学易金卷：八年级数学下学期期末模拟卷02（新教材北师大版八下全部：三角形的证明及其应用+不等式与不等式组+图形的平移与旋转+因式分解+分式与分式方程+平行四边形）

**基本信息** 2025-2026学年北师大版八年级数学期末模拟卷，以二十四节气图形、神舟十九号模型销售等真实情境为载体，覆盖全册知识，通过基础题与综合探究题（如旋转证明、动态几何）梯度设计，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称与中心对称、不等式解集等|结合二十四节气图形考查几何直观| |填空题|6/18|因式分解、多边形外角和等|平移坐标、动态几何最小值问题| |解答题|9/72|分式方程、平行四边形证明、神舟模型销售利润等|以神舟十九号为背景的应用题考查数据观念，旋转探究题发展推理能力与创新意识|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.HA][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12. 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) B A (图1) (图2) (图3) 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 6 5 4 3 2 -6-5-4-3-21Q 1 23456x -3 24(12分) B D A A F E 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) A公 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 6 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 n 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 巢 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 艾南 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分) 11 13. 15 12 14. 16. 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每 题8分；第24,25题，每题12分；共9小题，共72分) 17.(6分) 器 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(6分) 20.(6分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(8分) (图1) (图2) (图3) 22.(8分) 数学第3页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) yA 6 543 -q-----+--4- 1--J---L--1--J-- 2 B -1 -6-- 6-5-4-3-2 19 123456x 2 3 4 -i 5 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) D A G B B 图1 图2 图3 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) 2 图3 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 A4考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册全部 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．下列各式，正确的是（     ） A． B． C． D．=2 4．若实数是的三边长，则的结果（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 5．已知一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如果关于的方程无解，则的值为（   ） A．2 B． C． D．7 8．如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（     ） A． B． C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．分解因式：__________． 12．如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 13．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 14．如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 15．若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为______． 16．如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 三、解答题(第17，18，19，20题，每题6分;第21，22，23题，每题8分;第24，25题每题12分;共9小题，共72分) 17．（6分）按要求解答下列各题： (1)解不等式组： (2)解分式方程：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 20．（6分）某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多元，经了解，用元购进的甲文具袋与用元购进的乙文具袋的数量相等． (1)分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元？ (2)若该文具店用元全部购进甲、乙两种文具袋，设购进甲个，乙个．求关于的关系式． 21．（8分）学习了《勾股定理》一章后，同学们发现，利用勾股定理不仅可以绘制出各种不同的美丽图案，还可以用于计算．某校八年级数学兴趣小组开展了“利用勾股定理求面积”的主题项目化学习活动： 活动主题：求三角形（四边形）的面积； 活动任务一： (1)如图1，等边的边长为4，则它的面积是 ； 活动任务二： (2)如图2，中，，求的面积； (3)如图3，四边形中，，求四边形的面积． 22．（8分）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． (3)点P为x轴上一点，直接写出当最大时，点P的坐标． 24．（12分）【问题背景】（1）如图1，在直角三角形中：，，，垂足为，要在距离点的点处做一条垂直于的垂线，垂足为，交于点，，试求的长度？（提示：根据面积相等的方法求解，梯形的面积，其中上底，下底，高） 【触类旁通】（2）如图2，点，，线段与轴交于点，且满足． ① ， ； ②求此时点的坐标； 【实践探究】（3）如图3，在（2）的基础上将直线与轴交于点，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，点为射线上一动点． ①点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并写出求解过程． 25．（12分）在数学课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，分别为上的动点（不与端点重合），且． (1)如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请证明小颜的结论； (2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是平行四边形； (3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，连接，请直接写出的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 3 6 个 P 10 D C B B B B C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11 (ab+1(ab-1) 12.360°13.(6.0）14.35 15.2或3164W5-4 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分第21,22,23题，每题8分第24,25题每题12分共9 小题，共72分) 17.(6分) x+3>6-x① 【详解】(1)解： 2x-5_+3≤1② 3 2 解不等式①得：x> 2 解不等式②得：x≤25， 则不等式组的解集为：2x≤25；…(3分) 4x-1=3 (2)解：x-2 2-x 方程两边同乘以任-2》得：4r-(x-2)=-3 1/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得：x 3 5 检验：将x= 有代入-2得：320 5 则原分式方程的解为：=一3：…(6分) 18.(6分) x+21）.(x+1)(x-1) 【详解】解：原式 x+2x+2 (x-1)2 =x+1xx-1 x+2x+1 =x-1 x+2;…(4分) 3-12 当x=3时，原式3+25· …(6分) 19.(6分) 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC :点E,F分别是AD,BC的中点， :AE-DE-TAD,BF-CF-IBC 2 :DE=BF. 又DE∥BF, ∴.四边形BEDF是平行四边形；…(3分) (2)解：，BE平分∠ABC, .∠ABE=∠EBC. 又：AD∥BC, ∴.∠AEB=∠EBC, ∴.∠ABE=∠AEB, .'AE=AB=6. ∴.AD=2AE=12, 口ABCD的周长为2×(6+12)=36.…(6分) 2/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(6分) 【详解】(1)解：设乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个进价为 x+2) 元， 12090 根据题意得，x+2x, 解得x=6, 经检验，x=6是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+2=8 答：乙文具袋每个进价为6元，则甲文具袋每个进价为8元；…(4分) (2)解：根据题意得，8x+6y=1200, 4 y=20-3 .…(6分) 21.(8分) 【详解】(1)解：如图，过点A作AD L BC, D ~△ABC是等边三角形，AD⊥BC, AB=Bc=4BD-BC=2。 .AD=VAB2-BD=4-2=23 5版=BC4D-x4x25=45,…（2分) (2)解：如图2，过点C作CD⊥AB于点D, 3/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 0 C (图2) ∴.∠BDC=∠ADC=90° 在RtABDC中，∠B=60,BC=4, ∴∠BCD=30°， .BD=2 .CD=VBC2-BD2=V42-22=2W5 在RtADC中， ∠A=180°-（∠B+∠ACB)=45° AD=CD=23 ∴AB=AD+BD=2N3+2 5x号4B-CD=5+2列小25=6+25，…5分) (3)解：如图3，连接BD, (图3) 在Rt△BDA中，∠A=90°，AB=AD=2, BD-AD+4B2=2 在△BDC中， BC=3,DC=1,BD=22 .BD2+CD2=BC2, ∴.∠BDC=90° 22.w.c 5. 4/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 六Sg边形ABCn=S.BDA+S,B0c=2+V2 …(8分) 22. (8分) 【详解】(1)解：设每个“神舟”模型的进价为a元，每个“天宫”模型的进价为b元， 30a+20b=6500 根据题意，得40a+25b=8500, [a=150 解得b=100, 答：每个“神舟”模型的进价为150元，每个“天宫”模型的进价为100元.…(2分) (2)解：设购进“神舟”模型x个，则购进“天宫”模型 200-0个， 200-x≤3x 根据题意得： 150x+100(200-x)≤25000， 解得：50≤x≤100， w=(180-150)x+(150-100)(200-x)=-20x+10000 .-20<0, .w随x的减小而增大， .50≤x≤100 当=50时”值最大，"9默=-20x50+1000=900。 200-50=150(个)， 答：购进“神舟”模型50个、“天宫”模型150个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是9000 元；…(5分) (3)解： w=(180-150+a)x+(150-100)(200-x)=(a-20)x+10000(50≤x≤80) 50≤x≤80 ÷若a-20)x+10000=10800 则4-20>0，即a>20 .w随x的增大而增大， 5/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当r=80时W值最大，得 80(a-20)+10000=10800 解得：a=30 ∴.为让航模店最终获得的最大利润是10800元，a的值为30.…(8分) 23.(8分) 【详解】(1)解：如图： A的坐标为 3,-4) ;…(2分) yA 6 5 4 3 2 B 6-5-4-32-19 12.345 6 x 2 3 (②如图：9的坐标为-2- …(4分) YA 5 3 -R -1 6-5-4-3-219 12.3.4.5.6x C 2 -3 -4 5 -6 (3)如图： 6/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6 5 3 9-8-7-6-5-4-3-2-19 123x 6 PA-PB<AB 点P为'轴上一点，由三角形的三边关系可知 当P、A、B三点共线时，有PA-PB=AB, 即PA-PBsB 当且仅当P、A、B三点共线时， PA-PB有最大值： 延长4B交箱于尸，此时即为所求 设少在+b 「-3k+b=4 则-5k+b=1, 解得 17, b= 2 ,17 ya=2 x+ 2 3,1 当y=0时，2x 20 17 解得x=一3， ( 7/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17 即当PA-PB最大时，点P的坐标为 …(8分) 24.(12分) 【详解】解：(1)设DE的长为x,根据题意得， SABc=S,ADE+S形DECB :2x105x5=x65x++5k46 解得：x=3.…(2分) (2)解：Va-2+(b+5)}=0 a-2=0,b+5=0 a=26=-5,则4(-22），8(-549 故答案为：2，-5.…(4分) ②过点A,B分别作AM上y轴，垂足为M,BNLy轴，垂足为N, A -AM B 图2 S梯形ABNM=S梯形ACOM十+S梯形CBO 1(-2,2)8(-5-4) AM=2,BN=5,MN=6 设OC=c 根据题意得： +e小x2+e+5列x4-2+5列x6 解得：c=3 8/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 c-30) …(7分) (3)①设直线AB解析式为 =+bk≠0，f代入1(-2,2)，B(-5,-4) 「-2k+b=2 -5k+b=-4 [k=2 解得：b=6 ·直线AB解析式为y=2x+6 当x=0时，y=6 :D06) :将线段DC沿‘轴向右平移6个单位得到线段EF,C(-3,0 的对应点为F, :FB0) (0,6)(3,0) 故答案为： …(9分) ②分两种情况： 第一种情况：如图所示，点P在E点的左边 过点G作KGII DE D K-- A G B ∴.∠EPG=∠PGK ~将线段DC沿×轴向右平移6个单位得到线段EF, ∴.DCEF,DECF :.∠DCF+∠CFG=180°， DE CF ..KGIOF, .∠KGF+∠OFG=180° 9/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠DCF=∠KGF .∠PGF=∠EPG+∠DCF 第二种情况：如图所示，点P在E点的右边 过点G作KGIIDE D P --K ∴.∠EPG=∠PGK∠DEG=∠EGK :将线段DC沿×轴向右平移6个单位得到线段EF, .DCII EF,DEICF」 .∠DCF+∠CFG=180° ∴.∠KGF+∠OFG=180°，∠DEF+∠CFE=180°， ∴.∠DCF=∠DEF .DEICF, ..KG lIOF, ∠KGF=∠CFK, .∠KGF+∠DCF=180° ∠EGP+∠PGF=180° ∴.∠PGF=180°-∠EGP=180°-（∠DCF-∠DPG)=180°-∠DCF+∠DPG ·LEPG,∠PGF,∠DCF之间满足的数量关系为：∠PGF=∠EPG+∠DCF或 ∠PGF=180°-∠DCF+∠DPG...(12分) 25.(12分) 【详解】(1)证明：：△ABC为等边三角形， ∴.∠A=60°，AB=AC :MA绕点M逆时针旋转120°得到MD, .DM=AM,∠AMD=120°， .∠DMB=60°， 在△ANM和△MBD中， 10/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AN=MB ∠A=∠DMB=60° AM=MD :.AANM≌AMBD(SAS) .MN=DB:…(4分) (2)解：四边形AFBD为平行四边形；理由如下： AB=AC,∠BAC=90° .∠ABC=45°， :MA绕点M逆时针旋转90°得到MD, ∴MA=MD,∠MAD=∠MDA=45°，∠DMA=∠DMB=90° ∴∠MAD=∠ABF=45°， 则AD∥BF, 在△ANM和△MBD中， MA=DM ∠MAN=∠DMB AN=MB ∴.△ANM≌AMBD(SAS) ∴.∠AMN=∠MDB, :AE⊥MN, .∠AMN+∠MAE=90°， .∠MDB+∠MBD=90°. .∠DBM=∠MAF, DB∥AF, 则四边形AFBD为平行四边形：…(8分) (3)解： BN+CM的最小值为 V5 V5.理由如下： AB=AC=4,∠BAC=90° 在Rt△ABCABC中， 11/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由勾股定理得： BC=VAB2+AC2=V42+42=42 ∠ABC=∠ACB=45° 如图所示，将BA绕点B逆时针旋转90°到BP,连接AP,PM,PC, 则∠ABP=90°，BA=BP,∠BAP=∠BPA=45°=∠ABC, AP∥BC, ∠BAC=∠ABP=90° .AC∥BP ∴四边形ACBP是平行四边形， .AP=BC=42 AB=AC,AN=BM .AB-BM AC-AN,AM =CN, 在△APM和△CBN中， AP=CB ∠MAP=∠NCB=45° AM=CN ∴△APM≌ACBN(SAS) .:BN PM, .BN+CM=CM+PM, 在△PCM中，CM+PM>PC, 当点P,M,C三点共线时，CM+PM=PC,此时BN+CM的值最小， 如图所示，过点P作P№1CB延长线于点Q, .∠ABC=45,∠ABP=90° ∴.∠PBQ=180°-∠ABC-∠ABP=180°-45°-90°=45° 12/13 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠BPQ=45°」 ∴QB=OP t△BPQ BP2 =OB2+OP2 在 中，由勾股定理得： .2QB2=42 QB=22 解得： (负值舍去)， ·QB=QP=2V2 ∴.QC=QB+BC=2√2+4V2=6N2 在RtAPQC中， 由勾股定理得：PC=@p2+0C=22+(62=45, ∴.BN+CM 45 的最小值为 .(12分) 13/13 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 A4考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册全部 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．下列各式，正确的是（     ） A． B． C． D．=2 4．若实数是的三边长，则的结果（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 5．已知一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如果关于的方程无解，则的值为（   ） A．2 B． C． D．7 8．如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（     ） A． B． C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．分解因式：__________． 12．如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 13．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 14．如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 15．若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为______． 16．如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 三、解答题(第17，18，19，20题，每题6分;第21，22，23题，每题8分;第24，25题每题12分;共9小题，共72分) 17．（6分）按要求解答下列各题： (1)解不等式组： (2)解分式方程：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 20．（6分）某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多元，经了解，用元购进的甲文具袋与用元购进的乙文具袋的数量相等． (1)分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元？ (2)若该文具店用元全部购进甲、乙两种文具袋，设购进甲个，乙个．求关于的关系式． 21．（8分）学习了《勾股定理》一章后，同学们发现，利用勾股定理不仅可以绘制出各种不同的美丽图案，还可以用于计算．某校八年级数学兴趣小组开展了“利用勾股定理求面积”的主题项目化学习活动： 活动主题：求三角形（四边形）的面积； 活动任务一： (1)如图1，等边的边长为4，则它的面积是 ； 活动任务二： (2)如图2，中，，求的面积； (3)如图3，四边形中，，求四边形的面积． 22．（8分）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． (3)点P为x轴上一点，直接写出当最大时，点P的坐标． 24．（12分）【问题背景】（1）如图1，在直角三角形中：，，，垂足为，要在距离点的点处做一条垂直于的垂线，垂足为，交于点，，试求的长度？（提示：根据面积相等的方法求解，梯形的面积，其中上底，下底，高） 【触类旁通】（2）如图2，点，，线段与轴交于点，且满足． ① ， ； ②求此时点的坐标； 【实践探究】（3）如图3，在（2）的基础上将直线与轴交于点，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，点为射线上一动点． ①点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并写出求解过程． 25．（12分）在数学课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，分别为上的动点（不与端点重合），且． (1)如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请证明小颜的结论； (2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是平行四边形； (3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，连接，请直接写出的最小值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．______________ 13．________________ 15．________________ 12．______________ 14．________________ 16．________________ 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17.（6分） 18．（6分） 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 数学·答题卡 ! 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) E A R 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) D R B A (图1) (图2) (图3) 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) y - 65 - t- 4 -C 3 2 B 6 5 4-3 2.3.45.6x 3 -4 6 24(12分) A G B B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册全部 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2．如图直线与的图象，则关于的不等式的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为． 3．下列各式，正确的是（     ） A． B． C． D．=2 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ，故A正确． 不能约分，故B错误． ，故C错误． ，故D错误． 故选A． 4．若实数是的三边长，则的结果（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵实数是的三边长， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．已知一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为， ∴ ， 解得． 6．如图，在内作一条射线，在上取一点P，过点P分别作于点Q，于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， 根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴是的角平分线， ∴， 故选：B． 7．如果关于的方程无解，则的值为（   ） A．2 B． C． D．7 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ∴ ， 两边乘以（），得， 解得：， ∴ ， 当时，分母为零，原方程无解， 令，则， 解得：． 故当 时，方程无解． 故选：B． 8．如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在轴正半轴、轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，， ∴每循环4次与原图形重合， ∵， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同， 即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限， 如图，过点作轴于点， 则，， ，， ， ，， ， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：B 10．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，平分，分别交、于点、，连接，，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ②，， ，， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，， ， 故②错误； ③由②知，， ， 故③正确； ④由②知，是的中位线， ， ， ， 故④正确； 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．分解因式：__________． 【答案】 【详解】原式 ． 12．如图，这是一个正五边形图案，则该五边形的外角和为________． 【答案】 【详解】解：五边形的外角和为． 13．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 【答案】 【详解】解：∵点的对应点C的坐标为， ，， ∴平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， ∴的对应点D的坐标为，即． 14．如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 15．若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为______． 【答案】2或3 【详解】解：， 由①得； 由②得， ∵关于x的不等式组恰有两个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得， ∵解为正数， ∴， ∴， 当时，解得， 那么时，方程有增根， ∴且， ∴整数a的值为或， 故答案为：或． 16．如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：在延长线上截取，连接，， 四边形是平行四边形，， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题(第17，18，19，20题，每题6分;第21，22，23题，每题8分;第24，25题每题12分;共9小题，共72分) 17．（6分）按要求解答下列各题： (1)解不等式组： (2)解分式方程：． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：；……（3分） （2）解： 方程两边同乘以得：， 解得：， 检验：将代入得：， 则原分式方程的解为：．……（6分） 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 【详解】解：原式 ；……（4分） 当时，原式．……（6分） 19．（6分）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形；……（3分） （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为．……（6分） 20．（6分）某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多元，经了解，用元购进的甲文具袋与用元购进的乙文具袋的数量相等． (1)分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元？ (2)若该文具店用元全部购进甲、乙两种文具袋，设购进甲个，乙个．求关于的关系式． 【详解】（1）解：设乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个进价为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个进价为元；……（4分） （2）解：根据题意得，， ∴．……（6分） 21．（8分）学习了《勾股定理》一章后，同学们发现，利用勾股定理不仅可以绘制出各种不同的美丽图案，还可以用于计算．某校八年级数学兴趣小组开展了“利用勾股定理求面积”的主题项目化学习活动： 活动主题：求三角形（四边形）的面积； 活动任务一： (1)如图1，等边的边长为4，则它的面积是 ； 活动任务二： (2)如图2，中，，求的面积； (3)如图3，四边形中，，求四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 是等边三角形，， ， ， ；……（2分） （2）解：如图2，过点C作于点D， ， 在中，， ， ∴ ， 在中，， ， ， ；……（5分） （3）解：如图3，连接， 在中，， ∴， 在中，， ， ， ，， ．……（8分） 22．（8分）年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元．……（2分） （2）解：设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个， 根据题意得：， 解得：， ， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，， （个）， 答：购进“神舟”模型个、“天宫”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元；……（5分） （3）解：， ， 若，则，即， 随的增大而增大， 当时值最大，得， 解得：， 为让航模店最终获得的最大利润是元，的值为．……（8分） 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． (3)点P为x轴上一点，直接写出当最大时，点P的坐标． 【详解】（1）解：如图：的坐标为；……（2分） （2）如图：的坐标为；……（4分） （3）如图： 点为轴上一点，由三角形的三边关系可知， 当、、三点共线时，有， 即，当且仅当、、三点共线时，有最大值； 延长交轴于，此时即为所求； 设， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， 即当最大时，点的坐标为．……（8分） 24．（12分）【问题背景】（1）如图1，在直角三角形中：，，，垂足为，要在距离点的点处做一条垂直于的垂线，垂足为，交于点，，试求的长度？（提示：根据面积相等的方法求解，梯形的面积，其中上底，下底，高） 【触类旁通】（2）如图2，点，，线段与轴交于点，且满足． ① ， ； ②求此时点的坐标； 【实践探究】（3）如图3，在（2）的基础上将直线与轴交于点，将线段沿轴向右平移个单位得到线段，点为射线上一动点． ①点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②点是线段上一点（不与点、重合），当点在射线上运动时（点不与点重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并写出求解过程． 【详解】解：（1）设的长为，根据题意得， ∴ 解得：……（2分） （2）解：∵ ∴ ∴，则， 故答案为：，．……（4分） ②过点，分别作轴，垂足为，轴，垂足为， ∴ ∵， ∴ 设 根据题意得： 解得： ∴……（7分） （3）①设直线解析式为，代入， 解得： ∴直线解析式为 当时， ∴ ∵将线段沿轴向右平移个单位得到线段，的对应点为， ∴ 故答案为：，．……（9分） ②分两种情况： 第一种情况：如图所示，点在点的左边 过点作， 将线段沿轴向右平移个单位得到线段， ，， ， ， ， ， 第二种情况：如图所示，点在点的右边 过点 作， ，， 将线段沿轴向右平移个单位得到线段， ，， ， ， ， ， ， ， ， 、 ， ． ，，之间满足的数量关系为或．……（12分） 25．（12分）在数学课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，分别为上的动点（不与端点重合），且． (1)如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请证明小颜的结论； (2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是平行四边形； (3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，连接，请直接写出的最小值． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 在和中， ， ， ；……（4分） （2）解：四边形为平行四边形；理由如下： ， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形；……（8分） （3）解：的最小值为．理由如下： ， 在ABC中， 由勾股定理得：， ， 如图所示，将绕点B逆时针旋转到，连接， 则，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 当点P，M，C三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点P作延长线于点Q， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：（负值舍去）， ， 在中， 由勾股定理得：， 的最小值为．……（12分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $