专题07 八年级下册综合压轴专项汇编（函数与代数类）（4大考点期末真题汇编，四川专用）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦八年级下册函数与代数压轴题，汇编四川多地期末真题，覆盖函数几何综合、二次根式、数据分析4大高频考点，注重跨知识综合应用与数学思维能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选填题|39题|函数与几何图形综合（一次函数、动点、图形变换）、二次根式化简与新定义、数据分析（方差、箱线图）|结合坐标系与动点设计多结论判断（如四川德阳期末题），引入“和等点”新定义考查抽象能力| |解答题|28题|函数与几何综合应用（面积、最值、菱形存在性）、二次根式阅读理解（如“完全平方根式”）、数据分析统计（平均数、方差计算）|多问分层设计，如四川广元期末题融合函数解析式、动点坐标与四边形周长最小值，体现逻辑推理与模型思想|

专题07 八年级下册综合压轴专项汇编（函数与代数部分） 4大高频考点概览 考点01函数与几何图形综合压轴（选填题）（14题） 考点02函数与几何图形综合压轴（解答题）（13题） 考点03 二次根式综合压轴（15题） 考点04数据分析综合压轴（10题） ( 地 城 考点0 1 函数与几何图形综合压轴（选填题） ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川德阳·校考期末）如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点的坐标；⑤．其中正确的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级下·四川自贡·校考期末）如图、在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点．若点在直线上，点在线段上，则的最大值是（    ） A． B． C．2 D．4 3．（24-25八年级下·四川绵阳·校考期末）如图，函数图象与轴、轴分别交于两点，，点为直线上动点，连接，则的周长最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________． 5．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图，在平面直角坐标系中等边，点，，若等边的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和的取值范围为______． 6．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·期末）已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，对于以下结论，正确的序号有___________． 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 7．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 8．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． （1）直线的解析式是______；（2）点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为______． 9．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为______． 10．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直线的图象上，两条直角边所在直线分别与坐标轴相交于、两点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，当三角板绕点旋转时，的最小值为8，则点的坐标是______． 11．（24-25八年级下·四川绵阳涪城区·期末）如图，直线：交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点，两条直线的交点为点，已知点坐标是，则下列结论中正确的是：____． ①②点坐标是③的面积是④若点在直线上，且坐标是，则轴上存在一点，使得的值最小，此时点的坐标是 12．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点B在射线上．若顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为________． 13．（24-25八年级下·四川德阳·期末）如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 14．（24-25八年级下·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是_______． ( 地 城 考点0 2 函数与几何图形综合压轴（解答题） ) 一、解答题 1．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在x轴点处，其中一锐角顶点在y轴点处． (1)求直线的函数表达式；(2)点D在y轴上，且求点D的坐标； (3)如图2，点E、F是x轴上的动点，且（点F在点E右边），求四边形周长的最小值． 2．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的解析式：(2)点为直线上一动点，若，请求出点的坐标： (3)如图，将直线水平向下平移个单位得直线，直线与轴交于点，连接，若点为轴上一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期中）如图所示，正方形的边长为6，点C在x轴上，点A在y轴上． (1)如图 1，动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．当为等腰三角形时，求t的值； (2)如图 2，正方形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E 处，折痕与、x轴分别交于点D、F，求出点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点N是平面内任一点，在x 轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图1，在矩形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)请直接写出点的坐标；(2)如图2，平分交于点，求的面积； (3)如图3，动点在第一象限，且点在直线上，点在线段上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级下·四川德阳·期末）如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)点坐标为(________，________)．(2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； (3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24八年级下·四川绵阳江油市·期末）已知菱形的边长为10，，以点B为坐标原点，以为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示． (1)求点A的坐标；(2)求菱形的对角线的解析式；(3)若点Q是上一定点，且，点P从点A出发，以每秒2个单位长度向终点C运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，最小？ 7．（23-24八年级下·四川广安邻水县·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交x轴于点E，是直线上一动点． (1)求直线的函数解析式和点B的坐标．(2)连接，．①当时，判断的形状，并说明理由．②是否存在实数n，使为直角三角形？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 8．（23-24八年级下·四川自贡·期末）（1）如图1，过等腰直角两底角顶点，，向过顶点的直线作垂线，垂足分别为，．请直接写出图中两组相等的线段______，______； （2）如图2，直线与轴轴分别交于点，，过点作于点，且，求直线与坐标轴围成的三角形面积； （3）如图3，点是直线上的动点，点是直线上的动点，，当为等腰直角三角形时，请直接写点的坐标．    9．（24-25八年级下·四川绵阳三台县·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D． (1)求a和k的值；(2)如图，点P是直线上的一个动点，设点P的横坐标为m，当成立时，求点P的坐标；(3)直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标． 10．（23-24八年级下·四川德阳旌阳区·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴分别于点A、B．将线段沿x轴正方向平移a个单位得到线段，连接，M是x轴上一动点． (1)若①连接，证明：．②N是中点，连接并延长交直线于点H，是否存在点M使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，说明理由． (2)若，点M在线段上，连接，作A关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 11．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点、．将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，连接，是轴上一动点．    (1)若①连接，证明：．②是中点，连接并延长交直线于点，是否存在点使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由． (2)若，点在线段上，连接，作关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 12．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）如图是在平面直角坐标系中，运用作图软件模拟演示光线直射在平面镜上反射的过程，从点向垂直于轴的平面镜（看作线段）发射光线，与轴交于点，与平面镜交于点（可与点，重合），在点反射后的光线与轴交于点，且，，，设光线所在直线的函数表达式为（为常数且）． (1)若光线总能照射到平面镜上（含端点），求的取值范围；(2)当点恰好是平面镜的中点时，求光线所在直线的函数表达式；(3)直接写出点的纵坐标是整数的点的个数． 13．（24-25八年级下·四川绵阳涪城区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：（）与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线：相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为，的面积为． (1)若点的横坐标为1．①求的值；②如图1，当点与点重合时，直接写出的值； (2)在（1）的条件下，如图2，点在线段上运动（不与点，重合）时，试探究：的值是否是定值? 若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)求的值（用含的代数式表示）． ( 地 城 考点0 3 二次根式综合压轴 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·期末）若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 2．（24-25八年级下·四川广安·期末）已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则；②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 3．（24-25八年级下·四川自贡·期末）观察下列等式：；；；……根据以上规律，计算______． 4．（24-25八年级下·四川德阳·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当______时，有最小值，最小值为______． 5．（25-26八年级下·四川绵阳三台县·校考期末）西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如：     因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________． 三、解答题 6．（24-25八年级下·四川南充·期末）读下面材料，完成问题． 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简． （1）因式分解     合理分组     提取公因式     整体分解 （2）倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果． 已知，求代数式的值． 解：先求倒数： 代入： 所以 （3）灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题(1)问题1：因式分解：_________ (2)问题2：已知，求代数式的值．(3)问题3：化简： 7．（24-25八年级下·四川泸州·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“12相关代数式”，则______； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 8．（24-25八年级下·四川绵阳安州区·期末）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____；①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：；(3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 9．（24-25八年级下·四川眉山·期末）已知有实数p，q，m，n，其中（m，n为非负整数）． (1)若，求证： ； (2)若，求证：一定是奇数． 10．（24-25八年级下·四川德阳·期末）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即．． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ；(2)计算： ； (3)若，求的值． 11．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】（1）填空：① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】（3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 12．（24-25八年级下·四川广安·期末）在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例； 特例； (1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）； (2)求证：（，且n为整数）； (3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____． 13．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 14．（24-25八年级下·四川泸州·期中）按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：，反之，； ，反之，． 应用： ______． （2）阅读：，； 应用：方程的解是______． （3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且x，y都是正数，故． 应用：比较大小：______，______． 15．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． ( 地 城 考点0 4 数据分析综合压轴 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知一组数据：的方差为0.5，则这组数据的方差为（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 2．（25-26八年级下·四川德阳·校考期末）已知、两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（   ）． A．这次考试、两个班都没有人考满分 B．班的最低分比班的最低分低 C．班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同 D．班的成绩比班的成绩更集中 3．（25-26八年级下·四川南充·校考期末）已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的上四分位数是80分 C．1班同学的成绩有超过140分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 4．（24-25八年级下·四川自贡·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变．在此规则下，原数据中任意一个数x运算后对应的数可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数__________， 方差__________． 7．（24-25八年级下·四川德阳·期末）某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16五种情况，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是_____________． 三、解答题 8．（25-26八年级下·四川绵阳江油市·期末）八年级（1）班共50人平均分为两组进行比拼，解一道满分为5分的数学题．得分结果绘制成两张统计图如图． 姜老师要对两组比拼的得分结果进行点评，所以需要计算两组得分相关的统计数据，请你帮他完成： (1)分别求出A组和B组得分的平均数，指出两组的众数和中位数． (2)求出这两组数据的方差，并指出哪一组的数据更加稳定． (3)绘制两组数据的四分位数表，并制作箱线图．通过箱线图总结本次比拼两组的得分情况． ①四分位数表（单位：分）和箱线图 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 B组 ②总结：___________． 9．（25-26八年级下·四川南充·校考期末）【数据收集】某实验室为了从甲、乙两个图像分类模型中选拔一个部署到智能安防系统，现组织两者在10轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率（）： 甲模型：100，95，85，60，90，75，90，95，70，90 乙模型：90，80，70，85，85，90，80，100，80，90 【数据整理】将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图：    【数据分析】(1)若利用平均数、方差进行分析（如图1），通过计算平均数，___________．再计算方差，___________． 准确率 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 60 75 ② 95 100 乙 70 ① 85 ③ 100 (2)若利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填___________，②处应填___________，③处应填___________． 【作出决策】(3)请你根据10轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作全面分析） 10．（24-25八年级下·四川广元·期末）综合与实践 【项目背景】在茶叶采摘季节，班级同学前往黄山某产茶区开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对甲园和乙园的茶叶品质情况进行调查统计，为该产茶区的发展提供一些参考． 【数据收集与整理】从甲、乙两个茶园中采摘的茶叶中各随机选取200个样本．在技术人员指导下，依据相关标准，为每个样本赋分，每个样本最终得分用（）表示．将所收集的样本赋分数据进行如下分组： 组别 整理样本赋分数据，并绘制甲、乙两园样本赋分数据的频数直方图，部分信息如下： 【数据分析与运用】根据所给信息，请完成以下所有任务． (1)任务1  求甲园中的值；(2)任务2  ，，，，五组数据的平均数分别为12，16，20，24，28，计算乙园样本赋分数据的平均数； (3)任务3  下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本赋分数据的中位数均在组；②两园样本赋分数据的众数均为20； ③两园样本赋分数据的最大数与最小数的差相等． (4)任务4  若根据样本赋分数据将茶叶分为三个等级．认定，两组的茶叶为一级，组的茶叶为二级，其他组的茶叶为三级．一级茶叶的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的茶叶品质更优，并简要说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 八年级下册综合压轴专项汇编（函数与代数部分） 4大高频考点概览 考点01函数与几何图形综合压轴（选填题）（14题） 考点02函数与几何图形综合压轴（解答题）（13题） 考点03 二次根式综合压轴（15题） 考点04数据分析综合压轴（10题） ( 地 城 考点0 1 函数与几何图形综合压轴（选填题） ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川德阳·校考期末）如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点的坐标；⑤．其中正确的个数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵点坐标为，点坐标为，∴； 四边形为正方形，，，， ，，， ∴，∴，∴，， ∵，∴，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴四边形是矩形，故①正确；∴，∴， ∵，∴，故②错误； 在中，由勾股定理得，∴， 在中，由勾股定理得，∴，故③正确； 如图所示，过点E作轴于T，同理可证明， ∴，∴，∴；设直线解析式为， ∴，∴，∴直线解析式为， 在中，当时，，∴，故④错误； ∴，故⑤正确；∴正确的有3个，故选B．    2．（24-25八年级下·四川自贡·校考期末）如图、在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点．若点在直线上，点在线段上，则的最大值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵点在直线上，∴，即点， 设直线的解析式为：，代入， 则，解得：，∴直线的解析式为：， ∴，，∴， ∵，∴当时，有最大值，故选：C． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·校考期末）如图，函数图象与轴、轴分别交于两点，，点为直线上动点，连接，则的周长最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，，当时，， ∴点，∴，∴是等腰直角三角形， 如图，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，则，， ∴，∴的周长， ∵，∴，∴，∴，∴轴， ∵，∴，∴，∴的周长的最小值为．故选：C 二、填空题 4．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：∵，，∴正方形的边长为1，正方形的边长为2， ∴，设直线解析式为， 将代入得，解得，∴直线解析式为，∴． ∵，点的坐标为，∴的纵坐标为，的横坐标为， 的纵坐标为，的横坐标为，的纵坐标为，的横坐标为， ∴，∴，即． 5．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图，在平面直角坐标系中等边，点，，若等边的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴，与轴交于点，与交于点， ∵点，，∴，轴，∴， ∵为等边三角形，∴，， 根据勾股定理：，∴点，即，∴点． ∵设边上点的坐标为，∴这两个和等点满足，即， ∴这两个和等点为直线与边的两个不同交点， ∵如图，当直线过点、时，只有一个交点， ∴当过点时，，当过点C时，，∴的取值范围为． 6．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·期末）已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，对于以下结论，正确的序号有___________． 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 【答案】①②④ 【详解】解：直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故结论①正确； 将，代入，得，解得，直线的函数解析式为， 直线直线且经过原点，直线的函数解析式为， 将代入，得，解得，直线的函数解析式为， 解，解得，点的坐标为， 在中，令，得，解得， 点的坐标为，，故结论②正确； 在中，令，得，解得，点的坐标为， ，，故结论③错误； 直线交轴于点，，作点C关于x轴的对称点，则，连接交x轴于点， 此时的值最小，设直线的解析式为， 将，代入得，解得，直线的解析式为， 当时，得，解得，点坐标为，故结论④正确； 综上所述，正确的结论为①②④．故答案为：①②④． 7．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 【答案】或 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴，，，，．∵点A在x轴的负半轴上，． 设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为； 如图，当点N在点B的下方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作于点F，过点H作交直线于点E， 则，，． ，是等腰直角三角形，， ，．∵点M是的中点，，，． 设，则， ，，解得，∴点N的坐标为； 当点N在点B的上方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作交直线于点F，过点H作于点E， 同理可证明，， ∵点M是的中点，，，． 设． ，，， ，∴点坐标为；综上所述，点N的坐标为或． 8．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． （1）直线的解析式是______；（2）点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为______． 【答案】 或 【详解】解：（1）令，则；令，则，∴，，∴，， ∵，∴，∴，∴直线的解析式是．故答案为：． （2）由（1）可知，，，∴，∵，∴， 当点在线段的处时，如图， ∵，∴， 过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 则，， ∴，， ∴，∴，∴，， ∵点C的坐标为，∴，∴，∴点E的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得， ，解得，∴直线的解析式为， 令时，，解得，∴点的坐标为； 当在点的右边处时，如图， 连接并延长交于点，∵， ∵轴，∴，∴，即， ∵，∴，，∴点与点关于点对称， ∴点的坐标为，设直线的解析式为， 把，代入得，，解得， ∴直线的解析式为，令时，，解得，∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或．故答案为：或． 9．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵点在直线上，∴，解得，∴直线的解析式为； 如图，过点作轴于点，过点作于点，则，． ∵四边形是正方形，∴，，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，则， 同理，证明，∴，， ∴，∴点的坐标为. 将正方形沿轴向下平移个单位后，点的对应点坐标为， ∵该点在直线上，∴，解得；故答案为：． 10．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直线的图象上，两条直角边所在直线分别与坐标轴相交于、两点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，当三角板绕点旋转时，的最小值为8，则点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E、F， ∵点A在直线的图象上，∴点A在的角平分线上，∴， ∵，∴四边形是正方形， ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴， ∴， ∵，∴，∵的最小值为8，∴，∴或（舍去），∴．故答案为：． 11．（24-25八年级下·四川绵阳涪城区·期末）如图，直线：交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点，两条直线的交点为点，已知点坐标是，则下列结论中正确的是：____． ①②点坐标是③的面积是④若点在直线上，且坐标是，则轴上存在一点，使得的值最小，此时点的坐标是 【答案】②③④ 【详解】解：∵直线经过点，∴，解得， ∴直线的关系式为，则①不正确； 将直线的关系式联立，得，解得，∴点，则②正确； 当时，，解得，∴点，∴； ∵点，∴，∴，∴，则③正确； ∵点在直线上，∴，∴点． 作点C关于x轴的对称点，可得，即， 根据两点之间线段最短，可得，即的最小值为． 将点和代入关系式，得 ，解得，∴直线的关系式为． 当时，，解得，∴点，则④正确．正确的有②③④． 12．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点B在射线上．若顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为________． 【答案】 【详解】解：过点B作于D，设交y轴于E，如图， ∵点A的坐标为，∴，∵菱形，∴，， ∵点B在射线上．∴设，∴，，∴ 在中，，即解得或（舍去）， ∴，∴，∴，∴点C的横坐标为， ∵，∴点C的纵坐标为3，∴点C的坐标为，故答案为：． 13．（24-25八年级下·四川德阳·期末）如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 【答案】 【详解】解：如图， 当，，则，当，，则， ∵菱形，菱形，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴为的中点，则， ∵菱形，∴平分，，∴，， 当，，则，同理可求，， 当，，则，同理可求，，…… ∴的纵坐标为，∴点的纵坐标是，故答案为：． 14．（24-25八年级下·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交x轴于点B，现在有点在线段上运动，点在x轴上，N为线段的中点，当点C从点A运动到点B时，则点N运动的轨迹长度是_______． 【答案】 【详解】解：直线与直线平行，可设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得，直线的解析式为， 令，则，解得，， 点在线段上运动，，且， 设点N的坐标为，N为线段的中点， ，消去m，得， ，，，解得， 令，则，令，则，设，， 则点N运动的轨迹长度为线段的长，且．故答案为：． ( 地 城 考点0 2 函数与几何图形综合压轴（解答题） ) 一、解答题 1．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点在x轴点处，其中一锐角顶点在y轴点处． (1)求直线的函数表达式；(2)点D在y轴上，且求点D的坐标； (3)如图2，点E、F是x轴上的动点，且（点F在点E右边），求四边形周长的最小值． 【答案】(1)(2)点D坐标为或(3) 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于， ∴，∴， ∵点，，∴，在中，， ， ∴，∴，∴． ，∴，点坐标为， 设可设直线的解析式为， 将，分别代入，得，解得，直线的解析式为：． （2）过点作于，并延长至，使，如图 的顶点D一定在与平行且与距离为的两条平行线上 ，是中点点H坐标为 为中点，设K坐标为，则，坐标为， 设过点B与平行的直线解析式为：， 过点K与平行的解析式为：， ，点D坐标为或； （3）如图，过点A作轴，且使，则 作点C关于轴对称点Q，连接，交轴于点F，过点A作交轴于点E， 则四边形是平行四边形，，∵点C与点Q关于x轴对称，∴， ∴ 此时四边形周长最小．∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∴在中，， ∴四边形周长最小值． 2．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的解析式：(2)点为直线上一动点，若，请求出点的坐标： (3)如图，将直线水平向下平移个单位得直线，直线与轴交于点，连接，若点为轴上一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)点的坐标为或(3)存在，的坐标为或 【详解】（1）解：∵把代入，得，解得，∴， ∵，∴，∵直线与轴交于点，∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点， 设，则，∴， 联立直线和直线，得，解得，∴，∴， ∴，∴， 解得或，∴点的坐标为或； （3）解：存在． ∵将直线水平向下平移个单位得直线，∴直线的解析式为， 当时，，∴，，设，则， ∵，，∴，∴，∴，∴， ∴的坐标为或． 3．（24-25八年级下·四川广安武胜县·期中）如图所示，正方形的边长为6，点C在x轴上，点A在y轴上． (1)如图 1，动点P从点B出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒2个单位的速度向点O匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．当为等腰三角形时，求t的值； (2)如图 2，正方形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E 处，折痕与、x轴分别交于点D、F，求出点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点N是平面内任一点，在x 轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)或或或 【详解】（1）解：由题意得，，，∴， 当为等腰三角形时，，∴，∴； （2）解：如图， 由折叠的性质可知：，，， ∴，，设，则，， 在中，由勾股定理得：，∴， 解得：，∴； （3）解：在x轴上存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形；分以下三种情况： ①当、是菱形的边时， ∵，∴，∴或； ②当OE是对角线，OM是边长时， ∵，，∴，∴； ③当是对角线，是边长时，此时，∴，∴． 综上所述，点M的坐标为或或或． 4．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图1，在矩形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)请直接写出点的坐标；(2)如图2，平分交于点，求的面积； (3)如图3，动点在第一象限，且点在直线上，点在线段上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在， 【详解】（1）解：∵在矩形中，，． ∴，，，，∴； （2）过点作交于，如图： ，，，平分，， 在和中，，， ，，，， ，，解得，； （3）存在，理由如下： 设点． ①当点在下方时，过点作，交轴于点，交于点，如图： 是等腰直角三角形，，， ，， ，，， ，解得，此时点不合题意舍去；      ②当点在的上方时，过点作，交轴于点，交的延长线于点，如图： 同理，可证，， ，解得，，点，， 设解析式为，将，代入得：，解得， 直线的解析式为：． 5．（24-25八年级下·四川德阳·期末）如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)点坐标为(________，________)．(2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； (3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在，点坐标为或 【详解】（1）解：将点代入直线得：， 解得，∴直线的解析式为， 将代入一次函数得：，解得，∴点坐标为；故答案为：． （2）解：将代入直线得：，即， 将点代入直线得：，解得，∴直线的解析式为， 由题意得：点的坐标为，点的坐标为，∴， ∵，∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则， ∴，解得或， 所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． （3）解：由上已得：，，∴，∴， ∵点为直线上一点，且在中，， ∴分以下两种情况：①如图，以、、、四个点构成的是矩形， 过点作轴于点，∴，，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴，设点的坐标为， ∵矩形的对角线互相平分，， ∴，解得，∴此时点的坐标为； ②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则， ∴，∴此时点的坐标为； 综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或． 6．（23-24八年级下·四川绵阳江油市·期末）已知菱形的边长为10，，以点B为坐标原点，以为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示． (1)求点A的坐标；(2)求菱形的对角线的解析式；(3)若点Q是上一定点，且，点P从点A出发，以每秒2个单位长度向终点C运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，最小？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：过A作轴于E， ∵菱形的边长为10，，∴，， ∴，∴，∴，∴，∴A的坐标为； （2）解：由（1）知，设对角线的解析式， 则，解得，∴； （3）解：连接，交于， ∵菱形，∴B、D关于对称， ∴，∴， 当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小， ∵，，，A的坐标为，∴， ∵，∴，设解析式为， ∴，解得，∴， 联立方程组，解得，∴， ∴，∴运动时间为秒． 7．（23-24八年级下·四川广安邻水县·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B．直线交x轴于点E，是直线上一动点． (1)求直线的函数解析式和点B的坐标．(2)连接，．①当时，判断的形状，并说明理由．②是否存在实数n，使为直角三角形？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)①等腰三角形，见解析；②存在， 【详解】（1）解：直线交y轴于点，，直线． 直线交x轴于点B，令，则，解得，． （2）解：①是等腰三角形．理由：，． ，，，，， ．是等腰三角形． ②，，，，，． 当为直角三角形时，不存在和的情况， 当时，，即，解得， 存在实数n，使为直角三角形，n的值为． 8．（23-24八年级下·四川自贡·期末）（1）如图1，过等腰直角两底角顶点，，向过顶点的直线作垂线，垂足分别为，．请直接写出图中两组相等的线段______，______； （2）如图2，直线与轴轴分别交于点，，过点作于点，且，求直线与坐标轴围成的三角形面积； （3）如图3，点是直线上的动点，点是直线上的动点，，当为等腰直角三角形时，请直接写点的坐标．    【答案】（1），；（2）直线的与坐标轴围成的三角形面积为；（3）或或或 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，∴， 在和中，∴， ∴，故答案为：； （2）如图，过作轴于点，      直线中，令得，令得， ，，则，,同（1）可证得， ，，，，且， 设直线解析式为，代入坐标， 解得：∴ 设直线交轴于点，当时，，则∴ ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为； （3）∵点是直线上的动点，点是直线上的动点， 设，当，时 如图所示，当在点下方时，过点分别作的垂线，垂足分别为，则，      由（1）可得∴，∴即 代入得，解得：，∴ 如图所示，当在点下方时，过点作轴，过点作于点， 同理可得∴， ∴即代入得，解得：∴ 当，时，当点在上方时，如图所示， 过点分别作的垂线，垂足分别为，则， 同理可得∴，∵，∴， 将代入得，解得：∴ 如图所示，当在点上方时，同理可得，代入得， 解得： ∴ 当时，如图所示，过点作轴，交轴和于点，则，   同理可得∴ 设，则， ∵∴解得： ∴，∴ 综上所述，或或或 9．（24-25八年级下·四川绵阳三台县·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D． (1)求a和k的值；(2)如图，点P是直线上的一个动点，设点P的横坐标为m，当成立时，求点P的坐标；(3)直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标． 【答案】(1)，(2)或(3)或或 【详解】（1）解：将点的坐标代入并解得：，故点， 将点的坐标代入，得，解得：，，； （2）解：由（1）得直线的表达式为：，则点， 的面积， 解得：或，故点的坐标为或； （3）解：设点的坐标为， ∵，∴当时，，∴，∵∴， 当，是边时，当点在点的上方时，则，即，解得， 则点的坐标为或； 点在点的正下方个单位，则点或； 当为对角线时，则的中点坐标为，∴点纵坐标为，即：，∴，∴， ∵的中点也为，∴； 综上，点的坐标为或或． 10．（23-24八年级下·四川德阳旌阳区·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴分别于点A、B．将线段沿x轴正方向平移a个单位得到线段，连接，M是x轴上一动点． (1)若①连接，证明：．②N是中点，连接并延长交直线于点H，是否存在点M使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，说明理由． (2)若，点M在线段上，连接，作A关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 【答案】(1)①证明见解析；②或或(2) 【详解】（1）解：①在中，当时，，当时，， ∴，∴，∴； ∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，即； ②设点M的坐标为，由（1）可得， ∵是中点，∴，由平移的性质可得， ∴，∴， ∴，即点N为的中点，∴； 当时，则，∴，∴或 ， ∴点M的坐标为或； 当时，则， 解得或（舍去，此时点M与点D重合，不存在三角形），∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或； （2）解：∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴直线的解析式为， 设，由轴对称的性质可得， ∴，解得，∴， 设点M的坐标为，∴，∵， ∴，解得，∴． 11．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点、．将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，连接，是轴上一动点．    (1)若①连接，证明：．②是中点，连接并延长交直线于点，是否存在点使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由． (2)若，点在线段上，连接，作关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 【答案】(1)①证明见解析；②或或(2) 【详解】（1）解：①在中，当时，，当时，， ∴，∴，∴； ∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，，∴， ∴，∴，∵， ∴，∴，即； ②设点M的坐标为，由（1）可得， ∵是中点，∴，由平移的性质可得， ∴，∴， ∴，即点N为的中点，∴； 当时，则，∴，∴或 ， ∴点M的坐标为或； 当时，则， 解得或（舍去，此时点M与点D重合，不存在三角形），∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或； （2）解：∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴直线的解析式为，设， 由轴对称的性质可得，∴， 解得，∴，设点M的坐标为，∴， ∵，∴，解得，∴．      12.（24-25八年级下·四川凉山州·期末）如图是在平面直角坐标系中，运用作图软件模拟演示光线直射在平面镜上反射的过程，从点向垂直于轴的平面镜（看作线段）发射光线，与轴交于点，与平面镜交于点（可与点，重合），在点反射后的光线与轴交于点，且，，，设光线所在直线的函数表达式为（为常数且）．    (1)若光线总能照射到平面镜上（含端点），求的取值范围；(2)当点恰好是平面镜的中点时，求光线所在直线的函数表达式；(3)直接写出点的纵坐标是整数的点的个数． 【答案】(1)(2)(3)7 【详解】（1）解：当光线经过点时，代入得，，解得：，           当光线经过点时，代入得，，解得：，           ∴所求m的取值范围是． （2）∵点恰好是平面镜的中点，，，∴点， 当光线照射到点P时，可得，解得：，∴ 当时， ∴此时，           由光线反射可知，此时，光线与光线关于直线对称， ∴点C与点关于直线对称，∴， ∴设所在直线的函数表达式为（k为常数且）， 代入点，得，解得，∴光线所在直线的函数表达式为． （3）解：由（1）知，当光线经过点时， 将代入得，解得：∴ 当时，∴，当时，∴ ∴由光线反射可知，此时点C与点B关于直线对称，∴； 同理，当光线经过点时，可得，此时点C与点B关于直线对称，可得． ∴点C的纵坐标在到之间的整数，分别是4，5，6，7，8，9，10，共7个． 13．（24-25八年级下·四川绵阳涪城区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：（）与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线：相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为，的面积为． (1)若点的横坐标为1．①求的值；②如图1，当点与点重合时，直接写出的值； (2)在（1）的条件下，如图2，点在线段上运动（不与点，重合）时，试探究：的值是否是定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②(2)是，(3) 【详解】（1）解：①点的横坐标为，且点是直线与直线的交点， 点的纵坐标为：，把点的坐标代入，可得：，解得：； ②∵直线：（）与轴相交于点，∴当时，∴， ∵轴，∴轴，当点与点重合时，， 将代入得，，∴∴； （2）解：的值是定值，这个定值为； 理由如下：由可知直线的解析式为， 当时，可得：，点的坐标为，， 设点的坐标为，∵轴，点在直线：上， ∴点的坐标为，， ， ， ；故的值是定值，这个定值为； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为 联立直线表达式可得，，解得，点的坐标为， 当点在线段延长线上时， ， ∴ 当点在线段上时，， ∴同上：； 当点在线段延长线上时，， ∴．综上：． ( 地 城 考点0 3 二次根式综合压轴 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·期末）若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 【答案】D 【详解】解：∵二次根式有意义，∴，即， 根据二次根式性质，化简原式，原等式左边 ∵，∴，∴ ，原等式右边，∵，∴， 将化简结果代入原等式得 ，移项得 ， 两边平方得 ，解得． 2．（24-25八年级下·四川广安·期末）已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】解：①若，则，整理得，，∴， ∵，∴，∴，∴， 若成立，解得，与已知，均为正整数矛盾， ∴不正确，∴①错误； ②若，，则，∴，整理得，， ∴， ∵左边是正整数乘无理数（结果为无理数），右边是整数（有理数），不可能相等， ∴不存在满足条件的m，n，∴②错误； ③，∵均为正整数，且不是完全平方数， 比较等式两边的有理部分与无理部分可得．两边平方得． ∵均为正整数，∴． ∵为正整数，必为45的约数中的完全平方数，∴，即， 此时，满足为正整数且不是完全平方数的条件． ∵，∴，∴， ∵，均为正整数，∴，∴，同理：， ∴，∴不存在正整数，，，使等式成立， ∴没有符合条件的A，B，∴③错误．综上可知，三个说法均错误． 二、填空题 3．（24-25八年级下·四川自贡·期末）观察下列等式：；；；……根据以上规律，计算______． 【答案】 【详解】解：∵；； ；……∴ ． 4．（24-25八年级下·四川德阳·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当______时，有最小值，最小值为______． 【答案】 【详解】解：， ∵，∴， 当且仅当，即时最小值，最小值为， 则，那么，， 故当时，原式取得最小值． 5．（25-26八年级下·四川绵阳三台县·校考期末）西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如：     因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________． 【答案】 2 90 【详解】解：对于因为，所以的整数部分， ∴仿照的变形过程： ；因此，故； 对于因为，所以的整数部分，根据，的规律，可得循环节的第二个数为，因此． 三、解答题 6．（24-25八年级下·四川南充·期末）读下面材料，完成问题． 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简． （1）因式分解     合理分组     提取公因式     整体分解 （2）倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果． 已知，求代数式的值． 解：先求倒数： 代入： 所以 （3）灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题(1)问题1：因式分解：_________ (2)问题2：已知，求代数式的值．(3)问题3：化简： 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵，∴，即，∴． ∵或0（舍去），∴； （3）解：， 设： ， ，则原式， ， ． 7．（24-25八年级下·四川泸州·期末）若两个含有二次根式的代数式M，N满足，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”． (1)若M与是互为“12相关代数式”，则______； (2)若其中（a是有理数），，且M与N是互为“t相关代数式”，求a和t的值． 【答案】(1)(2)， 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：∵M与N是互为“t相关代数式”， ∴，整理得，， ∵t是有理数，∴，，解得，． 8．（24-25八年级下·四川绵阳安州区·期末）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____；①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：；(3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 【答案】(1)①③(2)(3)①；②或 【详解】（1）解：；； ；故满足要求的是①③； （2）解：原式 ； （3）解：① 是“完全平方根式”，， 又，且为正整数或或， 当的值最小时，有最小值，，， ②， 为正整数，是整数，，即，， ，，， 当时，，原式； 当时，，原式． 9．（24-25八年级下·四川眉山·期末）已知有实数p，q，m，n，其中（m，n为非负整数）． (1)若，求证： ； (2)若，求证：一定是奇数． 【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【详解】（1）证明：，移项可得． ∴ ，，， ∵m，n为非负整数，∴ ，则 ，即 （2）证明：∵，∴ ， 将代入，得 ， ∵m为非负整数，∴，，∴， ∵m为非负整数，∴一定是偶数，偶数加1一定是奇数，∴一定是奇数，即q一定是奇数． 10．（24-25八年级下·四川德阳·期末）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即．． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ；(2)计算： ； (3)若，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ，， ； （3）解：，， ，即，． 11．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】（1）填空：① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】（3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，，∴，， 剩余部分的面积为：． 12．（24-25八年级下·四川广安·期末）在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例； 特例； (1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）； (2)求证：（，且n为整数）； (3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____． 【答案】(1)(2)见解析(3)5 【详解】（1）解：由题意，； （2）证明：∵，且n为整数， ∴ ，； （3）解： ， ∵的小数部分是0.1∴，∴， ∴的整数部分为． 13．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)；(2)(3)， 【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； （2）解：，∴； （3）解：∵，∴，，，∴， ∴， ， ∴，∴， ∵，∴点M的“横负纵变点”为． 14．（24-25八年级下·四川泸州·期中）按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：，反之，； ，反之，． 应用： ______． （2）阅读：，； 应用：方程的解是______． （3）阅读：已知，，试比较x，y的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且x，y都是正数，故． 应用：比较大小：______，______． 【答案】（1）；（2）；（3）<，> 【详解】解：（1）由题可得：， 故答案为：； （2）由题可得：，整理得：，移项得：， 解得：，故答案为：； （3）由题可得：令，， ∴，， ∴，∴；令，， ∴，， ∴，∴．故答案为：<，>． 15．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2(2)(3) 【详解】（1）解：∵， 且，∴； （2）解：∵∴， 化简后两边同时平方得：，∴，经检验：是原方程的解； （3）解： ． ( 地 城 考点0 4 数据分析综合压轴 ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知一组数据：的方差为0.5，则这组数据的方差为（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】D 【详解】解：∵数据，，，…，的方差为， 设这组数据，，，…的平均数为，则另一组新数据，，，…，的平均数为，∵， ∴另一组数据的方差为 ，故选：D． 2．（25-26八年级下·四川德阳·校考期末）已知、两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（   ）． A．这次考试、两个班都没有人考满分 B．班的最低分比班的最低分低 C．班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同 D．班的成绩比班的成绩更集中 【答案】D 【详解】解：根据箱线图的核心作用：上四分位数：箱子的上边界对应的值；中位数：箱子内部的横线对应的值；最大值、最小值：上、下侧须线的端点对应的值，分析各选项： A、由图可知、两个班的最高分都未达到分，所以两班均没有满分，说法正确，不符合题意； B、班的最低分比班的最低分低，说法正确，不符合题意； C、班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同，说法正确，不符合题意； D、班的成绩比班的成绩更集中，说法错误，根据箱线图所示应是班的成绩比班的成绩更集中，D选项符合题意；故选：． 3．（25-26八年级下·四川南充·校考期末）已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班成绩的上四分位数是80分 C．1班同学的成绩有超过140分的 D．1班和2班成绩的中位数相同 【答案】D 【详解】解：A．观察箱线图知：二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误； B．观察箱线图知：一班成绩的下四分位数是80分，故原说法错误； C．观察箱线图知：一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误； D．观察箱线图知：一班和二班成绩的中位数相同， 故原说法正确．故选：D． 4．（24-25八年级下·四川自贡·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为，的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为，离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为，离差平方和为，组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为，组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意，故选：B． 5．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变．在此规则下，原数据中任意一个数x运算后对应的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，将一组数据中的每个数（互不相等）进行同一规则运算后，数据的平均数、中位数均发生变化，方差不变∴该组数据需要满足线性变换，即且或； A：，，方差变化，不符合题意；B：，，方差变化，不符合题意； C：，，，方差不变；且平均数新旧平均数，中位数新旧中位数，均发生变化，符合题意；D：，，方差变化，不符合题意；故选C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数__________， 方差__________． 【答案】 4 9 【详解】解：∵一组数据，，，，的平均数为， 方差 ∴另一组数据，，，，的平均数为， 方差为 故答案为：4，9． 7．（24-25八年级下·四川德阳·期末）某轮滑队所有队员的年龄（单位：岁）只有12，13，14，15，16五种情况，其中部分数据如图所示．若队员年龄唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是_____________． 【答案】12 【详解】由题图数据可知，年龄小于14岁的有4人，大于14岁的有4人，∴这组数据的中位数为14岁， ∵队员年龄唯一的众数与中位数相等，∴其众数也是14岁，岁的队员最少有4人， ∴这个轮滑队队员最少是（人）． 三、解答题 8．（25-26八年级下·四川绵阳江油市·期末）八年级（1）班共50人平均分为两组进行比拼，解一道满分为5分的数学题．得分结果绘制成两张统计图如图． 姜老师要对两组比拼的得分结果进行点评，所以需要计算两组得分相关的统计数据，请你帮他完成： (1)分别求出A组和B组得分的平均数，指出两组的众数和中位数． (2)求出这两组数据的方差，并指出哪一组的数据更加稳定． (3)绘制两组数据的四分位数表，并制作箱线图．通过箱线图总结本次比拼两组的得分情况． ①四分位数表（单位：分）和箱线图 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 B组 ②总结：___________． 【答案】(1)A组平均数为3分，众数为3分，中位数为3分；B组平均数为3分，众数为4分，中位数为3分(2)B组成绩更稳定(3)①图表见详解；②两组的中位数相同，但A组出现了满分，说明从绝对成绩出发，A组发挥出色．但B组箱体比A组更加扁，说明的分数更加集中，在上四分位数相同的情况下，B组中间成绩更稳定 【详解】（1）解：由图可得，A组的平均数为：（分），众数为3分，中位数为3分； B组的平均数为：（分），众数为4分，中位数为3分； （2）解：由题意得，A组方差， B组方差， ∵，∴B组成绩更稳定； （3）解：由题意得，A组的下四分位数为，上四分位数为； B组的下四分位数为，上四分位数为；∴四分位数表如下： 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 2 3 4 B组 3 4 箱线图如下： 总结：两组的中位数相同，但A组出现了满分，说明从绝对成绩出发，A组发挥出色；但B组箱体比A组更加扁，说明的分数更加集中，在上四分位数相同的情况下，B组中间成绩更稳定． 9．（25-26八年级下·四川南充·校考期末）【数据收集】某实验室为了从甲、乙两个图像分类模型中选拔一个部署到智能安防系统，现组织两者在10轮基准测试中进行性能评估，记录每轮测试的准确率（）： 甲模型：100，95，85，60，90，75，90，95，70，90 乙模型：90，80，70，85，85，90，80，100，80，90 【数据整理】将甲、乙两个模型测试的准确率绘制成如图统计图：    【数据分析】(1)若利用平均数、方差进行分析（如图1），通过计算平均数，___________．再计算方差，___________． 准确率 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 60 75 ② 95 100 乙 70 ① 85 ③ 100 (2)若利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填___________，②处应填___________，③处应填___________． 【作出决策】(3)请你根据10轮基准测试的成绩，从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由．（请结合数据的平均数、方差、四分位数和箱线图等作全面分析） 【答案】(1)85，60(2)80，90，90(3)选择乙模型，理由见解析 【详解】（1）解：， （2）解：根据四分位数、箱线图①处应填，②处应填，③处应填； （3）解：选择乙模型，理由如下：通过平均数可得；通过方差可得，乙模型表现更为稳定； 通过四分位数和箱线图可得，乙模型四分位距更小，更稳定；∴选择乙模型． 10．（24-25八年级下·四川广元·期末）综合与实践 【项目背景】在茶叶采摘季节，班级同学前往黄山某产茶区开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对甲园和乙园的茶叶品质情况进行调查统计，为该产茶区的发展提供一些参考． 【数据收集与整理】从甲、乙两个茶园中采摘的茶叶中各随机选取200个样本．在技术人员指导下，依据相关标准，为每个样本赋分，每个样本最终得分用（）表示．将所收集的样本赋分数据进行如下分组： 组别 整理样本赋分数据，并绘制甲、乙两园样本赋分数据的频数直方图，部分信息如下： 【数据分析与运用】根据所给信息，请完成以下所有任务． (1)任务1  求甲园中的值；(2)任务2  ，，，，五组数据的平均数分别为12，16，20，24，28，计算乙园样本赋分数据的平均数； (3)任务3  下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本赋分数据的中位数均在组；②两园样本赋分数据的众数均为20； ③两园样本赋分数据的最大数与最小数的差相等． (4)任务4  若根据样本赋分数据将茶叶分为三个等级．认定，两组的茶叶为一级，组的茶叶为二级，其他组的茶叶为三级．一级茶叶的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的茶叶品质更优，并简要说明理由． 【答案】(1)(2)(3)①(4)乙园茶叶品质更优，见解析 【详解】（1）解：； （2）解：乙园样本数据的平均数； （3）解：将200个样本数据按从小到大顺序排列，中位数为第100位与第101位数据的平均数， 甲园A，B组频数之和为：，A，B，C组频数之和为：， 可得甲园样本赋分数据的中位数在组，同理，乙园样本赋分数据的中位数也在组，故结论①一定正确； 因为不知道每个样本的具体分值，所以不能得出两园样本赋分数据的众数，及最大数与最小数的差， 故结论②③不一定正确，故答案为①； （4）解：乙园茶叶品质更优． 理由：甲园：一级茶叶（组）占比， 二级茶叶（B组）占比， 三级茶叶（组）占比； 乙园：一级茶叶（组）占比， 二级茶叶（B组）占比， 三级茶叶（组）占比； 乙园一级茶叶占比明显高于甲园的，三级茶叶占比明显低于甲园的，说明乙园茶叶品质更优． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 八年级下册综合压轴专项汇编（函数与代数部分）答案 ( 地 城 考点0 1 函数与几何图形综合压轴（选填题） ) 一、选择题 1 2 3 B C C 二、填空题 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】①②④ 7．【答案】或 8．【答案】 或 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】②③④ 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 ( 地 城 考点0 2 函数与几何图形综合压轴（解答题） ) 一、解答题 1． 【答案】(1)(2)点D坐标为或(3) 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于， ∴，∴， ∵点，，∴，在中，， ， ∴，∴，∴． ，∴，点坐标为， 设可设直线的解析式为， 将，分别代入，得，解得，直线的解析式为：． （2）过点作于，并延长至，使，如图 的顶点D一定在与平行且与距离为的两条平行线上 ，是中点点H坐标为 为中点，设K坐标为，则，坐标为， 设过点B与平行的直线解析式为：， 过点K与平行的解析式为：， ，点D坐标为或； （3）如图，过点A作轴，且使，则 作点C关于轴对称点Q，连接，交轴于点F，过点A作交轴于点E， 则四边形是平行四边形，，∵点C与点Q关于x轴对称，∴， ∴ 此时四边形周长最小．∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∴在中，， ∴四边形周长最小值． 2． 【答案】(1)(2)点的坐标为或(3)存在，的坐标为或 【详解】（1）解：∵把代入，得，解得，∴， ∵，∴，∵直线与轴交于点，∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点， 设，则，∴， 联立直线和直线，得，解得，∴，∴， ∴，∴， 解得或，∴点的坐标为或； （3）解：存在． ∵将直线水平向下平移个单位得直线，∴直线的解析式为， 当时，，∴，，设，则， ∵，，∴，∴，∴，∴， ∴的坐标为或． 3． 【答案】(1)(2)(3)或或或 【详解】（1）解：由题意得，，，∴， 当为等腰三角形时，，∴，∴； （2）解：如图， 由折叠的性质可知：，，， ∴，，设，则，， 在中，由勾股定理得：，∴， 解得：，∴； （3）解：在x轴上存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形；分以下三种情况： ①当、是菱形的边时， ∵，∴，∴或； ②当OE是对角线，OM是边长时， ∵，，∴，∴； ③当是对角线，是边长时，此时，∴，∴． 综上所述，点M的坐标为或或或． 4． 【答案】(1)(2)(3)存在， 【详解】（1）解：∵在矩形中，，． ∴，，，，∴； （2）过点作交于，如图： ，，，平分，， 在和中，，， ，，，， ，，解得，； （3）存在，理由如下： 设点． ①当点在下方时，过点作，交轴于点，交于点，如图： 是等腰直角三角形，，， ，， ，，， ，解得，此时点不合题意舍去；      ②当点在的上方时，过点作，交轴于点，交的延长线于点，如图： 同理，可证，， ，解得，，点，， 设解析式为，将，代入得：，解得， 直线的解析式为：． 5． 【答案】(1)(2)或(3)存在，点坐标为或 【详解】（1）解：将点代入直线得：， 解得，∴直线的解析式为， 将代入一次函数得：，解得，∴点坐标为；故答案为：． （2）解：将代入直线得：，即， 将点代入直线得：，解得，∴直线的解析式为， 由题意得：点的坐标为，点的坐标为，∴， ∵，∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则， ∴，解得或， 所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． （3）解：由上已得：，，∴，∴， ∵点为直线上一点，且在中，， ∴分以下两种情况：①如图，以、、、四个点构成的是矩形， 过点作轴于点，∴，，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴，设点的坐标为， ∵矩形的对角线互相平分，， ∴，解得，∴此时点的坐标为； ②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则， ∴，∴此时点的坐标为； 综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或． 6． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：过A作轴于E， ∵菱形的边长为10，，∴，， ∴，∴，∴，∴，∴A的坐标为； （2）解：由（1）知，设对角线的解析式， 则，解得，∴； （3）解：连接，交于， ∵菱形，∴B、D关于对称， ∴，∴， 当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小， ∵，，，A的坐标为，∴， ∵，∴，设解析式为， ∴，解得，∴， 联立方程组，解得，∴， ∴，∴运动时间为秒． 7． 【答案】(1)，(2)①等腰三角形，见解析；②存在， 【详解】（1）解：直线交y轴于点，，直线． 直线交x轴于点B，令，则，解得，． （2）解：①是等腰三角形．理由：，． ，，，，， ．是等腰三角形． ②，，，，，． 当为直角三角形时，不存在和的情况， 当时，，即，解得， 存在实数n，使为直角三角形，n的值为． 8． 【答案】（1），；（2）直线的与坐标轴围成的三角形面积为；（3）或或或 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，∴， 在和中，∴， ∴，故答案为：； （2）如图，过作轴于点，      直线中，令得，令得， ，，则，,同（1）可证得， ，，，，且， 设直线解析式为，代入坐标， 解得：∴ 设直线交轴于点，当时，，则∴ ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为； （3）∵点是直线上的动点，点是直线上的动点， 设，当，时 如图所示，当在点下方时，过点分别作的垂线，垂足分别为，则，      由（1）可得∴，∴即 代入得，解得：，∴ 如图所示，当在点下方时，过点作轴，过点作于点， 同理可得∴， ∴即代入得，解得：∴ 当，时，当点在上方时，如图所示， 过点分别作的垂线，垂足分别为，则， 同理可得∴，∵，∴， 将代入得，解得：∴ 如图所示，当在点上方时，同理可得，代入得， 解得： ∴ 当时，如图所示，过点作轴，交轴和于点，则，   同理可得∴ 设，则， ∵∴解得： ∴，∴ 综上所述，或或或 9． 【答案】(1)，(2)或(3)或或 【详解】（1）解：将点的坐标代入并解得：，故点， 将点的坐标代入，得，解得：，，； （2）解：由（1）得直线的表达式为：，则点， 的面积， 解得：或，故点的坐标为或； （3）解：设点的坐标为， ∵，∴当时，，∴，∵∴， 当，是边时，当点在点的上方时，则，即，解得， 则点的坐标为或； 点在点的正下方个单位，则点或； 当为对角线时，则的中点坐标为，∴点纵坐标为，即：，∴，∴， ∵的中点也为，∴； 综上，点的坐标为或或． 10． 【答案】(1)①证明见解析；②或或(2) 【详解】（1）解：①在中，当时，，当时，， ∴，∴，∴； ∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，即； ②设点M的坐标为，由（1）可得， ∵是中点，∴，由平移的性质可得， ∴，∴， ∴，即点N为的中点，∴； 当时，则，∴，∴或 ， ∴点M的坐标为或； 当时，则， 解得或（舍去，此时点M与点D重合，不存在三角形），∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或； （2）解：∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴直线的解析式为， 设，由轴对称的性质可得， ∴，解得，∴， 设点M的坐标为，∴，∵， ∴，解得，∴． 11． 【答案】(1)①证明见解析；②或或(2) 【详解】（1）解：①在中，当时，，当时，， ∴，∴，∴； ∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，，∴， ∴，∴，∵， ∴，∴，即； ②设点M的坐标为，由（1）可得， ∵是中点，∴，由平移的性质可得， ∴，∴， ∴，即点N为的中点，∴； 当时，则，∴，∴或 ， ∴点M的坐标为或； 当时，则， 解得或（舍去，此时点M与点D重合，不存在三角形），∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或； （2）解：∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴直线的解析式为，设， 由轴对称的性质可得，∴， 解得，∴，设点M的坐标为，∴， ∵，∴，解得，∴．      12． 【答案】(1)(2)(3)7 【详解】（1）解：当光线经过点时，代入得，，解得：，           当光线经过点时，代入得，，解得：，           ∴所求m的取值范围是． （2）∵点恰好是平面镜的中点，，，∴点， 当光线照射到点P时，可得，解得：，∴ 当时， ∴此时，           由光线反射可知，此时，光线与光线关于直线对称， ∴点C与点关于直线对称，∴， ∴设所在直线的函数表达式为（k为常数且）， 代入点，得，解得，∴光线所在直线的函数表达式为． （3）解：由（1）知，当光线经过点时， 将代入得，解得：∴ 当时，∴，当时，∴ ∴由光线反射可知，此时点C与点B关于直线对称，∴； 同理，当光线经过点时，可得，此时点C与点B关于直线对称，可得． ∴点C的纵坐标在到之间的整数，分别是4，5，6，7，8，9，10，共7个． 13． 【答案】(1)①；②(2)是，(3) 【详解】（1）解：①点的横坐标为，且点是直线与直线的交点， 点的纵坐标为：，把点的坐标代入，可得：，解得：； ②∵直线：（）与轴相交于点，∴当时，∴， ∵轴，∴轴，当点与点重合时，， 将代入得，，∴∴； （2）解：的值是定值，这个定值为； 理由如下：由可知直线的解析式为， 当时，可得：，点的坐标为，， 设点的坐标为，∵轴，点在直线：上， ∴点的坐标为，， ， ， ；故的值是定值，这个定值为； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为 联立直线表达式可得，，解得，点的坐标为， 当点在线段延长线上时， ， ∴ 当点在线段上时，， ∴同上：； 当点在线段延长线上时，， ∴．综上：． ( 地 城 考点0 3 二次根式综合压轴 ) 一、选择题 1 2 D A 二、填空题 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】 2 90 三、解答题 6． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：∵，∴，即，∴． ∵或0（舍去），∴； （3）解：， 设： ， ，则原式， ， ． 7． 【答案】(1)(2)， 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：∵M与N是互为“t相关代数式”， ∴，整理得，， ∵t是有理数，∴，，解得，． 8． 【答案】(1)①③(2)(3)①；②或 【详解】（1）解：；； ；故满足要求的是①③； （2）解：原式 ； （3）解：① 是“完全平方根式”，， 又，且为正整数或或， 当的值最小时，有最小值，，， ②， 为正整数，是整数，，即，， ，，， 当时，，原式； 当时，，原式． 9． 【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【详解】（1）证明：，移项可得． ∴ ，，， ∵m，n为非负整数，∴ ，则 ，即 （2）证明：∵，∴ ， 将代入，得 ， ∵m为非负整数，∴，，∴， ∵m为非负整数，∴一定是偶数，偶数加1一定是奇数，∴一定是奇数，即q一定是奇数． 10． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ，， ； （3）解：，， ，即，． 11． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，，∴，， 剩余部分的面积为：． 12． 【答案】(1)(2)见解析(3)5 【详解】（1）解：由题意，； （2）证明：∵，且n为整数， ∴ ，； （3）解： ， ∵的小数部分是0.1∴，∴， ∴的整数部分为． 13． 【答案】(1)；(2)(3)， 【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； （2）解：，∴； （3）解：∵，∴，，，∴， ∴， ， ∴，∴， ∵，∴点M的“横负纵变点”为． 14． 【答案】（1）；（2）；（3）<，> 【详解】解：（1）由题可得：， 故答案为：； （2）由题可得：，整理得：，移项得：， 解得：，故答案为：； （3）由题可得：令，， ∴，， ∴，∴；令，， ∴，， ∴，∴．故答案为：<，>． 15． 【答案】(1)2(2)(3) 【详解】（1）解：∵， 且，∴； （2）解：∵∴， 化简后两边同时平方得：，∴，经检验：是原方程的解； （3）解： ． ( 地 城 考点0 4 数据分析综合压轴 ) 一、选择题 1 2 3 4 5 D D D B C 二、填空题 6．【答案】 4 9 7．【答案】12 三、解答题 8． 【答案】(1)A组平均数为3分，众数为3分，中位数为3分；B组平均数为3分，众数为4分，中位数为3分(2)B组成绩更稳定(3)①图表见详解；②两组的中位数相同，但A组出现了满分，说明从绝对成绩出发，A组发挥出色．但B组箱体比A组更加扁，说明的分数更加集中，在上四分位数相同的情况下，B组中间成绩更稳定 【详解】（1）解：由图可得，A组的平均数为：（分），众数为3分，中位数为3分； B组的平均数为：（分），众数为4分，中位数为3分； （2）解：由题意得，A组方差， B组方差， ∵，∴B组成绩更稳定； （3）解：由题意得，A组的下四分位数为，上四分位数为； B组的下四分位数为，上四分位数为；∴四分位数表如下： 组别 下四分位数 中位数 上四分位数 A组 2 3 4 B组 3 4 箱线图如下： 总结：两组的中位数相同，但A组出现了满分，说明从绝对成绩出发，A组发挥出色；但B组箱体比A组更加扁，说明的分数更加集中，在上四分位数相同的情况下，B组中间成绩更稳定． 9． 【答案】(1)85，60(2)80，90，90(3)选择乙模型，理由见解析 【详解】（1）解：， （2）解：根据四分位数、箱线图①处应填，②处应填，③处应填； （3）解：选择乙模型，理由如下：通过平均数可得；通过方差可得，乙模型表现更为稳定； 通过四分位数和箱线图可得，乙模型四分位距更小，更稳定；∴选择乙模型． 10． 【答案】(1)(2)(3)①(4)乙园茶叶品质更优，见解析 【详解】（1）解：； （2）解：乙园样本数据的平均数； （3）解：将200个样本数据按从小到大顺序排列，中位数为第100位与第101位数据的平均数， 甲园A，B组频数之和为：，A，B，C组频数之和为：， 可得甲园样本赋分数据的中位数在组，同理，乙园样本赋分数据的中位数也在组，故结论①一定正确； 因为不知道每个样本的具体分值，所以不能得出两园样本赋分数据的众数，及最大数与最小数的差， 故结论②③不一定正确，故答案为①； （4）解：乙园茶叶品质更优． 理由：甲园：一级茶叶（组）占比， 二级茶叶（B组）占比， 三级茶叶（组）占比； 乙园：一级茶叶（组）占比， 二级茶叶（B组）占比， 三级茶叶（组）占比； 乙园一级茶叶占比明显高于甲园的，三级茶叶占比明显低于甲园的，说明乙园茶叶品质更优． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $