公园；．佛山乐园：．文华公园：．中山公园；．绿岛湖湿地公园．小明随机调查八年级学生的意向目的地（每位学生只能选1个景点），调查结果的统计图（部分）如下： （1）补全条形统计图并求出扇形统计图中“A”对应的圆心角度数： （2）若八年级有500名学生，则意向前往“E”的人数大约是多少？ 四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，矩形中，点是对角线上的动点（不与、重合），过点分别作、边上的垂线段与，连接、．从以下三个选项中选择一个作为命题的条件， 另外两个作为结论，先判断真假再证明或举反例． ①；②；③对任意一点都有． 20．某文具店规定：一次性购买铅笔超过200支，可按批发价优惠付款，否则需按零售价付款．若某社团给成员每人购买1支，按零售价购买，需付180元；若购买数量增加40支，则可按批发价付款，需付180元． （1）该社团成员总人数可能是180人吗？为什么？ （2）若一次性购买240支或200支铅笔，所需金额相同，则该社团成员人数是多少？ 21．综合与实践 【问题提出】如图1，佛山新城之眼摩天轮矗立东平河畔，揽江景城貌，是佛山新城标志性地标．某数学学习小组开展了以下探究活动： 主题 测量新城之眼摩天轮的直径 抽象 如图2为简化示意图，直线表示水平地面，线段表示经过摩天轮最高点与最低点的直径． 工具 测距仪，无人机，卷尺，测倾器 过程 步骤：1．在空旷场地选取一点，测得点与的水平距离为； 2．无人机从点处竖直向上飞行到点，测得最低点的仰角为； 3．无人机继续竖直向上飞行到达点，测得最高点的俯角为；（注：图中各点均在同一竖直平面内，点，，在同一水平直线上．） 【问题解决】 （1）计算摩天轮的直径（结果精确到，数据：，，，）；【评价反思】 （2）设计其他方案计算摩天轮的直径． 要求：选用【工具】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 五．解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22．问题提出：一个三角形三条边的长度确定，其面积能求吗？ （1）【特例感知】直接写出图1、图2、图3对应的三角形面积、、的值： （2）【查阅资料】古希腊数学家海伦于约公元年总结出三角形的面积公式：若三角形的边长分别为、、，则其面积，其中，这个公式后世称为海伦公式： ①借助如图4所示的（三边长分别4、5、6），用三角形面积公式以及海伦公式都可求其面积的值，请你直接写出这个值； ②借助如图5所示的（三边长分别，、、），推导出海伦公式： （3）某公司计划在佛山岭南明珠展区搭建一个三角形展示架，用于摆放醒狮文创展品．展示架周长为，其中一条边长为，展区的面积能达到吗？若能，求另外两条边长，若不能，说明理由． 23．如图1，已知线段，在上方作，使得，，点在边上，且，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，连接交于． （1）求线段的长； （2）平分吗？为什么？ （3）如图2，点在线段上（不与、重合），连接并延长交于点，在上取一点，连接，且．当点在上运动时，线段是否存在最大值？若存在，求该最大值：若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $