6.2.4向量的数量积（分层练习）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦向量数量积核心概念，以“定义辨析-几何意义-运算应用-综合拓展”为路径，分层设计基础巩固与能力提升题组，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义辨析、几何意义、基本运算|以选择题型巩固概念，如定义辨析题培养抽象能力，投影向量基础题强化几何直观| |进阶层|运算律、模与夹角计算|结合模长公式与夹角公式提升运算能力，如数量积求模题训练符号意识| |综合层|垂直关系、参数求解|通过垂直条件求参数等问题发展推理意识，如三角形形状判断题体现数学应用|

6.2.4向量的数量积 题型一 平面向量数量积的定义及辨析 1．（24-25高一下·北京·阶段检测）已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高三下·福建·阶段检测）设、是任意两个非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型二 平面向量数量积的几何意义 3．（2026·福建三明·二模）已知，向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（25-26高一下·北京·期中）已知，向量在方向上的投影是（   ） A．12 B．4 C． D．2 题型三 用定义求向量的数量积 5．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．4 C． D．8 6．（25-26高一下·四川达州·阶段检测）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（     ） A． B．1 C． D．2 题型四 数量积的运算律 7．（25-26高一下·辽宁·期中）已知平面向量的夹角为60°，，则＝（   ） A．4 B． C． D． 8．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知向量，满足，，则在上的投影向量的模为（   ） A．1 B． C．2 D． 题型五 已知数量积求模 9．（2026·福建莆田·模拟预测）已知向量满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 10．（2026·河南·模拟预测）已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型六 向量夹角的计算 11．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知向量、、均为单位向量，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型七 垂直关系的向量表示 13．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，，且与垂直，则的值是（   ） A． B．2 C．0 D．1 14．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，若且，是中点，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 题型八 已知模求数量积 15．（2026·重庆·模拟预测）已知向量满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 16．（2026·河南·二模）平面向量满足，若，则（   ） A．0 B．4 C．6 D．8 题型九 已知模求参数 17．（14-15高一上·天津红桥·期末）已知，且与垂直，则等于（ ） A． B．± C．± D．± 18．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十 求投影向量 19．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·河南·三模）已知向量，满足，，则在上的投影向量的模为（    ） A．1 B． C．2 D． 1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知平面向量，，满足，，，则的取值范围是________． 2．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知向量在单位向量上的投影向量为，则的值为_________． 3．（25-26高一下·江西抚州·阶段检测）如图，在中，，E在边AC上，且，若，，则________．    4．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）已知单位向量，夹角为，，． (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.4向量的数量积 题型一 平面向量数量积的定义及辨析 1．（24-25高一下·北京·阶段检测）已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由向量数量积的定义式可得,即可判断 【详解】， , 又 为三角形内角，是钝角， 即是钝角三角形. 故选：C. 2．（24-25高三下·福建·阶段检测）设、是任意两个非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合向量垂直关系与数量和意义判断. 【详解】由，得；反之当，也可推出， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 题型二 平面向量数量积的几何意义 3．（2026·福建三明·二模）已知，向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】设与的夹角为，在上的投影向量为， 故，故. 4．（25-26高一下·北京·期中）已知，向量在方向上的投影是（   ） A．12 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量投影的定义即可求解. 【详解】由题意得：. 题型三 用定义求向量的数量积 5．（25-26高一下·广东佛山·期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】根据投影向量的运算公式进行求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 6．（25-26高一下·四川达州·阶段检测）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】根据平面向量数量积的定义可得 . 题型四 数量积的运算律 7．（25-26高一下·辽宁·期中）已知平面向量的夹角为60°，，则＝（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积及向量的模计算即可. 【详解】因为平面向量的夹角为60°，＝2，＝1， 而， 所以． 8．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知向量，满足，，则在上的投影向量的模为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算律及投影向量求解即可. 【详解】因为，所以， 所以在上的投影向量为， 所以投影向量的模为． 题型五 已知数量积求模 9．（2026·福建莆田·模拟预测）已知向量满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由， ，得． ． 故． 10．（2026·河南·模拟预测）已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据单位向量的概念以及平面向量的数量积运算法则和性质求解即可. 【详解】因为，均为单位向量， ，， 由可知，，展开得，即， 代入得，解得， 因此. 所以. 题型六 向量夹角的计算 11．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以. 12．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知向量、、均为单位向量，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，根据平面向量数量积的运算性质可求出，再利用平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为向量、、均为单位向量，若，则， 所以，所以， 则， 又因为，所以，即与的夹角为. 题型七 垂直关系的向量表示 13．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，，且与垂直，则的值是（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【详解】由题设，且，， 所以，可得. 14．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，若且，是中点，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据数量积为0向量垂直判断三角形形状，再结合已知条件判断即可. 【详解】因为所以，所以是直角三角形， 又因为，所以是等腰三角形，所以是等腰直角三角形， 因为是斜边的中点，所以且，因此是等腰直角三角形. 题型八 已知模求数量积 15．（2026·重庆·模拟预测）已知向量满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据模长计算公式：，将所给的模长利用模长公式展开计算可得的值． 【详解】因为； 故； 又； 故； 将两式相减即可得：；故． 16．（2026·河南·二模）平面向量满足，若，则（   ） A．0 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】法一：由得：， 即，解得， 则，又得， 所以. 法二：（特殊值）由题意可设，可得. 法三：（数形结合）因为， 所以是以为邻边的平行四边形的对角线向量，是另一条对角线向量， 所以平行四边形是矩形， 所以， 从而向量在方向上的投影向量是， 又因为向量与的数量积等于向量在方向上的投影向量与的数量积， 可得. 题型九 已知模求参数 17．（14-15高一上·天津红桥·期末）已知，且与垂直，则等于（ ） A． B．± C．± D．± 【答案】B 【分析】根据向量垂直和向量数量积的定义求解即可. 【详解】根据与垂直，可得， 整理可得即，所以. 18．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用得，结合题意化简得，列不等式组，求解即可； 设，则，，根据方程，分离参数得，利用函数的单调性求值域即可. 【详解】方法1、因为，所以， 因为，，所以，解得， 则或，解得，则的取值范围为． ［易错］容易忽略作为分式的分母不能为0以及，从而导致取值范围错误． 方法2、 如图，设，则，， 因为，则， 当时，，且； 当时，，所以的取值范围为． 故选：C 题型十 求投影向量 19．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 所以在方向上的投影向量为. 20．（2026·河南·三模）已知向量，满足，，则在上的投影向量的模为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由，可得， 则在上的投影向量的模为. 1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知平面向量，，满足，，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据向量的模与数量积运算，可推导出关系式，再利用可得，并结合数量积的定义及余弦函数的范围即可求得的取值范围. 【详解】因，，， 则 ，其中为与的夹角， 根据，可得，代入上式，， 因，设，则可得， 即得，解得， 所以的取值范围为. 2．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知向量在单位向量上的投影向量为，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】因为向量在单位向量上的投影向量为， 所以向量在单位向量上的投影为， 即，所以. 故答案为：. 3．（25-26高一下·江西抚州·阶段检测）如图，在中，，E在边AC上，且，若，，则________．    【答案】20 【分析】利用数量积的运算律得出，再计算即可. 【详解】由，得， 而E在边AC上，且， 所以. 4．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）已知单位向量，夹角为，，． (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的运算律展开计算，先求出的表达式，再通过将模长计算转化为数量积运算求解； （2）利用向量夹角余弦公式，先计算和，代入第一问的结果即可求解. 【详解】（1）； 因为， 所以. （2）设夹角为， 因为，所以， 因为，所以， 又，所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $