专题07 成对数据的统计分析（期末真题汇编，北京专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 专题汇编覆盖变量相关关系、回归分析、独立性检验等9个考点，精选北京多区县期末真题，注重基础辨析与实际应用结合，如杨树生长回归预测、电影观众性别差异检验。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|多题|变量相关关系、样本相关系数、线性/非线性回归方程、卡方计算|结合生活情境（商品定价、身高与脚长），突出图表分析（散点图判断相关关系），强调统计推断应用（残差分析、独立性检验）|

专题07 成对数据的统计分析 高频考点概览 考点 01 变量的相关关系 考点 02 样本相关系数 考点 03 样本中心的应用 考点 04 用回归方程估计总体数据 考点 05 残差分析 考点 06 线性回归方程 考点 07 非线性回归方程 考点 08 独立性检验概念辨析 考点 09 卡方计算 ( 考点01 变量的相关关系 ) 1．（2024春•丰台区期末）在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（　　） A．某商品的销售价格与销售量 B．汽车匀速行驶时的路程与时间 C．气温与冷饮的销售量 D．人的年龄与视力 【解答】解：对于，某商品的销售价格与销售量为相关关系，且为负相关关系，故错误； 对于，汽车匀速行驶时的路程与时间为函数关系，故错误； 对于，气温与冷饮的销售量为相关关系，且为正相关关系，故正确； 对于，人的年龄与视力为相关关系，且为负相关关系，故错误． 故选：． 2．（2022春•密云区期末）对变量，由观测数据得散点图1，对变量，由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断（　　） A．变量与负相关，与正相关 B．变量与负相关，与负相关 C．变量与正相关，与正相关 D．变量与正相关，与负相关 【解答】解：由图像可得，变量与负相关，与正相关， 则与负相关． 故选：． 3．（2022春•大兴区期末）如图给出的是两个变量之间的散点图，则两个变量之间没有相关关系的可能是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【解答】解：③图中点散乱的分布在坐标平面内，不能拟合成某条曲线或直线， 故两个变量之间没有相关关系． 故选：． 4．（2021春•丰台区期末）下列两个变量具有相关关系的是（　　） A．正方体的体积与棱长 B．汽车匀速行驶时的路程与时间 C．人的体重与饭量 D．人的身高与视力 【解答】解：正方体的体积与棱长是函数关系，故选项错误； 汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故选项错误； 饭量会影响体重，但不是唯一因素，所以人的体重与饭量是相关关系，故选项正确； 人的身高与视力无任何关系，故选项错误． 故选：． 5．（2021春•通州区期末）在下列各图中的两个变量具有线性相关关系的图是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【解答】解：根据两个变量的散点图中， 若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系， 所以两个变量具有线性相关关系的图是②和③． 故选：． ( 考点02 样本相关系数 ) 6．（2025春•北京校级期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是正相关，相关系数大于0， 图2和图4是负相关，相关系数小于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于1，接近于， 由此可得． 故选：． 7．（2023春•东城区期末）如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是，，，那么，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由散点图可知，图（1）和图（3）是正相关，相关系数大于0 图（2）是负相关，相关系数小于0 又图（1）和图（2）的点相对集中， 所以相关性更强， 此时接近于1，接近于， 所以． 故选：． 8．（2021春•朝阳区期末）判断对错，并在相应横线处划“”或“”． ①样本相关系数时，称成对数据正相关，时，称成对数据负相关． 　　 ②样本相关系数的绝对值越接近于1，线性相关程度越弱，越接近于0，线性相关程度越强． 　　 【解答】解：当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关；，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小． 故①，②． 故答案为：①，②． ( 考点0 3 样本中心的应用 ) 9．（2025秋•昌平区校级期末）根据下表数据得到关于的线性回归方程，则 　　． 1 2 3 4 1 4 5 8 【解答】解：由题意可知，， 因为线性回归方程过点，， 所以， 解得． 故答案为：1． 10．（2024春•丰台区期末）已知线性相关的两个变量和的取值如下表，且经验回归方程为，则　　． 0 1 3 4 2.2 4.3 4.8 6.7 【解答】解：由题意可知，，， 因为经验回归方程过点，， 所以， 所以． 故答案为：2.6． 11．（2022春•大兴区校级期末）变量，具有较强的线性相关性，且，的数据如表所示，若变量，的回归直线方程是，则的值是（　　） 16 12 8 4 24 34 38 64 A．73.6 B．71.2 C．71 D．76.4 【解答】解：因为，， 所以，解得． 故选：． 12．（2020春•东城区期末）若变量，之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点　　 1 2 4 5 7 6 9 10 A． B． C． D． 【解答】解：由表格中的数据可得：，． 则样本点的中心的坐标为． 即回归直线必过定点． 故选：． ( 考点0 4 用回归方程估计总体数据 ) 13．（2022春•大兴区校级期末）为了践行“绿水青山就是金银山”的理念，小华同学在一次“植树节”活动中认养了一棵杨树．据统计，杨树的生长年份和高度的统计数据如表． 年份 3 4 5 6 高度 250 300 400 450 由散点图可以看出，具有线性相关关系，并求得回归方程为．据此模型估计，该杨树生长8年后的高度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得：，， 因为回归直线方程结果样本中心，所以， 所以，回归方程为． 杨树生长8年后的高度约为：． 故选：． 14．（2021春•朝阳区期末）为了研究某校男生的脚长（单位；和身高（单位：的关系，从该校随机抽取20名男生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系．设关于的经验回归方程为．已知，，，该校某男生的脚长为，据此估计其身高为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，所以，解得． 所以回归方程为，当时，． 故选：． ( 考点0 5 残差分析 ) 15．（2024春•石家庄期末）已知一组样本数据，，，，，，，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（　　） A． B．2.45 C．3.45 D．54.55 【解答】解：把代入，得， 则在样本点处的残差为． 故选：． 16．（2022春•通州区期末）已知变量和变量的一组随机观测数据，，，，．如果关于的经验回归方程是，那么当时，残差等于（　　） A． B．0 C．10 D．110 【解答】解：当时，， 则当时，残差等于． 故选：． 17．（2021春•通州区期末）已知变量和变量的一组随机观测数据，，，，．如果关于的经验回归方程是，那么当时，残差等于 　　． 【解答】解：将代入到回归方程，可得， 故残差为． 故答案为：10． ( 考点0 6 线性回归方程 ) 18．（2024春•石家庄期末）如图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图． 注：年份代码分别对应年份． （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（结果精确到加以说明； （2）建立关于的回归方程（系数精确到，并预测2023年我国65岁及以上老人人口数（单位：亿）． 参考数据：． 参考公式：相关系数． 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【解答】解：（1）由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下： 因为，，所以， ，， 所以， ， ，故与之间存在较强的正相关关系． （2）由（1），结合题中数据可得， ， ， ， 关于的回归方程， 2023年对应的值为10，故， 预测2023年我国65岁及以上老人人口数2.15亿． ( 考点0 7 非线性回归方程 ) 19．（2020秋•海淀区校级期末）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据，，2，，得到下面的散点图： 由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由散点图可知，在至之间，发芽率和温度所对应的点在一段对数函数的曲线附近， 结合选项可知，可作为发芽率和温度的回归方程类型． 故选：． 20．（2021春•通州区期末）某公司对某产品作市场调查，获得了该产品的定价（单位：万元吨）和一天的销量吨）的一组数据，根据这组数据制作了如下统计表和散点图． 0.33 10 3 0.164 100 68 350 表中． （Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个更适合作为关于的经验回归方程；（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，建立关于的经验回归方程； （Ⅲ）若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依据（Ⅱ）的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？ （经验回归方程中，， 【解答】解：根据散点图的形状可知，更适合作为关于的经验回归方程． 令，则， ， ，则， 故关于的经验回归方程为． 设一天的利润为， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故每吨定价为0.5万元时，该产品一天的销售利润最大，最大利润是1.25万元． ( 考点0 8 独立性检验概念辨析 ) 21．（2023春•大兴区期末）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，则依据小概率值的独立性检验，可以推断变量与（　　） A．独立，此推断犯错误的概率是0.01 B．不独立，此推断犯错误的概率是0.01 C．独立，此推断犯错误的概率不超过0.01 D．不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01 【解答】解：， 故依据小概率值的独立性检验， 可以推断变量与不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01． 故选：． 22．（2023春•东城区期末）幸福感是个体的一种主观情感体验，生活中的多种因素都会影响人的幸福感受．为研究男生与女生的幸福感是否有差异，一位老师在某大学进行了随机抽样调查，得到如下数据： 幸福 不幸福 总计 男生 638 128 766 女生 372 46 418 总计 1010 174 1184 由此计算得到，已知，．根据小概率值的独立性检验，　可以　（填“可以”或“不能” 认为男生与女生的幸福感有差异；根据小概率值的独立性检验，　　（填“可以”或“不能” 认为男生与女生的幸福感有差异． 【解答】解：由题意，， 所以根据小概率值的独立性检验可以认为男生与女生的幸福感有差异； ， 根据小概率值的独立性检验，不能认为男生与女生的幸福感有差异． 故答案为：可以；不能． 23．（2022春•大兴区期末）对某中学学生是否爱好跳绳做了随机调查，得到如表列联表． 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 现根据小概率值的独立性检验，已知．经计算，则以下结论正确的是（　　） A．爱好跳绳与性别无关 B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别有关 D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【解答】解：， 根据独立性检验规则，表明没充分证据推断跳绳与性别有关，可以认为爱好跳绳与性别无关． 故选：． 24．（2022春•朝阳区期末）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表： 性别 锻炼情况 合计 不经常 经常 女生人 14 7 21 男生人 8 11 19 合计人 22 18 40 注：独立性检验中，，．常用的小概率值和相应的临界值如表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据这些数据，给出下列四个结论： ①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响； ②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响； ③根据小概率值的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05； ④根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响． 其中，正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【解答】解：由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为， 男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为， 因为，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故①正确，②错误； ，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响， 因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，故④正确，③错误． 故选：． 25．（2020秋•海淀区校级期末）为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（　　） A．有的人认为该栏目优秀 B．有的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系 C．有的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系 D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系 【解答】解：表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率， 有的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系． 故选：． 26．（2021春•昌平区期末）为了调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如表： 男 女 需要志愿者 40 30 不需要志愿者 160 270 经计算可得．由，下列结论正确的是（　　） A．有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 B．有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 【解答】解：因为，所以有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关． 故选：． ( 考点0 9 卡方计算 ) 27．（2021春•通州区期末）为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关联性，同学甲调查丁某中学高三年级所有学生，整理得到列联表1，同学乙从该校高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到列联表2． 表1 单位：人 性别 身高 合计 女 81 16 97 男 28 75 103 合计 109 91 200 表2 单位：人 性别 身高 合计 女 15 6 21 男 9 10 19 合计 24 16 40 （Ⅰ）利用表1，通过比较不低于的学生在女生和男生中的比率，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果有关联，请解释它们之间如何相互影响； （Ⅱ）利用表2，依据的独立性检验，推断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义： （Ⅲ）以上两种方法得出的结论是否一致？如果不一致，你认为哪种方法得出的结论准确，原因是什么？ ， 【解答】解：（Ⅰ）女学生身高低于，不低于的频率分别为，， 男学生身高低于，不低于的频率分别为， 通过比较发现，如果从女生、男生中各随机选取一名学生，女生中身高低于的概率大于男生中身高低于的概率， 故高三年级学生的性别和身高有关联， 又， 故女生中身高低于的频率是男生中身高低于的频率的3倍以上， 所以女生身高更容易低于； （Ⅱ）零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关， 因为， 所以没有的把握认为该中学高三年级学生的性别与身高有关系； （Ⅲ）不一致，第一种准确，第二种样本容量太少，随机性太大． 28．（2021春•朝阳区期末）根据国家电影局发布的数据，2020年中国电影总票房为204.17亿，年度票房首度超越北美，成为2020年全球第一大电影市场．国产历史战争题材影片《八佰》和《金刚川》合力贡献了国内全年票房的．我们用简单随机抽样的方法，分别从这两部电影的购票观众中各随调查了100名观众，得到结果如下：图1是购票观众年龄分布情况；图2是购票观众性别分布情况． （Ⅰ）记表示事件：“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”，根据图1的数据，估计的概率； （Ⅱ）现从参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中随机抽取两名依次进行电话回访，求在第1次抽到男性观众的条件下，第2次仍抽到男性观众的概率． （Ⅲ）填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择是否有差异？ 影片 女性观众 男性观众 总计 《八佰》 100 《金刚川》 100 总计 200 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 附：． 【解答】解：（Ⅰ）由图1可知，“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”的频率为， 由此估计事件的概率为（C）； （Ⅱ）由图2可知，参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中男性人数为61人， 从100名观众中依次抽两名，在第一次抽到男性的条件下，第二次仍抽到男性为事件， 相当于从含有60名男性观众的99名观众中任抽1人，抽到男性的事件， 故其概率为（B）； （Ⅲ）由题意可知，列联表如下： 影片 女性观众 男性观众 总计 《八佰》 47 53 100 《金刚川》 39 61 100 总计 86 114 200 零假设为：男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择没有差异． 根据列联表中的数据，经计算得： ， 根据小概率值的独立检验，推断不成立， 所以没有的把握认为男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择有差异． 29．（2021春•密云区期末）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小于85分为非优秀统计成绩后，得到列联表如表所示： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 总计 105 已知在甲、乙两班全部105人中，随机抽取1人为优秀的概率为． （Ⅰ）请完成上面的列联表； （Ⅱ）根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系”？ 参考公式：． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【解答】解：（Ⅰ）由题意，两班优秀人数为人， 所以列联表如下： 分类 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 总计 30 75 105 （Ⅱ）由列联表中的数据可得，， 所以在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系”． 30．（2020春•东城区期末）为了迎接冬奥会，某中学推广冰上运动，从全校学生中随机抽取了100人，统计是否爱好冰上运动，得到如表的列表： 爱好 不爱好 共计 男生 10 女生 30 共计 50 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 参考公式：，其中． （Ⅰ）补全联表； （Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“爱好冰上运动与性别有关“？请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意补全列联表，如下； 爱好 不爱好 共计 男生 10 20 30 女生 40 30 70 共计 50 50 100 （Ⅱ）由表中数据，计算 ， 参照附表知，在犯错误的概率不超过0.05的前提下， 可以认为“爱好冰上运动与性别有关”． 31．（2025秋•昌平区校级期末）甲、乙两所学校高三年级学生分别有1000人和800人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了72名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校 分组 ， ， ， ， ， ， 频数 3 14 8 10 3 乙校 分组 ， ， ， ， ， ， 频数 2 10 2 2 1 （1）计算，的值； （2）若规定考试成绩在，内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取4人，求恰有1人来自乙校的概率； （3）若规定考试成绩在，内为优秀，根据以上统计数据完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异． 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计 参考公式：，． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【解答】解：（1）根据题意知，甲校应抽取（人， 乙校应抽取（人， 所以，； （2）由表中数据知，甲校尖子生5人，乙校尖子生3人，共8人，抽取4人， 恰有1人来自乙校的概率为； （3）根据题意填写列联表，如下： 甲校 乙校 总计 优秀 15 5 20 非优秀 25 27 52 总计 40 32 72 由表中数据，计算， 所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异． 32．（2022春•通州区期末）某校高二年级共有学生400名，将数学和语文期中检测成绩整理如表1所示． 表1 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 73 54 127 不优秀 61 212 273 合计 134 266 400 表2 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 8 5 13 不优秀 7 20 27 合计 15 25 40 （Ⅰ）从400名学生中随机选择一人做代表． （ⅰ）求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率； （ⅱ）在选到同学数学成绩优秀的条件下，求选到同学语文成绩优秀的概率； （Ⅱ）从400名学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，样本数据整理如表2，依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？， 【解答】解：（Ⅰ）（ⅰ）选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率为； （ⅱ）令事件为“数学成绩优秀”；事件为“语文成绩优秀”， 则，（A）， 所以， 所以在选到同学数学成绩优秀的条件下，选到同学语文成绩优秀的概率为； （Ⅱ）根据列联表2，计算， 依据的独立性检验知，能认为数学成绩与语文成绩有关联． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 成对数据的统计分析 高频考点概览 考点 01 变量的相关关系 考点 02 样本相关系数 考点 03 样本中心的应用 考点 04 用回归方程估计总体数据 考点 05 残差分析 考点 06 线性回归方程 考点 07 非线性回归方程 考点 08 独立性检验概念辨析 考点 09 卡方计算 考点01 变量的相关关系 1．（2024春•丰台区期末）在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（　　） A．某商品的销售价格与销售量 B．汽车匀速行驶时的路程与时间 C．气温与冷饮的销售量 D．人的年龄与视力 2．（2022春•密云区期末）对变量，由观测数据得散点图1，对变量，由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断（　　） A．变量与负相关，与正相关 B．变量与负相关，与负相关 C．变量与正相关，与正相关 D．变量与正相关，与负相关 3．（2022春•大兴区期末）如图给出的是两个变量之间的散点图，则两个变量之间没有相关关系的可能是　　 A．① B．② C．③ D．④ 4．（2021春•丰台区期末）下列两个变量具有相关关系的是（　　） A．正方体的体积与棱长 B．汽车匀速行驶时的路程与时间 C．人的体重与饭量 D．人的身高与视力 5．（2021春•通州区期末）在下列各图中的两个变量具有线性相关关系的图是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 6．（2025春•北京校级期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是　　 考点02 样本相关系数 A． B． C． D． 7．（2023春•东城区期末）如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是，，，那么，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 8．（2021春•朝阳区期末）判断对错，并在相应横线处划“”或“”． ①样本相关系数时，称成对数据正相关，时，称成对数据负相关． 　　 ②样本相关系数的绝对值越接近于1，线性相关程度越弱，越接近于0，线性相关程度越强． 　　 考点03 样本中心的应用 9．（2025秋•昌平区校级期末）根据下表数据得到关于的线性回归方程，则 　　． 1 2 3 4 1 4 5 8 10．（2024春•丰台区期末）已知线性相关的两个变量和的取值如下表，且经验回归方程为，则　　． 0 1 3 4 2.2 4.3 4.8 6.7 11．（2022春•大兴区校级期末）变量，具有较强的线性相关性，且，的数据如表所示，若变量，的回归直线方程是，则的值是（　　） 16 12 8 4 24 34 38 64 A．73.6 B．71.2 C．71 D．76.4 12．（2020春•东城区期末）若变量，之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点　　 1 2 4 5 7 6 9 10 A． B． C． D． 考点04 用回归方程估计总体数据 13．（2022春•大兴区校级期末）为了践行“绿水青山就是金银山”的理念，小华同学在一次“植树节”活动中认养了一棵杨树．据统计，杨树的生长年份和高度的统计数据如表． 年份 3 4 5 6 高度 250 300 400 450 由散点图可以看出，具有线性相关关系，并求得回归方程为．据此模型估计，该杨树生长8年后的高度为（　　） A． B． C． D． 14．（2021春•朝阳区期末）为了研究某校男生的脚长（单位；和身高（单位：的关系，从该校随机抽取20名男生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系．设关于的经验回归方程为．已知，，，该校某男生的脚长为，据此估计其身高为（　　） A． B． C． D． 考点05 残差分析 15．（2024春•石家庄期末）已知一组样本数据，，，，，，，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（　　） A． B．2.45 C．3.45 D．54.55 16．（2022春•通州区期末）已知变量和变量的一组随机观测数据，，，，．如果关于的经验回归方程是，那么当时，残差等于（　　） A． B．0 C．10 D．110 17．（2021春•通州区期末）已知变量和变量的一组随机观测数据，，，，．如果关于的经验回归方程是，那么当时，残差等于 　　． 考点06 线性回归方程 18．（2024春•石家庄期末）如图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图． 注：年份代码分别对应年份． （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（结果精确到加以说明； （2）建立关于的回归方程（系数精确到，并预测2023年我国65岁及以上老人人口数（单位：亿）． 参考数据：． 参考公式：相关系数． 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 考点07 非线性回归方程 19．（2020秋•海淀区校级期末）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据，，2，，得到下面的散点图： 由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是　　 A． B． C． D． 20．（2021春•通州区期末）某公司对某产品作市场调查，获得了该产品的定价（单位：万元吨）和一天的销量吨）的一组数据，根据这组数据制作了如下统计表和散点图． 0.33 10 3 0.164 100 68 350 表中． （Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个更适合作为关于的经验回归方程；（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，建立关于的经验回归方程； （Ⅲ）若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依据（Ⅱ）的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？ （经验回归方程中，， 考点08 独立性检验概念辨析 21．（2023春•大兴区期末）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，则依据小概率值的独立性检验，可以推断变量与（　　） A．独立，此推断犯错误的概率是0.01 B．不独立，此推断犯错误的概率是0.01 C．独立，此推断犯错误的概率不超过0.01 D．不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01 22．（2023春•东城区期末）幸福感是个体的一种主观情感体验，生活中的多种因素都会影响人的幸福感受．为研究男生与女生的幸福感是否有差异，一位老师在某大学进行了随机抽样调查，得到如下数据： 幸福 不幸福 总计 男生 638 128 766 女生 372 46 418 总计 1010 174 1184 由此计算得到，已知，．根据小概率值的独立性检验，　　（填“可以”或“不能” 认为男生与女生的幸福感有差异；根据小概率值的独立性检验，　　（填“可以”或“不能” 认为男生与女生的幸福感有差异． 23．（2022春•大兴区期末）对某中学学生是否爱好跳绳做了随机调查，得到如表列联表． 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 现根据小概率值的独立性检验，已知．经计算，则以下结论正确的是（　　） A．爱好跳绳与性别无关 B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别有关 D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 24．（2022春•朝阳区期末）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表： 性别 锻炼情况 合计 不经常 经常 女生人 14 7 21 男生人 8 11 19 合计人 22 18 40 注：独立性检验中，，．常用的小概率值和相应的临界值如表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据这些数据，给出下列四个结论： ①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响； ②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响； ③根据小概率值的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05； ④根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响． 其中，正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 25．（2020秋•海淀区校级期末）为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（　　） A．有的人认为该栏目优秀 B．有的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系 C．有的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系 D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系 26．（2021春•昌平区期末）为了调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如表： 男 女 需要志愿者 40 30 不需要志愿者 160 270 经计算可得．由，下列结论正确的是（　　） A．有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 B．有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关 C．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 D．在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关 考点09 卡方计算 27．（2021春•通州区期末）为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关联性，同学甲调查丁某中学高三年级所有学生，整理得到列联表1，同学乙从该校高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到列联表2． 表1 单位：人 性别 身高 合计 女 81 16 97 男 28 75 103 合计 109 91 200 表2 单位：人 性别 身高 合计 女 15 6 21 男 9 10 19 合计 24 16 40 （Ⅰ）利用表1，通过比较不低于的学生在女生和男生中的比率，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，如果有关联，请解释它们之间如何相互影响； （Ⅱ）利用表2，依据的独立性检验，推断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联，并解释所得结论的实际含义： （Ⅲ）以上两种方法得出的结论是否一致？如果不一致，你认为哪种方法得出的结论准确，原因是什么？ ， 28．（2021春•朝阳区期末）根据国家电影局发布的数据，2020年中国电影总票房为204.17亿，年度票房首度超越北美，成为2020年全球第一大电影市场．国产历史战争题材影片《八佰》和《金刚川》合力贡献了国内全年票房的．我们用简单随机抽样的方法，分别从这两部电影的购票观众中各随调查了100名观众，得到结果如下：图1是购票观众年龄分布情况；图2是购票观众性别分布情况． （Ⅰ）记表示事件：“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”，根据图1的数据，估计的概率； （Ⅱ）现从参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中随机抽取两名依次进行电话回访，求在第1次抽到男性观众的条件下，第2次仍抽到男性观众的概率． （Ⅲ）填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择是否有差异？ 影片 女性观众 男性观众 总计 《八佰》 100 《金刚川》 100 总计 200 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 附：． 29．（2021春•密云区期末）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小于85分为非优秀统计成绩后，得到列联表如表所示： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 总计 105 已知在甲、乙两班全部105人中，随机抽取1人为优秀的概率为． （Ⅰ）请完成上面的列联表； （Ⅱ）根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系”？ 参考公式：． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 30．（2020春•东城区期末）为了迎接冬奥会，某中学推广冰上运动，从全校学生中随机抽取了100人，统计是否爱好冰上运动，得到如表的列表： 爱好 不爱好 共计 男生 10 女生 30 共计 50 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 参考公式：，其中． （Ⅰ）补全联表； （Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“爱好冰上运动与性别有关“？请说明理由． 可以认为“爱好冰上运动与性别有关”． 31．（2025秋•昌平区校级期末）甲、乙两所学校高三年级学生分别有1000人和800人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了72名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校 分组 ， ， ， ， ， ， 频数 3 14 8 10 3 乙校 分组 ， ， ， ， ， ， 频数 2 10 2 2 1 （1）计算，的值； （2）若规定考试成绩在，内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取4人，求恰有1人来自乙校的概率； （3）若规定考试成绩在，内为优秀，根据以上统计数据完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异． 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计 参考公式：，． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 32．（2022春•通州区期末）某校高二年级共有学生400名，将数学和语文期中检测成绩整理如表1所示． 表1 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 73 54 127 不优秀 61 212 273 合计 134 266 400 表2 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 8 5 13 不优秀 7 20 27 合计 15 25 40 （Ⅰ）从400名学生中随机选择一人做代表． （ⅰ）求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率； （ⅱ）在选到同学数学成绩优秀的条件下，求选到同学语文成绩优秀的概率； （Ⅱ）从400名学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，样本数据整理如表2，依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？， 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $