北京市怀柔区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 2024-2025学年北京怀柔高二下期末数学试卷，以读书日统计、AI教学满意度、马拉松志愿等现实情境为载体，融合函数、概率、导数等知识，体现数学建模与数据分析素养，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合运算、命题否定、二项式定理|基础概念辨析，如第10题新定义“笛卡尔积”考查逻辑推理| |填空题|5/25|分布列、导数应用、排列组合|中档能力题，如第15题函数极值与单调性综合判断| |解答题|6/85|函数导数、概率统计、数学建模|综合应用，如19题运输费用优化（数学建模）、16题读书日阅读量统计（数据分析）|

2024-2025学年北京市怀柔区高二(下)期末数学试卷 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(4分)已知集合A={x||x|≤2},B={x|x﹣1≥0},则A∩B=( ) A.{x|﹣2≤x≤1} B.{x|1≤x≤2} C.{x|x≥﹣2} D.{x|x≥2} 2.(4分)已知命题p:∃x∈(0,+∞),ex≥x+1,则￢p为( ) A.∃x∈(0,+∞),ex≤x+1 B.∃x∈(0,+∞),ex<x+1 C.∀x∈(0,+∞),ex≤x+1 D.∀x∈(0,+∞),ex<x+1 3.(4分)在的展开式中,x的系数为( ) A.40 B.10 C.﹣40 D.﹣10 4.(4分)已知函数f(x)=cosx+1,则( ) A. B. C. D. 5.(4分)已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式中一定成立的是( ) A. B.|a|>|b| C.ac2>bc2 D.ea>eb 6.(4分)五一黄金周,某市对该市内的六个旅游景点接待游客数量进行统计,数据如表: 景点 游客数量 景点1 景点2 景点3 景点4 景点5 景点6 游客人数(万) 80.3 47.6 56.2 30.7 77.2 65.3 现从这6个景点中任取3个,则这3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人的概率为( ) A. B. C. D. 7.(4分)甲、乙两人独立解一道数学题,甲独立解出的概率为,乙独立解出的概率为,则在这道题被解出的条件下,甲、乙同时解出这道题的概率为( ) A. B. C. D. 8.(4分)设函数f(x)的定义域为[a,b],则“f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a)”是“f(x)在区间[a,b]上单调递增”的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 9.(4分)设函数f(x)=log3x的导函数为f′(x),则下列关系式正确的是( ) A.f′(1)<f(2)﹣f(1)<f′(2) B.f′(2)<f(2)﹣f(1)<f′(1) C.f′(1)<f′(2)<f(2)﹣f(1) D.f′(2)<f′(1)<f(2)﹣f(1) 10.(4分)设A、B为两个集合,定义A⊗B={(x,y)|x∈A且y∈B},将A⊗B称为“集合A与B的笛卡尔积”,则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是( ) ①A⊗B=B⊗A; ②A⊗(B∪C)=(A⊗B)∪(A⊗C); ③(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C); ④若集合A中有m个元素,若集合B中有n个元素,则集合A⊗B中有m•n个元素. A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(5分)设离散型随机变量X的分布列如表,则“1≤X≤2”的概率为 . X 0 1 2 P a 12.(5分)当x>0时,函数f(x)的最小值为 . 13.(5分)在的展开式中,若所有项的二项式系数和为32,则n= ;其展开式中所有项的系数和为 .(用数字作答) 14.(5分)三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动,每个人去一个补给站,每个补给站至少一名老师和一名学生,则不同的安排方法有 种.(用数字作答) 15.(5分)已知函数f(x)=xlnx﹣ax,则下列结论中所有正确结论的序号是 . ①当a=2时,∀x∈(0,+∞),f(x)≥﹣e恒成立; ②∃a∈R,使得函数f(x)有两个零点; ③∀a∈R,函数f(x)总有一个极值点; ④若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,则a∈(﹣∞,1]. 三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.(14分)1995年联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”,致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护.某校为了解男生与女生在一学年内的阅读情况,从全校学生中采用分层抽样的方法抽取了20名学生,统计了他们的阅读量并整理得到茎叶图(单位:本). 假设用频率估计概率,且每个学生的阅读情况相互独立. (1)根据样本数据,估计该校学生一学年内的阅读量超过10本的概率; (2)现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人,记X为选出的2名学生中一学年内的阅读量超过10本的人数,求X的分布列和数学期望E(X); (3)在样本中,男生阅读量的方差为,女生阅读量的方差为.写出方差与的大小关系.(结论不要求证明) 17.(14分)已知函数f(x)=(x2﹣3)ex. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 18.(15分)在人工智能时代,教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”,实现教学模式的变革.某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分,整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值; (2)在样本中,从评分大于80分的学生中随机抽取2人,用X表示其评分在[90,100]范围的人数,求X的分布列; (3)假设用频率估计概率,从全校学生中随机抽取2人,用Y表示其评分在[80,100]范围的人数,求Y的分布列. 19.(12分)6.18年中购物节,某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距1000公里处的乙地,司机工资为每小时96元,装卸费为800元,假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度:当速度为V公里/小时(注V≥50公里/小时)时,单位距离的燃油消耗为0.002V升/公里,燃油价格为每升8元.假设汽车匀速行驶,且不计其他成本.运输的总费用=司机工资+装卸费+燃油成本. (1)当运输的总费用不超过3360元时,求汽车行驶速度的范围; (2)若要使运输的总费用最小,则汽车应以多少公里/小时的速度行驶? 20.(15分)已知函数f(x)(a≥0). (1)若函数f(x)在(1,f(1))处的切线与直线yx平行,求a的值; (2)当a=0时,证明f(x)≤x﹣1; (3)若函数f(x)在区间(0,e2)上单调递增,求a的取值范围. 21.(15分)已知n是正整数,集合A={ | =(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,3,…,n},对集合A中的任意元素 =(x1,x2,…,xn), =(y1,y2,…,yn),记N( , )=(x1﹣y1)2+(x2﹣y2)2+…+(xn﹣yn)2. (1)当n=2时,若 =(1,0), =(0,1), =(1,1),求N( , )和N( , )的值; (2)当n=3时,若 =(0,0,0),且N( , )=2,求 ; (3)设集合C={N( , )| ∈A, ∈A},若集合C的所有元素之和不小于100,求n的最小值. 2024-2025学年北京市怀柔区高二(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共10小题) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A A D C A C B D 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(4分)已知集合A={x||x|≤2},B={x|x﹣1≥0},则A∩B=( ) A.{x|﹣2≤x≤1} B.{x|1≤x≤2} C.{x|x≥﹣2} D.{x|x≥2} 【分析】可求出集合A,B,然后进行交集的运算即可. 【解答】解:A={x|﹣2≤x≤2},B={x|x≥1}, 所以A∩B={x|1≤x≤2}. 故选:B. 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,交集的运算,是基础题. 2.(4分)已知命题p:∃x∈(0,+∞),ex≥x+1,则￢p为( ) A.∃x∈(0,+∞),ex≤x+1 B.∃x∈(0,+∞),ex<x+1 C.∀x∈(0,+∞),ex≤x+1 D.∀x∈(0,+∞),ex<x+1 【分析】结合特称量词命题的否定即可求解. 【解答】解:命题p:∃x∈(0,+∞),ex≥x+1, 则￢p为:∀x∈(0,+∞),ex<x+1. 故选:D. 【点评】本题主要考查了特称量词命题的否定,属于基础题. 3.(4分)在的展开式中,x的系数为( ) A.40 B.10 C.﹣40 D.﹣10 【分析】先求得二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于2,求得r的值,即可求得含x2项的系数. 【解答】解:的展开式的通项为Tr+1•x5﹣r()r=(﹣2)r•x5﹣2r, 令5﹣2r=1可得r=2,此时x的系数为440. 故选:A. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属基础题. 4.(4分)已知函数f(x)=cosx+1,则( ) A. B. C. D. 【分析】先对f(x)求导,再令x,即可求解. 【解答】解:因为函数f(x)=cosx+1,所以f′(x)=﹣sinx, 所以sin. 故选:A. 【点评】本题考查基本初等函数的导数,属于基础题. 5.(4分)已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式中一定成立的是( ) A. B.|a|>|b| C.ac2>bc2 D.ea>eb 【分析】结合不等式的性质检验选项ABC,结合函数单调性检验选项D. 【解答】解:因为a>b, 当a=1,b=﹣1时,AB显然错误; 当c=0时,C显然错误; 因为y=ex在R上单调递增, 所以ea>eb,D正确. 故选:D. 【点评】本题主要考查了不等式的性质,属于基础题. 6.(4分)五一黄金周,某市对该市内的六个旅游景点接待游客数量进行统计,数据如表: 景点 游客数量 景点1 景点2 景点3 景点4 景点5 景点6 游客人数(万) 80.3 47.6 56.2 30.7 77.2 65.3 现从这6个景点中任取3个,则这3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人的概率为( ) A. B. C. D. 【分析】根据题意,利用排列数公式计算“这6个景点中任取3个”和“选出的3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人”的取法数目,由古典概型公式计算可得答案. 【解答】解:根据题意,这6个景点中任取3个,有20种选法, 6个景点中,游客人数突破50万人的有4个,若选出的3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人,有12种选法, 故这3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人的概率P. 故选:C. 【点评】本题考查古典概型的计算,涉及排列组合的应用,属于基础题. 7.(4分)甲、乙两人独立解一道数学题,甲独立解出的概率为,乙独立解出的概率为,则在这道题被解出的条件下,甲、乙同时解出这道题的概率为( ) A. B. C. D. 【分析】由独立事件同时发生的概率乘法公式和条件概率公式,计算可得所求值. 【解答】解:这道题被解出的概率为1﹣(1)(1), 甲、乙同时解出这道题的概率为, 则在这道题被解出的条件下,甲、乙同时解出这道题的概率为. 故选:A. 【点评】本题考查独立事件同时发生的概率和条件概率,考查运算能力,属于基础题. 8.(4分)设函数f(x)的定义域为[a,b],则“f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a)”是“f(x)在区间[a,b]上单调递增”的( ) A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】结合函数的性质检验充分必要性即可求解. 【解答】解:若f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a),此时f(x)在区间[a,b]上不一定单调,充分性不成立; 但当f(x)在区间[a,b]上单调递增时,f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a),必要性成立. 故选:C. 【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断,属于基础题. 9.(4分)设函数f(x)=log3x的导函数为f′(x),则下列关系式正确的是( ) A.f′(1)<f(2)﹣f(1)<f′(2) B.f′(2)<f(2)﹣f(1)<f′(1) C.f′(1)<f′(2)<f(2)﹣f(1) D.f′(2)<f′(1)<f(2)﹣f(1) 【分析】根据题意,求出函数的导数,由此可得f′(1)、f′(2)的值,由对数的运算性质与f(2)﹣f(1)比较大小,即可得答案. 【解答】解:根据题意,函数f(x)=log3x,其导数f′(x), 则f′(1),f′(2), f(2)﹣f(1)=log32﹣log31=log32, 由于12,则有f′(2)<f(2)﹣f(1)<f′(1). 故选:B. 【点评】本题考查导数的计算,涉及对数的性质,属于基础题. 10.(4分)设A、B为两个集合,定义A⊗B={(x,y)|x∈A且y∈B},将A⊗B称为“集合A与B的笛卡尔积”,则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是( ) ①A⊗B=B⊗A; ②A⊗(B∪C)=(A⊗B)∪(A⊗C); ③(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C); ④若集合A中有m个元素,若集合B中有n个元素,则集合A⊗B中有m•n个元素. A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 【分析】根据新定义“笛卡尔积”,对①可以举实例判定根据定义逐一分析每个结论即可. 【解答】解:分析①,根据新定义有,设A ={1},B ={2},根据定义A⊗B={(x,y)|x∈A,y∈B}, 则 A⊗B ={(1,2)},而B⊗A={(x,y)|x∈B,y∈A}={(2,1)}, 显然A⊗B≠B⊗A,所以①错误. 分析②, 对于任意的(x,y)∈A⊗(BUC),根据定义可知x∈A且y∈(BUC), 即y∈B或者y∈C.若y∈B,则(x,y)∈A⊗B; 若y∈C,则(x,y)∈A⊗C.所以(x,y)∈(A⊗B)U (A⊗C), 即 A⊗(BUC)⊆(A⊗B)U(A⊗C). 反之,对于任意的(x,y)∈(A⊗B)U(A⊗C), 则(x,y)∈A⊗B或者(x,y)∈A⊗C; 若(x,y)∈A⊗B,则x∈A且y∈B;若(x,y)∈A⊗C, 则x∈A且y∈C.所以 x€A且y∈(B∪C),即(x,y)∈A⊗(BUC), 所以(A⊗B)U(A⊗C)⊆A⊗(BUC). 综上,A⊗(BUC) =(A⊗B)U (A⊗C),②正确. 分析③, 设A ={1},B={2},C ={3},先看(A⊗B)⊗C,A⊗B={(1,2)}, 那么(A⊗B)⊗C ={((1,2),3)}.再看A⊗(B⊗C), B⊗C ={(2,3)},那么A⊗(B⊗C) = {(1,(2,3))}. 显然(A⊗B)⊗C≠A⊗(B⊗C),所以③错误. 分析④, 已知集合A中有m个元素,集合B中有n个元素. 对于A⊗B={(x,y)|x∈A,y∈B},从A中取一个元素x有m种取法, 从B中取一个元素y有n种取法.根据分步计数原理得, A⊗B中元素的个数为mn个,所以④正确. 故选:D. 【点评】本题主要考查对新定义“笛卡尔积”的理解和运用,属于中档题. 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(5分)设离散型随机变量X的分布列如表,则“1≤X≤2”的概率为 . X 0 1 2 P a 【分析】先由分布列的性质求出a的值,再求“1≤X≤2”的概率. 【解答】解:由分布列可得1,解得a, 所以“1≤X≤2”的概率为P(X=1)+P(X=2). 故答案为:. 【点评】本题考查离散型随机变量分布列的性质,属于基础题. 12.(5分)当x>0时,函数f(x)的最小值为 2 . 【分析】由已知结合基本不等式即可求解. 【解答】解:x>0时,函数f(x)x2, 当且仅当x,即x时取等号. 故答案为:2. 【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值,属于基础题. 13.(5分)在的展开式中,若所有项的二项式系数和为32,则n= 5 ;其展开式中所有项的系数和为 243 .(用数字作答) 【分析】①由二项式系数和2n=32,即可得到n的值; ②令x=1,即可求得展开式中所有项的系数之和. 【解答】解:①依题意,2n=32,解得n=5; ②令x=1,得(2+1)5=243,即展开式中所有项的系数之和为243. 故答案为:5;243. 【点评】本题考查二项式定理的运用,考查运算求解能力,属于基础题. 14.(5分)三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动,每个人去一个补给站,每个补给站至少一名老师和一名学生,则不同的安排方法有 216 种.(用数字作答) 【分析】先分配教师,再分配学生,进而求解. 【解答】解:先分配教师,由于有3名教师和3个补给站,且每个补给站至少1名教师,因此每个补给站恰好分配1名教师,有6种情况, 再分配学生,将4名学生分配到3个补给站,且每个补给站至少1名学生,所以分组方式是“2,1,1”,有36种情况, 最后,教师和学生的分配是独立事件,总安排方法数为6 36=216. 故答案为:216. 【点评】本题考查排列组合的应用,考查学生逻辑思维能力,属于基础题. 15.(5分)已知函数f(x)=xlnx﹣ax,则下列结论中所有正确结论的序号是 ①③④ . ①当a=2时,∀x∈(0,+∞),f(x)≥﹣e恒成立; ②∃a∈R,使得函数f(x)有两个零点; ③∀a∈R,函数f(x)总有一个极值点; ④若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,则a∈(﹣∞,1]. 【分析】对于①:当a=2时,f(x)=xlnx﹣2x,求导分析单调性,最值,即可判断①是否正确; 对于②:令f(x)=0,得xlnx﹣ax=0,x>0,分析根的个数,即可判断②是否正确; 对于③:求导分析单调性,极值,即可判断③是否正确; 对于④:根据题意可得,在(1,+∞)上,f′(x)≥0,即在(1,+∞)上,lnx+1≥a恒成立,进而可判断④是否正确. 【解答】解:对于①:当a=2时,f(x)=xlnx﹣2x, f′(x)=lnx+x•2=lnx﹣1, 令f′(x)=0,得x=e, 所以在(0,e)上,f′(x)<0,f(x)单调递减, 在(e,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增, 所以当x=e时,f(x)取得极小值f(e)=﹣e, 所以∀x∈(0,+∞),f(x)≥﹣e恒成立;故①正确; 对于②:令f(x)=0,得xlnx﹣ax=0,x>0, 所以lnx=a只有一个根, 所以函数f(x)只有一个零点, 所以不存在a∈R,使得函数f(x)有两个零点,故②错误; 对于③:f′(x)=lnx+x•a=lnx+1﹣a, 令f′(x)=0,得x=ea﹣1, 所以在(0,ea﹣1)上,f′(x)<0,f(x)单调递减, 在(ea﹣1,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增, 所以函数在x=ea﹣1处取得极小值,无极大值, 所以函数f(x)总有一个极值点,故③正确; 对于④:若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,则在(1,+∞)上,f′(x)≥0, 所以在(1,+∞)上,lnx+1﹣a≥0恒成立, 即在(1,+∞)上,lnx+1≥a恒成立, 当x∈(1,+∞)时,(lnx+1)min=1, 所以a≤1, 所以a的取值范围为(﹣∞,1],故④正确. 故选:①③④. 【点评】本题考查导数的综合应用,解题中注意转化思想的应用,属于中档题. 三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.(14分)1995年联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”,致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护.某校为了解男生与女生在一学年内的阅读情况,从全校学生中采用分层抽样的方法抽取了20名学生,统计了他们的阅读量并整理得到茎叶图(单位:本). 假设用频率估计概率,且每个学生的阅读情况相互独立. (1)根据样本数据,估计该校学生一学年内的阅读量超过10本的概率; (2)现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人,记X为选出的2名学生中一学年内的阅读量超过10本的人数,求X的分布列和数学期望E(X); (3)在样本中,男生阅读量的方差为,女生阅读量的方差为.写出方差与的大小关系.(结论不要求证明) 【分析】(1)通过观察茎叶图,结合古典概型概率公式计算即可; (2)分别求出男生和女生阅读量超过10本的概率,列出X的可能取值,分别求出对应的概率,再求解分布列与数学期望; (3)通过方差的意义,作比较即可. 【解答】解:(1)通过茎叶图可知,男生中阅读量超过10本的有6人,女生中阅读量超过10本的3人, 所以这20名学生一学年内的阅读量超过10本的概率为, 故根据样本数据,估计该校学生一学年内的阅读量超过10本的概率为. (2)用频率估计概率,可得男生中阅读量超过10本的概率为, 女生中阅读量超过10本的概率为, 所以X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0), P(X=1), P(X=2). 所以X的分布列为: X 0 1 2 P 所以E(X)=012. (3). 通过观察茎叶图可知,男生的数据相对更分散,女生的数据相对更集中, 根据方差的意义,方差是用来衡量一组数据波动大小的量,数据越分散,方差越大, 所以. 【点评】本题考查离散型随机变量分布列与数学期望、用样本估计整体、方差的性质等,属于中档题. 17.(14分)已知函数f(x)=(x2﹣3)ex. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 【分析】(1)结合切线方程性质求解. (2)求导,结合导函数判断单调区间和极值. 【解答】解:(1)对f(x)求导,f'(x)=(x2+2x﹣3)ex. 将x=0代入f'(x),可得f'(0)=(02+2 0﹣3)e0=﹣3, 可得切线方程为y﹣(﹣3)=﹣3(x﹣0),即y=﹣3x﹣3. (2)由前面已求得f'(x)=(x2+2x﹣3)ex=(x+3)(x﹣1)ex. 令f'(x)=0,即(x+3)(x﹣1)ex=0,所以(x+3)(x﹣1)=0,解得x=﹣3或x=1. 当x<﹣3时,x+3<0,x﹣1<0,ex>0,所以f'(x)>0,函数f(x)在(﹣∞,﹣3)上单调递增. 当﹣3<x<1时,x+3>0,x﹣1<0,ex>0,所以f'(x)<0,函数f(x)在(﹣3,1)上单调递减. 当x>1时,x+3>0,x﹣1>0,ex>0,所以f'(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以f(x)在x=﹣3处取得极大值,f(﹣3);f(x)在x=1处取得极小值,f(1)=(12﹣3)e1=﹣2e. 【点评】本题考查导数的综合应用,属于中档题. 18.(15分)在人工智能时代,教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”,实现教学模式的变革.某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分,整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值; (2)在样本中,从评分大于80分的学生中随机抽取2人,用X表示其评分在[90,100]范围的人数,求X的分布列; (3)假设用频率估计概率,从全校学生中随机抽取2人,用Y表示其评分在[80,100]范围的人数,求Y的分布列. 【分析】(1)由频率和为1,列式求出a的值; (2)利用超几何分布求概率,可得分布列; (3)利用二项分布求概率,可得分布列. 【解答】解:(1)由频率分布直方图可得(0.016+0.024+a+0.020+0.010) 10=1,解得a=0.03. (2)因为评分在(80,90]的频率为0.02 10=0.2,抽取的人数为50 0.2=10, 评分在[90,100]的频率为0.01 10=0.1,抽取的人数为50 0.1=5, 所以X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0),P(X=1),P(X=2). 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (3)因为评分在[80,100]的频率为0.2+0.1=0.3,用频率估计概率, 则全校学生评分在[80,100]的频率为0.3, 所以Y的可能取值为0,1,2,且Y~B(2,0.3), 所以P(Y=0)0.72=0.49,P(Y=1)0.3 0.7=0.42,P(Y=2)0.32=0.09, 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P 0.49 0.42 0.09 【点评】本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列,二项分布与超几何分布求概率等,综合性较强,属于中档题. 19.(12分)6.18年中购物节,某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距1000公里处的乙地,司机工资为每小时96元,装卸费为800元,假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度:当速度为V公里/小时(注V≥50公里/小时)时,单位距离的燃油消耗为0.002V升/公里,燃油价格为每升8元.假设汽车匀速行驶,且不计其他成本.运输的总费用=司机工资+装卸费+燃油成本. (1)当运输的总费用不超过3360元时,求汽车行驶速度的范围; (2)若要使运输的总费用最小,则汽车应以多少公里/小时的速度行驶? 【分析】(1)通过建立总费用函数并求解不等式即可; (2)利用基本不等式计算即可得出. 【解答】解:(1)已知司机工资为每小时96元,行驶时间为小时, 所以司机工资为元.装卸费为800元, 燃油成本为单位距离燃油消耗 距离 燃油价格,即0.002V 1000 8元, 则运输总费用, 化简可得,(V≥50), 由y≤3360,可得, 移项得到,即, 两边同时乘以V得到96000+16V2≤2560V, 移项化为标准二次函数形式16V2﹣2560V+96000≤0, 两边同时除以16得V2﹣160V+6000≤0, 因式分解得(V﹣60)(V﹣100)≤0,则有或, 第一种情况,即,无解, 第二种情况,即,结合V≥50,可得V∈[60,100]; (2)对于函数(V≥50), 根据基本不等式(a>0,b>0,当且仅当a=b时等号成立), 在这里,b=16V,则, 先计算2560, 则y≥2560+800=3360,当且仅当时,等号成立,解方程, 即16V2=96000,V2=6000,解得(公里/小时),V≥50,符合条件. 【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型,属于中档题. 20.(15分)已知函数f(x)(a≥0). (1)若函数f(x)在(1,f(1))处的切线与直线yx平行,求a的值; (2)当a=0时,证明f(x)≤x﹣1; (3)若函数f(x)在区间(0,e2)上单调递增,求a的取值范围. 【分析】(1)依题意,得f′(1),解之可得a的值; (2)要证x﹣1,即证∀x>0,x2﹣x﹣lnx≥0恒成立,通过构造函数,结合求导分析,可证得结论成立; (3)由题意,当x∈(0,e2)时,f′(x)≥0恒成立,通过分离参数a,构造函数及求导分析,可得a的取值范围. 【解答】解:(1)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞), ∵f′(x)(x>0), ∴f′(1) a=1; ∴f(x)经检验,适合题意; (2)证明:当a=0时,f(x)(x>0), 要证x﹣1,即证∀x>0,x2﹣x﹣lnx≥0恒成立, 令h(x)=x2﹣x﹣lnx(x>0), 则h′(x)=2x﹣1, 当0<x<1时,h′(x)<0,当x>1时,h′(x)>0, ∴h(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增, ∴当x=1时,h(x)取得极小值,也是最小值,即h(x)≥h(1)=0, 即∀x>0,x2﹣x﹣lnx≥0恒成立,故原结论成立; (3)若函数f(x)在区间(0,e2)上单调递增, 即当x∈(0,e2)时,f′(x)0恒成立 ∀x∈(0,e2),x+a﹣xlnx≥0恒成立, 即∀x∈(0,e2),﹣a≤x﹣xlnx恒成立,即﹣a≤(x﹣xlnx)min, 令t(x)=x﹣xlnx,t′(x)=1﹣(1+lnx)=﹣lnx, 当0<x<1时,t′(x)>0,当1<x<e2时,t′(x)<0, ∴t(x)在(0,1)单调递增,在(1,e2)单调递减, 又当x 0+时,t(x) 0,当x e2时,t(x) ﹣e2, ∴﹣a≤﹣e2, ∴a≥e2, 即a的取值范围为[e2,+∞). 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查了逻辑推理、等价转化思想和运算求解能力,属于中档题. 21.(15分)已知n是正整数,集合A={ | =(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,3,…,n},对集合A中的任意元素 =(x1,x2,…,xn), =(y1,y2,…,yn),记N( , )=(x1﹣y1)2+(x2﹣y2)2+…+(xn﹣yn)2. (1)当n=2时,若 =(1,0), =(0,1), =(1,1),求N( , )和N( , )的值; (2)当n=3时,若 =(0,0,0),且N( , )=2,求 ; (3)设集合C={N( , )| ∈A, ∈A},若集合C的所有元素之和不小于100,求n的最小值. 【分析】(1)根据题中所给定义直接求解;(2)根据定义求出所有可能的 即可;(3)根据定义结合分类讨论即可得解. 【解答】解:(1)N( , )=(1﹣0)2+(0﹣1)2=2; N( , )=(0﹣1)2+(1﹣1)2=1. (2) =(y1,y2,y3)(yk∈{0,1}),则N( , ), 因为yk∈{0,1},所以yk,因此N( , )=y1+y2+y3=2, 即 的分坐标中恰好有2个“1”,1个“0”,所有可能的 为: (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1). (3)对任意 =(x1,…,xn), =(y1,…,yn),(xk﹣yk)2=1当且仅当xk≠yk,否则为0. 因此,N( , )的值为 与 的分坐标中对应位置不同的个数,我们称之为汉明距离. 集合A有2n个元素,因此( , )的组合共有(2n)2=4n对, 对每个位置k(1≤k≤n),计算该位置对总和的贡献: 对位置k,xk,yk∈{0,1},满足xk≠yk的情况有2种((0,1)或(1,0)); 其他n﹣1个位置任意,共2n﹣1 2n﹣1=4n﹣1种组合; 因此位置k的贡献为:2 4n﹣1 1=2 4n﹣1(因为(xk﹣yk)2=1). n个位置的总贡献为:n 22n﹣1, 当n=3时,3 25=96<100 当n=4时,4 27=512≥100 因此,n的最小值为4. 【点评】本题考查了新定义与集合及分类讨论的思想,属中等题. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2026/2/27 8:48:28;用户:RDF;邮箱:15699920825;学号:36906111 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $