6.2.3向量的数乘运算（分层练习）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练习围绕向量概念与运算，通过基础计算、混合运算、几何应用到三角形心的向量表示的分层设计，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，培养数学思维与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量数乘计算、概念辨析|以选择题形式考查数乘法则与方向判断，夯实基础概念| |进阶层|平面向量混合运算|结合三角形中点分比问题，提升运算综合能力| |综合层|线性运算几何应用|以长方形、平行四边形为情境，培养几何直观与应用意识| |拓展层|三角形心的向量表示|通过内心、重心等性质判断，发展逻辑推理与数学表达能力|

6.1.1向量的实际背景与概念 题型一 向量数乘的有关计算 1．（2026高一·全国·专题练习）下列各式计算正确的有（　　） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算法则逐一判断即可. 【详解】①③④正确，②错，因. 故选：C 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（   ） ①，时，与的方向一定相反； ②，时，与的方向一定相同； ③，时，与的方向一定相同； ④，时，与的方向一定相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据数乘向量的定义和性质进行判断. 【详解】由与向量的积的方向规定，易知①②正确， 对于命题③④，当时，，同正或同负，与或者都与同向，或者都与反向．与同向， 当时．则与异号，与中，一个与同向，一个与反向，与反向，故③④也正确． 故选：D 3．（24-25高一下·江西上饶·阶段检测）“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】或，从而得到答案. 【详解】因为或， ， 所以“”是“实数”的必要不充分条件. 故选：B 题型二 平面向量的混合运算 4．（25-26高一下·广东汕尾·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算可得答案. 【详解】. 5．（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法、减法及数乘运算计算即可. 【详解】由，得. . 6．（25-26高二下·贵州·期中）在中，，，为的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为的中点，所以，， 因为，所以， 则. 题型三 向量的线性运算的几何应用 7．（2026·北京西城·二模）在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】取的中点，， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 8．（25-26高一下·重庆渝北·期中）如图，平行四边形．中，，，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】平行四边形．中，，，为的中点，所以. 9．（2026·江苏·二模）在平行四边形中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在平行四边形中，为中点， 则， 因为，所以， 若，则，所以. 题型四 三角形的心的向量表示 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【详解】由已知，得，即，根据平行四边形法则，知（D为的中点），所以点P的轨迹必过的重心． 11．（25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 12．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 题型五 根据向量关系判断三角形的心 13．（2023高一·全国·专题练习）已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【分析】取线段的中点，则，依题可得，即可得答案. 【详解】取线段的中点，则. 动点满足：，， 则，即，所以， 又，所以三点共线，即点的轨迹是直线， 一定通过的重心. 故选：A. 14．（21-22高一下·山东聊城·阶段检测）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G是△ABC的重心. 【详解】因为，所以. 以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示: 则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心. 故选：D 15．（16-17高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】由已知可得，由此可得出结论. 【详解】因为，则，所以，是的外心. 故选：B. 1．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）设点在内部，且，则 __________． 【答案】/ 【分析】变形给定等式，作图使得，进而确定点，再利用等高的三角形面积关系求解. 【详解】由，得，在线段上取点，使得， 取点，使点不在直线上，则，点是线段的中点， 因此，所以. 2．（25-26高一下·天津南开·期中）如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形， 其中，设，则__________. 【答案】 【分析】本题先利用图中的等边三角形的全等关系，得出相应向量的线性关系，通过三角形法则，将目标向量转化为其他两个向量和的形式，从而求出对应系数的和. 【详解】解：由图可知，，， 因为，所以，， 由，，， 所以， 又，所以， 又因为， 所以， 又， 所以， 化简得， 整理得，所以，， 因此，. 3．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，在梯形中，，，． (1)用，表示； (2)若与交于点，用，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）方法一，利用三角形相似，将其用表示出来，再由（1）即可求得； 方法二，利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由图，c． （2）设，则 ． 设，则，则，解得，所以． 方法二：            （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1.1向量的实际背景与概念 题型一 向量数乘的有关计算 1．（2026高一·全国·专题练习）下列各式计算正确的有（　　） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，则在下列各命题中，正确的命题有（   ） ①，时，与的方向一定相反； ②，时，与的方向一定相同； ③，时，与的方向一定相同； ④，时，与的方向一定相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高一下·江西上饶·阶段检测）“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 平面向量的混合运算 4．（25-26高一下·广东汕尾·期中）化简：（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·河北唐山·期中）在中，若，则（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·贵州·期中）在中，，，为的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三 向量的线性运算的几何应用 7．（2026·北京西城·二模）在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高一下·重庆渝北·期中）如图，平行四边形．中，，，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏·二模）在平行四边形中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型四 三角形的心的向量表示 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 11．（25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 12．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 题型五 根据向量关系判断三角形的心 13．（2023高一·全国·专题练习）已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 14．（21-22高一下·山东聊城·阶段检测）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 15．（16-17高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 1．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）设点在内部，且，则 __________． 2．（25-26高一下·天津南开·期中）如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形， 其中，设，则__________. 3．（25-26高一下·四川成都·期中）如图，在梯形中，，，． (1)用，表示； (2)若与交于点，用，表示． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $