专题07 八年级下册B卷专项汇编（几何图形综合压轴）（3大考点期末真题汇编，四川成都专用）八年级数学下学期北师大版

**基本信息** 聚焦八年级下册几何综合压轴，精选成都各区期末真题，覆盖几何最值、几何综合、图形变换三大高频考点，梯度设计助力综合能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空/解答|52题|三角形、四边形、图形变换|几何最值（如动点E、F运动求EF最小值）、旋转翻折综合（如折叠后线段关系证明），贴合期末压轴命题趋势|

专题07 八年级下册B卷专项汇编（几何图形综合压轴）（52题） 3大高频考点概览 考点01几何最值压轴（14题） 考点02几何综合压轴（14题） 考点03 几何与图形变换综合压轴（14题） ( 地 城 考点01 几何最值压轴 )一、填空题 1．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）如图，在四边形中，，，，，点E，F分别在线段和线段上运动，且，连接，当点F与点C重合时，连接，则的面积为______；点E与点F在运动过程中，线段长度的最小值为______． 2．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）如图，点D在等边三角形外，点A、点D分别在的两侧．若，，则四边形的面积的最大值为______． 3．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点O，D为外一点，，且，连接，则线段长为__________，线段的最大值为__________ 4．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）已知等边三角形边长为6，点为上的一点，连接，将三角形沿翻折得，将绕中点旋转得，连接，若，则点到直线的距离为___________；若点在边上运动，则的最小值为___________． 5．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知等腰的底边在x轴上滑动，且，y轴上有一点M，连接，，则的最小值为________． 6．（24-25八年级下·四川成都青羊区·校考期末）如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为_____．    7．（24-25八年级下·四川成都西川中学·校考期末）如图，在中，，，为的中点，将沿边翻折得到，是边上的两个动点，且，则四边形周长的最小值为________． 8．（24-25八年级下·四川成都郫都区·校考期末）如图，与相交于点，若，，，则的最小值为__________． 9．（24-25八年级下·四川成都青白江区·校考期末）如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ________． 10．（24-25八年级下·四川成都成华区·校考期末）如图，是线段上一动点，分别以，为边长在同侧作等边和等边，连接．若，则四边形面积的最小值是_____． 11．（24-25八年级下·四川成都锦江区师一学校·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，B是x正半轴上一定点，C为中点，过点B作x轴的垂线l，P是直线l上一动点，连接，作原点关于的对称点，连接．若的最小值为1，则当轴时，点P坐标为______． 三、解答题 12．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x、y轴分别交于点A、C，点在轴正半轴上，，直线是线段的垂直平分线，与轴交于点D，E、F分别是边上的点，．(1)求点的坐标及的度数；(2)探索：在直线上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 13．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）某学校的劳动菜园的平面示意图是，如图1所示，两条主路交于点O，经测量，，，请你解决以下问题： (1)劳动菜园的面积为______；(2)如图2，综合实践李老师提出，准备再修建两条小道对菜园进行分割．小明提出的方案为点M在上，点N在上，且（点M与点O，D不重合），李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在与两块菜地所在区域种植草莓，求种植草莓区域的面积；(3)数学王老师知道后，要求同学们在图2的基础上求出的最小值．小明同学百思不得其解，王老师给了他部分提示：如图3，构造，可以将动线等量转化到，就与另一条动线搭上了．请你沿这条提示，完整解决问题． 14．（24-25八年级下·四川成都金牛区·校考期末）如图，在中，，，，，．(1)求线段的长；(2)如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． ( 地 城 考点02 几何综合压轴 )一、填空题 1．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·校考期末）如图，四边形中，，，点E是上一点，连接，，，若，，则的长度为______． 2．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·期末）如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于______．    3．（24-25八年级下·四川成都武侯区·校考期末）如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为_______． 4．（24-25八年级下·四川成都成华区·校考期末）在数学综合与实践活动中，活动小组将一张腰为的等腰直角三角形硬纸片（其中，分别为，，的中点，分别为的中点）剪成如图所示的①②③④四块，然后将这四块纸片重新组合拼成（相互不重叠，不留空隙）一个四边形，则所能拼成的四边形的周长为_____． 5．（24-25八年级下·四川成都青羊区·校考期末）如图，在平行四边形中，，是的中点，平分，，连结，，若，，则的周长为______． 6．（24-25八年级下·四川成都双流区·校考期末）在中，，，，D为直线上的动点，过点B作射线于点E，若，则的长为____________． 二、解答题 7．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图，在中，．点为上一点（不与端点重合），，连接．点E、F、G分别为、、的中点，连接、、． (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求的长． 8．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区龙泉驿区师一中学校·期末）如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时，①若，，求的面积；②求证：； (2)若，，求的长． 9．（24-25八年级下·四川成都石室天府中学·期末）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形为平行四边形；(2)点E为边的中点，连接，过E作交边于点F，连接．①求证：；②若，求与的值． 10．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）在四边形中，，．(1)如图1，证明：四边形是平行四边形；(2)如图2，的角平分线交于点，点在上，，连接．①若，点是线段的中点，，求四边形的周长；②如图3，对角线、交于点，连接，若，，，求四边形的面积． 11．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图1，是的对角线，．为上一动点，且，为对角线上一动点，连接，在点的运动过程中，始终满足．(1)求证：；(2)如图2，过点作于，过点作于点，求证：；(3)如图3，连接，当，且时，延长至，连接，若，求的长． 12．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）在中，，对角线、交于点，过点作的垂线交于点， (1)如图1，连接，若，求的度数； (2)如图2，点在线段的延长线上，连接、，若，求证：； (3)如图3，点在线段上，连接，，的角平分线交线段于点，若，，求线段的长度． 13．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）已知：在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B、C重合），以为边作正方形，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，求证：．(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D在线段的反向延长线上时，且点A、F分别在直线的两侧，其它条件不变，若连接正方形对角线，交点为O，连接，探究的形状，并说明理由． 14．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）我们知道，四边形内角和为，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补．因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”．例如：在四边形中，若（或），则称四边形为“双补四边形”． (1)已知四边形是“双补四边形”． 若，则________； 如图1，若，，，，则________； (2)如图2，在四边形中，平分，．求证：四边形是“双补四边形”； (3)如图3，四边形是“双补四边形”，，点M，N分别在边EH，GH上，且满足．试探究和之间满足的数量关系，并证明你的结论． ( 地 城 考点0 3 几何与图形变换综合压轴 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 2．（24-25八年级下·四川成都市龙泉驿区·校考期末）如图，等腰直角中，，将线段绕点C逆时针旋转（）得到线段，作点A关于线段所在直线的对称点E，连接和，分别交线段所在直线于点M和点F，若，，则的长为______． 3．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）如图，在中，，，，连接，将绕平面内一点P旋转，边的对应边在的垂直平分线上，点C的对应点为E．若E为中点，则的长为_________． 4．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）如图，在中，，将线段沿一条直线折叠得到线段（点B，C的对应点分别是点）若线段恰好落在直线上，则的长是___________． 5．（24-25八年级下·四川成都锦江区师一学校·期末）如图，在中，，，为的中点，为边上一点，将沿翻折得到，与交于点，若的面积是的倍，则的长为______． 6．（23-24八年级下·四川成都龙泉驿区龙泉驿区师一中学校·期末）如图，等腰直角中，，将线段绕点C逆时针旋转（）得到线段，作点A关于线段所在直线的对称点E，连接和，分别交线段所在直线于点M和点F，若，，则的长为______． 7．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图，是等边的中线，点在上，连接，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，作点关于直线的对称点，连接．若平分，,则的长为_________． 8．（24-25八年级下·四川成都都江堰市·校考期末）如图，在平行四边形中，是对角线，且，将沿方向向右平移得到，D、B对应点分别是A、E．点F是线段上（不含端点）的一个动点，连接，将线段绕点A 逆时针旋转至线段，使得旋转角，连接．当是等腰三角形时，的长为________． 9．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·校考期末）如图，在中，，，且的面积为，点是边上的一点（不与点、重合），把沿着直线翻折，点的落点为点，当点在一条边的延长线上时，的长度为______． 三、解答题 10．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）在中，，，为边上一点，将沿直线折叠，使点落在直线下方的点处，射线交的一边于点． (1)如图，当点在直线下方时，求证：；(2)在（）的条件下，当时，若，，求的长；(3)当时，若点是的一边的中点，求的值． 11．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）已知，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点分别为，连接．(1)如图，若点落在边上，求证：四边形为平行四边形； (2)如图，在（）的条件下，若点为的中点，，此时，求的值； (3)如图，若点落在的延长线上，且，，，三点共线，， ①若，求的值；②若，直接写出的值． 12．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）在中，，点为直线上的动点（点不与点C、D重合），连接，将射线绕点顺时针旋转与直线交于点． (1)当点在线段上时，若．①如图1，求证； ②如图2，连接，若，当是以为底的等腰三角形时，求线段的长； (2)若，请求出线段的长． 13．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）数学综合与实践小组同学对北师大版八年级下册数学教材第160页第21题进行了深入研究．如图，已知线段，以点B为端点作射线，使，C为射线上一动点，满足，以为邻边作平行四边形，连接，再将沿所在直线折叠，点B的对应点为，交于点E，连接． (1)求证：：(2)当时，求的度数；(3)当为直角三角形时，请直接写出平行四边形的面积． 14．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）如图1，已知中，为边上的中线，且． (1)求的度数，并说明理由； (2)将绕点O顺时针旋转，记旋转角为，得到，连接，． ①当时，如图2，猜想与的位置关系，并说明理由； ②若，，当时，求的长． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 八年级下册B卷专项汇编（几何图形综合压轴）（52题） ( 地 城 考点01 几何最值压轴 )一、填空题 1．【答案】 2．【答案】20+ 3．【答案】 4．【答案】 3 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】/ 11．【答案】 三、解答题 12． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：∵，∴当时，；当时，， ∴，，∴，∴， ∵，∴， ∴，，，∴，∴， ∵，∴四边形为平行四边形，∴； （2）存在，连接，∵直线是线段的垂直平分线，∴，为的中点， ∴，∴当点在线段上时，的周长最小； ∵，，∴，即：， ∵，，∴设直线的解析式为，把代入，得：，∴， ∵，∴设的解析式为：，把代入，得：， 解得：，∴， 联立，解得：，∴，设直线的解析式为：， 则：，解得：，∴， ∴当时，，∴． 13． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 在中，过点B作于点H，如图， ∵，，，∴， ∴，∴， ∴；∴公园的面积为； （2）连接，如图：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴种植草莓区域的面积为． （3）构造平行四边形，连接，过E作于F． ∵，，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∴点D到的距离等于点B到的距离， 由（1）可知，点D到的距离等于8，∵，∴， 在中，，∴， 当A，M，E三点共线时，，此时取最小值． ∴在中，， 由勾股定理得：，∴的最小值为． 14． 【答案】(1)(2)，理由见详解(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴线段的长为； （2），理由如下：连接，如图： ∵把线段绕点E逆时针旋转到，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴， ∵G为的中点，∴，∵， ∴，∴，∴； （3）在上取一点H，使，连接，如图： ∵，∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵把线段绕点B逆时针旋转得到，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴当最小时，最小，此时，如图： ∴为等腰直角三角形，∴，∴的最小值为． ( 地 城 考点02 几何综合压轴 ) 一、填空题 1．【答案】 2．【答案】 3．【答案】 4．【答案】或或或 5．【答案】 6．【答案】或 二、解答题 7．【答案】(1)见详解(2)见详解(3) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵E、F分别为、的中点，∴是的中位线，∴，∴． （2）证明：连接， 由（1）知是的中位线，∴，∴， ∵F、G分别为、的中点，∴是的中位线，∴，，即， ∴，∴，∴， 又∵，，∴，∴． （3）解：过D点作于H点． 则，又∵，∴四边形时矩形，∴，， ∵，∴，∵点E是的中点，∴，∴， ∵，∴，设，则， 在中, ，在中, ， 又∵，∴，解得：，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 8．【答案】(1)①；②见解析(2)2或 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为P， ，，是等腰直角三角形，， ，是等腰直角三角形，， ，，， ，，，， ，， 的面积为：； ②如图1中，延长交的延长线于，连接，，， ，， ，，， 四边形是平行四边形，，，， ，，，， ，，，； （2）解：当点E在线段上时， ，，，， ，，， ，即， 同理（1）②得，，， ，是等腰三角形，，； 当点E在射线上时，同理得：，， ，，， ，，， ，， ，，， ，是等腰三角形， ，，；综上，长为2或． 9． 【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②的长是，的长是 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形． （2）①证明：延长交于点G， ∵，∴，∵点E为边的中点，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴． ②解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴的长是，的长是． 10． 【答案】(1)见解析(2)①20；② 【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形； （2）①∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∵的角平分线交于点， ∴，∵，∴， ∴，，如图所示，过点A作于点G， ∵，∴设，则， ∴，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，解得（负值舍去）， ∴，， ∴四边形的周长； ②如图所示，连接，∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴， ∵的角平分线交于点，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴四边形的面积． 11． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴； （2）证明： 如图，作于， 交于，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，； （3）如图，作于， 作于， 作于，由（）知， ∵，，，∴， ∵，∴，∴平分，∴， ∵，，取的中点M，连接，则， ∴是等边三角形，∴，∴，∴， ，，， 作的垂直平分线，交于，连接，则，， ，∴，， ，． 12． 【答案】(1)(2)证明 见解析(3) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形，是对角线，交于点，∴，即点是中点， 又，∴是的垂直平分线，∴，∴， ∵是的外角，∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，点在线段的延长线上，， ∴，∴，∴， ∵，∴， 如图所示，将绕点逆时针旋转得，则在线段上，连接， ∴，∴，， ∴是等边三角形，∴，即， ∵，，∴，， ∴，又，∴， ∴，，∴，∴是等边三角形， ∴，∵，∴，∴； （3）解：过点分别作的垂线，垂足为，连接，过点作的垂线，垂足为，连接，由（1）知是的垂直平分线，∴， ∴，∴， ∵，∴ ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴平分， ∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 设，∵，∴，∴ ∵平分，∴，∵，∴． 13． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)等腰三角形，见解析 【详解】（1）证明：，，， 四边形是正方形，，， ，，， 在和中，，，， ，； （2）解：，，， 四边形是正方形，，， ，，， 在和中，，，，； （3）解：，，，则， 四边形是正方形，，， ，，， 在和中，，，， ，则为直角三角形，为中点，， 在正方形中，，，是等腰三角形． 14． 【答案】(1)①；②6(2)见解析(3)，证明见解析 【详解】（1）解：①∵四边形是“双补四边形”，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴； ②如图所示，连接，∵四边形是“双补四边形”，∴， ∵，∴，在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； （2）证明：如图所示，在上取一点T，使得，连接， ∵平分，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴四边形是“双补四边形”； （3）解：，证明如下：如图所示，延长到P，使得，连接， ∵，，∴，即； ∵四边形是“双补四边形”，∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴， ∴， ∵四边形是“双补四边形”，∴，∴． ( 地 城 考点0 3 几何与图形变换综合压轴 ) 一、选择题 1 D 二、填空题 2．【答案】 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】2或5 9．【答案】或 三、解答题 10．【答案】(1)证明见解析；(2)的长为；(3)的值为或． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴， 由折叠性质可知：，∴，∴； （2）解：如图，过作于点，过作于点，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴，， ∵，，∴，∴， 设，则，∴，∴， 当时，则，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， 在中，，∴，解得：， ∴； （3）解：如图，当在下方时，即点是中点时， 过作于点，过作于点，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴，， ∵，，∴，∴， 设，则，，，， ∴， ∵点是中点，∴，∴， ∴， 在中，，∴，解得：； 如图，当在上方时，即点是中点时， 设，则，∴，∵点是中点，∴，， 过作，交延长线于点，取中点，连接，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∴是梯形中位线，， ∴，，， ∴，，∴由勾股定理得， 由折叠性质可知：，∴，∴， ∴，在中，， ∴，整理得：， 解得：或（舍去）；综上可知：的值为或． 11． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)①； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，∴，∴，由折叠得，，， ∴，∴，∴，∴四边形为平行四边形； （2）解：∵，∴，∵四边形为平行四边形，∴四边形为矩形， 又∵，∴四边形为正方形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵点为的中点，∴，∴， ∴，∴； （3）解：①如图，过点作于点，∵，∴， 设，则，， ∵，∴，∴， ∴，∴， 由翻折可知，垂直平分，∴，， ∴，∵四边形是平行四边形， ∴，，∴，，∴， ∴，∴，∴； ②同①，过点作于点，∵，∴， 设，则，，∵，∴，∴， ∴，∴， 由翻折可知，垂直平分， ∴，∴， 同①可证，∴∴； 12． 【答案】(1)①见解析②(2)的长为或 【详解】（1）解：①过点P作的延长线于点M，作于点N．如图 ∴；∵，四边形是平行四边形，， ∴∴ ∴，是等腰直角三角形∴ ∴四边形是矩形，且，∴四边形是正方形 ∴，∴， ∵∴，∴∴∴． ②∵∴即或（不合题意，舍去） ∴设正方形的边长为x，则 ∴，， ∵，四边形为平行四边形， ∴∴ ∵是以为底的等腰三角形，∴∴ 即，解得，∴， ∴． （2）①当点P在的延长线上时，过点A作于点M，延长至点F，使，连接， ∵四边形是平行四边形，，∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴∴ ∴；∴， ∵；∴是等边三角形 ∴，∴， ∴，∴，∴∴∴． ②当点P在线段之间时，过点A作于点M，在上截取点F，使，连接， ∵，，∴， ∵， ∴是等边三角形，∴， ∴， ∴，∴，∴， ∴；∴． ③当点P在线段的延长线上时，如图有， ∴，不符合题意，舍去．综上所述，的长为或． 13． 【答案】(1)见解析(2)(3)或 【详解】（1）证明：根据折叠的性质，，， ∵平行四边形∴，，∴，， ∵，∴，∴． （2）解：∵，平行四边形，∴，设， 根据折叠的性质，得，，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， 故的度数为 （3）解：根据题意，是不可能的； 当时，则，， 根据（2）得，， 故，，即，故四边形是矩形， ∵，，∴，∴， ∴平行四边形的面积为． 当时，延长交于点M，根据平行四边形，则，故， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，，∴ ∴平行四边形的面积为． 故平行四边形的面积为或． 14． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①，理由见解析；②或 【详解】（1）解：，， 是边上的中线，，，， ，， ，，； （2）解：①如图1，，理由如下：延长至F， ，， ，， ，，同理可得，， ，， ，，记交于点，则，； ②如图2，当在上方时，连接，设和交于点W， ，， ，，， ，，同理①知，， ，，，， ，，，， ，； 如图3，当在的下方时，同理可得， ，综上所述：或 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 八年级下册B卷专项汇编（几何图形综合压轴）（52题） 3大高频考点概览 考点01几何最值压轴（14题） 考点02几何综合压轴（14题） 考点03 几何与图形变换综合压轴（14题） ( 地 城 考点01 几何最值压轴 )一、填空题 1．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）如图，在四边形中，，，，，点E，F分别在线段和线段上运动，且，连接，当点F与点C重合时，连接，则的面积为______；点E与点F在运动过程中，线段长度的最小值为______． 【答案】 【详解】解：连接，在和中，，，，∵，， 当点F与点C重合时，连接，过点E作， ，，∵在中，， ∴，∴， ∴ ，过点F作于点，过点F作于点， 四边形是矩形，；，， ，；设， 由题意可得，， 由勾股定理得：，， ，当时，有最小值，最小值为， 故答案为：①；②． 2．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）如图，点D在等边三角形外，点A、点D分别在的两侧．若，，则四边形的面积的最大值为______． 【答案】20+ 【详解】解：为等边三角形，，， 如图，将绕点顺时针旋转得到，则为等边三角形，， ，再将绕点顺时针旋转得到， 则，，同理可得为等边三角形， ，，，四边形为平行四边形， ， 是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形， ，， 要使四边形的面积最大，则平行四边形的面积最大即可， 过作于点，则，， ．故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点O，D为外一点，，且，连接，则线段长为__________，线段的最大值为__________ 【答案】 【详解】解：连接，如图 ∵的垂直平分线交于点O，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴，即，解得，∴，∴， 在上取一点，使，连接，， ∴，∵，， ∴， ∵，∴， ∴，∴，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴当、、三点共线时最大，故答案为：． 4．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）已知等边三角形边长为6，点为上的一点，连接，将三角形沿翻折得，将绕中点旋转得，连接，若，则点到直线的距离为___________；若点在边上运动，则的最小值为___________． 【答案】 3 【详解】解：延长交于点，连接， ∵等边三角形边长为6，∴， ∵将三角形沿翻折得，将绕中点旋转得， ∴， ∴四边形为平行四边形，∴，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， 当时，则：，∴， 作，在中，，∴， ∴，，∴点到直线的距离为； 作点关于的对称点，连接，则：， ∴当三点共线时，最小，如图，当时， 此时，，∴， ∵，∴为等边三角形，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴， ∵三点共线，∴此时三点共线，∴此时最小，为3；故答案为：． 5．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知等腰的底边在x轴上滑动，且，y轴上有一点M，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：如图，构建平行四边形，作关于轴的对称点， ∴，，，，， ∵等腰的底边在x轴上滑动，且，∴,， ∵，∴，∴， 当共线时，最小，∴的最小值为；故答案为： 6．（24-25八年级下·四川成都青羊区·校考期末）如图，▱ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为_____．    【答案】 【详解】如图，延长到点H，使，连接， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴是等边三角形，∴， ∴，∵，∴，    当时，最小，此时，，，解得， 中， ，，故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都西川中学·校考期末）如图，在中，，，为的中点，将沿边翻折得到，是边上的两个动点，且，则四边形周长的最小值为________． 【答案】 【详解】解：在中，，，∴，， ∵为的中点，∴，∴四边形周长， ∴要使四边形周长最小，则要最小， 取的中点，的中点，连接，在上截取，连接，， 则是的中位线，∴，， 由折叠的性质可得：点、关于直线对称，∴， ∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴， ∴当在的连线上时，所得周长最小，连接，交于，交于，连接， 由折叠可得：，，∵，∴， ∴，，∴，∵,∴，∴是直角三角形， 在中，，点为的中点，则为的中点， ∵，∴，∴，， ∴，，∴， ∵为的中位线，∴，∴， ∴，∴四边形周长,故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川成都郫都区·校考期末）如图，与相交于点，若，，，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：如图，沿方向平移得，连接，，作于点， ∴，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴， ∵，，，∴在中，， ∴，，∴， 在中，，在中，，且， ∴的最小值为，即的最小值为， ∴的最小值为，故答案为：． 9．（24-25八年级下·四川成都青白江区·校考期末）如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ________． 【答案】 【详解】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示： ， ∵四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， ∵为等边三角形，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴当最小时，最小， ∵垂线段最短，∴当点E与点H重合时，最小，此时，∴最小值为，故答案为： ． 10．（24-25八年级下·四川成都成华区·校考期末）如图，是线段上一动点，分别以，为边长在同侧作等边和等边，连接．若，则四边形面积的最小值是_____． 【答案】/ 【详解】解：过作于，过作于，如图， 和是等边三角形，，，，， ，设，则， ，，，， ， ， ， 当时，四边形面积的最小值为，故答案为：． 11．（24-25八年级下·四川成都锦江区师一学校·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，B是x正半轴上一定点，C为中点，过点B作x轴的垂线l，P是直线l上一动点，连接，作原点关于的对称点，连接．若的最小值为1，则当轴时，点P坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点，∴，∵原点O关于的对称点为，∴， ∴点在以点A为圆心，4为半径的圆上，如图所示： ∴当、、在同一直线上时，最小，∵的最小值为1，∴， ∴，∴点的坐标为，当轴时，连接，，如图所示： ∵过点B作x轴的垂线l，P是直线l上一动点，∴点P的横坐标为3， 设点P的坐标为：，∴， ∵为的中点，∴，∴， ∵轴，∴，∴， ∵原点O关于的对称点为，∴，∴， ∴，解得：， ∴点P的坐标为：．故答案为：． 三、解答题 12．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x、y轴分别交于点A、C，点在轴正半轴上，，直线是线段的垂直平分线，与轴交于点D，E、F分别是边上的点，．(1)求点的坐标及的度数；(2)探索：在直线上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：∵，∴当时，；当时，， ∴，，∴，∴， ∵，∴， ∴，，，∴，∴， ∵，∴四边形为平行四边形，∴； （2）存在，连接，∵直线是线段的垂直平分线，∴，为的中点， ∴，∴当点在线段上时，的周长最小； ∵，，∴，即：， ∵，，∴设直线的解析式为，把代入，得：，∴， ∵，∴设的解析式为：，把代入，得：， 解得：，∴， 联立，解得：，∴，设直线的解析式为：， 则：，解得：，∴， ∴当时，，∴． 13．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）某学校的劳动菜园的平面示意图是，如图1所示，两条主路交于点O，经测量，，，请你解决以下问题： (1)劳动菜园的面积为______；(2)如图2，综合实践李老师提出，准备再修建两条小道对菜园进行分割．小明提出的方案为点M在上，点N在上，且（点M与点O，D不重合），李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在与两块菜地所在区域种植草莓，求种植草莓区域的面积；(3)数学王老师知道后，要求同学们在图2的基础上求出的最小值．小明同学百思不得其解，王老师给了他部分提示：如图3，构造，可以将动线等量转化到，就与另一条动线搭上了．请你沿这条提示，完整解决问题． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 在中，过点B作于点H，如图， ∵，，，∴， ∴，∴， ∴；∴公园的面积为； （2）连接，如图：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴种植草莓区域的面积为． （3）构造平行四边形，连接，过E作于F． ∵，，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∴点D到的距离等于点B到的距离， 由（1）可知，点D到的距离等于8，∵，∴， 在中，，∴， 当A，M，E三点共线时，，此时取最小值． ∴在中，， 由勾股定理得：，∴的最小值为． 14．（24-25八年级下·四川成都金牛区·校考期末）如图，在中，，，，，．(1)求线段的长；(2)如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1)(2)，理由见详解(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴线段的长为； （2），理由如下：连接，如图： ∵把线段绕点E逆时针旋转到，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴， ∵G为的中点，∴，∵， ∴，∴，∴； （3）在上取一点H，使，连接，如图： ∵，∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵把线段绕点B逆时针旋转得到，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴当最小时，最小，此时，如图： ∴为等腰直角三角形，∴，∴的最小值为． ( 地 城 考点02 几何综合压轴 ) 一、填空题 1．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·校考期末）如图，四边形中，，，点E是上一点，连接，，，若，，则的长度为______． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，作于F，于G，作于H．，，，． 在四边形中，，， ．． ．点C，D，三点共线．由旋转的性质得． ，． ，四边形是等腰梯形．，． ，，四边形是矩形．． ，，．同理可得． ．，，． ．． ．故答案为： 2．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·期末）如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于______．    【答案】 【详解】解：∵点，，分别为边的中点，∴、都是的中位线， ∴，，，， ∴四边形的周长：，同理可得：四边形的周长， 四边形的周长，四边形的周长，…， ∴，故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川成都武侯区·校考期末）如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为_______． 【答案】/ 【详解】解：延长交于点，过点作于点， ∵，∴， 即，点在线段的垂直平分线上， ∵，，，∴，， ∴，∴，∴点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线，∴，， ∴在中，即，解得， 在中，，∴即，解得， ∵，∴， ∴点到的距离为．故答案为：． 4．（24-25八年级下·四川成都成华区·校考期末）在数学综合与实践活动中，活动小组将一张腰为的等腰直角三角形硬纸片（其中，分别为，，的中点，分别为的中点）剪成如图所示的①②③④四块，然后将这四块纸片重新组合拼成（相互不重叠，不留空隙）一个四边形，则所能拼成的四边形的周长为_____． 【答案】或或或 【详解】解：根据题意，可求出各线段长度如图所示： 第一种拼法：如图，可知所拼四边形为平行四边形，其周长为； 第二种拼法：如图，可知所拼四边形为矩形，其周长为； 第三种拼法：如图，可知所拼四边形为直角梯形，其周长为； 第四种拼法：如下图，可知所拼四边形为正方形，其周长为， 综上，所能拼成的四边形的周长为或或或， 故答案为：或或或． 5．（24-25八年级下·四川成都青羊区·校考期末）如图，在平行四边形中，，是的中点，平分，，连结，，若，，则的周长为______． 【答案】 【详解】解：延长与交于， ∵，是的中点，∴，，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∵，∴（）∴，，∴， ∵点是的中点，∴，∵，， ∴，，∴ ∴的周长为，故答案为：． 6．（24-25八年级下·四川成都双流区·校考期末）在中，，，，D为直线上的动点，过点B作射线于点E，若，则的长为____________． 【答案】或 【详解】解：在中，，，，∴， 分三种情况：①当点D在延长线上时，如图， ∵，∴，∵，∴，∴， 在中，由勾股定理，得，∴， 在中，由勾股定理，得； ②当点D在线段上时，如图，∵，∴此情况不存在； ③当点D在延长线上时，如图， ∵，∴，∵，∴，∴， 在中，由勾股定理，得，∴， 在中，由勾股定理，得； 综上， 的长为或．故答案为：或． 二、解答题 7．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图，在中，．点为上一点（不与端点重合），，连接．点E、F、G分别为、、的中点，连接、、． (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求的长． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵E、F分别为、的中点，∴是的中位线，∴，∴． （2）证明：连接， 由（1）知是的中位线，∴，∴， ∵F、G分别为、的中点，∴是的中位线，∴，，即， ∴，∴，∴， 又∵，，∴，∴． （3）解：过D点作于H点． 则，又∵，∴四边形时矩形，∴，， ∵，∴，∵点E是的中点，∴，∴， ∵，∴，设，则， 在中, ，在中, ， 又∵，∴，解得：，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 8．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区龙泉驿区师一中学校·期末）如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时，①若，，求的面积；②求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析(2)2或 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为P， ，，是等腰直角三角形，， ，是等腰直角三角形，， ，，， ，，，， ，， 的面积为：； ②如图1中，延长交的延长线于，连接，，， ，， ，，， 四边形是平行四边形，，，， ，，，， ，，，； （2）解：当点E在线段上时， ，，，， ，，， ，即， 同理（1）②得，，， ，是等腰三角形，，； 当点E在射线上时，同理得：，， ，，， ，，， ，， ，，， ，是等腰三角形， ，，；综上，长为2或． 9．（24-25八年级下·四川成都石室天府中学·期末）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形为平行四边形；(2)点E为边的中点，连接，过E作交边于点F，连接．①求证：；②若，求与的值． 【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②的长是，的长是 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形． （2）①证明：延长交于点G， ∵，∴，∵点E为边的中点，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴． ②解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴的长是，的长是． 10．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）在四边形中，，．(1)如图1，证明：四边形是平行四边形；(2)如图2，的角平分线交于点，点在上，，连接．①若，点是线段的中点，，求四边形的周长；②如图3，对角线、交于点，连接，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2)①20；② 【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形； （2）①∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∵的角平分线交于点， ∴，∵，∴， ∴，，如图所示，过点A作于点G， ∵，∴设，则， ∴，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，解得（负值舍去）， ∴，， ∴四边形的周长； ②如图所示，连接，∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴， ∵的角平分线交于点，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴四边形的面积． 11．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图1，是的对角线，．为上一动点，且，为对角线上一动点，连接，在点的运动过程中，始终满足．(1)求证：；(2)如图2，过点作于，过点作于点，求证：；(3)如图3，连接，当，且时，延长至，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴； （2）证明： 如图，作于， 交于，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，； （3）如图，作于， 作于， 作于，由（）知， ∵，，，∴， ∵，∴，∴平分，∴， ∵，，取的中点M，连接，则， ∴是等边三角形，∴，∴，∴， ，，， 作的垂直平分线，交于，连接，则，， ，∴，， ，． 12．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）在中，，对角线、交于点，过点作的垂线交于点， (1)如图1，连接，若，求的度数； (2)如图2，点在线段的延长线上，连接、，若，求证：； (3)如图3，点在线段上，连接，，的角平分线交线段于点，若，，求线段的长度． 【答案】(1)(2)证明 见解析(3) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形，是对角线，交于点，∴，即点是中点， 又，∴是的垂直平分线，∴，∴， ∵是的外角，∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，点在线段的延长线上，， ∴，∴，∴， ∵，∴， 如图所示，将绕点逆时针旋转得，则在线段上，连接， ∴，∴，， ∴是等边三角形，∴，即， ∵，，∴，， ∴，又，∴， ∴，，∴，∴是等边三角形， ∴，∵，∴，∴； （3）解：过点分别作的垂线，垂足为，连接，过点作的垂线，垂足为，连接，由（1）知是的垂直平分线，∴， ∴，∴， ∵，∴ ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴平分， ∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 设，∵，∴，∴ ∵平分，∴，∵，∴． 13．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）已知：在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B、C重合），以为边作正方形，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，求证：．(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D在线段的反向延长线上时，且点A、F分别在直线的两侧，其它条件不变，若连接正方形对角线，交点为O，连接，探究的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)等腰三角形，见解析 【详解】（1）证明：，，， 四边形是正方形，，， ，，， 在和中，，，， ，； （2）解：，，， 四边形是正方形，，， ，，， 在和中，，，，； （3）解：，，，则， 四边形是正方形，，， ，，， 在和中，，，， ，则为直角三角形，为中点，， 在正方形中，，，是等腰三角形． 14．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）我们知道，四边形内角和为，若某个四边形有一组对角互补，则另一组对角也必然互补．因此，我们把有一组对角满足互补关系的四边形称为“双补四边形”．例如：在四边形中，若（或），则称四边形为“双补四边形”． (1)已知四边形是“双补四边形”． 若，则________； 如图1，若，，，，则________； (2)如图2，在四边形中，平分，．求证：四边形是“双补四边形”； (3)如图3，四边形是“双补四边形”，，点M，N分别在边EH，GH上，且满足．试探究和之间满足的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①；②6(2)见解析(3)，证明见解析 【详解】（1）解：①∵四边形是“双补四边形”，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴； ②如图所示，连接，∵四边形是“双补四边形”，∴， ∵，∴，在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； （2）证明：如图所示，在上取一点T，使得，连接， ∵平分，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴四边形是“双补四边形”； （3）解：，证明如下：如图所示，延长到P，使得，连接， ∵，，∴，即； ∵四边形是“双补四边形”，∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴， ∴， ∵四边形是“双补四边形”，∴，∴． ( 地 城 考点0 3 几何与图形变换综合压轴 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）如图，在中，，现将沿方向平移得到，与交于点M，以下说法①当时，B到的距离为线段的长；②当，时，则；③四边形与四边形的周长差为；④四边形与四边形的面积相等．正确的是（        ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：∵平移，∴， ，，∴，，即， 当，则，即，∴B到的距离为线段的长；故①错误； ∵，，∴， ∴，∴；故②正确； 四边形与四边形的周长差为 ；故③正确； ∵，∴，即四边形与四边形的面积相等；故④正确． 综上，正确的是②③④． 二、填空题 2．（24-25八年级下·四川成都市龙泉驿区·校考期末）如图，等腰直角中，，将线段绕点C逆时针旋转（）得到线段，作点A关于线段所在直线的对称点E，连接和，分别交线段所在直线于点M和点F，若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作交于点H，连接， 点E与点A关于线段所在直线对称，， ，， ，，，， ，， ，，是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ，，， ，故答案为：． 3．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）如图，在中，，，，连接，将绕平面内一点P旋转，边的对应边在的垂直平分线上，点C的对应点为E．若E为中点，则的长为_________． 【答案】 【详解】解：如图，取，的中点，，作直线与交于点，连接，，取的中点，连接，，，延长交于， ∵在中，，，， ∴，，，， ∴，，， ∴，都是等边三角形，四边形，都是菱形， ∴，，， ∴，，∴是的垂直平分线， ∵为中点，为的中点，∴，， ∴在的垂直平分线上，由旋转可得：，而， ∴为等边三角形，∴，， ∴是等边三角形，∴，∴， ∴四边形为矩形，∴，同理：， ∴，而，∴， ∴，，而，∴为等边三角形，， ∴，，∴在的垂直平分线上，∴为旋转中心， 在中，，， ∴，∴，∴， ∴；故答案为： 4．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）如图，在中，，将线段沿一条直线折叠得到线段（点B，C的对应点分别是点）若线段恰好落在直线上，则的长是___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，设直线与交于点O，连接，过点作， 在中，，∴， ∵将线段沿一条直线折叠得到线段（B，C的对应点分别是），线段恰好落在直线上， ∴，直线垂直平分， ∴，∴，∴四边形是矩形， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·四川成都锦江区师一学校·期末）如图，在中，，，为的中点，为边上一点，将沿翻折得到，与交于点，若的面积是的倍，则的长为______． 【答案】 【详解】解：连接，，过点作于点，过点作于点，于点，如图所示：在中，，，，， 为的中点，，的面积是的倍， ，，， 于点，，， ，，，， 由折叠性质得：，，， 于点，于点，， ，，， ，，，， 又，四边形是平行四边形，， 在中，，的长为．故答案为：． 6．（23-24八年级下·四川成都龙泉驿区龙泉驿区师一中学校·期末）如图，等腰直角中，，将线段绕点C逆时针旋转（）得到线段，作点A关于线段所在直线的对称点E，连接和，分别交线段所在直线于点M和点F，若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作交于点H，连接， 点E与点A关于线段所在直线对称，， ，， ，，，， ，，， ，是等腰直角三角形，， ，是等腰直角三角形， ，，， ，故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图，是等边的中线，点在上，连接，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，作点关于直线的对称点，连接．若平分，,则的长为_________． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点N，连接，，连接交于点M， ∵是等边三角形，是等边的中线，, 则，，， 又∵，，∴，∴， ∴，∴，即点F，N，C三点共线，∴点N和点G重合， 又∵平分，∴，∵，， ∴是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∴，又∵， ∴，故答案为：． 8．（24-25八年级下·四川成都都江堰市·校考期末）如图，在平行四边形中，是对角线，且，将沿方向向右平移得到，D、B对应点分别是A、E．点F是线段上（不含端点）的一个动点，连接，将线段绕点A 逆时针旋转至线段，使得旋转角，连接．当是等腰三角形时，的长为________． 【答案】2或5 【详解】解：∵平行四边形，，∴， ∵将沿方向向右平移得到，∴， 如图，过点作交于点，∴，∴， 如图，过点作交于， ∵，∴，∴，， 当时，∵，∴， ∵，∴，过点作交于，则四边形是矩形， ∴，，∴， ∴；连接，∵，∴， ∵，，∴，∴， 当时，∵，∴，∴， ∴，∴，∴； 当时，此时，则点与点重合，不符合题意，舍去； 综上所述：的长为2或5．故答案为：2或5． 9．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·校考期末）如图，在中，，，且的面积为，点是边上的一点（不与点、重合），把沿着直线翻折，点的落点为点，当点在一条边的延长线上时，的长度为______． 【答案】或 【详解】解：在中，，，，， 如图，当点在的边的延长线上时， 由折叠的性质可知，，，， 的面积为，，，解得， ，， 如图，当点在的边的延长线上时，作于点， 的面积为，，，解得， ，，，， ，综上所述，的长度为或； 故答案为：或． 三、解答题 10．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）在中，，，为边上一点，将沿直线折叠，使点落在直线下方的点处，射线交的一边于点． (1)如图，当点在直线下方时，求证：；(2)在（）的条件下，当时，若，，求的长；(3)当时，若点是的一边的中点，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)的长为；(3)的值为或． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴， 由折叠性质可知：，∴，∴； （2）解：如图，过作于点，过作于点，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴，， ∵，，∴，∴， 设，则，∴，∴， 当时，则，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， 在中，，∴，解得：， ∴； （3）解：如图，当在下方时，即点是中点时， 过作于点，过作于点，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴，， ∵，，∴，∴， 设，则，，，， ∴， ∵点是中点，∴，∴， ∴， 在中，，∴，解得：； 如图，当在上方时，即点是中点时， 设，则，∴，∵点是中点，∴，， 过作，交延长线于点，取中点，连接，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∴是梯形中位线，， ∴，，， ∴，，∴由勾股定理得， 由折叠性质可知：，∴，∴， ∴，在中，， ∴，整理得：， 解得：或（舍去）；综上可知：的值为或． 11．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）已知，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点分别为，连接．(1)如图，若点落在边上，求证：四边形为平行四边形； (2)如图，在（）的条件下，若点为的中点，，此时，求的值； (3)如图，若点落在的延长线上，且，，，三点共线，， ①若，求的值；②若，直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)①； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，∴，∴，由折叠得，，， ∴，∴，∴，∴四边形为平行四边形； （2）解：∵，∴，∵四边形为平行四边形，∴四边形为矩形， 又∵，∴四边形为正方形，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵点为的中点，∴，∴， ∴，∴； （3）解：①如图，过点作于点，∵，∴， 设，则，， ∵，∴，∴， ∴，∴， 由翻折可知，垂直平分，∴，， ∴，∵四边形是平行四边形， ∴，，∴，，∴， ∴，∴，∴； ②同①，过点作于点，∵，∴， 设，则，，∵，∴，∴， ∴，∴， 由翻折可知，垂直平分， ∴，∴， 同①可证，∴∴； 12．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）在中，，点为直线上的动点（点不与点C、D重合），连接，将射线绕点顺时针旋转与直线交于点． (1)当点在线段上时，若．①如图1，求证； ②如图2，连接，若，当是以为底的等腰三角形时，求线段的长； (2)若，请求出线段的长． 【答案】(1)①见解析②(2)的长为或 【详解】（1）解：①过点P作的延长线于点M，作于点N．如图 ∴；∵，四边形是平行四边形，， ∴∴ ∴，是等腰直角三角形∴ ∴四边形是矩形，且，∴四边形是正方形 ∴，∴， ∵∴，∴∴∴． ②∵∴即或（不合题意，舍去） ∴设正方形的边长为x，则 ∴，， ∵，四边形为平行四边形， ∴∴ ∵是以为底的等腰三角形，∴∴ 即，解得，∴， ∴． （2）①当点P在的延长线上时，过点A作于点M，延长至点F，使，连接， ∵四边形是平行四边形，，∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴∴ ∴；∴， ∵；∴是等边三角形 ∴，∴， ∴，∴，∴∴∴． ②当点P在线段之间时，过点A作于点M，在上截取点F，使，连接， ∵，，∴， ∵， ∴是等边三角形，∴， ∴， ∴，∴，∴， ∴；∴． ③当点P在线段的延长线上时，如图有， ∴，不符合题意，舍去．综上所述，的长为或． 13．（24-25八年级下·四川成都成华区·期末）数学综合与实践小组同学对北师大版八年级下册数学教材第160页第21题进行了深入研究．如图，已知线段，以点B为端点作射线，使，C为射线上一动点，满足，以为邻边作平行四边形，连接，再将沿所在直线折叠，点B的对应点为，交于点E，连接． (1)求证：：(2)当时，求的度数；(3)当为直角三角形时，请直接写出平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2)(3)或 【详解】（1）证明：根据折叠的性质，，， ∵平行四边形∴，，∴，， ∵，∴，∴． （2）解：∵，平行四边形，∴，设， 根据折叠的性质，得，，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， 故的度数为 （3）解：根据题意，是不可能的； 当时，则，， 根据（2）得，， 故，，即，故四边形是矩形， ∵，，∴，∴， ∴平行四边形的面积为． 当时，延长交于点M，根据平行四边形，则，故， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，，∴ ∴平行四边形的面积为． 故平行四边形的面积为或． 14．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）如图1，已知中，为边上的中线，且． (1)求的度数，并说明理由； (2)将绕点O顺时针旋转，记旋转角为，得到，连接，． ①当时，如图2，猜想与的位置关系，并说明理由； ②若，，当时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①，理由见解析；②或 【详解】（1）解：，， 是边上的中线，，，， ，， ，，； （2）解：①如图1，，理由如下：延长至F， ，， ，， ，，同理可得，， ，， ，，记交于点，则，； ②如图2，当在上方时，连接，设和交于点W， ，， ，，， ，，同理①知，， ，，，， ，，，， ，； 如图3，当在的下方时，同理可得， ，综上所述：或 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $