专题08 八年级下册B卷专项汇编（函数与代数综合压轴）（3大考点期末真题汇编，四川成都专用）八年级数学下学期北师大版

**基本信息** 聚焦八年级下册函数与代数综合压轴，汇编成都多区期末校考47道真题，分层覆盖代数综合、函数综合、函数与几何综合三大高频考点，适配期末压轴题突破训练。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |填空题|30题|代数综合（不等式组与分式方程整数解、新定义“递增阶梯整式”“智慧数”）、函数综合（一次函数图像变换、动态点轨迹）|结合地域真题，设置新定义问题（如“倒立数对”“矩数”），考查抽象思维| |解答题|17题|函数与几何综合（图形旋转、对称变换、面积计算）、代数探究（埃及分数拆分、配方法应用）|设计分层探究题（如“度比坐标”“旋对点”），融合动态几何与函数性质，重现成都期末压轴命题趋势|

专题08 八年级下册B卷专项汇编（函数与代数综合压轴）（47题） ( 地 城 考点 01 代数部分综合压轴 ) 一、填空题 1．【答案】2或3 2．【答案】 3．【答案】 4．【答案】 25 7 5．【答案】12 6．【答案】 48 7．【答案】 8．【答案】2 9．【答案】2116 10．【答案】 11．【答案】或． 12．【答案】 4 13．【答案】 14．【答案】 ； ，且． 二、解答题 15．【答案】(1)；(2)猜想：（为正整数，且），证明见解析 (3)（为奇数，且），证明见解析 【详解】（1）解：∵当时，，其中，；当时，，其中，；当时，，其中，， ∴当时，，，即； （2）解：猜想：（为正整数，且）， 证明：； （3）解：当时，，其中，； 当时，，其中，； 当时，，其中，； 猜想：（为奇数，且）， 证明：． 16．【答案】(1)(2)8(3)最小值是； 【详解】（1）解：； （2）解：， 因为是非负数，所以，所以的最小值是 8 ． （3）解：∵，∴， 代入得： 因为是非负数，所以， 所以当时，取得最小值，最小值是 ．此时． ( 地 城 考点02 函数综合压轴 ) 一、填空题 1．【答案】 2．【答案】 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】/ 6．【答案】 不存在 或 7．【答案】/ 8．【答案】且 9．【答案】 或 二、解答题 10．【答案】(1)330，660(2)(3)720 【详解】（1）解：由线段中时间每增加1天，日销售量减少5件，观察图像，当时，（即第22天日销售量为340件），第24天与第22天间隔天，因此日销售量减少件， 所以第24天的日销售量为件； 已知产品成本价为6元/件，售价为8元/件，每件利润为元， 日销售利润 每件利润 日销售量，即元．故答案为：330，660； （2）解：段为过原点的正比例函数，设其解析式为， 由图像可知，当时，，代入得，解得，段的函数关系式为； 段为一次函数，设其解析式为，由（1）知，当时，， 将代入，得，解得，， 段的函数关系式为， 解方程组得，，综上，； （3）解：日销售利润 每件利润 日销售量，其中售价成本价 元（定值），因此日销售量最大时，利润最大， 段函数中，，随增大而增大；段函数中，，随增大而减小，因此，日销售量的最大值出现在段的终点（即时）， 当时，代入段函数，得件，日销售最大利润 元， 11．【答案】(1)，(2)，(3)(4)或 【详解】（1）解：∵线段为线段的“关联线段”，∴直线为， ∵点，，∴轴，，如图， ∴点的坐标为，故答案为：，． （2）解：，，， 、关于直线对称，，由题意得：，， 、关于直线对称，直线经过的中点， ，，的中点为，即， 把代入，得：，解得：，故答案为：，； （3）如图，作关于直线的对称点，连接，，．设交轴于点， 由题意直线的解析式为，， 关于直线的对称线段在直线上，又直线经过点，点在直线上， ，，点的横坐标为， 的纵坐标为∴ （4）设直线与轴交于点，连接，．， 当时，与只有一个交点时，， ，，， ，解得：（负值已舍去）； 当时，经过点时，， ，，，，，，解得：， 线段与线段有公共点，或． 12．【答案】(1)(2)①；②或; 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，，∴，∴的“度比坐标”为； （2）解：①∵，∴直线解析式为，如图，作轴于，于， ， ∴设，∵的“度比坐标”为， ∴，，∴，， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， 代入直线得：，解得：， ∴，，∴； ②由①可知，，,∴， ∵的“度比坐标”与的“度比坐标”相等，∴， 又∵,∴,    当点E在第二象限时，平分,∵,∴, 则所在的直线经过的中点F,由①可知，,则, 设所在的解析式为,将代入解析式得：, ∴所在的解析式为,设,由, ∴,解得(正值已舍)；则; 当点E在第一象限时，则∥, ∴所在的解析式为,设,由, ∴,解得(负值已舍)；则;∴或; 13．【答案】(1)画图见解析，(2)①；②的最小值为． 【详解】（1）解：如图，即为所求，∴；    （2）①如图，∵点Q为直线上一动点． 设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点， 则，延长与交于点，则，   ∴，∴，∴， ∵，∴，而，∴，， ∴，结合新定义可得；，而， ∴的中点坐标为：，∴直线经过定点； ②∵，∴，∴，即在直线上运动， 如图，连接，，作关于直线的对称点，则，    由分别为的中点，则， ∴当三点共线时，，此时最小； 记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接， ∴都是等腰直角三角形，而， ∴，∴．即的最小值为． 14．【答案】(1)①点；②点的坐标为或；(2) 【详解】（1）解：①设直线的解析式为：， 把点，代入得：，解得：，∴直线的解析式为：， 联立得：，解得：，∴点； ②当时，，∴点，∴， 当时，即，解得：，∴点，∴， ∴，设点，当点在点下方时，如图： ∵，∴，∴， ∴，解得：，∴点， 当点在点上方时，如图：∵，∴，∴， ∴，解得：，∴点，∴点的坐标为或； （2）解：作点关于的对称点，交于点，作点关于的对称点，交于点，连接，，则点为中点，点为中点，，，如图： ∵的总长为时，∴，设点，则， ∵，∴所在直线为，又∵点在上，∴， 联立得：，解得：，∴点， 设点，则，∴，即， ∵，，∴，∵点关于的对称点， ∴，∴，∴， 由得：，设直线的解析式为：， ∵点在直线上，∴，∴，∴， ∵，∴设所在直线解析式为：， 把代入得：，∴，∴所在直线解析式为：， 联立得：，解得：，∴点， ∴，，∴，， ∴把，代入③，得， 化简整理，得，∴ 或．∴或， ∵直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，∴，∴， ∴直线的解析式为：． ( 地 城 考点0 3 函数与几何综合压轴 ) 一、填空题 1．【答案】 2．【答案】 3．【答案】 4．【答案】 三、解答题 5．【答案】(1)证明见解析(2)，平移的距离为(3)或或 【详解】（1）证明：∵轴，，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴； （2）解：在中，当时，，当时，，∴，∴； ∵是x轴正半轴上一点，∴，且点C在线段上（不包括端点）； ∵，∴，∴，∴， ∵点D在直线l上，∴，∴，∴， 设直线解析式为， ∴，∴，∴直线解析式为， ∵将沿x轴正方向平移得到，∴可设直线解析式为， ∴，∴，∴直线解析式为， 在中，当时，，∴，∴平移的距离为； （3）解：∵M为边上一点，且，∴， ∵，， ∴点M的横坐标为，纵坐标为，即； 设，， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得： ，解得，∴，∴点K的坐标为； 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得： ，解得，∴，∴点K的坐标为； 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得： ，解得，∴，∴点K的坐标为； 综上所述，点K的坐标为或或． 6．【答案】(1)或(2)或(3) 【详解】（1）解：如图， ∵平行四边形是【，；，】的相关平行四边形， ∴为轴，为，，过点作轴， ∵，代入，得∴∴， 取的中点，连接，则∴是等边三角形， ∴∴，则【，；，】的相关角的度数是 当在第一象限时，重合，此时，则【，；，】的相关角的度数是 故答案为：或． （2）解：∵平行四边形是【，；，】的相关平行四边形；∴四边形是矩形， ①当点在直线上时，，解得：，则 联立，解得：∴，∴ ②当点在直线上时，，解得：，则 联立，解得：∴，∴ 综上所述，的值为或； （3）解：点与原点的距离为，设， ∵【，；，】的相关对边与【，；，】（其中）的相关对边都经过点时 又，则平行四边形是菱形，则为菱形的顶点， ①当在上时，则，此时取得最大值，如图所示 ②当在菱形的对角线上时，且菱形为正方形时，菱形的边长最小，即取得最小值的临界值（取不到最小值），如图所示，菱形，的对边分别为，∴ ∵，又，要使经过点，则，即；∴． 7． 【答案】(1)点的坐标为；(2)；(3)的周长为，不会变化，理由见解析． 【详解】（1）解：过作轴于，如图，当时， ， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴点的坐标为； （2）解：过作轴于，如图，则， ∵，，∴， ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴， ∴，∴，由直线可知，设， ∴，∴，∴，∴，∴，∴； （3）解：的周长不改变，理由如下：延长到，使，连接，如图， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，即，∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴的周长为，不会变化． 8． 【答案】(1)，；(2)①的最小值为；②． 【详解】（1）解：将点代入，∴，解得， ∴，当时，，∴， 当时，解得，∴，∴； （2）解：①作C点关于x轴的对称点G，连接，则， 过点G点作，过点N作，交于H点， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，∴，∵，∴由平移可得：， ∵，∴的最小值为的长， ∵，∴的最小值为； ②能等于，理由如下：过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，， 设，∴，∵，∴直线的解析式为， ∴，解得，∴． 9． 【答案】(1)，；(2)的面积为；为定值，理由见解析． 【详解】（1）解：当时，∴，∴，解得， ∴，当时，，∴； （2）解：过点作轴，设，， ∵，∴是等腰三角形，∵，∴是的中点，∴， ∴，当时，，得，∴， ∵，，∴，， ∴，∴，∴，∴，解得， ∴，，∴，，∴， ∴的面积； 为定值，理由如下：设，，过作轴，过作轴， 由直线，当时得，可得， 当时得，得，则， 同可得，，，， ∴，，∴，解得，∴，，， 设直线的解析式为， 将，代入，得，解得：，∴直线的解析式为， 联立，解得，∴， ∵是的中点，∴，，∴，， ∵，，∴为等腰直角三角形，∴． 10． 【答案】(1)，(2)或(3)或 【详解】（1）解：依题意，把点代入，∴∴， 将代入中，∴，解得； （2）解：由（1）可知，即令，则∴，∴， 依题意，设，则，∴， ∵，∴，∴或，解得或， 则或，∴或； （3）解：∵，∴令时，则，解得，设直线与x轴的交点为， 当直线绕点A逆时针旋转时，过点E作交直线于点F，过点F作轴交于G点，过点A作轴交于H点，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，， ∴，∴，由（1）得， 设直线的解析式为把，代入， 得，解得，∴直线的解析式为， 令时，则，解得，∴直线与x轴的交点为 当直线绕点A顺时针旋转时，同理证明 则∴即 同理可得直线的解析式为；∴直线与x轴的交点为， 综上所述：该直线与x轴的交点坐标为或 11． 【答案】(1)；(2)①点的坐标为或；；②点的坐标为或． 【详解】（1）解：对于，由得：，． 由得：，解得，， 点与点关于轴对称．；设直线的函数解析式为， ，解得，直线的函数解析式为； （2）①设点，则点，点， 过点作与点，则，， 则的面积，即，解得，故点的坐标为或； ②如图，当点在轴的左侧时，点与点关于轴对称，，， ，，，，，设，则， ，，， ，解得，， 当点在轴的右侧时，同理可得， 综上，点的坐标为或． 12． 【答案】(1)(2)是定值，为(3)点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵点的纵坐标为2，∴，解得：； （2）解：为定值，理由如下：∵轴于点，∴， ∵，∴，∴，∵，∴直线的解析式为， 代入得，∴为，∴， 设直线的解析式为，代入得， ，解得，∴直线的解析式为， 令，求得，∴，∴， 在一次函数中，当时，，解得， ∴，∴，∴； （3）解：如图，当在上时，过点作轴，过点作于点，过点作于点，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴， ∵是的中点，，∴，解得或（舍）， ∴一次函数解析式为，∴， ∴，解得，∴； 如图，当在延长线上时，过点作轴，过点作于点，过点作于点， 同理可得，∴，∴， ∵是的中点，，∴，解得或（舍）， ∴一次函数解析式为，∴， ∴， ∵，∴，解得，∴； 综上可得：点的坐标为或． 13． 【答案】(1)，(2)(3)的面积为定值，理由见解析 【详解】（1）解：将点代入解得，， 设直线的解析式为，将， 代入， ，解得，； （2）解：∵是线段的中垂线上一点，∴点纵坐标为， 设， ，∵四边形为平行四边形，， ，，∴直线的解析式为，； （3）解：的面积为定值，理由如下：设，， 过点作轴交于点，过点作交于点， 由旋转可知，，，， ，，∴， ∴，，∴， ，∴，，∴， ∴点在直线上，设直线与轴交于点， 则，∴， 过点作交点，∵直线与直线平行，∴， ，∴的面积，∴的面积为定值． 14． 【答案】(1)(2)存在，或(3) 【详解】（1）解：对于直线， 当时，，当时，，∴点， ∵直线关于轴对称的直线与轴交于点．∴点， 设直线的解析式为，把点代入，得： ，解得：，∴直线的解析式为； （2）解：存在，如图，当点D在y轴上时，∵，，∴垂直平分， ∴点D与点B关于x轴对称，∴点D的坐标为，此时均为等腰三角形，符合题意； 当时，过点D作轴于点H，设，则， ∵，∴，∵， ∴，解得：， ∴，，∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：对于直线，当时，，∴点M的坐标为， 可设直线的解析式为，当时，，当时，， ∴点，，∴，， ∴，设（其中A为定值）， ∴，即，∴且，解得：． 15． 【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或或 【详解】（1）解：∵直线与直线平行，∴设直线的解析式为， ∵直线交轴于点，，解得：，∴直线的解析式为， ∵直线交于点，，解得，， 故答案为：； （2）解：，，即， 则，解得：，， ∵与轴交于点，， ∴，∴， 当最小时，四边形的周长最小，将向右平移两个单位至，如图 1 ， 则，过轴作点的对称点，连接交轴于点， 此时最小，即最小，设直线的解析式为， 代入坐标，得：，解得：，∴直线的解析式为， 令时，，解得：，，． （3）解：存在，点的坐标为或或． 理由如下：过作轴，图2，由题知，， ，，，，设， 当为对角线时，，，解得，； 当为对角线时，，，解得； 当为对角线时，，，解得，， 综上，点的坐标为或或． 16． 【答案】(1)(2)见解析(3)的值是定值，为2，理由见解析 【详解】（1）解：当时，， 联立得：，解得：，∴点C的坐标为； （2）解：如图，连接， ∵轴，∴，∴，即， 对于，当时，，当时，，∴点， ∵点C的坐标为，∴，， ∴，∴，即； （3）解：的值是定值，为2，理由如下：如图，∵，同理（2）得：， 当时，，当时，，∴点， ∵，∴点C的坐标为，∵点C在上，∴，解得：， ∴直线，点C的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为，把点代入得：，∴， ∴直线的解析式为，联立得：，解得：， ∴点M的坐标为，对于，当时，，∴点N的坐标为， ∵，∴∴． 17． 【答案】(1)(2)①1；②1；(3)是， 【详解】（1）解：当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、，∴，，则； （2）解：①当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、，∴，， 将点的坐标代入一次函数表达式得：，∴当，时，， ∴，∴，故答案为：1； ②由①知，，，，则； （3）解：设直线的表达式为：， 则，解得∴，设直线的表达式为：， 联立上述两式得：，解得：，则点， 由点、的坐标得，，则， 同（2）可求点，则， ，即，解得：， 则，当时，，即直线过定点． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 八年级下册B卷专项汇编（函数与代数综合压轴）（47题） 3大高频考点概览 考点01代数部分综合压轴（16题） 考点02 函数综合压轴（14题） 考点03函数与几何综合压轴（17题） ( 地 城 考点 01 代数部分综合压轴 ) 一、填空题 1．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为______． 【答案】2或3 【详解】解：，由①得；由②得， ∵关于x的不等式组恰有两个整数解，∴，解得， 解分式方程得， ∵解为正数，∴，∴， 当时，解得，那么时，方程有增根， ∴且，∴整数a的值为或，故答案为：或． 2．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为_____． 【答案】 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得，解得：， 由于分式方程的解为正整数，，即， 又分式方程的增根是，，即， 因此的奇数且，解不等式得，， 关于x的不等式的解集为， ∴不等式组的解集为由于不等式组有且只有3个整数解， ，解得，或或， 因此符合条件的所有整数a的和为故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川成都成华区嘉祥外国语学校·校考期末）若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为_____． 【答案】 【详解】解：∵不等式组整理得：， 由解集为，得到，即，解得：， ∵关于的方程有解 ∴即∴解得 ∵关于的方程的解为非负整数，∴为非负整数， 即可取，∴所有整数的和为，故答案为：． 4．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）若关于的整式的系数，，，，均为整数，，且相邻两个系数的差（后项减前项）满足：对任意，，，都有，则称该整式为递增阶梯整式．当时，整式的取值称为该“递增阶梯整式”的全系数和，记作．请完成下列探究： （1）若某“递增阶梯整式”的相邻系数差均为2，且首项系数，则该整式的全系数和________； （2）若某“递增阶梯整式”满足，则所有满足条件的的值之和为________． 【答案】 25 7 【详解】解：（1）由题意得，，相邻系数差均为，因此 ， ， ， ， 全系数和； （2）设四个相邻差为，，，， 由题意得 （），且为整数， 设，则 ，即 . 因为 ，且 ，代入得 ，整理得， 将代入不等式得 ，解不等式得 ， 因为是整数，所以满足条件的为，，所有满足条件的的值之和为． 5．（24-25八年级下·四川成都都江堰市·校考期末）已知，，是大于1的正整数，且为整数，则_______． 【答案】12 【详解】解：， 、、是大于1的正整数，∴不妨设， ∴，，∴， ∵为整数，∴， 当时，则，不符合题意，∴或， 当时，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； 当时，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； 综上所述，，故答案为：． 6．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）将分式和分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第二步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第三步；先计算，结果记为，再计算，结果记为，…继续操作下去，则_____________．若，则的值是_____________． 【答案】 48 【详解】解：，， ∴，， ∴，， ∴，，……， 当n为偶数时，，，∴，， ∵，∴，解得：，经检验：该方程的解， ∴．故答案为：，48． 7．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）从四个数中选取一个作为的值，则满足不等式组的解集是，且分式方程有解的概率为______． 【答案】 【详解】解：，由①得，，由②得，， ∵不等式组的解集为，∴，解分式方程，得， ∵分式方程有解，∴，即，∴，∴的取值范围为且， ∴从四个数中选取一个作为的值，符和条件的有，共个， ∴从四个数中选取一个作为的值，满足条件的概率为，故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川成都新都区·校考期末）定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”．若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有 个。 【答案】2 【详解】解：是“的倒立数对”，如果，那的值可以是，吗？， ，，，，，， ，， 分式的值为整数，的整数值为，， ，即的整数值有，，共个 9．（24-25八年级下·四川成都大邑县安仁中学·校考期末）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是_______． 【答案】2116 【详解】解：．，，， ， 可因式分解，变为，同理， ，原式 ，故为一个平方数， 且，，为整数，，，至少有一个是偶数，于是为偶数， ，．故答案为：2116． 10．（24-25八年级下·四川成都新都区·校考期末）将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ________；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数____________． 【答案】 【详解】解： ； ， ∵，∴，故答案为：；． 11．（24-25八年级下·四川成都双流区·校考期末）对于线段与该线段上的两点，，其中，，给出如下定义：点，，…，，是线段上的个不同的点，这些点与点或点构成的长度不超过的线段的长分别为，，…，，，若这个点满足，则称这个点为线段关于线段的一个基准点族．现将线段的一个端点与线段的一个端点重合，固定线段的位置不动，将线段以每秒个单位长度的速度向线段另一个端点移动．当移动时间为秒时，点，，…，，是线段关于线段的一个基准点族．则当的最大值为时，的取值范围是________． 【答案】或． 【详解】解：∵，∴， 取的中点记为点，则， ∵，∴在线段上，或在线段上， 以点为原点，建立如图所示的数轴， 若在线段上，根据题意可得，，∴， ∵的最大值为，∴，解得， 若在线段上，根据题意可得，，∴， ∵的最大值为，∴，解得， ∴当的最大值为时，的取值范围或． 12．（24-25八年级下·四川成都石室中学（北湖校区）·校考期末）对任意一个正整数，如果，其中是正整数，则称为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，则6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．由题意，“矩数”20的最佳拆分点为________；若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．若，则的值为________． 【答案】 4 【详解】解：(1) 设“矩数”的最佳拆分点为，根据定义得，可知或满足条件，因为是正整数，所以，即“矩数”的最佳拆分点为； (2) 根据定义得，，由得， 展开得，变形得， 因式分解得， 因为为正整数，，所以，可得，，且两者均为正整数， 乘积为的符合条件的正因子对为，，， 当，时，联立解得，，符合正整数要求， 当，时，联立解得，，不是正整数，舍去， 当，时，联立解得，，不是正整数，舍去，因此，，可得． 13．（24-25八年级下·四川成都青羊区·校考期末）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”． 因为，，，，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，…，按此规律，2028是第______个“智慧数” 【答案】 【详解】解：设是正整数，∵，∴所有的奇数，除之外都是“智慧数”； ∵，，∴所有能被整数的偶数，除之外都是“智慧数”； 令被除余的偶数为（为正整数），假设，若、同为奇数或同为偶数，则能被整除，若、为一个奇数和一个偶数，则为奇数，不能被整除，∴不是“智慧数”； ∵，∴是能被整除的偶数，是“智慧数”； ∴从到，所有满足条件的奇数有个，所有满足条件能被整除的偶数有个，∵，∴2028是第个“智慧数”． 14．（24-25八年级下·四川成都七中育才学校·校考期末）对于两个实数a、b，若分式有意义且，则称是的一个“优界数”，并规定的所有优界数的取值范围叫做的“优界域”，例如：当时，由且，解得，所以6的“优界域”为，当时，的“优界域”为______________；已知实数，关于的分式方程的解为，若是的优界数，则的取值范围为_________． 【答案】 ； ，且． 【详解】解：当时，，，， 又，，的“优界域”为；解分式方程，得， 分式方程的解为，，且，，， 是的优界数，，且，，且， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：，此时；的取值范围为，且． 二、解答题 15．（24-25八年级下·四川成都都江堰市·校考期末）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和．数学课上，张老师提出：对于任意单位分数（a为正整数且）均可以拆分成两个不同单位分数的和．兴趣小组对此进行探究，过程如下； 【探索规律】 当时，； 当时，； 当时，；… (1)写出时的拆分结果；(2)【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想； (3)【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数，可以拆分成两个不同单位分数的和． 【答案】(1)；(2)猜想：（为正整数，且），证明见解析 (3)（为奇数，且），证明见解析 【详解】（1）解：∵当时，，其中，；当时，，其中，；当时，，其中，， ∴当时，，，即； （2）解：猜想：（为正整数，且）， 证明：； （3）解：当时，，其中，； 当时，，其中，； 当时，，其中，； 猜想：（为奇数，且）， 证明：． 16．（24-25八年级下·四川成都温江区·校考期末）阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题．(1)用配方法因式分解：；(2)求的最小值； (3)已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． 【答案】(1)(2)8(3)最小值是； 【详解】（1）解：； （2）解：， 因为是非负数，所以，所以的最小值是 8 ． （3）解：∵，∴， 代入得： 因为是非负数，所以， 所以当时，取得最小值，最小值是 ．此时． ( 地 城 考点02 函数综合压轴 ) 一、填空题 1．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·期末）如图，平面直角坐标系中，点，点关于直线对称的点为，点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点，若点落在内（包括边界），则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：设，点和连线中点坐标为， ∵点关于直线对称的点为，∴ ∴，∴，∴， ∵点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点，∴， ∵点落在内（包括边界），∴，∴，∴ 解得，故答案为：． 2．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）已知直线经过第一、三、四象限，则a的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴，解得．故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川成都·校考期末）在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是_______． 【答案】 【详解】解：直线与直线平行，可设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得，直线的解析式为， 令，则，解得，， 点在线段上运动，，且，设点N的坐标为， N为线段的中点，，消去m，得， ，，，解得， 令，则，令，则，设，， 则点N运动的轨迹长度为线段的长，且．故答案为：． 4．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）如图，点、为平面直角坐标系内两点，线段两端点坐标分别为、，若直线与线段有交点，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：因为点Q坐标为，所以点Q在直线上，如图所示， 因为点P坐标为，点M坐标为，所以直线的函数解析式为， 由得，，则直线与的交点横坐标为， 因为点P坐标为，点N坐标为，所以直线的函数解析式为， 由得，，所以直线与的交点横坐标为， 所以当直线与线段有交点时，t的取值范围是．故答案为：． 5．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·校考期末）在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为______． 【答案】/ 【详解】解：因为当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值， 所以，解得．故答案为：． 6．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·校考期末）我们规定：若直线l的表达式中满足，且m，n为整数，则直线l称为“和顺直线”；若“和顺直线”l上存在点，满足，x，y为整数，则点P称为“顺遂点”，则：（1）直线上______“顺遂点”填“存在”或“不存在” （2）所有“顺遂点”P的坐标为______． 【答案】 不存在 或 【详解】解：（1）由题知，因为直线满足，所以此直线为“和顺直线”． 若直线上存在“顺遂点”，则，解得， 因为不是整数，所以直线上不存在“顺遂点”．故答案为：不存在． 因为直线是“和顺直线”，所以 因为是“顺遂点”，所以，则，所以 又因为m，x为正整数，所以或， 当时，，则所有“顺遂点”P的坐标为 当时，，则所有“顺遂点”P的坐标为；故答案为：或 7．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区师一中·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是______． 【答案】/ 【详解】解：如图，当时，，当时，，， 一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，， 设x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为，则，解得， x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为， 函数G的解析式为，如图，当时，显然，，不符合题意； 如图，当时，此时，点P，Q都在的函数图象上，，； 如图，当时，此时，点P在的函数图象上，点Q在的函数图象上， ，，，； 综上，当时，都有，故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川成都西川中学·校考期末）定义：若，满足，为常数）且对，则称点为“妙点”，比如点．若函数的图象上的“妙点”在第三象限，则的取值范围为_____________． 【答案】且 【详解】解：∵，满足，为常数）且对，则称点为“妙点”， ∴，∴， ∵，∴，∴，解得：， ∵函数的图象上的“妙点”在第三象限，∴，∴， ∵，∴，解得：，∴且；故答案为：且． 9．（24-25八年级下·四川成都锦江区·校考期末）定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B．点P为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点与点P重合，则点P的坐标为______；点Q为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点，使得和的面积相等，则点Q的坐标为______． 【答案】 或 【详解】解：由题意，设为，为． 又与重合，．．． 如图，和的面积相等， 在过且平行于的直线上或在上方4个单位且平行于． 所在直线为或．故可设为或．为或． 又在上，或．或． 或．故答案为：；或． 二、解答题 10．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图像，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系．已知线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．(1)第24天的日销售量是__________件，日销售利润是__________元；(2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；(3)试销售期间，日销售最大利润是多少元？ 【答案】(1)330，660(2)(3)720 【详解】（1）解：由线段中时间每增加1天，日销售量减少5件，观察图像，当时，（即第22天日销售量为340件），第24天与第22天间隔天，因此日销售量减少件， 所以第24天的日销售量为件； 已知产品成本价为6元/件，售价为8元/件，每件利润为元， 日销售利润 每件利润 日销售量，即元．故答案为：330，660； （2）解：段为过原点的正比例函数，设其解析式为， 由图像可知，当时，，代入得，解得，段的函数关系式为； 段为一次函数，设其解析式为，由（1）知，当时，， 将代入，得，解得，， 段的函数关系式为， 解方程组得，，综上，； （3）解：日销售利润 每件利润 日销售量，其中售价成本价 元（定值），因此日销售量最大时，利润最大， 段函数中，，随增大而增大；段函数中，，随增大而减小，因此，日销售量的最大值出现在段的终点（即时）， 当时，代入段函数，得件，日销售最大利润 元， 11．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）在平面直角坐标系中，对于线段与直线，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段为（，分别为点A，B的对应点），则称线段为线段的“关联线段”已知点，． (1)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为________，的坐标为________； (2)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为，则的长为________，b的值为________； (3)线段为线段的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求线段的长度；(4)点，，线段为线段的“关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线在线段上，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)，(2)，(3)(4)或 【详解】（1）解：∵线段为线段的“关联线段”，∴直线为， ∵点，，∴轴，，如图， ∴点的坐标为，故答案为：，． （2）解：，，， 、关于直线对称，，由题意得：，， 、关于直线对称，直线经过的中点， ，，的中点为，即， 把代入，得：，解得：，故答案为：，； （3）如图，作关于直线的对称点，连接，，．设交轴于点， 由题意直线的解析式为，， 关于直线的对称线段在直线上，又直线经过点，点在直线上， ，，点的横坐标为， 的纵坐标为∴ （4）设直线与轴交于点，连接，．， 当时，与只有一个交点时，， ，，， ，解得：（负值已舍去）； 当时，经过点时，， ，，，，，，解得：， 线段与线段有公共点，或． 12．（24-25八年级下·四川成都西川中学·校考期末）【阅读理解】定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设线段，的夹角为，，则我们把称为的“度比坐标”，把称为的“度比坐标”． 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点的坐标，并写出的“度比坐标”（用含的代数式表示）； (2)，为直线上的动点（点在点左侧），且的“度比坐标”为． ①若，求的长； ②在①的条件下，平面内是否存在点，使得的“度比坐标”与的“度比坐标”相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)①；②或; 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，，∴，∴的“度比坐标”为； （2）解：①∵，∴直线解析式为，如图，作轴于，于， ， ∴设，∵的“度比坐标”为， ∴，，∴，， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， 代入直线得：，解得：， ∴，，∴； ②由①可知，，,∴， ∵的“度比坐标”与的“度比坐标”相等，∴， 又∵,∴,    当点E在第二象限时，平分,∵,∴, 则所在的直线经过的中点F,由①可知，,则, 设所在的解析式为,将代入解析式得：, ∴所在的解析式为,设,由, ∴,解得(正值已舍)；则; 当点E在第一象限时，则∥, ∴所在的解析式为,设,由, ∴,解得(负值已舍)；则;∴或; 13．（24-25八年级下·四川成都武侯区·校考期末）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转90度得到点，点关于y轴的对称点为，则称点为点R关于点S的“旋对点”． 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点．    (1)请在图中画出点M关于点O的“旋对点”，并直接写出点M的坐标；(2)点Q为直线上一动点． ①若点Q关于点M的“旋对点”为点，试探究直线经过某一定点，并求出该定点的坐标； ②在①的条件下，设直线所经过的定点为H，取的中点N，连接，求的最小值． 【答案】(1)画图见解析，(2)①；②的最小值为． 【详解】（1）解：如图，即为所求，∴；    （2）①如图，∵点Q为直线上一动点． 设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点， 则，延长与交于点，则，   ∴，∴，∴， ∵，∴，而，∴，， ∴，结合新定义可得；，而， ∴的中点坐标为：，∴直线经过定点； ②∵，∴，∴，即在直线上运动， 如图，连接，，作关于直线的对称点，则，    由分别为的中点，则， ∴当三点共线时，，此时最小； 记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接， ∴都是等腰直角三角形，而， ∴，∴．即的最小值为． 14．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过点的直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，与直线交于点． (1)若点的坐标为；①求点的坐标；②点是直线上一点，且，求点的坐标． (2)如图2，一束光线从点出发经过镜面和反射后正好通过原点O，当光线经过的路径的总长为时，求直线的解析式． 【答案】(1)①点；②点的坐标为或；(2) 【详解】（1）解：①设直线的解析式为：， 把点，代入得：，解得：，∴直线的解析式为：， 联立得：，解得：，∴点； ②当时，，∴点，∴， 当时，即，解得：，∴点，∴， ∴，设点，当点在点下方时，如图： ∵，∴，∴， ∴，解得：，∴点， 当点在点上方时，如图：∵，∴，∴， ∴，解得：，∴点，∴点的坐标为或； （2）解：作点关于的对称点，交于点，作点关于的对称点，交于点，连接，，则点为中点，点为中点，，，如图： ∵的总长为时，∴，设点，则， ∵，∴所在直线为，又∵点在上，∴， 联立得：，解得：，∴点， 设点，则，∴，即， ∵，，∴，∵点关于的对称点， ∴，∴，∴， 由得：，设直线的解析式为：， ∵点在直线上，∴，∴，∴， ∵，∴设所在直线解析式为：， 把代入得：，∴，∴所在直线解析式为：， 联立得：，解得：，∴点， ∴，，∴，， ∴把，代入③，得， 化简整理，得，∴ 或．∴或， ∵直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，∴，∴， ∴直线的解析式为：． ( 地 城 考点0 3 函数与几何综合压轴 ) 一、填空题 1．（24-25八年级下·四川成都金牛区·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转120°，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：设点C是直线l上一点，且点C绕点M顺时针旋转120度得到点B，连接，过点C作交x轴于F，∵是等边三角形，点，∴， ∴，由旋转的性质可得， ∴，∴， 又∵，∴，∴； 如图所示，过点C作x轴的垂线，垂足分为E，设，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，解得，∴，故答案为：． 2．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）如图，点D、点E是直线与矩形的边、的交点，，．若动点在矩形内随机运动，则动点P落在内（包括边界）的概率为______． 【答案】 【详解】解：点D、点E是直线与矩形的边、的交点，，， ∴，，矩形面积为， 当时，，∴，∴， 当时，则，解得：，∴，∴，， 则的面积是， ∴动点P落在内（包括边界）的概率为．故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“和谐四边形”．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，是线段上一点，且，点是直线上的动点，若在内部（不包含边界）始终有一点，使得四边形为“和谐四边形”，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵四边形为“和谐四边形”，∴，， 如图，当在上时，过作轴于点，过作交延长线于点，设与交于点，与轴交于点，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，，， ∴，∴，∵，∴，∴， ∴，，∴此时点横坐标为， 如图，当在上时，过作轴于点，过作交延长线于点，过作于点，与轴交于点，由上可得：，，，， 同理可证：，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，设解析式为， ，解得：，∴解析式为， 联立，解得：，∴此时点横坐标为， ∴的取值范围是，故答案为：． 4．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，点B在直线上（点B在y轴右侧），点C在直线上．若为锐角三角形，且其面积为，则点C的横坐标m的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：如图，在直线中，令，则，令，则， 则，直线与坐标轴正半轴交点为， 在直线中，令，则，故，根据题意直线与直线互相平行， 过点作交直线于点，过点作交直线于点， 则，，则， ∴，即点B位置固定，，∴， ∴， ∴，，将代入直线中得， 根据图象当点C位于点和之间时，为锐角三角形， 此时点C的横坐标m的取值范围是．故答案为：． 三、解答题 5．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于B，A两点，是x轴正半轴上一点，连接，过点C作交直线l于点D，且，过点D作轴，垂足为E． (1)求证：；(2)如图2，将沿x轴正方向平移得到，若某个时刻边刚好经过点D，求此时点G的坐标以及平移的距离；(3)在（2）的条件下，已知M为边上一点，且，若点J，K分别在直线上，是否存在以C，M，J，K为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)，平移的距离为(3)或或 【详解】（1）证明：∵轴，，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴； （2）解：在中，当时，，当时，，∴，∴； ∵是x轴正半轴上一点，∴，且点C在线段上（不包括端点）； ∵，∴，∴，∴， ∵点D在直线l上，∴，∴，∴， 设直线解析式为， ∴，∴，∴直线解析式为， ∵将沿x轴正方向平移得到，∴可设直线解析式为， ∴，∴，∴直线解析式为， 在中，当时，，∴，∴平移的距离为； （3）解：∵M为边上一点，且，∴， ∵，， ∴点M的横坐标为，纵坐标为，即； 设，， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得： ，解得，∴，∴点K的坐标为； 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得： ，解得，∴，∴点K的坐标为； 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得： ，解得，∴，∴点K的坐标为； 综上所述，点K的坐标为或或． 6．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·期末）在平面直角坐标系中，对于直线：和直线：，在上取一点，在上取一点，若，，以，为邻边作平行四边形，则平行四边形为【，；，】的相关平行四边形，称为【，；，】的相关角，的对边称为【，；，】的相关对边．特别地，当时，直线，即直线，代表x轴． 例如：如图，：，：，，，则平行四边形为【，；，】的相关平行四边形，为【，；，】的相关角，的对边为【，；，】的相关对边． (1)若平行四边形是【，；，】的相关平行四边形，则【，；，】的相关角的度数是； (2)若平行四边形是【，；，】的相关平行四边形，当点在【，；，】的相关对边上时，求的值； (3)当【，；，】的相关对边与【，；，】（其中）的相关对边都经过点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或(2)或(3) 【详解】（1）解：如图， ∵平行四边形是【，；，】的相关平行四边形， ∴为轴，为，，过点作轴， ∵，代入，得∴∴， 取的中点，连接，则∴是等边三角形， ∴∴，则【，；，】的相关角的度数是 当在第一象限时，重合，此时，则【，；，】的相关角的度数是 故答案为：或． （2）解：∵平行四边形是【，；，】的相关平行四边形；∴四边形是矩形， ①当点在直线上时，，解得：，则 联立，解得：∴，∴ ②当点在直线上时，，解得：，则 联立，解得：∴，∴ 综上所述，的值为或； （3）解：点与原点的距离为，设， ∵【，；，】的相关对边与【，；，】（其中）的相关对边都经过点时 又，则平行四边形是菱形，则为菱形的顶点， ①当在上时，则，此时取得最大值，如图所示 ②当在菱形的对角线上时，且菱形为正方形时，菱形的边长最小，即取得最小值的临界值（取不到最小值），如图所示，菱形，的对边分别为，∴ ∵，又，要使经过点，则，即；∴． 7．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形在第一、四象限，边与直线交于点，边与轴交于点，边与轴夹角为，且． (1)若，求点的坐标；(2)若，求的度数； (3)连接，指出的周长随大小的变化而变化的情况，并说明理由． 【答案】(1)点的坐标为；(2)；(3)的周长为，不会变化，理由见解析． 【详解】（1）解：过作轴于，如图，当时， ， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴点的坐标为； （2）解：过作轴于，如图，则， ∵，，∴， ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴， ∴，∴，由直线可知，设， ∴，∴，∴，∴，∴，∴； （3）解：的周长不改变，理由如下：延长到，使，连接，如图， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，即，∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴的周长为，不会变化． 8．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）如图，直线与轴，轴及直线分别交于点，，．(1)求点B和点C的坐标；(2)为轴上点右侧一动点，以，为邻边作，连接，．①求的最小值；②在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)①的最小值为；②． 【详解】（1）解：将点代入，∴，解得， ∴，当时，，∴， 当时，解得，∴，∴； （2）解：①作C点关于x轴的对称点G，连接，则， 过点G点作，过点N作，交于H点， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，∴，∵，∴由平移可得：， ∵，∴的最小值为的长， ∵，∴的最小值为； ②能等于，理由如下：过点C作交于点Q，过C点作轴，过点M作交于E点，过点Q作交于F点， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，， 设，∴，∵，∴直线的解析式为， ∴，解得，∴． 9．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）如图，在平面直角坐标系中中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．(1)当时，求的值和点的坐标；(2)为直线上一点，为轴正半轴上一点，且，现将点绕着点顺时针旋转，点的对应点刚好落在轴上．在（）的条件下，求的面积；作直线交直线于点，取线段的中点，连接．试探究：随着值的改变，的度数是否为定值？若是，请求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)的面积为；为定值，理由见解析． 【详解】（1）解：当时，∴，∴，解得， ∴，当时，，∴； （2）解：过点作轴，设，， ∵，∴是等腰三角形，∵，∴是的中点，∴， ∴，当时，，得，∴， ∵，，∴，， ∴，∴，∴，∴，解得， ∴，，∴，，∴， ∴的面积； 为定值，理由如下：设，，过作轴，过作轴， 由直线，当时得，可得， 当时得，得，则， 同可得，，，， ∴，，∴，解得，∴，，， 设直线的解析式为， 将，代入，得，解得：，∴直线的解析式为， 联立，解得，∴， ∵是的中点，∴，，∴，， ∵，，∴为等腰直角三角形，∴． 10．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）如图所示，直线的表达式与直线的表达式交于点．(1)求的值；(2)点为上一动点，过点作平行于轴的直线交于点，当时，求点的坐标；(3)将直线绕点旋转得到直线，请直接写出该直线与轴的交点坐标． 【答案】(1)，(2)或(3)或 【详解】（1）解：依题意，把点代入，∴∴， 将代入中，∴，解得； （2）解：由（1）可知，即令，则∴，∴， 依题意，设，则，∴， ∵，∴，∴或，解得或， 则或，∴或； （3）解：∵，∴令时，则，解得，设直线与x轴的交点为， 当直线绕点A逆时针旋转时，过点E作交直线于点F，过点F作轴交于G点，过点A作轴交于H点，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，， ∴，∴，由（1）得， 设直线的解析式为把，代入， 得，解得，∴直线的解析式为， 令时，则，解得，∴直线与x轴的交点为 当直线绕点A顺时针旋转时，同理证明 则∴即 同理可得直线的解析式为；∴直线与x轴的交点为， 综上所述：该直线与x轴的交点坐标为或 11．（24-25八年级下·四川成都锦江区师一学校·期末）如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．(1)求直线BC的函数解析式；(2)设点是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点Q，交直线于点P．①若的面积为，求点M的坐标．②连接，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)①点的坐标为或；；②点的坐标为或． 【详解】（1）解：对于，由得：，． 由得：，解得，， 点与点关于轴对称．；设直线的函数解析式为， ，解得，直线的函数解析式为； （2）①设点，则点，点， 过点作与点，则，， 则的面积，即，解得，故点的坐标为或； ②如图，当点在轴的左侧时，点与点关于轴对称，，， ，，，，，设，则， ，，， ，解得，， 当点在轴的右侧时，同理可得， 综上，点的坐标为或． 12．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）一次函数（为常数，且）分别与轴，轴交于两点，点是一次函数图像上一动点，设点的横坐标为． (1)若点的纵坐标为，求的值；(2)在（）的条件下，如图，将一次函数的图像向下平移，交轴于点，交轴于点，连接交轴于点，过作轴于点，当时，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；(3)如图，过点作轴于点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交轴于点，记的面积为，的面积为，点在运动过程中，当是的中点且时，求点的坐标． 【答案】(1)(2)是定值，为(3)点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵点的纵坐标为2，∴，解得：； （2）解：为定值，理由如下：∵轴于点，∴， ∵，∴，∴，∵，∴直线的解析式为， 代入得，∴为，∴， 设直线的解析式为，代入得， ，解得，∴直线的解析式为， 令，求得，∴，∴， 在一次函数中，当时，，解得， ∴，∴，∴； （3）解：如图，当在上时，过点作轴，过点作于点，过点作于点，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴， ∵是的中点，，∴，解得或（舍）， ∴一次函数解析式为，∴， ∴，解得，∴； 如图，当在延长线上时，过点作轴，过点作于点，过点作于点， 同理可得，∴，∴， ∵是的中点，，∴，解得或（舍）， ∴一次函数解析式为，∴， ∴， ∵，∴，解得，∴； 综上可得：点的坐标为或． 13．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴负半轴交于点，与直线交于点． (1)求的值及直线的表达式；(2)点为轴正半轴上一动点，连接交直线于点，在线段的中垂线上存在一点，使得四边形为平行四边形，求点的坐标；(3)点为坐标平面内一动点，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，点恰好落在直线上，连接，请探究面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，(2)(3)的面积为定值，理由见解析 【详解】（1）解：将点代入解得，， 设直线的解析式为，将， 代入， ，解得，； （2）解：∵是线段的中垂线上一点，∴点纵坐标为， 设， ，∵四边形为平行四边形，， ，，∴直线的解析式为，； （3）解：的面积为定值，理由如下：设，， 过点作轴交于点，过点作交于点， 由旋转可知，，，， ，，∴， ∴，，∴， ，∴，，∴， ∴点在直线上，设直线与轴交于点， 则，∴， 过点作交点，∵直线与直线平行，∴， ，∴的面积，∴的面积为定值． 14．（23-24八年级下·四川成都金牛区·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式；(2)如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 【答案】(1)(2)存在，或(3) 【详解】（1）解：对于直线， 当时，，当时，，∴点， ∵直线关于轴对称的直线与轴交于点．∴点， 设直线的解析式为，把点代入，得： ，解得：，∴直线的解析式为； （2）解：存在，如图，当点D在y轴上时，∵，，∴垂直平分， ∴点D与点B关于x轴对称，∴点D的坐标为，此时均为等腰三角形，符合题意； 当时，过点D作轴于点H，设，则， ∵，∴，∵， ∴，解得：， ∴，，∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：对于直线，当时，，∴点M的坐标为， 可设直线的解析式为，当时，，当时，， ∴点，，∴，， ∴，设（其中A为定值）， ∴，即，∴且，解得：． 15．（24-25八年级下·四川成都金苹果锦城第一中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标；(2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或或 【详解】（1）解：∵直线与直线平行，∴设直线的解析式为， ∵直线交轴于点，，解得：，∴直线的解析式为， ∵直线交于点，，解得，， 故答案为：； （2）解：，，即， 则，解得：，， ∵与轴交于点，， ∴，∴， 当最小时，四边形的周长最小，将向右平移两个单位至，如图 1 ， 则，过轴作点的对称点，连接交轴于点， 此时最小，即最小，设直线的解析式为， 代入坐标，得：，解得：，∴直线的解析式为， 令时，，解得：，，． （3）解：存在，点的坐标为或或． 理由如下：过作轴，图2，由题知，， ，，，，设， 当为对角线时，，，解得，； 当为对角线时，，，解得； 当为对角线时，，，解得，， 综上，点的坐标为或或． 16．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与直线交于点C．点D在线段上（不与点C重合），过点D作x轴的平行线，与直线相交于点E，连接．记的面积为，的面积为． (1)当时，求点C的坐标；(2)在（1）的条件下，求证：；(3)当，过点A作平行于的直线，直线（）与直线交于点M，与x轴于点N．试探究的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)见解析(3)的值是定值，为2，理由见解析 【详解】（1）解：当时，， 联立得：，解得：，∴点C的坐标为； （2）解：如图，连接， ∵轴，∴，∴，即， 对于，当时，，当时，，∴点， ∵点C的坐标为，∴，， ∴，∴，即； （3）解：的值是定值，为2，理由如下：如图，∵，同理（2）得：， 当时，，当时，，∴点， ∵，∴点C的坐标为，∵点C在上，∴，解得：， ∴直线，点C的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为，把点代入得：，∴， ∴直线的解析式为，联立得：，解得：， ∴点M的坐标为，对于，当时，，∴点N的坐标为， ∵，∴∴． 17．（24-25八年级下·四川成都成华区嘉祥实验外国语学校·期末）在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值． (1)特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值； (2)一般证明①时，直接写出_____；②求出的值； (3)类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 【答案】(1)(2)①1；②1；(3)是， 【详解】（1）解：当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、，∴，，则； （2）解：①当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、，∴，， 将点的坐标代入一次函数表达式得：，∴当，时，， ∴，∴，故答案为：1； ②由①知，，，，则； （3）解：设直线的表达式为：， 则，解得∴，设直线的表达式为：， 联立上述两式得：，解得：，则点， 由点、的坐标得，，则， 同（2）可求点，则， ，即，解得：， 则，当时，，即直线过定点． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 八年级下册B卷专项汇编（函数与代数综合压轴）（47题） 3大高频考点概览 考点01代数部分综合压轴（16题） 考点02 函数综合压轴（14题） 考点03函数与几何综合压轴（17题） ( 地 城 考点 01 代数部分综合压轴 )一、填空题 1．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）若整数a使关于x的不等式组恰有两个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则整数a的值为______． 2．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为_____． 3．（24-25八年级下·四川成都成华区嘉祥外国语学校·校考期末）若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为_____． 4．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）若关于的整式的系数，，，，均为整数，，且相邻两个系数的差（后项减前项）满足：对任意，，，都有，则称该整式为递增阶梯整式．当时，整式的取值称为该“递增阶梯整式”的全系数和，记作．请完成下列探究： （1）若某“递增阶梯整式”的相邻系数差均为2，且首项系数，则该整式的全系数和________； （2）若某“递增阶梯整式”满足，则所有满足条件的的值之和为________． 5．（24-25八年级下·四川成都都江堰市·校考期末）已知，，是大于1的正整数，且为整数，则_______． 6．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）将分式和分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第二步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第三步；先计算，结果记为，再计算，结果记为，…继续操作下去，则_____________．若，则的值是_____________． 7．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）从四个数中选取一个作为的值，则满足不等式组的解集是，且分式方程有解的概率为______． 8．（24-25八年级下·四川成都新都区·校考期末）定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”．若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有 个。 9．（24-25八年级下·四川成都大邑县安仁中学·校考期末）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是_______． 10．（24-25八年级下·四川成都新都区·校考期末）将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 ________；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数____________． 11．（24-25八年级下·四川成都双流区·校考期末）对于线段与该线段上的两点，，其中，，给出如下定义：点，，…，，是线段上的个不同的点，这些点与点或点构成的长度不超过的线段的长分别为，，…，，，若这个点满足，则称这个点为线段关于线段的一个基准点族．现将线段的一个端点与线段的一个端点重合，固定线段的位置不动，将线段以每秒个单位长度的速度向线段另一个端点移动．当移动时间为秒时，点，，…，，是线段关于线段的一个基准点族．则当的最大值为时，的取值范围是________． 12．（24-25八年级下·四川成都石室中学（北湖校区）·校考期末）对任意一个正整数，如果，其中是正整数，则称为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，则6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．由题意，“矩数”20的最佳拆分点为________；若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．若，则的值为________． 13．（24-25八年级下·四川成都青羊区·校考期末）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”． 因为，，，，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，…，按此规律，2028是第______个“智慧数” 14．（24-25八年级下·四川成都七中育才学校·校考期末）对于两个实数a、b，若分式有意义且，则称是的一个“优界数”，并规定的所有优界数的取值范围叫做的“优界域”，例如：当时，由且，解得，所以6的“优界域”为，当时，的“优界域”为______________；已知实数，关于的分式方程的解为，若是的优界数，则的取值范围为_________． 二、解答题 15．（24-25八年级下·四川成都都江堰市·校考期末）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和．数学课上，张老师提出：对于任意单位分数（a为正整数且）均可以拆分成两个不同单位分数的和．兴趣小组对此进行探究，过程如下； 【探索规律】 当时，； 当时，； 当时，；… (1)写出时的拆分结果；(2)【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想； (3)【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数，可以拆分成两个不同单位分数的和． 16．（24-25八年级下·四川成都温江区·校考期末）阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题．(1)用配方法因式分解：；(2)求的最小值； (3)已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． ( 地 城 考点02 函数综合压轴 )一、填空题 1．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·期末）如图，平面直角坐标系中，点，点关于直线对称的点为，点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点，若点落在内（包括边界），则的取值范围是_______． 2．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）已知直线经过第一、三、四象限，则a的取值范围为________． 3．（24-25八年级下·四川成都·校考期末）在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是_______． 4．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）如图，点、为平面直角坐标系内两点，线段两端点坐标分别为、，若直线与线段有交点，则的取值范围是__________． 5．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·校考期末）在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为______． 6．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·校考期末）我们规定：若直线l的表达式中满足，且m，n为整数，则直线l称为“和顺直线”；若“和顺直线”l上存在点，满足，x，y为整数，则点P称为“顺遂点”，则：（1）直线上______“顺遂点”填“存在”或“不存在” （2）所有“顺遂点”P的坐标为______． 7．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区师一中·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是______． 8．（24-25八年级下·四川成都西川中学·校考期末）定义：若，满足，为常数）且对，则称点为“妙点”，比如点．若函数的图象上的“妙点”在第三象限，则的取值范围为_____________． 9．（24-25八年级下·四川成都锦江区·校考期末）定义：在平面直角坐标系中，如果直线上的点经过一次变换后得到点，那么称这次变换为“逆倍分变换”．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B．点P为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点与点P重合，则点P的坐标为______；点Q为该直线上一点，若经过一次“逆倍分变换”后，得到的对应点，使得和的面积相等，则点Q的坐标为______． 二、解答题 10．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图像，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系．已知线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．(1)第24天的日销售量是__________件，日销售利润是__________元；(2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；(3)试销售期间，日销售最大利润是多少元？ 11．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）在平面直角坐标系中，对于线段与直线，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段为（，分别为点A，B的对应点），则称线段为线段的“关联线段”已知点，． (1)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为________，的坐标为________； (2)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为，则的长为________，b的值为________； (3)线段为线段的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求线段的长度；(4)点，，线段为线段的“关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线在线段上，直接写出b的取值范围． 12．（24-25八年级下·四川成都西川中学·校考期末）【阅读理解】定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设线段，的夹角为，，则我们把称为的“度比坐标”，把称为的“度比坐标”． 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点的坐标，并写出的“度比坐标”（用含的代数式表示）； (2)，为直线上的动点（点在点左侧），且的“度比坐标”为． ①若，求的长； ②在①的条件下，平面内是否存在点，使得的“度比坐标”与的“度比坐标”相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（24-25八年级下·四川成都武侯区·校考期末）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转90度得到点，点关于y轴的对称点为，则称点为点R关于点S的“旋对点”． 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点． (1)请在图中画出点M关于点O的“旋对点”，并直接写出点M的坐标；(2)点Q为直线上一动点． ①若点Q关于点M的“旋对点”为点，试探究直线经过某一定点，并求出该定点的坐标； ②在①的条件下，设直线所经过的定点为H，取的中点N，连接，求的最小值． 14．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过点的直线分别交轴、轴的正半轴于点C、D，与直线交于点． (1)若点的坐标为；①求点的坐标；②点是直线上一点，且，求点的坐标． (2)如图2，一束光线从点出发经过镜面和反射后正好通过原点O，当光线经过的路径的总长为时，求直线的解析式． ( 地 城 考点0 3 函数与几何综合压轴 )一、填空题 1．（24-25八年级下·四川成都金牛区·校考期末）如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点，直线绕轴上一点顺时针旋转120°，得到的直线恰好经过点，则点的坐标是______． 2．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）如图，点D、点E是直线与矩形的边、的交点，，．若动点在矩形内随机运动，则动点P落在内（包括边界）的概率为______． 3．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“和谐四边形”．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，是线段上一点，且，点是直线上的动点，若在内部（不包含边界）始终有一点，使得四边形为“和谐四边形”，则的取值范围是______． 4．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，点B在直线上（点B在y轴右侧），点C在直线上．若为锐角三角形，且其面积为，则点C的横坐标m的取值范围是_________． 三、解答题 5．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于B，A两点，是x轴正半轴上一点，连接，过点C作交直线l于点D，且，过点D作轴，垂足为E． (1)求证：；(2)如图2，将沿x轴正方向平移得到，若某个时刻边刚好经过点D，求此时点G的坐标以及平移的距离；(3)在（2）的条件下，已知M为边上一点，且，若点J，K分别在直线上，是否存在以C，M，J，K为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点K的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·期末）在平面直角坐标系中，对于直线：和直线：，在上取一点，在上取一点，若，，以，为邻边作平行四边形，则平行四边形为【，；，】的相关平行四边形，称为【，；，】的相关角，的对边称为【，；，】的相关对边．特别地，当时，直线，即直线，代表x轴． 例如：如图，：，：，，，则平行四边形为【，；，】的相关平行四边形，为【，；，】的相关角，的对边为【，；，】的相关对边． (1)若平行四边形是【，；，】的相关平行四边形，则【，；，】的相关角的度数是； (2)若平行四边形是【，；，】的相关平行四边形，当点在【，；，】的相关对边上时，求的值； (3)当【，；，】的相关对边与【，；，】（其中）的相关对边都经过点时，直接写出的取值范围． 7．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形在第一、四象限，边与直线交于点，边与轴交于点，边与轴夹角为，且． (1)若，求点的坐标；(2)若，求的度数； (3)连接，指出的周长随大小的变化而变化的情况，并说明理由． 8．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）如图，直线与轴，轴及直线分别交于点，，．(1)求点B和点C的坐标；(2)为轴上点右侧一动点，以，为邻边作，连接，．①求的最小值；②在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由． 9．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）如图，在平面直角坐标系中中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．(1)当时，求的值和点的坐标；(2)为直线上一点，为轴正半轴上一点，且，现将点绕着点顺时针旋转，点的对应点刚好落在轴上．在（）的条件下，求的面积；作直线交直线于点，取线段的中点，连接．试探究：随着值的改变，的度数是否为定值？若是，请求出的度数；若不是，请说明理由． 10．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）如图所示，直线的表达式与直线的表达式交于点．(1)求的值；(2)点为上一动点，过点作平行于轴的直线交于点，当时，求点的坐标；(3)将直线绕点旋转得到直线，请直接写出该直线与轴的交点坐标． 11．（24-25八年级下·四川成都锦江区师一学校·期末）如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．(1)求直线BC的函数解析式；(2)设点是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点Q，交直线于点P．①若的面积为，求点M的坐标．②连接，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 12．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）一次函数（为常数，且）分别与轴，轴交于两点，点是一次函数图像上一动点，设点的横坐标为． (1)若点的纵坐标为，求的值；(2)在（）的条件下，如图，将一次函数的图像向下平移，交轴于点，交轴于点，连接交轴于点，过作轴于点，当时，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；(3)如图，过点作轴于点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交轴于点，记的面积为，的面积为，点在运动过程中，当是的中点且时，求点的坐标． 13．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴负半轴交于点，与直线交于点． (1)求的值及直线的表达式；(2)点为轴正半轴上一动点，连接交直线于点，在线段的中垂线上存在一点，使得四边形为平行四边形，求点的坐标；(3)点为坐标平面内一动点，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，点恰好落在直线上，连接，请探究面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 14．（23-24八年级下·四川成都金牛区·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． (1)求直线的解析式；(2)如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 15．（24-25八年级下·四川成都金苹果锦城第一中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标；(2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与直线交于点C．点D在线段上（不与点C重合），过点D作x轴的平行线，与直线相交于点E，连接．记的面积为，的面积为． (1)当时，求点C的坐标；(2)在（1）的条件下，求证：；(3)当，过点A作平行于的直线，直线（）与直线交于点M，与x轴于点N．试探究的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 17．（24-25八年级下·四川成都成华区嘉祥实验外国语学校·期末）在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现过点的直线为常数且分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值． (1)特例探究如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值； (2)一般证明①时，直接写出_____；②求出的值； (3)类比推广如图2，已知，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $