精品解析：2023-2024学年四川省成都实验外国语学校八年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年四川省成都实验外国语学校八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶．下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小 C. 扩大2倍 D. 扩大4倍 6. 如图，在中，对角线，相交于点，下列结论正确的是（　　） A. B. C. 与周长相等 D. 7. 某地发生地震后，受灾地区急需大量物资．某帐篷生产企业接到任务后，加大生产投入，提高效率，实际每天生产帐篷比原计划多100顶．已知现在生产2000顶帐篷所用的时间与原计划生产1500顶的时间相同，设该企业现在每天生产帐篷x顶，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一节数学探究课中老师布置以下任务：在正五边形（每个内角相等，每条边相等）内部找一点P，使得四边形为平行四边形，学生小观和小成分别写出如下作法： （小观）连结接两条线段相交于P点，则P即为所求； （小成）先取的中点M，再以A为圆心，长为半径画弧，交于P点，则P即为所求. 对于小观和小成的作法，以下判断正确的是（ ） A 两人都正确 B. 两人都错误 C. 小观正确，小成错误 D. 小观错误，小成正确 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 若分式的值为0，则x的值是______． 10. 若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____． 11. 在平面直角坐标系中，轴，，若点，点B在点A的上方，则点B的坐标是______． 12. 如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，若，，则旋转角的度数为______． 13. 如图，是角平分线，，，那么与的面积之比为______． 14. 若，则的值为______． 15. 七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成，如图，这是一个由正方形纸板制作的七巧板，其中平行四边形图中⑥的面积，则原正方形纸板的面积是______ 16. 已知关于x的分式方程有正数解，则a的取值范围为______． 17. 如图，四边形中，，，点E是上一点，连接，，，若，，则长度为______． 18. 我们规定：若直线l的表达式中满足，且m，n为整数，则直线l称为“和顺直线”；若“和顺直线”l上存在点，满足，x，y为整数，则点P称为“顺遂点”，则： （1）直线上______“顺遂点”填“存在”或“不存在” （2）所有“顺遂点”P的坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）化简：； （2）解不等式组：； （3）解分式方程：； （4）解方程： 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，， （1）画出绕点O顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）将（1）中所得先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，直接写出点的坐标． 21. 已知，是关于x的方程的两个实数根． （1）当关于x的方程的一个根是时，求m的值； （2）当时，求代数式的值． 22. 如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为、的中点，延长交于点，连接、． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 23. 在中，，，点P是上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接， （1）如图1，若，求的长度； （2）如图2，取的中点O，连接，求证：； （3）如图3，取的中点O，连接，当四边形是平行四边形时，求的长度． 24. 在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2024年5月21日是第五个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值．某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜40元；用800元购买乙种茶叶礼盒数量与用640元购买甲种茶叶礼盒数量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的单价； （2）某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1500元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒． 25. 如图1，直线交x轴于点，交y轴于点，直线：与交于点C，与y轴交于点G，若a，b满足平移线段，点B，点C的对应点D，E分别在直线和y轴上，连接 （1）求直线表达式及点E的坐标； （2）若的面积等于，求k的值； （3）如图2，作点E关于直线的对称点F，连接，取中点M，连接，当最大时，求出此最大值及此时点F的坐标． 26. 如图1，中，，是的中位线，点P为射线上的一个动点（不与点E重合），作交边于点F，连结， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当点P在射线上使得四边形为菱形时，若，求的长； （3）若在延长线上（可以与点D重合）存在一点P，使得四边形为矩形，直接写出度数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年四川省成都实验外国语学校八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶．下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、该方程含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、该方程中，当时，没有二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查平方差公式分解因式．根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的积解答． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； B、，能用平方差公式分解因式，本选项符合题意； C、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； D、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； 故选：B． 4. 一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，用数轴表示解集，根据数轴可知，不等式的解集为，求出各项的解集，进行判断即可． 【详解】解：A、解，得，不符合题意； B、解，得，符合题意； C、解，得，不符合题意； D、解，得，不符合题意； 故选B． 5. 如果把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小 C. 扩大2倍 D. 扩大4倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小n倍，只要将原数乘以或除以n，再代入原式求解即可．把分式中的分子，分母中的x，y都同时变成原来的2倍，就是用，分别代替式子中的x，y，看得到的式子与原式子的关系即可． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大2倍， 即， 故分式的值不变． 故选：A． 6. 如图，在中，对角线，相交于点，下列结论正确的是（　　） A. B. C. 与周长相等 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ，故D正确，符合题意； ∵与不一定相等，故B错误，不符合题意； ∵与不一定相等，故 与的周长不一定相等，故C错误，不符合题意， ∴和不一定全等，故A错误，不符合题意； 故选：D． 7. 某地发生地震后，受灾地区急需大量物资．某帐篷生产企业接到任务后，加大生产投入，提高效率，实际每天生产帐篷比原计划多100顶．已知现在生产2000顶帐篷所用的时间与原计划生产1500顶的时间相同，设该企业现在每天生产帐篷x顶，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，设该企业现在每天生产帐篷x顶，则原计划每天生产顶，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设该企业现在每天生产帐篷x顶，则原计划每天生产顶，根据题意得， 故选：D． 8. 如图，在一节数学探究课中老师布置以下任务：在正五边形（每个内角相等，每条边相等）内部找一点P，使得四边形为平行四边形，学生小观和小成分别写出如下作法： （小观）连结接两条线段相交于P点，则P即为所求； （小成）先取的中点M，再以A为圆心，长为半径画弧，交于P点，则P即为所求. 对于小观和小成的作法，以下判断正确的是（ ） A. 两人都正确 B. 两人都错误 C. 小观正确，小成错误 D. 小观错误，小成正确 【答案】C 【解析】 【分析】求出五边形的每个角的度数，求出、、的度数，根据平行四边形的判定判断即可．本题考查了作图复杂作图，平行四边形的判定，正多边形和圆，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：如图1， 正五边形的每个内角的度数是，， ， 同理， ，， 四边形是平行四边形，即小观正确； 如图2， ， ， ， ， ，， ，即，， 四边形不是平行四边形，即小成错误． 故选：C． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 10. 若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____． 【答案】a＜4 【解析】 【详解】试题分析：根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围． 解：根据题意得：△=42﹣4a＞0，即16﹣4a＞0， 解得：a＜4， 则a的范围是a＜4． 故答案为a＜4． 考点：根的判别式． 11. 在平面直角坐标系中，轴，，若点，点B在点A的上方，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的简单计算，理解平面直角坐标系的坐标特征是解题关键；因为轴，所以点B的横坐标与点A相同．又因为且点B在点A的上方，所以可求出点B的纵坐标，即可求出答案； 【详解】解：因为点，点B在点A的上方且， 所以点B的纵坐标为， 又轴， 所以A、B的横坐标相同，都为1， 所以点B坐标为． 故答案为：． 12. 如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，若，，则旋转角的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】由题意得，由旋转得，则，即可知旋转角的度数为 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】解：由旋转得， ， ， ， 旋转角的度数为 故答案为：． 13. 如图，是的角平分线，，，那么与的面积之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到与的面积之比 本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出 【详解】解：过D作于H， 是的角平分线，， ， 的面积的面积， 与的面积之比 故答案为： 14. 若，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】由已知条件易得，然后将原式利用完全平方公式变形后代入数值计算即可． 本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 15. 七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成，如图，这是一个由正方形纸板制作的七巧板，其中平行四边形图中⑥的面积，则原正方形纸板的面积是______ 【答案】16 【解析】 【分析】可根据七巧板各板块面积与原正方形面积的关系来求解． 本题考查正方形的性质，七巧板，平行四边形的性质，解题的关键是理清图之间的关系和掌握相关知识的运用． 【详解】解：七巧板中，平行四边形图中⑥的面积占原正方形面积的 已知平行四边形面积是， 设原正方形纸板面积为S，则， 解得 所以，原正方形纸板的面积是 故答案为： 16. 已知关于x的分式方程有正数解，则a的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程，再根据分式方程有正数解得不等式，求解不等式得结论．本题主要考查了分式方程，掌握分式方程的解法、一元一次不等式的解法等知识点是解决本题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 整理，得， 关于x的分式方程有正数解， 且 且 故答案为：且 17. 如图，四边形中，，，点E是上一点，连接，，，若，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过旋转构造全等三角形，利用角度关系证明三点共线，构造辅助线形成直角三角形，结合勾股定理计算DE的长度． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，作于F，于G，作于H． ， ，，． 在四边形中， ，， ． ． ． 点C，D，三点共线． 由旋转的性质得． ， ． ， 四边形是等腰梯形． ，． ，， 四边形是矩形． ． ，， ． 同理可得． ． ，，． ． ． ． 故答案为： 【点睛】本题运用四边形内角和定理、旋转的性质、等腰梯形的性质、矩形的性质以及勾股定理来求解． 18. 我们规定：若直线l的表达式中满足，且m，n为整数，则直线l称为“和顺直线”；若“和顺直线”l上存在点，满足，x，y为整数，则点P称为“顺遂点”，则： （1）直线上______“顺遂点”填“存在”或“不存在” （2）所有“顺遂点”P的坐标为______． 【答案】 ①. 不存在 ②. 或 【解析】 【分析】（1）根据“顺遂点”的定义，得出关于x的方程，再进行计算即可． （2）根据题意，得出关于x的方程，再结合m及x为整数进行判断即可． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：（1）由题知， 因为直线满足， 所以此直线为“和顺直线”． 若直线上存在“顺遂点”， 则， 解得， 因为不是整数， 所以直线上不存在“顺遂点”． 故答案为：不存在． 因为直线是“和顺直线”， 所以 因为是“顺遂点”， 所以， 则， 所以 又因为m，x为正整数， 所以或， 当时，，则所有“顺遂点”P的坐标为 当时，，则所有“顺遂点”P的坐标为 故答案为：或 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）化简：； （2）解不等式组：； （3）解分式方程：； （4）解方程： 【答案】（1）；（2）  ；（3）无解；（4）  【解析】 【分析】（1）先把括号内的分式通分，再相减，把分子和分母分解因式，除法化成乘法进行约分即可； （2）先求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式解集的口诀进行判断即可； （3）按照解分式方程的一般步骤进行解答，然后检验即可； （4）利用一元二次方程的求根公式求出方程的解即可． 本题主要考查了分式的混合运算，解二元一次不等式组、解一元二次方程和解分式方程，解题关键是熟练掌握解各种方程的一般步骤和分式的通分与约分． 【详解】（1）原式 ； （2）， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为； （3）， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ， 检验：当时，， 原分式方程无解； （4）， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，， （1）画出绕点O顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）将（1）中所得先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，直接写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解答；点的坐标为 （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据平移的性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 【小问2详解】 解：先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， 点的坐标为． 21. 已知，是关于x的方程的两个实数根． （1）当关于x的方程的一个根是时，求m的值； （2）当时，求代数式的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”；（2）利用根与系数的关系，找出与的值． （1）将代入原方程，可得出，解之即可得出m的值； （2）代入，可找出原方程为，利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 小问1详解】 解：将代入原方程得：， 解得：， 的值为； 【小问2详解】 解：当时，原方程为， ，是关于x方程的两个实数根， ，， 22. 如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为、的中点，延长交于点，连接、． （1）求证：； （2）当，时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质推出，，判定，得到，即可证明； （2）判定垂直平分，推出，因此是等腰直角三角形，得到． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， 、分别为、的中点， ，， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 由（1）知， ， 垂直平分， ， 是等腰直角三角形， ． 23. 在中，，，点P是上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接， （1）如图1，若，求的长度； （2）如图2，取的中点O，连接，求证：； （3）如图3，取的中点O，连接，当四边形是平行四边形时，求的长度． 【答案】（1）； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】由旋转易证可得， 进而可得，然后利用勾股定理求出长即可； 如图，取的中点D，连接，，易证C、O、D三点共线，利用即可证明结论； 易得，再推，利用勾股定理求出，进而求得的长度即可． 【小问1详解】 解：线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，． 【小问2详解】 证明：如图，取的中点D，连接， 点O是的中点， 是的中位线， ， 由知， ， ， 是的中线，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ，O，D三点共线． ，D是边的中点， ， ， ． 【小问3详解】 解：四边形是平行四边形， ， 由知， 由知， ， 在中，， 点O是的中点， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质、直角三角形的性质、中位线性质定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 24. 在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2024年5月21日是第五个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值．某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜40元；用800元购买乙种茶叶礼盒数量与用640元购买甲种茶叶礼盒数量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的单价； （2）某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1500元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒． 【答案】（1）甲种茶叶礼盒的单价是160元，乙种茶叶礼盒的单价是200元； （2）最少需购买3盒甲种茶叶礼盒 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元，利用数量=总价单价，结合用800元购买乙种茶叶礼盒数量与用640元购买甲种茶叶礼盒数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲种茶叶礼盒的单价，再将其代入中，即可求出乙种茶叶礼盒的单价； （2）设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒，利用总价=单价数量，结合总价不超过1500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元， 答：甲种茶叶礼盒的单价是160元，乙种茶叶礼盒的单价是200元； 【小问2详解】 解：设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒， 根据题意得：， 解得：， 又为整数， 的最小值为 答：最少需购买3盒甲种茶叶礼盒． 25. 如图1，直线交x轴于点，交y轴于点，直线：与交于点C，与y轴交于点G，若a，b满足平移线段，点B，点C的对应点D，E分别在直线和y轴上，连接 （1）求直线的表达式及点E的坐标； （2）若的面积等于，求k的值； （3）如图2，作点E关于直线的对称点F，连接，取中点M，连接，当最大时，求出此最大值及此时点F的坐标． 【答案】（1）直线的表达式为； （2） （3）的最大值为，此时F的坐标为 【解析】 【分析】（1）由非负数性质即可得，即点，点，设，代入，可得，即直线的表达式为，由平移可知四边形为平行四边形，从而，由直线可知故； （2）设由可知四边形为平行四边形，所以可解得，此时把代入直线中，可得； （3）取中点连接，如图2所示，由对称性质可知，故当且仅当N、A、F三点共线时取等号．又故的最大值为，此时F在上，再求出直线的表达式为，设且F、E关于直线对称，故，从而有即解得负值舍去，故进而可得F点坐标． 【小问1详解】 解：， ， 即点，点， 设直线的表达式为， 代入，可得， 即直线的表达式为， 由平移可知，且， 四边形为平行四边形， ， 在直线中，令，则，则， ， 故． 【小问2详解】 解：设， 由（1）可知四边形为平行四边形， ， ，此时， 把代入直线中，可得． 【小问3详解】 解：取中点连接，如图2所示， 由E、F关于直线对称可知，又M为中点， 故也关于直线对称， ∴， ， 当且仅当N、A、F三点共线时取等号， ， 的最大值为， 此时F在上， 设直线的表达式为， 则，， ∴直线的表达式为， 可设，且F、E关于直线对称， 故， 从而有，即， 解得：（负值舍去）， 故， 即点F的坐标为． 【点睛】本题考查了轴对称性质，一次函数的性质，平行四边形的判定与性质，两点间距离公式，三角形三边关系求最值，非负数性质，熟练掌握以上知识点是解题关键． 26. 如图1，中，，是的中位线，点P为射线上的一个动点（不与点E重合），作交边于点F，连结， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当点P在射线上使得四边形为菱形时，若，求的长； （3）若在延长线上（可以与点D重合）存在一点P，使得四边形为矩形，直接写出度数的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线性质得出平行，进而得到平行四边形，根据平行四边形的性质得到边相等，进而得出结论； （2）连接，根据菱形的性质和三角形中位线的性质得出，进而解和，从而得出，和的值，进而得出和的值，进一步得出结果； （3）当点F在B处时，可推出，从而得出；当点P在点D处时，连接，可推出是等腰直角三角形，进一步得出结果． 【小问1详解】 证明：∵是的中位线， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴, 又， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图1， 连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， 当点F在B处时， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图， 当点P在点D处时， 连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $