专题06 平行四边形（3大考点期末真题汇编，四川成都专用）八年级数学下学期北师大版

**基本信息** 平行四边形专题期末试题汇编，涵盖性质、判定、三角形中位线三大考点，精选成都多区期末真题，注重基础与综合应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|15题|性质（对角线、面积）、判定（真命题判断）、中位线（测量应用）|基础巩固，如对角线性质计算；结合生活情境，如池塘距离测量| |填空|10题|性质（角平分线、折叠）、判定（中点应用）、中位线（中点连线）|能力提升，如折叠中周长计算；综合几何性质| |解答|16题|性质（角平分线与全等）、判定（平行四边形证明）、中位线（定理应用与拓展）|创新应用，如动态几何、折叠与对称综合；关联成都期末命题趋势，注重逻辑推理|

专题06 平行四边形 3大高频考点概览 考点01平行四边形的性质 考点02平行四边形的判定 考点03三角形的中位线 ( 地 城 考点01 平行四边形的性质 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都郫都区嘉祥外国语学校·期末）如图，平行四边形的对角线交于点，且，那么的长为（    ） A． B． C．3 D．4 2．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在中，对角线、交于点，，，，则线段的长度是（    ） A．8 B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图，在内任意取一点，连接，将，，，的面积分别记为，若，则的大小为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）如图，在中，，对角线与相交于点O．若，则的周长为_________． 6．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图，在中，平分交于点，连接．若，则的长为_________． 7．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图，的对角线，相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若的周长为20，，则四边形的周长为_________． 8．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在中，对角线、交于点，以点为圆心，以适当长度为半径作圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，若，，，则______． 9．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）如图，点P为平行四边形内一点，连接，且，，，，若，则平行四边形的面积是______． 10．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为    三、解答题 11．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）如图，在平行四边形中，的平分线交的延长线于点，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，，，求及的长度． 12．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）如图，在中，是边上的点，连接，过作，垂足为，延长交于点． (1)求证：；(2)若，求四边形的面积． 13．（24-25八年级下·四川成都都江堰·校考期末）已知在中，点E为边的中点． (1)如图1，若，求证：平分；(2)如图2，点F为延长线上一点，且， ①求证：；②若，，，求的面积． 14．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接，有F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系； (3)如图3，设与交于点M，连接，连接交于点N．当时，若，，求证：． 15．（24-25八年级下·四川成都锦江区·校考期末）如图，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接．(1)求证：；(2)求证：；(3)如图2，若，，，，求的长． ( 地 城 考点02 平行四边形的判定 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）下列各命题是真命题的是（ ） A．平行四边形对角线相等 B．平行四边形相邻的两个角相等 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．（24-25八年级下·四川成都浦江县·校考期末）如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）如图，在四边形中，．若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川成都锦江区·校考期末）小刘在长方形台球桌面上击球，球的运动轨迹形成四边形，台球每次撞击桌面时，入射方向与桌面的夹角等于反射方向与桌面的夹角（如），下列关于四边形的推理中，说法错误的是（   ） A． B． C． D．且 5．（24-25八年级下·四川成都崇州市·期末）如图，在四边形中，与相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·四川成都新津区·期末）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，．若四边形的面积为20，则的面积为______． 三、解答题 7．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接、．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的面积． 8．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为边的中点，与交于点G，与交于点H，，。(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的周长． 9．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：；(2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 10．（24-25八年级下·四川成都金苹果锦城第一中学·期末）如图，在平行四边形中，线段与交于点O，若F为边上一点，E为边上的中点，连接，， (1)若F为边上的中点，连接，求证：四边形为平行四边形． (2)若，请你写出线段，，之间的数量关系，并证明． 11．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）如图，在中，E、F分别是、的中点，G、H是边上的点，、相交于点，． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，平分，求四边形的周长． 12．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点． (1)点的坐标是_____，直线的函数表达式是_______； (2)点为直线上一点，当与面积相等时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在线段上时，作直线，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． ( 地 城 考点0 3 三角形的中位线 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）如图，两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点，并步测出的长，由此他就知道了间的距离．小明在解决上述问题中，主要用到的数学知识是 （    ） A．勾股定理 B．勾股定理逆定理 C．三角形中位线定理 D．线段垂直平分线的性质定理 2．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段的一侧取点C作．并延长至D，使；延长至E，使．连接，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在中，点是线段中点，点是线段中点，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长为（   ） A．14 B．7 C．5 D．3.5 5．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）如图，分别是中的中点，为的中点，连接并延长交延长线于点，若，则的长是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（24-25八年级下·四川成都温江区·校考期末）如图，平行四边形的对角线AC，BD相交于点O，DE平分，交BC于点E，且，，连接OE．下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 7．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）如图，卡槽中有一块三角形铁片，点C、D分别是的中点，若，则该铁片底边的长为__________． 8．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，已知，延长直角边至点，使，为直角边上的点，且，连接，、分别为，的中点，连接，则________． 9．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）如图，是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为__________cm． 三、解答题 10．（24-25八年级下·四川成都双流区天府第七中学·期末）教材理解页：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． (1)已知：如图，是的中位线求证：，；(2)应用：如图，在矩形纸片中，，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，若，求的长． 11．（24-25八年级下·四川成都金堂县·校考期末）我们在研究四边形时，可以把它转化成三角形；同样利用四边形的性质可以研究三角形的有关问题．比如我们探索并证明三角形的中位线定理，就是利用平行四边形的性质解决的．请你按要求填空，并完成证明． (1)【定理探究】定理内容三角形的中位线 ． (2)【定理探究】定理证明 已知：如图1，点D，E分别是的边，的中点．求证： ． 证明：延长到点M，使得，连接，，．……（请你补充完整） (3)【拓展应用】如图2，梯形中，，点T，S分别是，的中点，连接．写出与，的关系，并说明理由． 12．（25-26八年级下·四川成都简阳市·校考期末）如图（1），在梯形中，，与不平行，E，F分别是，的中点． (1)如图（2），通过画辅助线，可将梯形变成三角形，由此得到与，之间的关系是______； (2)也可以通过画辅助线，将梯形变成平行四边形，从而得到（1）中的结论，请在图（3）中画出辅助线，并证明该结论． (3)当图（1）中的与不平行，其他条件不变时，如图（4），写出与的大小关系并证明． 13．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）在中，，，，点分别是边上的动点，连接，分别取的中点，解决以下问题： 当平分，为的中点时．（1）如图1，求的长度；（2）如图2，求的长． 14．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，、是的中线，，垂足为，像这样的三角形均称为“中垂三角形”，设，，． (1)如图1，当，时，________，________；如图2，当，时，________，________． (2)请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． (3)如图4，在中，点、、分别是、、的中点，，，，则________． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平行四边形 3大高频考点概览 考点01平行四边形的性质 考点02平行四边形的判定 考点03三角形的中位线 ( 地 城 考点01 平行四边形的性质 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都郫都区嘉祥外国语学校·期末）如图，平行四边形的对角线交于点，且，那么的长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，∴， 设，，∵， ∴在中，由得，解得，∴，故选：D． 2．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在中，对角线、交于点，，，，则线段的长度是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∵，，∴；故选D． 3．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图，在内任意取一点，连接，将，，，的面积分别记为，若，则的大小为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：如图，过点O作于点N交于点M． ∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴， ∴平行四边形的面积； 同理可得：平行四边形的面积，∴，∴．故选：B． 4．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是平行四边形，∴，故选B． 二、填空题 5．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）如图，在中，，对角线与相交于点O．若，则的周长为_________． 【答案】13 【详解】解：在中，，∴，且，， ∵，∴， ∴的周长为．故答案为：13 ． 6．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图，在中，平分交于点，连接．若，则的长为_________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，∴， 又∵平分，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴．故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川成都锦江区·期末）如图，的对角线，相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若的周长为20，，则四边形的周长为_________． 【答案】14 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，，∴， 在和中，∴， ∴，∴，即， 的周长为20，∴， ∴四边形的周长， ．故答案为：14． 8．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在中，对角线、交于点，以点为圆心，以适当长度为半径作圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点，若，，，则______． 【答案】 【详解】解：过点A作于点G，则， 由作图可知，平分，∴， ∵，∴， ∴，；∴，， ∴，∴， ∵四边形是平行四边形， ∴故答案为： 9．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）如图，点P为平行四边形内一点，连接，且，，，，若，则平行四边形的面积是______． 【答案】 【详解】解：延长交于点Q， 四边形是平行四边形，，， ，， ，，，， ，，， ．故答案为： 10．（24-25八年级下·四川成都实验外国语学校·期末）如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，的角平分线交于点，若，，则的长为    【答案】4 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴， 又∵平分，∴，∴，∴，同理可证，， ∴，故答案为4． 三、解答题 11．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）如图，在平行四边形中，的平分线交的延长线于点，交于点，连接．(1)求证：；(2)若，，，求及的长度． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴； （2）解：∵，，∴，， ∵，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，即， ∵，∴． 12．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）如图，在中，是边上的点，连接，过作，垂足为，延长交于点．    (1)求证：；(2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∴， ∵，，∴∵，∴， ∴，∴，∴，∴ （2）作于点H，    ∵，∴，由（1）可知，， ∵，∴，， ∴，解得， ∵，∴， ∵,∴，即四边形的面积为． 13．（24-25八年级下·四川成都都江堰·校考期末）已知在中，点E为边的中点． (1)如图1，若，求证：平分；(2)如图2，点F为延长线上一点，且， ①求证：；②若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；② 【详解】（1）证明：延长交于点， ∵中，，∴，∵点E为边的中点；∴ ∵；∴；∴ ∵；∴；∴ 又∵；∴，∴平分； （2）证明：①如图，延长交于点，过点作于点，连接， 由（1）得， ∵∴∴；∴； ②由（1）得，∴；∵平行四边形；∴ ∵；∴；设，则 ∵，；∴，∴ ∵，；∴，∵∴ ∴解得，∴， 由（1）知，而，∴；∴ ∴的面积． 14．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）在中，连接，点E在上，连接． (1)如图1，将沿平移至，连接，有F、A、E共线，求证：； (2)如图2，当时，若，试探究、及之间的数量关系； (3)如图3，设与交于点M，连接，连接交于点N．当时，若，，求证：． 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，∴，由平移可得：， ∴，∴； （2）解：，理由如下：如图，将沿平移至，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，而， ∴，由平移可得：，，，∴共线， ∵，∴，∴是等边三角形，∴. （3）证明：∵，，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴，如图，过作于，作于， 设（单位），则， ∴，，，∴， 解得：，，∴， 同理可得：，，， 设，，∴，， 由勾股定理可得：，整理得：， ∵， ∴，整理得：， 解得：，∴，∴. 15．（24-25八年级下·四川成都锦江区·校考期末）如图，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接．(1)求证：；(2)求证：；(3)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵是对角线的中点，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 由折叠的性质可得：，∴； （2）证明：如图，延长交的延长线于，延长交的延长线于， ， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， 由折叠的性质可得：，，，∴，， ∴，即，同理可得：， ∵，∴，∴，， 由（1）可得：，∴，∴，即，∴； （3）解：如图，过点作交的延长线于，过点作于，连接，， ∵，∴，，∵，∴， ∴，∴，∴， 作于，则，， ∵，∴，由折叠的性质可得：， ∴，在中，∵， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，，∵， ∴，∴， ∵，∴，，∴， ∴，∴的长为． ( 地 城 考点02 平行四边形的判定 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都天府新区·期末）下列各命题是真命题的是（ ） A．平行四边形对角线相等 B．平行四边形相邻的两个角相等 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【详解】解：．平行四边形的对角线互相平分但不相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ．平行四边形的相邻的两个角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意； ．一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；故选：． 2．（24-25八年级下·四川成都浦江县·校考期末）如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，， ∴四边形，四边形为平行四边形，由条件可知，，， ∴，，∴，故选：B． 3．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）如图，在四边形中，．若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解∶A．当，时， 四边形可能为等腰梯形，故不能判断四边形为平行四边形；B．当时， ，故不能判断四边形为平行四边形； C．当，时，不满足一组对边平行且相等， 故不能判断四边形为平行四边形； D．∵，∴，∵，∴，∴， 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断四边形为平行四边形；故选：D． 4．（24-25八年级下·四川成都锦江区·校考期末）小刘在长方形台球桌面上击球，球的运动轨迹形成四边形，台球每次撞击桌面时，入射方向与桌面的夹角等于反射方向与桌面的夹角（如），下列关于四边形的推理中，说法错误的是（   ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】解：，， （同旁内角互补，两直线平行），同理可证，四边形是平行四边形． 选项A，平行四边形的对角相等，所以，不符合题意； 选项B，平行四边形的对角线，不一定相等，不正确，符合题意； 选项C，两直线平行，同旁内角互补，正确，不符合题意； 选项D，平行四边形对边平行且相等，且正确，不符合题意． 5．（24-25八年级下·四川成都崇州市·期末）如图，在四边形中，与相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； B、由平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、由平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形确定不能判定四边形为平行四边形，符合题意； D、由平行四边形的判定定理：对角线相互平分的四边形是平行四边形确定可以判定四边形为平行四边形，不符合题意；故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·四川成都新津区·期末）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，．若四边形的面积为20，则的面积为______． 【答案】5 【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形； ∵四边形的面积为20，∴； ∵点E为的中点，∴，故答案为：5． 三、解答题 7．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）如图，在中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的面积． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，， 点是的中点，，，（）， ，四边形是平行四边形； （2）解：过作交于， ， ，，，， ，，， 的面积为：． 8．（24-25八年级下·四川成都温江区·期末）如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为边的中点，与交于点G，与交于点H，，。(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是等边三角形，，， ，，， 为的中点，，，， 在和中，，≌，， 是等边三角形，，，，， ，， ，，，，， ，四边形为平行四边形； （2）解：为边的中点，， 四边形是平行四边形；， ，，，， ，，的周长 9．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：；(2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)是等腰直角三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵等边，∴， 又∵，，∴， 又∵，，∴，∴， （2）∵，∴， ∵点E、G关于对称，∴，∴， ∵，∴，∴四边形是平行四边形； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下； 如图2，作点E关于的对称点G，连接，， ∴，，同理（1），四边形是平行四边形，∴， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴是等腰直角三角形． 10．（24-25八年级下·四川成都金苹果锦城第一中学·期末）如图，在平行四边形中，线段与交于点O，若F为边上一点，E为边上的中点，连接，， (1)若F为边上的中点，连接，求证：四边形为平行四边形． (2)若，请你写出线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∵为边上的中点，∴是的中位线，， ∵为边上的中点，，，∴四边形为平行四边形； （2）解：，证明如下：如图，延长，交的延长线于点， ，， ∵，∴，， ，，， ，即． 11．（24-25八年级下·四川成都双流区·期末）如图，在中，E、F分别是、的中点，G、H是边上的点，、相交于点，． (1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，平分，求四边形的周长． 【答案】(1)见详解(2)四边形的周长为 【详解】（1）证明： E、F分别是、的中点，，， ，，，， G、H是边上的点，，四边形是平行四边形． （2）解： E、F分别是、的中点， ，，，， 平分，，，， 四边形是平行四边形，四边形的周长． 12．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点． (1)点的坐标是_____，直线的函数表达式是_______； (2)点为直线上一点，当与面积相等时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在线段上时，作直线，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)或(3)存在，或或 【详解】（1）解：∵，，∴，，∴， 将B、C点代入中，得解得，∴．故答案为：； （2）设直线的解析式为，将代入，∴，解得，∴， ∵与面积相等，则点到直线的距离等于点到直线的距离， ①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线,与的交点即为点， 则可知直线的解析式为，当时，解得，即， 将代入，得，∴ ②当点在延长线上时，如图，设此时为，结合①知，当时，， 过作轴于点，过作轴于点，则由知，， ∴，则；综上所述，点坐标为或． （3）由和，同理得直线解析式为， ①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点， 要使四边形为平行四边形，则只需满足， 由知，将代入到直线∶中，得，解得， ∴，则，则由得； ②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点， 由四边形为平行四边形，同样需满足，则同理，由，得； ③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点， 若四边形为平行四边形，则可证， ∴∴，，∴； 综上所述，点坐标为，或． ( 地 城 考点0 3 三角形的中位线 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川成都武侯区·期末）如图，两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点，并步测出的长，由此他就知道了间的距离．小明在解决上述问题中，主要用到的数学知识是 （    ） A．勾股定理 B．勾股定理逆定理 C．三角形中位线定理 D．线段垂直平分线的性质定理 【答案】C 【详解】解：的中点为，是的中位线，， 主要用到的数学知识是三角形中位线定理，故选：C 2．（24-25八年级下·四川成都郫都区·期末）如图，为了测量池塘A、B两端的距离，在线段的一侧取点C作．并延长至D，使；延长至E，使．连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，∴点A是中点，点B是中点， ∴是的中位线，∴，∵，．故选：． 3．（24-25八年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在中，点是线段中点，点是线段中点，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，点是线段中点，点是线段中点， ∴为的中位线，∴，∴， ∵，∴；故选B． 4．（24-25八年级下·四川成都高新区·期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长为（   ） A．14 B．7 C．5 D．3.5 【答案】B 【详解】解：∵D，E，F分别是边的中点，，，， 由中位线的定义可知：是的中位线，∴， ∴四边形的周长．故选∶B． 5．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）如图，分别是中的中点，为的中点，连接并延长交延长线于点，若，则的长是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：∵D，E是中的中点，∴，即，∴， 又∵F为的中点，∴，在与中，，∴， ∴，∴，故选：B． 6．（24-25八年级下·四川成都温江区·校考期末）如图，平行四边形的对角线AC，BD相交于点O，DE平分，交BC于点E，且，，连接OE．下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确结论的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，，， ∵平分，，， ∴为等边三角形，故①正确；∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，故②正确； ∵，，∴，∴， ∵∴ ∴∴，∴，故③正确； ∵，∴，∵，∴，∴，故④正确； 综上成立的个数是个，故选：A． 二、填空题 7．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）如图，卡槽中有一块三角形铁片，点C、D分别是的中点，若，则该铁片底边的长为__________． 【答案】12 【详解】解：∵点C、D分别是的中点，， ∴是的中位线，∴．故答案为：12． 8．（24-25八年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，已知，延长直角边至点，使，为直角边上的点，且，连接，、分别为，的中点，连接，则________． 【答案】 【详解】解：连接，取中点K，连接， ∵P，Q分别为的中点，∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，，∵，∴， ∵，∴， ∴．故答案为：． 9．（24-25八年级下·四川成都新都区·期末）如图，是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为__________cm． 【答案】 【详解】解：过点作于， 过点作交的延长线于， ∵， ， ∴四边形是矩形，，∴， 又∵是的中点，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵，∴是的中位线，∴， 另一端离地面的高度为，故答案为：． 三、解答题 10．（24-25八年级下·四川成都双流区天府第七中学·期末）教材理解页：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． (1)已知：如图，是的中位线求证：，；(2)应用：如图，在矩形纸片中，，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解答过程(2) 【详解】（1）证明：延长到，使，连接，如图所示： 是的中位线，，， 在和中，，， ，，， ，，，四边形是平行四边形，，， ，，，即，； （2）解：连接，，如图所示： 四边形是矩形，，，， 由折叠性质得：，，，与重合，即点，，共线， 是的垂直平分线，点是的中点， 又点是的中点，是的中位线，，，， 在中，由勾股定理得：，，， 在中，由勾股定理得：，， 即的长为． 11．（24-25八年级下·四川成都金堂县·校考期末）我们在研究四边形时，可以把它转化成三角形；同样利用四边形的性质可以研究三角形的有关问题．比如我们探索并证明三角形的中位线定理，就是利用平行四边形的性质解决的．请你按要求填空，并完成证明． (1)【定理探究】定理内容三角形的中位线 ． (2)【定理探究】定理证明 已知：如图1，点D，E分别是的边，的中点．求证： ． 证明：延长到点M，使得，连接，，．……（请你补充完整） (3)【拓展应用】如图2，梯形中，，点T，S分别是，的中点，连接．写出与，的关系，并说明理由． 【答案】(1)平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；(2)，且；见解析 (3)且，见解析 【详解】（1）解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （2）解：，且． 证明：延长到点M，使得，连接，，． ∵点E是的中点， 又∴四边形是平行四边形， ∵点D是的中点，，且 ∴四边形是平行四边形，， 又，且． （3）解：且，理由如下：连接并延长交的延长线于点N， ∵点S是的中点； 在和中，∴ 在中，T，S分别为，的中点，，， ，，且； 12．（25-26八年级下·四川成都简阳市·校考期末）如图（1），在梯形中，，与不平行，E，F分别是，的中点． (1)如图（2），通过画辅助线，可将梯形变成三角形，由此得到与，之间的关系是______； (2)也可以通过画辅助线，将梯形变成平行四边形，从而得到（1）中的结论，请在图（3）中画出辅助线，并证明该结论． (3)当图（1）中的与不平行，其他条件不变时，如图（4），写出与的大小关系并证明． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)，证明见解析 【详解】（1）解：与，之间的关系是：．理由如下： 梯形中，，，， 又 F是的中点，，， ，， F是的中点， 又 E是的中点， 是的中位线， ，即； （2）解：过点F作，交于点G ，交的延长线于点H ， 梯形中，，， 又，四边形是平行四边形，，， ，，， 又 F是的中点，，， ，，， 又，四边形是平行四边形，， ，， ，； （3）解：，理由如下：证明：如图，连接，取中点G，连接，， 又 E，F分别是，的中点，是的中位线，是的中位线， ,，， ，且与不平行，． 13．（24-25八年级下·四川成都青羊区·期末）在中，，，，点分别是边上的动点，连接，分别取的中点，解决以下问题： 当平分，为的中点时．（1）如图1，求的长度；（2）如图2，求的长． 【答案】(1)；（2） 【详解】（1）解：如图，过点D作的垂线，垂足为点，即， 平分，，， 设，在中，，， ，， ， 即，，则的长度为； （2）如图，由题意得，取中点为， 为的中点，为的中位线，且， 是的中点，，，则， 是的中点，是的中点，是的中位线，且， ，， ，，且，， 在中，，则的长为； 14．（24-25八年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，、是的中线，，垂足为，像这样的三角形均称为“中垂三角形”，设，，． (1)如图1，当，时，________，________；如图2，当，时，________，________． (2)请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． (3)如图4，在中，点、、分别是、、的中点，，，，则________． 【答案】(1)，；，；(2)，证明见解析；(3) 【详解】（1）解：，，， ，，， 、是的中线，是的中位线， ，，，，， ，， ，，，；如图，连接， ，，，，， 、是的中线，是的中位线，，，， 在中，，， ，， ，；故答案为：，；，； （2）解：由（1）可知，当时，，，； 当时，，，，观察发现，． 证明：如图，连接；是的中位线，，， 由勾股定理得：，，，， ，，，， ，即； （3）解：如图，连接，连接分别交、于点、，与的交点为， 在中，，，，， 点、分别是、的中点，，，， 又，四边形是平行四边形，，， ，，在和中， ，，，、是的中线， 点、分别是、的中点，是的中位线，， ，，是“中垂三角形”，由（2）可知，， ，． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平行四边形 答案 ( 地 城 考点01 平行四边形的性质 )一、选择题 1 2 3 4 D D B B 二、填空题 5．【答案】13 6．【答案】 7．【答案】14 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】4 三、解答题 11．【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴； （2）解：∵，，∴，， ∵，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，即， ∵，∴． 12．【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴∴， ∵，，∴∵，∴， ∴，∴，∴，∴ （2）作于点H，    ∵，∴，由（1）可知，， ∵，∴，， ∴，解得， ∵，∴， ∵,∴，即四边形的面积为． 13．【答案】(1)见解析(2)①见解析；② 【详解】（1）证明：延长交于点， ∵中，，∴，∵点E为边的中点；∴ ∵；∴；∴ ∵；∴；∴ 又∵；∴，∴平分； （2）证明：①如图，延长交于点，过点作于点，连接， 由（1）得， ∵∴∴；∴； ②由（1）得，∴；∵平行四边形；∴ ∵；∴；设，则 ∵，；∴，∴ ∵，；∴，∵∴ ∴解得，∴， 由（1）知，而，∴；∴ ∴的面积． 14．【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，∴，由平移可得：， ∴，∴； （2）解：，理由如下：如图，将沿平移至，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，而， ∴，由平移可得：，，，∴共线， ∵，∴，∴是等边三角形，∴. （3）证明：∵，，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴，如图，过作于，作于， 设（单位），则， ∴，，，∴， 解得：，，∴， 同理可得：，，， 设，，∴，， 由勾股定理可得：，整理得：， ∵， ∴，整理得：， 解得：，∴，∴. 15．【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵是对角线的中点，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 由折叠的性质可得：，∴； （2）证明：如图，延长交的延长线于，延长交的延长线于， ， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， 由折叠的性质可得：，，，∴，， ∴，即，同理可得：， ∵，∴，∴，， 由（1）可得：，∴，∴，即，∴； （3）解：如图，过点作交的延长线于，过点作于，连接，， ∵，∴，，∵，∴， ∴，∴，∴， 作于，则，， ∵，∴，由折叠的性质可得：， ∴，在中，∵， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，，∵， ∴，∴， ∵，∴，，∴， ∴，∴的长为． ( 地 城 考点02 平行四边形的判定 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 C B D B C 二、填空题 6．【答案】5 三、解答题 7．【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，， 点是的中点，，，（）， ，四边形是平行四边形； （2）解：过作交于， ， ，，，， ，，， 的面积为：． 8．【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是等边三角形，，， ，，， 为的中点，，，， 在和中，，≌，， 是等边三角形，，，，， ，， ，，，，， ，四边形为平行四边形； （2）解：为边的中点，， 四边形是平行四边形；， ，，，， ，，的周长 9．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)是等腰直角三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：∵等边，∴， 又∵，，∴， 又∵，，∴，∴， （2）∵，∴， ∵点E、G关于对称，∴，∴， ∵，∴，∴四边形是平行四边形； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下； 如图2，作点E关于的对称点G，连接，， ∴，，同理（1），四边形是平行四边形，∴， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴是等腰直角三角形． 10．【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，， ∵为边上的中点，∴是的中位线，， ∵为边上的中点，，，∴四边形为平行四边形； （2）解：，证明如下：如图，延长，交的延长线于点， ，， ∵，∴，， ，，， ，即． 11．【答案】(1)见详解(2)四边形的周长为 【详解】（1）证明： E、F分别是、的中点，，， ，，，， G、H是边上的点，，四边形是平行四边形． （2）解： E、F分别是、的中点， ，，，， 平分，，，， 四边形是平行四边形，四边形的周长． 12．【答案】(1)；(2)或(3)存在，或或 【详解】（1）解：∵，，∴，，∴， 将B、C点代入中，得解得，∴．故答案为：； （2）设直线的解析式为，将代入，∴，解得，∴， ∵与面积相等，则点到直线的距离等于点到直线的距离， ①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线,与的交点即为点， 则可知直线的解析式为，当时，解得，即， 将代入，得，∴ ②当点在延长线上时，如图，设此时为，结合①知，当时，， 过作轴于点，过作轴于点，则由知，， ∴，则；综上所述，点坐标为或． （3）由和，同理得直线解析式为， ①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点， 要使四边形为平行四边形，则只需满足， 由知，将代入到直线∶中，得，解得， ∴，则，则由得； ②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点， 由四边形为平行四边形，同样需满足，则同理，由，得； ③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点， 若四边形为平行四边形，则可证， ∴∴，，∴； 综上所述，点坐标为，或． ( 地 城 考点0 3 三角形的中位线 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 6 C B B B B A 二、填空题 7．【答案】12 8．【答案】 9．【答案】 三、解答题 10．【答案】(1)证明见解答过程(2) 【详解】（1）证明：延长到，使，连接，如图所示： 是的中位线，，， 在和中，，， ，，， ，，，四边形是平行四边形，，， ，，，即，； （2）解：连接，，如图所示： 四边形是矩形，，，， 由折叠性质得：，，，与重合，即点，，共线， 是的垂直平分线，点是的中点， 又点是的中点，是的中位线，，，， 在中，由勾股定理得：，，， 在中，由勾股定理得：，， 即的长为． 11．【答案】(1)平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；(2)，且；见解析 (3)且，见解析 【详解】（1）解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （2）解：，且． 证明：延长到点M，使得，连接，，． ∵点E是的中点， 又∴四边形是平行四边形， ∵点D是的中点，，且 ∴四边形是平行四边形，， 又，且． （3）解：且，理由如下：连接并延长交的延长线于点N， ∵点S是的中点； 在和中，∴ 在中，T，S分别为，的中点，，， ，，且； 12．【答案】(1)(2)证明见解析(3)，证明见解析 【详解】（1）解：与，之间的关系是：．理由如下： 梯形中，，，， 又 F是的中点，，， ，， F是的中点， 又 E是的中点， 是的中位线， ，即； （2）解：过点F作，交于点G ，交的延长线于点H ， 梯形中，，， 又，四边形是平行四边形，，， ，，， 又 F是的中点，，， ，，， 又，四边形是平行四边形，， ，， ，； （3）解：，理由如下：证明：如图，连接，取中点G，连接，， 又 E，F分别是，的中点，是的中位线，是的中位线， ,，， ，且与不平行，． 13．【答案】(1)；（2） 【详解】（1）解：如图，过点D作的垂线，垂足为点，即， 平分，，， 设，在中，，， ，， ， 即，，则的长度为； （2）如图，由题意得，取中点为， 为的中点，为的中位线，且， 是的中点，，，则， 是的中点，是的中点，是的中位线，且， ，， ，，且，， 在中，，则的长为； 14．【答案】(1)，；，；(2)，证明见解析；(3) 【详解】（1）解：，，， ，，， 、是的中线，是的中位线， ，，，，， ，， ，，，；如图，连接， ，，，，， 、是的中线，是的中位线，，，， 在中，，， ，， ，；故答案为：，；，； （2）解：由（1）可知，当时，，，； 当时，，，，观察发现，． 证明：如图，连接；是的中位线，，， 由勾股定理得：，，，， ，，，， ，即； （3）解：如图，连接，连接分别交、于点、，与的交点为， 在中，，，，， 点、分别是、的中点，，，， 又，四边形是平行四边形，，， ，，在和中， ，，，、是的中线， 点、分别是、的中点，是的中位线，， ，，是“中垂三角形”，由（2）可知，， ，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $