6.2.4 向量的数量积 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4　向量的数量积 一、必备知识基础练 1.若|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b=(　　) A. B. C.1 D.2 2.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,则a与b的夹角θ为(　　) A.45° B.135° C.120° D.150° 3.已知|b|=3,a在b方向上的投影向量是b,则a·b为(　　) A.3 B. C.2 D. 4.在△ABC中,<0,则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 5.若a,b,c是三个任意向量,则下列运算中错误的是(　　) A.(a·b)·c=a·(b·c) B.|a+b|2=(a+b)2 C.(a+b)·c=a·c+b·c D.(a-b)2=a2-2a·b+b2 6.如图所示,在Rt△ABC中,A=90°,AB=1,则上的投影向量是　　　　　;的值是　　 　. 7.已知|a|=2,b2=3,在下列情况下分别求a·b. (1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为150°. 8.已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角. 二、关键能力提升练 9.(2025广东深圳高二检测)已知a,b为单位向量,且|a+2b|=|a-b|,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 10.(2025云南大理高一期末)已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=　　　　　.  11.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3=2,则=　　　　　.  12.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,a=e1+2e2,b=5e1-4e2.求证:a⊥b. 答案 1.C　解析 a·b=|a||b|cos 60°=2×1×=1. 2.B　解析 cos θ==-. 又因为0≤θ≤π,所以θ=,即θ=135°. 3.B　解析 a·b=b·(b)=3×. 4.C　解析 因为=||||cos A<0, 所以cos A<0.所以角A是钝角. 所以△ABC是钝角三角形. 5.A　解析 对于A,a·b得出的是数量,故(a·b)·c结果是与c共线的向量,同理a·(b·c)得出的是与a共线的向量,等式对任意三个向量a,b,c不一定成立,故A错误; 对于B,由向量数量积定义可得,(a+b)2=|a+b||a+b|·cos 0=|a+b|2,故B正确; 对于C,向量数量积运算满足分配律,故C正确; 对于D,由分配律可得,(a-b)2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=a2-2a·b+b2,故D正确.故选A. 6.　-1　根据投影向量的定义可知上的投影向量为. ||=1,即为单位向量,=-=-||||cos∠ABC,而||cos∠ABC=||, 所以=-||2=-1. 7.解 因为b2=3,所以|b|=. (1)当a∥b时,a·b=|a||b|cos 0°=2××1=2或a·b=|a||b|cos 180°=2××(-1)=-2. (2)当a⊥b时,a·b=|a||b|cos 90°=2××0=0. (3)当a与b的夹角为150°时,a·b=|a||b|cos 150°=2××(-)=-3. 8.解 如图,在平面内取一点O,作=a,=b,使||=||, 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB, ∴四边形OACB为菱形,OC平分∠AOB,这时=a+b,=a-b. 由于|a|=|b|=|a+b|, 即||=||=||, ∴∠AOC=60°,即a与a+b的夹角为60°. ∵∠AOC=60°, ∴∠AOB=120°. 又||=||, ∴∠OAB=30°,即a与a-b的夹角为30°. 9.C　解析 由题意可得|a|=|b|=1,将|a+2b|=|a-b|两边平方可得|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+|b|2-2a·b, 即6a·b=-3|b|2=-3,可得a·b=-. 设a与b的夹角为θ∈[0,π],则cos θ==-, 所以θ=.故选C. 10.13　∵向量a与b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5, ∴(2a-b)·a=2a2-a·b=2×22-2×5×(-)=13. 11.22　解析 由=3,得. 因为=2, 所以·=2, 即=2. 又=25,=64,所以=22. 12.证明 依题意,得=1, e1·e2=1×1×cos 60°=. 因为a·b=(e1+2e2)·(5e1-4e2)=5-8+6e1·e2=5-8+6×=0,所以a⊥b. 3 学科网（北京）股份有限公司 $