专题06 八年级下册综合压轴专项汇编（几何类）（3大考点期末真题汇编，四川专用）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 八年级下册几何压轴专项汇编，聚焦几何最值、图形综合（选填/解答）三大高频考点，精选四川多地期末真题45题，覆盖选择、填空、解答，强化动态几何与综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|矩形动点最值（自贡期末矩形PQ最小值）、正方形多结论判断（德阳期末正方形EPFQ结论）|结合四川期末真题，注重几何性质综合应用| |填空题|13题|折叠问题（绵阳安州矩形折叠AG最小值）、等腰直角三角形构造（宜宾平行四边形AEF最小值）|动态几何情境，考查空间观念与转化思想| |解答题|15题|勾股定理证明（赵爽弦图）、正方形旋转综合（绵阳涪城正方形与BEF旋转）|分层设计：定理证明→应用拓展→创新探究，适配期末压轴训练|

专题06 八年级下册综合压轴专项汇编（几何部分） 3大高频考点概览 考点01几何最值问题（15题） 考点02几何图形综合压轴（选填题）（15题） 考点03几何图形综合压轴（解答题）（15题） ( 地 城 考点01 几何最值问题 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连结，则的最小值为（    ）    A．22 B．24 C．25 D．26 2．（24-25八年级下·四川绵阳三台·校考期末）如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，菱形边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川德阳·期末）如图，在正方形中，，对角线上有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②若E是的中点，连接，则的最小值为；③为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）如图，在等腰直角三角形中，，是内部一点，且满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图，菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点，点E是的中点，点P是上的一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D． 7．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在矩形中，，，点分别在边，上，且满足，连接，，点，分别在，上移动（不与端点重合），且满足，则下列说法不正确的是（   ） A．连接， B．的最小值为 C． D．当时，四边形为矩形 二、填空题 8．（24-25八年级下·四川绵阳涪城区·期末）如图，，，点为射线上的动点，则的最小值为_____． 9．（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，在矩形中，，过对角线的中点O作的垂线交于点E，交于点F，且，P是上的动点，连接，则的最小值为______． 10．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在平行四边形中，，，点E是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 11．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·期末）如图，在中，，，点、是线段、上的两个动点，满足，则的最小值为______． 12．（24-25八年级下·四川绵阳市安州区·期末）如图，在矩形中，，E为上一点，连接，将沿折叠，点A落在处，连接，若F、G分别为、的中点，则的最小值为 __． 13．（24-25八年级下·四川德阳·期末）如图，在中，是直角，是边上的高，是的角平分线，和交于点F，，P是边上的一动点，连接，给出下面四个结论： ①；②；③当，时，； ④当，时，的最小值为；上述结论中，正确结论的序号有______ 14．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）如图所示，四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于____． 三、解答题 15．（24-25八年级下·四川绵阳平武县·期末）按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 ( 地 城 考点02 几何图形综合压轴（选填题） )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，和都是等腰直角三角形，且的顶点在的斜边上，，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，正方形中，，点G在的延长线上，且，连接，，并延长交于M．下列结论中：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·四川绵阳江油市·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级下·四川绵阳江油市·期末）如图，点O为正方形的中心，平分交于点E，延长到点F，使，连结交的延长线于点H，连结交于点G，连结．则以下四个结论中：①，②，③，④．正确结论的个数为（ ）   A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（     ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在平行四边形中，点E是的中点，作交于F，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．（24-25八年级下·四川绵阳安州区·期末）如图，在中，，点D是边上的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，若，则____o． 8．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，交于点．若，则的面积为___________． 9．（23-24八年级下·四川绵阳游仙区·期末）如图，是一钝角三角形，，现以为斜边向外作等腰直角三角形，点D为边中点，连接，若，则_____． 10．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在四边形中，，，，，四边形沿着翻折，使点落在点，、、分别是、、的中点，则的长度为______ 11．（24-25八年级下·四川广元·期末）一张矩形纸片，其中，先沿对角线对折，使点C落在点的位置，交于点G（图1）；再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕，交于点M（图2），则的长为_______． 12．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图，在矩形中，，E为边上一动点（不含端点），F为边上一点，，交于点G，下面四个结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当，时，．其中正确的是______（填写序号）． 13．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形中，，，为中点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，点对应点，连接．以下结论中，所有正确结论的序号是_____． ①；②；③；④为直线上一个动点，连接，，则的最小值为． 14．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）定义：顶角为的等腰三角形，叫做“倍十五等腰三角形”．在等腰中，，，，点为边上一点，连接．若△是“倍十五等腰三角形”，则的长为_________． 15．（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）如图，，，在的三边、、上，若、、把的周长成两条等长的折线，即，则、、三线相交于点，此点称为三角形的“界心”，亦称“奈格尔点”．当且为等边三角形时，长为____ ． ( 地 城 考点0 3 几何图形综合压轴（解答题） )一、解答题 1．（24-25八年级下·四川德阳·期末）综合与探究 勾股定理是平面几何中最著名的定理之一，描述了直角三角形三条边之间的关系，其核心内容为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【定理证明】(1)勾股定理的证明方法很多，赵爽弦图（如图1），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请你用它验证勾股定理：； 【定理应用】(2)如图2，在网格中，是格点三角形（顶点为网格线的交点），求点到边的距离；(3)如图3，在中，，点是高上一点，．若,，求的长； 【拓展延伸】(4)已知和均是等腰直角三角形，，如图4，连接，，若，，，直接写出的长． 2．（24-25八年级下·四川绵阳市涪城区·期末）综合与实践 初步感知：在数学活动课上老师出示了如下的问题：如图1，已知正方形和等腰直角，且点E在正方形边上，点F在边的延长线上，连结，延长交于点M，求证：．(1)请你解决老师提出的问题； 深入探究：(2)勤学小组的同学将等腰直角绕着点B旋转到图2的位置，此时，连接，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 拓展应用：(3)在等腰直角绕着点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，如图3，若， ，请直接写出的长度． 3．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·期末）在正方形中，F是边上一点，，且． (1)如图，过点P作于点E，求证：；(2)如图，连接，交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 4．（23-24八年级下·四川广安邻水县·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究． (1)【概念理解】如图2，在四边形中，，，则四边形______（填“是”或“不是”）垂美四边形． (2)【性质探究】如图1，四边形的对角线交于点，．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形的四条边具有以下数量关系：．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由． (3)【问题解决】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，已知，，请直接写出的值． 5．（24-25八年级下·四川绵阳市北川县·期末）（1）【操作发现】：如图一，在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G．猜想线段和的数量关系并证明； （2）【类比探究】：如图二：将（1）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）【拓展应用】如图三，将（1）中的矩形改为正方形，边长，其它条件不变，求线段的长．    6．（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图1，在中，，分别为，的中点，连接，． (1)求证：；(2)如图2，连接，且，为的中点． ①的中点为，连接，，证明四边形是菱形； ②如图3，平分交于点，连接，若，求的长． 7．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图1，E为正方形边上的一点，连接，过点A作的垂线交直线于点F，连接． (1)求证：；(2)连接，平分线交于点G，过点G作的垂线，垂足为H． ①求证：；②若正方形的边长为8，，求（用含x的代数式表示）． 8．（24-25八年级下·四川自贡·期末）【问题提出】 (1)如图1，是正方形的对角线，点E是上一点，连接、．求证：； 【问题探究】(2)如图2，菱形的对角线、相交于点O，点E是延长线上一点，连接、，，若，，求四边形的面积； 【问题解决】(3)如图3，在菱形拍摄场地中，．为保障场地安全，安装监控覆盖设备：监控点E在对角线的延长线上，监控点H在边的延长线上，直线与边、分别交于点F、G，调试后测得．试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 9．（24-25八年级下·四川绵阳涪城区·期末）问题探究 (1)如图①，在中，点E、F分别是、的中点，连接、，点G是上一点，连接、，若，则_________； (2)如图②，在四边形中，连接，，过点A分别作于点E，于点F，若，分别求与的度数； 问题解决(3)为践行山水林田湖草沙一体化保护和系统治理的生态文明理念，某地拟对一片区域制定并逐步实施绿化规划．如图③，和是两条公路，内部是一大片荒地，点C、D分别在、上，是一条青砖路，，．现拟规划一个五边形区域，并对该区域绿化，点E、F是右上方的动点．连接、，将、建成碎石路，根据规划要求，．点P是上一点，现要在以点E、F、P为顶点的三角形区域内种植常绿乔木，其余地方开垦成农田或种植草坪．为提升绿化效果，要求常绿乔木的种植面积尽可能的大．请你求出种植常绿乔木面积的最大值（即求以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值）．（公路、青砖路、碎石路宽度都忽略不计） 10．（24-25八年级下·四川绵阳江油市·期末）如图，矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接；作于点F，若，，求的长； (3)如图3，若，连接，在上画点G，在上画点H，使，连，，当的和最小，且最小值为时，直接写出的长． 11．（24-25八年级下·四川绵阳平武县·期末）如图，在正方形中，点在射线上（不与，重合），点为直线上一点，． (1)如图①，若，，的长是______，的长是______； (2)如图②，当在线段上时，猜想，，之间的数量关系并证明； (3)当在线段的延长线上时，第（2）问中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，请探究，，之间的数量关系． 12．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图1，在四边形中，点E是对角线上一点，，，． (1)直接写出：与之间的数量关系为 ．(2)猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由．(3)如图2，若点E是中点，，求的长． 13．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在矩形中，点E为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形AEF，使，，连接． (1)如图1，连接．若，，，求的面积； (2)如图2，若点E为线段的中点，试探究线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 14．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图1，四边形是正方形，，点为上一点，连接，过点作，垂足为点交于点，过点分别作交于点． (1)设，求（用含的代数式表示）；(2)连接，求证：； (3)如图2，连接，设的最小值为，求的值． 15．（24-25八年级下·四川德阳旌阳区·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标；(2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长．②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 八年级下册综合压轴专项汇编（几何部分） 3大高频考点概览 考点01几何最值问题（15题） 考点02几何图形综合压轴（选填题）（15题） 考点03几何图形综合压轴（解答题）（15题） ( 地 城 考点01 几何最值问题 )一、选择题 1．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连结，则的最小值为（    ）    A．22 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【详解】解：如图，连接；在矩形中，    ∵∴∴四边形是平行四边形 ∴；则；在的延长线上截取，连接 则∵∴ 连接，则∵∴的最小值为故选：D 2．（24-25八年级下·四川绵阳三台·校考期末）如图，在中，，，，M是延长线上一点，，P是边上一动点，连接，作与关于对称（点D与点B对应），连结，则长的最小值是（   ） A．0.5 B．0.6 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点A作于点E，连接， ∵；当点A在上时的值最小，如图， ∵，，∴，由折叠得：， ∵，∴∠，又∵，∴， 在中中，∵，∴，∴， 在中，∵，∴， ∴．故选C． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，菱形边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，，∴， ∴，∴，∵四边形是菱形，， ∴，∴， 延长交于，则在射线上运动， ∵是等边三角形，∴，∴， 当点与重合时，取最小值，如图，此时，，故选：． 4．（24-25八年级下·四川德阳·期末）如图，在正方形中，，对角线上有一动点P，以为边作正方形．下列结论：①在P点运动过程中，F点始终在射线上；②若E是的中点，连接，则的最小值为；③为等腰三角形时，的值为或．其中结论正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：连接，过点P作交于H，如图所示： ∵四边形和四边形是正方形，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴点B，点C，点F三点共线， ∴在P点运动过程中，F点始终在射线上，故①正确；取的中点N，连接，如图所示： ∵点N是的中点，点E是中点，∴， ∵，∴，又∵，∴，∴， ∵点P是线段上一点，∴当时，有最小值， ∵，∴此时，∴有最小值为，故②正确； ∵，∴， 当点P是中点时，，则是等腰三角形， 当时，是等腰三角形，此时， ∴为等腰三角形时，的值为或；故③正确； 综上分析可知，①②③正确， 故选：D． 5．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）如图，在等腰直角三角形中，，是内部一点，且满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点P作于点Q，过点P作，作点B关于的对称点，连接，，且交于点，如图所示： ∵在等腰直角三角形中，， ∴，，∴， ∵，∴，即点P到直线的距离为1， ∵，且过点P，∴点P在直线上， 根据轴对称可得：，，， ∵，∴，∵，∴， ∵两点之间线段最短，∴当C、P、在同一直线上时，最小，即最小， ∴当点P在点处时，最小，且最小值为的长度， 根据勾股定理得：，∴最小值为． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图，菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点，点E是的中点，点P是上的一动点，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点， ∴，，， ∴，∴，是等边三角形， ∵点E是的中点，∴，∵点D与点B关于对称，故连接，交于点， 当点P与点重合时，的值最小，且最小值为的长， 由是等边三角形， 故，∴， ∴，故的最小值为4，故选：A． 7．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在矩形中，，，点分别在边，上，且满足，连接，，点，分别在，上移动（不与端点重合），且满足，则下列说法不正确的是（   ） A．连接， B．的最小值为 C． D．当时，四边形为矩形 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形，，，∴，， ∵，∴，， 同理可得：，∴，∴四边形是菱形， ∴，则说法A正确；如图，连接，由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时有，∴， 即的最小值为，说法B正确；如图，连接， ∵四边形是菱形，∴，又∵，∴四边形是平行四边形， 假设，∴平行四边形是矩形，∴，但由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即不成立，说法C错误；如图，连接， ∵，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，由上已得：四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形，则说法D正确． 二、填空题 8．（24-25八年级下·四川绵阳涪城区·期末）如图，，，点为射线上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：如图，过点作射线，使，且射线在的下方，过点作于点，在中，，，， 根据垂线段最短可知，当三点共线且时，取得最小值，最小值为点到直线的距离，∵，， 过点作于点，则的长即为所求最小值 在中，，，∴ ，∴，的最小值为． 9．（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，在矩形中，，过对角线的中点O作的垂线交于点E，交于点F，且，P是上的动点，连接，则的最小值为______． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，∵四边形为矩形，，， 是中点，，，，， 垂直平分，，∴要使有最小值，则需A、P、F三点共线，如下图， ， 的最小值为，故答案为：． 10．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在平行四边形中，，，点E是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：如图：过点B作，取，连接， ∵为等腰三角形，且，∴， 又∵，∴，∴，∴当取最小值时，也取最小值． ∵点E是射线上一点，∴最小值为点G到射线的距离， 如图：过点G作交延长线于点M，过点C作于点H，即为的最小值． ∵，四边形为平行四边形，， ∴，，∴，， 又∵，∴，，∴，， ∵，，，∴四边形是矩形，∴， ∴．∴最小值为．故答案为：． 11．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·期末）如图，在中，，，点、是线段、上的两个动点，满足，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，交于点O，过点D作于点G，过点O作于点H，连接， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，即的最小值为的长， ∵，，∴，∴， 在中，∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴．即的最小值为．故答案为： 12．（24-25八年级下·四川绵阳市安州区·期末）如图，在矩形中，，E为上一点，连接，将沿折叠，点A落在处，连接，若F、G分别为、的中点，则的最小值为 __． 【答案】1 【详解】解：如图，连接，∵F、G分别为、的中点，∴， 当的最小时，即最小，∵四边形矩形，， ∴，∴， ∵沿折叠，∴，在中有， ∴，即，∴，∴的最小值为1，故答案为：1． 13．（24-25八年级下·四川德阳·期末）如图，在中，是直角，是边上的高，是的角平分线，和交于点F，，P是边上的一动点，连接，给出下面四个结论： ①；②；③当，时，； ④当，时，的最小值为；上述结论中，正确结论的序号有______ 【答案】①②③④ 【详解】解：由题意可得，， ∴，∴，①正确； ∵是的角平分线，∴， 由三角形外角的性质可得，，， ∴，∴，②正确；∵∴， 由可得，，即，解得， 在中，，，∴，在中，，，∴， 由勾股定理可得，，③正确；连接，如图， ∵，∴， 又∵，，∴，∴， 又∵，，∴，∴，∴， 当三点共线时，最小，为，即最小为， 由，可得， 则，即，解得，④正确， 综上，正确的为①②③④ 14．（24-25八年级下·四川凉山州·期末）如图所示，四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于____． 【答案】15.6 【详解】解：，，， ，， 四边形是平行四边形， 于点O，平行四边形是菱形，， 连接PD，如图所示： ，， ，，当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短，此时， 当点P与点O重合时，有最小值，最小值为．故答案为：15.6． 三、解答题 15．（24-25八年级下·四川绵阳平武县·期末）按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【答案】(1)13；(2)17． 【详解】（1）解：如图，在中，由勾股定理，可得， 在中，由勾股定理，可得， ∵，∴的最小值为的长， 在中，由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； （2）解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，，∴在中，； 在中，，∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，，∴四边形为长方形， ∴，，∴， ∴，∴的最小值为17． ( 地 城 考点02 几何图形综合压轴（选填题） ) 一、选择题 1．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，和都是等腰直角三角形，且的顶点在的斜边上，，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 和都是等腰直角三角形，， ，， ，，， 在和中，，， ，，， ，， 在中，，， ，在中，，∴ 设，则，∵∴ ∴解得，∴， 解得（负值已舍去）故选：A 2．（24-25八年级下·四川南充仪陇县·期末）如图，正方形中，，点G在的延长线上，且，连接，，并延长交于M．下列结论中：①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵正方形，∴，， 即，∵∴，∴，∴， 在和中，∴，∴，故①正确； ∵，∴，∴ ，∴是直角三角形， ∵，∴A为斜边的中点，∴，∴，故②错误； ∵，∴，故③正确； 在和中，∴，∴， 若，则，∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 即，此时E为定点，题干未给出此条件，故④错误；故选：B． 3．（23-24八年级下·四川绵阳江油市·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：四边形是矩形，， 平分，于点H，，， 和是等腰直角三角形，， ，∴， 在和中，，∴，，故正确， ，， ，， ，，∴平分；故正确； ，，，， ，，，，故正确；连接．    ，，，， ，，， ，故正确．故选：D． 4．（24-25八年级下·四川绵阳江油市·期末）如图，点O为正方形的中心，平分交于点E，延长到点F，使，连结交的延长线于点H，连结交于点G，连结．则以下四个结论中：①，②，③，④．正确结论的个数为（ ）   A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴是的中位线∴；故①正确；∴，， ∵是的中位线，∴，， ∵，∴，∵，∴，故②错误． ∵四边形是正方形，∴，∵是的平分线，∴， 由①可得，，∴，， ∵是的中位线，∴，∴， ∴，故④正确； ∵是的中位线，∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴；故③错误．故答案为：C． 5．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点G作于点M，连接 ∵在正方形中，点、点分别是边，上的中点， ∴，，∴∴ ∵∴∴，即 设，则∴ ∴∴∴∴ ∵∴∴ ∴∴∴ ∵点，点分别是，上的中点，∴ ∵∴∴解得（负值舍去） ∴∴正方形的边长等于． 6．（24-25八年级下·四川自贡·期末）如图，在平行四边形中，点E是的中点，作交于F，若，，下列结论中：①，②，③，④，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图，延长、交于点M， 在中，，∴，， ∵点E是的中点，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，，故②正确； ∵，∴，∴，∴，故①正确； ∴，∴， ∴，故④正确； 由现有条件无法证明，故③不一定正确，综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 二、填空题 7．（24-25八年级下·四川绵阳安州区·期末）如图，在中，，点D是边上的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，若，则____o． 【答案】 【详解】解：如图，分别延长，交于点，延长交于点， ，．， ，，． 为的中点，，，． ，，，． 在和中，．， ∵，，，． 8．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在中，，，以为边向外作正方形，连接，交于点．若，则的面积为___________． 【答案】 【详解】解：作于点L，交的延长线于点H，则， ∴，∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴， ∴平分，且于点L，于点H，∴， ∵，且，∴， ∵，∴， ∴，∴． 9．（23-24八年级下·四川绵阳游仙区·期末）如图，是一钝角三角形，，现以为斜边向外作等腰直角三角形，点D为边中点，连接，若，则_____． 【答案】 【详解】解：如图：分别取中点，连接， 在中，是边上的中点，∴，即， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵等腰和等腰，∴， 又∵， ∴，且， ∴，∴，∴， 在中，设，则，∴， ∴在中，， ∴，∴∴为等腰直角三角形， ∴．故答案为：． 10．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在四边形中，，，，，四边形沿着翻折，使点落在点，、、分别是、、的中点，则的长度为______ 【答案】 【详解】解：由翻折可知，． ∵、分别是、的中点，∴，，∴． ∵、分别是、的中点，∴，，∴， ∴， ∴．故答案为：． 11．（24-25八年级下·四川广元·期末）一张矩形纸片，其中，先沿对角线对折，使点C落在点的位置，交于点G（图1）；再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕，交于点M（图2），则的长为_______． 【答案】 【详解】解：∵点与点重合，得折痕，， ，在 中，， 根据折叠可知，则,∴， ∴，∴，∴，， 在 中，，由折叠的性质可知， ∵，∴，， ，，设，则， 由勾股定理得，即，解得，即．故答案为：． 12．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图，在矩形中，，E为边上一动点（不含端点），F为边上一点，，交于点G，下面四个结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当，时，．其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①②④ 【详解】解：如图，连接交于， ∵矩形，∴，， ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴，故①符合题意； ∵，，，∴， ∴，∴，∴， ∴，故②符合题意；令，，结合②可得：， ∴，∴，∴， 此时，不成立，故③不符合题意；如图，过作交的延长线于， 同理可得：，而，， ∴，∴，，∴， ∴，而，∴四边形是平行四边形，∴，， ∵，令，则，∴，∴， ∴，∴，∴，∴，故④符合题意． 13．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形中，，，为中点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，点对应点，连接．以下结论中，所有正确结论的序号是_______． ①；②；③；④为直线上一个动点，连接，，则的最小值为． 【答案】②③ 【详解】解：①由翻折的性质，， 因为四边形是矩形，所以，，， 因为为中点，所以，设，， 在中，，，解得，结论错误； ②为中点，作交于，连接， 因为四边形是矩形， 所以，，， 所以， ，所以四边形，是矩形， 在与中，，所以，所以， 在中，，所以，所以，结论正确； ③因为，所以，， 所以，结论正确； ④由翻折的性质，四边形与四边形关于轴对称， 与关于轴对称，连接，，所以，所以， 所以当三点共线时，的最小值为， 此时在中，，结论错误． 14．（24-25八年级下·四川绵阳三台·期末）定义：顶角为的等腰三角形，叫做“倍十五等腰三角形”．在等腰中，，，，点为边上一点，连接．若△是“倍十五等腰三角形”，则的长为_________． 【答案】或 【详解】解：过点作于点，∵ ，，∴ ， 在中，，∴ ，设，∴ ， 由勾股定理得，∴ ， 在中，由勾股定理得，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵ 是“倍十五等腰三角形”，且点在边上，， ∴ 当顶角，且时，∴ ， 又∵ ，∴ 点与点重合，∴ ． 当顶角，且时，∴， 过点作于点，∴∴ ， 在中，，∴ ，∴ ． 综上所述，的长为或． 15．（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）如图，，，在的三边、、上，若、、把的周长成两条等长的折线，即，则、、三线相交于点，此点称为三角形的“界心”，亦称“奈格尔点”．当且为等边三角形时，长为____ ． 【答案】 【详解】解：如图，过点A作于． ∵是等边三角形，，，， 设，则，， 由可知， ，得，，得， ，由，得， ∵，∴，在中，， ，化简得：， 再化简得：，整理得：，， ，解得：（不符合题意，舍去），，． ( 地 城 考点0 3 几何图形综合压轴（解答题） ) 一、解答题 1．（24-25八年级下·四川德阳·期末）综合与探究 勾股定理是平面几何中最著名的定理之一，描述了直角三角形三条边之间的关系，其核心内容为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和． 【定理证明】(1)勾股定理的证明方法很多，赵爽弦图（如图1），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请你用它验证勾股定理：； 【定理应用】(2)如图2，在网格中，是格点三角形（顶点为网格线的交点），求点到边的距离；(3)如图3，在中，，点是高上一点，．若,，求的长； 【拓展延伸】(4)已知和均是等腰直角三角形，，如图4，连接，，若，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)(4) 【详解】（1）解：外面大正方形的边长为，大正方形的面积为， 大正方形的面积里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ，整理得：； （2）解：， 如下图所示，过点作于，由勾股定理得， ，解得：，点到边的距离为； （3）解：，，，， 在中，由勾股定理得，设，则， ，，在中，由勾股定理得， 即，解得：，即； （4）解：如下图所示，过点作于， ，，， ，，， ，．． 2．（24-25八年级下·四川绵阳市涪城区·期末）综合与实践 初步感知：在数学活动课上老师出示了如下的问题：如图1，已知正方形和等腰直角，且点E在正方形边上，点F在边的延长线上，连结，延长交于点M，求证：．(1)请你解决老师提出的问题； 深入探究：(2)勤学小组的同学将等腰直角绕着点B旋转到图2的位置，此时，连接，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 拓展应用：(3)在等腰直角绕着点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，如图3，若， ，请直接写出的长度． 【答案】(1)见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵正方形和等腰直角， ∴，，，∴，∴， ∴，∴，即； （2）解：，证明如下； ∵，∴，由（1）可知，，∴， 又∵，∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，∴， 如图2，连接，∵正方形，∴，∴， ∴， ∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：如图3，连接，由勾股定理得，，， 同理（1）可得，，，即，设，则， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或（舍去），∴， 如图3，过作于，于，则四边是矩形，∴，， 设，，则，， 由勾股定理得，，即，整理得，； ，即，整理得，； 式代入②式得，，解得，， ∴或（舍去），∴，， 由勾股定理得，，∴的长度为． 3．（24-25八年级下·四川绵阳游仙区·期末）在正方形中，F是边上一点，，且． (1)如图，过点P作于点E，求证：； (2)如图，连接，交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵正方形，，， ∴，，∴， ∴，∴，∴，， ∴，∴，∴； （2）证明：如图，连接，，过作于， 由（1）得：，∴， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴，∴，， ∵，，，∴， ∴，，∴，∴，∴； （3）解：如图，连接，，过作于，作于，由（2）得：， ∵，，∴，，∴， ∵，∴，∵，，，∴四边形为矩形； ∵，∴，∴四边形为正方形； ∴，∴，∴， ∴，∴． 4．（23-24八年级下·四川广安邻水县·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究． (1)【概念理解】如图2，在四边形中，，，则四边形______（填“是”或“不是”）垂美四边形． (2)【性质探究】如图1，四边形的对角线交于点，．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形的四条边具有以下数量关系：．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由． (3)【问题解决】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，已知，，请直接写出的值． 【答案】(1)是，理由见详解(2)正确，理由见详解(3)的值为 【详解】（1）解：是，理由如下，如图所示，连接，交于点， 在，中，，，， ∴，∴，，， 在中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴四边形是垂美四边形，故答案为：是； （2）解：正确，理由如下，∵四边形是垂美四边形，，交于点， ∴在中，，在中，， 在中，，在中，， ∴，，∴； （3）解：如图所示，设交于点，交于点， ∵，，，∴，即， 在中，，∴，∴， ∵，，∴， ∴在中，， ∴，即四边形是垂美四边形，由（2）可得，， ∵在中，，，∴， ∵是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴在中，，在中，， ∴变形得，，∴，的值为． 5．（24-25八年级下·四川绵阳市北川县·期末）（1）【操作发现】：如图一，在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G．猜想线段和的数量关系并证明； （2）【类比探究】：如图二：将（1）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）【拓展应用】如图三，将（1）中的矩形改为正方形，边长，其它条件不变，求线段的长．    【答案】（1），理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立，证明见解析；（3） 【详解】解：（1）；理由如下：连接， ∵四边形是矩形，∴，∵E是的中点，∴， ∵将沿折叠后得到，∴，， ∴，∴，∴，∴，∴； （2）（1）中的结论仍然成立．证明：如图2，连接， ∵E是的中点，∴，∵将沿折叠后得到， ∴，，∴，∴， ∵四边形为平行四边形，∴， ∴，，∴， ∴，∴，∴；即（1）中的结论仍然成立； （3）如图3，∵正方形是特殊的平行四边形，∴（2）中的仍然成立， 设，则，，在中，， ∴，解得：，即．    6．（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图1，在中，，分别为，的中点，连接，． (1)求证：；(2)如图2，连接，且，为的中点． ①的中点为，连接，，证明四边形是菱形； ②如图3，平分交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②12 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴， ∵，分别为，的中点，∴， ∴，∴四边形是平行四边形，∴． （2）①证明：∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线，∴， 同理可得：，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴，∴四边形是菱形． ②解：如图，过点作于点，取的中点，连接， ∵，为的中点，，∴， ∵平分，，∴， 在和中，，∴， ∴，∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线，∴，，∴， ∵，∴，， ∴，即平分， 又∵，，∴，∴， 又∵为的中点，∴． 7．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图1，E为正方形边上的一点，连接，过点A作的垂线交直线于点F，连接． (1)求证：；(2)连接，平分线交于点G，过点G作的垂线，垂足为H． ①求证：；②若正方形的边长为8，，求（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)见详解(2)①见详解；② 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，则， ∵，∴，∴， ∵点F在直线上，∴， 在中，，∴，∴； （2）解：①证明：∵四边形是正方形，∴， 由（1）可知，且，∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵是的外角，∴， ∵平分，∴，∴，∴； ②∵正方形的边长是8，∴，，∴， 由上述计算得到，且，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴． 8．（24-25八年级下·四川自贡·期末）【问题提出】 (1)如图1，是正方形的对角线，点E是上一点，连接、．求证：； 【问题探究】(2)如图2，菱形的对角线、相交于点O，点E是延长线上一点，连接、，，若，，求四边形的面积； 【问题解决】(3)如图3，在菱形拍摄场地中，．为保障场地安全，安装监控覆盖设备：监控点E在对角线的延长线上，监控点H在边的延长线上，直线与边、分别交于点F、G，调试后测得．试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)(3)，见解析 【详解】（1）证明：∵是正方形的对角线，∴ ∵∴∴； （2）解：∵四边形是菱形，∴，平分， ∴垂直平分，， 又，∴是等腰直角三角形，，， ∵，∴，是等腰直角三角形， ∴，则， ； （3）解：在上截取，连接， ∵菱形，∴，，∴ 为等边三角形，，∴， ∵，，∴为等边三角形，∴， ∵菱形，∴，，， ，， ∵∴， ，，，． 9．（24-25八年级下·四川绵阳涪城区·期末）问题探究 (1)如图①，在中，点E、F分别是、的中点，连接、，点G是上一点，连接、，若，则_________； (2)如图②，在四边形中，连接，，过点A分别作于点E，于点F，若，分别求与的度数； 问题解决(3)为践行山水林田湖草沙一体化保护和系统治理的生态文明理念，某地拟对一片区域制定并逐步实施绿化规划．如图③，和是两条公路，内部是一大片荒地，点C、D分别在、上，是一条青砖路，，．现拟规划一个五边形区域，并对该区域绿化，点E、F是右上方的动点．连接、，将、建成碎石路，根据规划要求，．点P是上一点，现要在以点E、F、P为顶点的三角形区域内种植常绿乔木，其余地方开垦成农田或种植草坪．为提升绿化效果，要求常绿乔木的种植面积尽可能的大．请你求出种植常绿乔木面积的最大值（即求以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值）．（公路、青砖路、碎石路宽度都忽略不计） 【答案】(1)4(2)，(3)种植常绿乔木面积的最大值为 【详解】（1）解：连接，， ∵，∴，，∴根据等底等高可得， ∵点E、F分别是、的中点，∴，， ∴，，∴，四边形是平行四边形， ∴，∴； （2）解：∵，过点A分别作于点E，于点F， ∴，，， ∵，∴，∴， ∵四边形内角和，∴； （3）解：分别取、中点、，连接，，，过作交于，交于，交于，如图，∵，、中点、，， ∴，，是中位线， ∴，，，，， 设，则， ∵，，∴，，，∴，， ∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，， ∵，∴，，∵， ∴，，， ∴，，∴， ∵以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值，， ∴当最大时最大，由和垂线段最短可得， ∴当时，最大，最大值，此时为最大值， 即种植常绿乔木面积的最大值（即求以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值）为． 10．（24-25八年级下·四川绵阳江油市·期末）如图，矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接；作于点F，若，，求的长； (3)如图3，若，连接，在上画点G，在上画点H，使，连，，当的和最小，且最小值为时，直接写出的长． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． ∴，∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是菱形，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴； （2）解：连接；设，交于点M，根据（1）的解答可知，四边形是菱形， ∴，且，，∴， ∵于点F，∴，∴； （3）解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接， ∵矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． ∴，，∴四边形是菱形， ∴，，， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∴，，∴， ∵∴∴，∴， ∴当C，H，N三点共线时，取得最小值，且最小值为， ∵的和最小，且最小值为，∴，根据勾股定理，得， ∴，解得（负的舍去），∴，∴； 11．（24-25八年级下·四川绵阳平武县·期末）如图，在正方形中，点在射线上（不与，重合），点为直线上一点，． (1)如图①，若，，的长是______，的长是______； (2)如图②，当在线段上时，猜想，，之间的数量关系并证明； (3)当在线段的延长线上时，第（2）问中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，请探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)，(2)，证明见解析(3)不成立，，证明见解析 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵正方形，，∴，，∴， 在中，，∴，∴， 在中，同理，∴；故答案为：，； （2）解：，理由如下：如图，在的延长线上截取，连接，如图： ∵四边形是正方形∴，，，∴， 在和中，，∴，∴，， 又∵，∴，又∵，∴，∴， 又∵，，∴； （3）解：数量关系：，理由如下：在线段上截取线段，如图所示， ∵四边形是正方形，∴，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴，即． 12．（24-25八年级下·四川广元·期末）如图1，在四边形中，点E是对角线上一点，，，． (1)直接写出：与之间的数量关系为 ．(2)猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由．(3)如图2，若点E是中点，，求的长． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴ ∴即，故答案为：； （2）解：线段之间的数量关系是：，理由如下： 过点A作，且使，连接， ，，∴，， 设，则， ∴ 又， ，， ，， ∵，， 即：； （3）解：， 点是中点，，设， ，，，． 13．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图，在矩形中，点E为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形AEF，使，，连接． (1)如图1，连接．若，，，求的面积； (2)如图2，若点E为线段的中点，试探究线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)，见解析(3)存在， 【详解】（1）解：∵矩形，∴，∴， ∵，∴，，，∴， ∵，∴， 作，则：，， ∴， ∴； （2），理由如下：如图所示，过点作于点，作于点． ，，， ，，，， ，，，． 点为线段的中点，． ，四边形是矩形， ，，， ，为等腰直角三角形， ； （3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，，，，， ，，， ，，，，， ，，，， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点，， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为，延长交直线于点，连接， ，， ，，，， 由勾股定理可得，最小值． 14．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图1，四边形是正方形，，点为上一点，连接，过点作，垂足为点交于点，过点分别作交于点． (1)设，求（用含的代数式表示）；(2)连接，求证：； (3)如图2，连接，设的最小值为，求的值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：四边形为正方形，，． ，四边形为平行四边形，， ，，．． （2）证明：由（1）得，四边形为平行四边形，， 四边形为正方形，， ，，， 在和中，，，，， 为等腰直角三角形，，即，，． （3）解：过点作的延长线于点，连接 ，又，， 在和中，，， ，，，，， 为等腰直角三角形，，平分， 过点作关于的对称点，点落在直线的延长线上，连接，， ，，当三点共线时，取得最小值即为的长， ，的值为． 15．（24-25八年级下·四川德阳旌阳区·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标；(2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长．②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 【答案】(1)(2)①；②或 【详解】（1）解：，，解得：， ，，； （2）解：①如图，连接，延长交于点， 四边形是平行四边形，，，， ，，，，， 是中点，， 在和中，，，，， ，，是等腰直角三角形，， ∵∴，，，， 在和中，，，，， ，，是等腰直角三角形，， ，， 在和中，，，，∴ ②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形，， ，四边形是平行四边形，，，， ，，， ，， 在和中，，，， ，； 当点在原点左侧时，过点作交于点， 同理可证，四边形是平行四边形，，，， ，，即， 综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 八年级下册综合压轴专项汇编（几何部分）答案 ( 地 城 考点01 几何最值问题 )一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 D C B D B A C 二、填空题 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】1 13．【答案】①②③④ 14．【答案】15.6 三、解答题 15． 【答案】(1)13；(2)17． 【详解】（1）解：如图，在中，由勾股定理，可得， 在中，由勾股定理，可得， ∵，∴的最小值为的长， 在中，由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； （2）解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，，∴在中，； 在中，，∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，，∴四边形为长方形， ∴，，∴， ∴，∴的最小值为17． ( 地 城 考点02 几何图形综合压轴（选填题） ) 一、选择题 1 2 3 4 5 6 A B D C A C 二、填空题 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】①②④ 13．【答案】②③ 14．【答案】或 15．【答案】 ( 地 城 考点0 3 几何图形综合压轴（解答题） ) 一、解答题 1． 【答案】(1)见解析(2)(3)(4) 【详解】（1）解：外面大正方形的边长为，大正方形的面积为， 大正方形的面积里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ，整理得：； （2）解：， 如下图所示，过点作于，由勾股定理得， ，解得：，点到边的距离为； （3）解：，，，， 在中，由勾股定理得，设，则， ，，在中，由勾股定理得， 即，解得：，即； （4）解：如下图所示，过点作于， ，，， ，，， ，．． 2． 【答案】(1)见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵正方形和等腰直角， ∴，，，∴，∴， ∴，∴，即； （2）解：，证明如下； ∵，∴，由（1）可知，，∴， 又∵，∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，∴， 如图2，连接，∵正方形，∴，∴， ∴， ∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：如图3，连接，由勾股定理得，，， 同理（1）可得，，，即，设，则， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或（舍去），∴， 如图3，过作于，于，则四边是矩形，∴，， 设，，则，， 由勾股定理得，，即，整理得，； ，即，整理得，； 式代入②式得，，解得，， ∴或（舍去），∴，， 由勾股定理得，，∴的长度为． 3． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵正方形，，， ∴，，∴， ∴，∴，∴，， ∴，∴，∴； （2）证明：如图，连接，，过作于， 由（1）得：，∴， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴，∴，， ∵，，，∴， ∴，，∴，∴，∴； （3）解：如图，连接，，过作于，作于，由（2）得：， ∵，，∴，，∴， ∵，∴，∵，，，∴四边形为矩形； ∵，∴，∴四边形为正方形； ∴，∴，∴， ∴，∴． 4． 【答案】(1)是，理由见详解(2)正确，理由见详解(3)的值为 【详解】（1）解：是，理由如下，如图所示，连接，交于点， 在，中，，，， ∴，∴，，， 在中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴四边形是垂美四边形，故答案为：是； （2）解：正确，理由如下，∵四边形是垂美四边形，，交于点， ∴在中，，在中，， 在中，，在中，， ∴，，∴； （3）解：如图所示，设交于点，交于点， ∵，，，∴，即， 在中，，∴，∴， ∵，，∴， ∴在中，， ∴，即四边形是垂美四边形，由（2）可得，， ∵在中，，，∴， ∵是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴在中，，在中，， ∴变形得，，∴，的值为． 5． 【答案】（1），理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立，证明见解析；（3） 【详解】解：（1）；理由如下：连接， ∵四边形是矩形，∴，∵E是的中点，∴， ∵将沿折叠后得到，∴，， ∴，∴，∴，∴，∴； （2）（1）中的结论仍然成立．证明：如图2，连接， ∵E是的中点，∴，∵将沿折叠后得到， ∴，，∴，∴， ∵四边形为平行四边形，∴， ∴，，∴， ∴，∴，∴；即（1）中的结论仍然成立； （3）如图3，∵正方形是特殊的平行四边形，∴（2）中的仍然成立， 设，则，，在中，， ∴，解得：，即．    6． 【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②12 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴， ∵，分别为，的中点，∴， ∴，∴四边形是平行四边形，∴． （2）①证明：∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线，∴， 同理可得：，∴四边形是平行四边形， 又∵，∴，∴四边形是菱形． ②解：如图，过点作于点，取的中点，连接， ∵，为的中点，，∴， ∵平分，，∴， 在和中，，∴， ∴，∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线，∴，，∴， ∵，∴，， ∴，即平分， 又∵，，∴，∴， 又∵为的中点，∴． 7． 【答案】(1)见详解(2)①见详解；② 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，则， ∵，∴，∴， ∵点F在直线上，∴， 在中，，∴，∴； （2）解：①证明：∵四边形是正方形，∴， 由（1）可知，且，∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵是的外角，∴， ∵平分，∴，∴，∴； ②∵正方形的边长是8，∴，，∴， 由上述计算得到，且，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴． 8． 【答案】(1)见解析(2)(3)，见解析 【详解】（1）证明：∵是正方形的对角线，∴ ∵∴∴； （2）解：∵四边形是菱形，∴，平分， ∴垂直平分，， 又，∴是等腰直角三角形，，， ∵，∴，是等腰直角三角形， ∴，则， ； （3）解：在上截取，连接， ∵菱形，∴，，∴ 为等边三角形，，∴， ∵，，∴为等边三角形，∴， ∵菱形，∴，，， ，， ∵∴， ，，，． 9． 【答案】(1)4(2)，(3)种植常绿乔木面积的最大值为 【详解】（1）解：连接，， ∵，∴，，∴根据等底等高可得， ∵点E、F分别是、的中点，∴，， ∴，，∴，四边形是平行四边形， ∴，∴； （2）解：∵，过点A分别作于点E，于点F， ∴，，， ∵，∴，∴， ∵四边形内角和，∴； （3）解：分别取、中点、，连接，，，过作交于，交于，交于，如图，∵，、中点、，， ∴，，是中位线， ∴，，，，， 设，则， ∵，，∴，，，∴，， ∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，， ∵，∴，，∵， ∴，，， ∴，，∴， ∵以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值，， ∴当最大时最大，由和垂线段最短可得， ∴当时，最大，最大值，此时为最大值， 即种植常绿乔木面积的最大值（即求以点E、F、P为顶点的三角形面积的最大值）为． 10． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． ∴，∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是菱形，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴； （2）解：连接；设，交于点M，根据（1）的解答可知，四边形是菱形， ∴，且，，∴， ∵于点F，∴，∴； （3）解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接， ∵矩形对角线交于O点，分别过D，C作，的平行线交于点E． ∴，，∴四边形是菱形， ∴，，， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∴，，∴， ∵∴∴，∴， ∴当C，H，N三点共线时，取得最小值，且最小值为， ∵的和最小，且最小值为，∴，根据勾股定理，得， ∴，解得（负的舍去），∴，∴； 11． 【答案】(1)，(2)，证明见解析(3)不成立，，证明见解析 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵正方形，，∴，，∴， 在中，，∴，∴， 在中，同理，∴；故答案为：，； （2）解：，理由如下：如图，在的延长线上截取，连接，如图： ∵四边形是正方形∴，，，∴， 在和中，，∴，∴，， 又∵，∴，又∵，∴，∴， 又∵，，∴； （3）解：数量关系：，理由如下：在线段上截取线段，如图所示， ∵四边形是正方形，∴，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴，即． 12． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴ ∴即，故答案为：； （2）解：线段之间的数量关系是：，理由如下： 过点A作，且使，连接， ，，∴，， 设，则， ∴ 又， ，， ，， ∵，， 即：； （3）解：， 点是中点，，设， ，，，． 13． 【答案】(1)(2)，见解析(3)存在， 【详解】（1）解：∵矩形，∴，∴， ∵，∴，，，∴， ∵，∴， 作，则：，， ∴， ∴； （2），理由如下：如图所示，过点作于点，作于点． ，，， ，，，， ，，，． 点为线段的中点，． ，四边形是矩形， ，，， ，为等腰直角三角形， ； （3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，，，，， ，，， ，，，，， ，，，， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点，， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为，延长交直线于点，连接， ，， ，，，， 由勾股定理可得，最小值． 14． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：四边形为正方形，，． ，四边形为平行四边形，， ，，．． （2）证明：由（1）得，四边形为平行四边形，， 四边形为正方形，， ，，， 在和中，，，，， 为等腰直角三角形，，即，，． （3）解：过点作的延长线于点，连接 ，又，， 在和中，，， ，，，，， 为等腰直角三角形，，平分， 过点作关于的对称点，点落在直线的延长线上，连接，， ，，当三点共线时，取得最小值即为的长， ，的值为． 15． 【答案】(1)(2)①；②或 【详解】（1）解：，，解得：， ，，； （2）解：①如图，连接，延长交于点， 四边形是平行四边形，，，， ，，，，， 是中点，， 在和中，，，，， ，，是等腰直角三角形，， ∵∴，，，， 在和中，，，，， ，，是等腰直角三角形，， ，， 在和中，，，，∴ ②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形，， ，四边形是平行四边形，，，， ，，， ，， 在和中，，，， ，； 当点在原点左侧时，过点作交于点， 同理可证，四边形是平行四边形，，，， ，，即， 综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $