专题04 四边形9高频考点89题（期末真题汇编，安徽专用）八年级数学下学期

**基本信息** 聚焦四边形专题，汇编安徽多地期末真题，覆盖9大核心考点，基础题与动态折叠等压轴题梯度分布，适配八年级下册期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约40题|多边形计算、平行四边形/矩形/菱形/正方形性质判定、三角形中位线|结合八角形窗户等文化情境，注重基础公式应用| |解答题|约50题|动态四边形判定、折叠模型、十字模型|安徽期末压轴题汇编，突出逻辑推理与空间观念，如正方形折叠中线段关系证明|

专题04 四边形 高频考点概览 考点01多边形内角、外角、对角线计算（必考选择/填空） 考点02平行四边形性质与判定（基础必考） 考点03矩形性质与判定（含直角三角形斜边中线） 考点04 菱形性质与判定（含面积双公式） 考点05正方形性质与判定（期末中档证明核心） 考点06三角形中位线（填空压轴高频） 考点07动态四边形判定问题（期末压轴解答题最后一题） 考点08折叠模型（期末压轴解答题最后一题） 考点09十字模型（期末压轴解答题最后一题） 考点01 多边形内角、外角、对角线计算（必考选择/填空） 1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形 【答案】B 【知识点】多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角和公式与外角和定理，熟练掌握相关的公式定理是解此题的关键．在本题中，根据内角和是外角和2倍这一条件，结合内角和公式列出方程，进而求解出n的值，得到该多边形是六边形． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 ， 解得：． ∴这个多边形是六边形． 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】正多边形的内角问题、正多边形的外角问题 【分析】此题考查了多边形内角与外角的知识点，解题关键是掌握多边形的外角之和为． 根据正多边形的一个内角是，则知该正多边形的一个外角为，利用多边形的外角和为，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴该正多边形的一个外角为， ∵多边形的外角之和为， ∴边数＝， ∴这个正多边形的边数是8． 故选：B． 3．（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 【答案】D 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】根据多边形的内角和公式求出n，再根据截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1来解答． 【详解】解：设新多边形边数为n， ∵新多边形内角和为， ∴， 解得， 若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示：    ∴原多边形边数为4或5或6， 故选：D． 【点睛】本题主要考查多边形内角和和边数的关系，掌握内角和公式是解题的关键. 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了多边形外角和定理，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键．由多边形的外角和定理可直接求出结论． 【详解】正八边形的外角和为， 每一个外角为， 故选：． 5．（22-23八年级下·安徽池州·期末）若一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的每个外角的度数是_____． 【答案】/90度 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】已知多边形的每个外角与其相邻的内角相等，而两者的和为，由此可得，每个外角与内角都是． 【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角， ∴它的每个外角是 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，理解邻补角的和为是解题的关键． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在六边形中，若，与的角平分线交于点G，则等于______． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了多边形的内角和、角平分线的定义、三角形内角和定理，由多边形的内角和定理结合题意求出，再由角平分线的定义求出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵六边形的内角和度数为：， ∴， ∵， ∴， ∵与的角平分线交于点G， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【答案】12． 【知识点】正多边形的外角问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的外角和，内角与外角之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得，， 求出每个外角度数，再拿外角和除以每个外角度数即为边数． 【详解】解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得，， 解得， ∴， ∴这个多边形的边数为12． 8．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在正六边形中，连接，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的内角问题、三角形的内角和、等腰三角形的性质，根据正六边形的性质及多边形的内角和得，再根据等边对等角及三角形的内角和得，根据角的数量关系即可求解． 【详解】解：六边形为正六边形， ，是正六边形的一条对称轴， ， ， ， ， ． 考点02 平行四边形性质与判定（基础必考） 9．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质， 根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质，结合已知条件求解． 【详解】∵在平行四边形中，， ∴ ∴． 故选：A． 10．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算、三线合一 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理求解三角形，解决本题的关键是熟练使用性质． 先由角平分线的性质可得，再由边角边的证明方法证明和全等，由此可得，再由勾股定理求解，再由即可求解． 【详解】解：记与交点为点O，如图， 的平分线交于点， ， ∵， 在和中， ， ， ，， ， 在中，则， 在平行四边形中，， ，又， ， ， ， ． 故选：A． 11．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，，，、是线段上的两点，则以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ）    A． B． C． D．， 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】连接、、交于点，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到即可，然后根据各选项的条件分析判断结合平行四边形的判定即可得解． 【详解】解：连接，，   ，， 四边形是平行四边形， 连接交于， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故A不符合题意； ， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故B不符合题意； ，故无法判定四边形是平行四边形，故C符合题意； ，， ， 以下的证明与B相同，故D选项不符合题意； 故答案为：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 12．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）四边形的对角线，垂足为，若，，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点C作，过点D作，二线交于点E，则四边形是平行四边形，得到，，由，推出，即，根据，当B，C，E三点共线时，取得最小值，最小值为的长，此时计算即可． 【详解】解：过点C作，过点D作，二线交于点E， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， 当B，C，E三点共线时， ∴取得最小值， ∴取得最小值，最小值为的长， ∵， 此时． 故选D． 13．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，的面积为20，对角线，相交于点O，点E，F分别是上的点，且，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】5 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质． 过O作于点G，延长交于点H，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质得出，确定，结合图形即可求解． 【详解】解：如图，过O作于点G，延长交于点H，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 14．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形中，分别平分交于点E、点F，已知，则的长为_________ 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出．根据四边形平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，同理得：，然后根据已知可求得的长度． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴． 故答案为：2． 15．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是_______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，线段的最值问题，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表示出周长．过点A作，垂足为，求出的值，进而求出的值，根据证明，得到，即可推出四边形周长，当的值最小时，即可得到四边形的周长的最小值，利用垂线段最短即时，求出最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形的周长， 当的值最小时，四边形的周长最小， ∴当时，有最小值，此时， 四边形的周长最小值为， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为的中点，延长至，使，连接，延长交于点，若，． （1）过点作于，则______； （2）四边形的面积为______． 【答案】 4 24 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）先得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求出，最后根据勾股定理，即可解答； （2）连接，先求出，则，通过证明，则，再证明四边形是平行四边形，则四边形的面积． 【详解】解：（1）∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴； 故答案为：4； （2）连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点、分别为的中点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线 ∴，则， ∵点、分别为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，则， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积， 故答案为：24． 17．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键； （1）由平行四边形的性质得，再结合，，即可证明； （2）由平行四边形的性质得；由平分，得，由（1）知，则，可得，由即可求解． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，， ∴； ∵，， ∴； （2）解：在平行四边形中，； ∵平分， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)36． 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形、角平分线的有关计算、根据等角对等边求边长 【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 19．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在平行四边形中，点G为边的中点，点E 在边上，且 ， (1)求证：E为的中点； (2)若点F 为线段延长线上一点， ， 求证：； (3)在（2）的条件下， 交于点 H， 若， ，， 的长是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）证明，即可得，即为的中点． （2）延长，相交于点，如图．由（1）知，，证明四边形为平行四边形，得出，进一步证明．再证明，即可得出． （3）过点作于点，如图．设，则，．表示出，，．在中，勾股定理从而求出． 【详解】（1）证明：∵点为的中点， ∴， 四边形为平行四边形， ，． 又， ． ， 即为的中点． （2）证明：延长，相交于点，如图． 由（1）知，， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． （3）解：过点作于点，如图． 设，则，， ， ∴， ，，， 在中，， ， 解得（舍去）或， ． 【点睛】该题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，利用平方根的含义解方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 20．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）我们曾借助学习“图形的全等判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． 【知识回顾】 如图1，四边形中，我们用符号语言表示出所有的8个边，角、对角线的数量关系： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． 我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． （1）请选择上面8个条件中的2个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及3条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法： （请用文字语言表述）； 【数学思考】 若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ （2）若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形．如图2，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形．小明的同学思路如下： 证明：延长并截取． ∵ ∴，即 ∵ ∴四边形是平行四边形． … 请同学们按照小明的思路完成证明过程． （3）在①或者③中选择一个条件和⑩组成条件也可以判定四边形是平行四边形，并证明．如图3，在四边形中，相交于点O， ，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）见解析． 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明、判断能否构成平行四边形 【分析】本题是四边形综合题，考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定． （1）由平行四边形的判定方法可得出答案； （2）证出，由平行四边形的判定方法可得出答案； （3）选择①，选择③，由平行四边形的判定方法可得出答案． 【详解】解：（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．或两组对角相等的四边形是平行四边形．（答案不唯一）； 故答案为：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形； （2）证明：延长，并截取， ∵， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）选择①， 分别在上截取．延长，过点B、D作、，垂足为点G、H， ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 即． ∴， 即． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 即． ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 选择③，分别在上截取， ． ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 即． ∴， 即． ∴． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 考点03 矩形性质与判定（含直角三角形斜边中线） 21．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在四边形中，，点O为对角线的中点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 先利用直角三角形斜边上的中线的性质求得，再利用勾股定理求得． 【详解】解：∵，点O为对角线的中点， ∴， ∵，， ， ， 故选：B． 22．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形的内角问题、利用矩形的性质求角度 【分析】先求出正五边形的内角和，可得出每个内角的度数，根据矩形的每个内角为，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内角和为：， ∴， ∵ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查多边形的内角和，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键． 23．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，点在上，，，作于点，交于，则的长是（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质．根据题意，，，可得，这样得，设，则，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵矩形 ，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 则， 解得， ∴， 故选：B． 24．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图，在中，，，，、、分别是边、、上不与、、重合的动点，且于，于，连接、，则的最小值为(    ) A． B． C．5 D．6 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、垂线段最短 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质与判定，三角形的面积公式，垂线段最短，连接，根据勾股定理求得，证明四边形是矩形，得出，进而根据垂线段最短，等面积法求得的长，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ ∵于，于， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 当时，取得最小值，即取得最小值， ∵ ∴ 即的最小值为 故选：A． 25．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点E、F分别为矩形边、上的两点，连接、相交于点G，且，连接，则下列结论一定正确的是（      ）    A． B． C． D．平分 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的判定定理、利用矩形的性质证明 【分析】根据全等三角形的判定和性质分析推理A，B，C，根据面积法和角平分线的判定分析推理D． 【详解】解：在矩形中，，但， ∴即便也无法证明Rt与Rt全等， ∴无法证明，故选项A不符合题意； 无法证明， ∴无法证明，故选项B不符合题意； 连接，    仅有，，无法证明与全等， ∴无法证明，故选项C不符合题意； 过点D作，，连接，    在矩形中，， ∴， 又∵， ∴，即平分，故选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，掌握相关性质定理，准确添加辅助线是解题关键． 26．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中， 的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积 【分析】易证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可判断①；易证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，利用“边角边”证明，得到，从而判断②；由于，所以，从而判断③；因为，所以可设，，由勾股定理表示出，求得，过作于，求得，从而判断④． 【详解】解：平分， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 故①正确； ，， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ，， ， 在和中， ， ． ， ， ， ， ， 故②错误； ， ， 故③正确； ， 设，， ， ，， ， ， ， ， ， 过作于， ， ， ， ， ， 故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等．熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 27．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若矩形的对角线长为，一条边长为，则此矩形的面积为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求面积 【分析】在矩形中，，利用勾股定理求出，根据矩形面积公式即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在矩形中，，    由勾股定理得， ∴矩形的面积为． 故答案为： 【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理求出的长是解题的关键． 28．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）若矩形的长为，宽为，则其对角线的长为________． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简 【分析】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理的应用及二次根式的性质，正确运用勾股定理是解题关键．根据勾股定理列出算式，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意得其对角线的长为：， 故答案为：． 29．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在中，，是上一点，过点作于点，是的中点，连接．若是的中点，，则的长为______． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点．证明所求线段所在的三角形是直角三角形成为解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再说明是等腰直角三角形．在运用勾股定理求出、，最后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形． 在和 中，是的中点， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵是的中点，， ， ， ． 故答案为：． 30．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）的对角线、相交于点，，． （1）若，则的面积等于______ ； （2）若，则的面积等于______ ． 【答案】 【知识点】无理数、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是矩形 【分析】（1）证明四边形是矩形即可求解； （2）过点作延长线于点，在与中，由勾股定理得推出的长即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ▱是矩形， ▱的面积， 故答案为：； 如图，过点作延长线于点，    设， 在与中，由勾股定理得： ，即， 解得， ， 的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定，正确作出辅助线构造直角三角形，通过勾股定理得出平行四边形的高是解的关键． 31．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，点O是边的中点，点D是上的动点，过点D作，交AC于点E，作，交于点F，连接，点G是的中点，若． （1）的最小值为____________； （2）连接，当时，长为____________． 【答案】 6 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形性质得，，证明四边形是矩形得，由此得当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得当时，为最小，由此得当点D于点O重合时，为最小，最小值为线段的长，据此可得出答案； （2）根据矩形性质得经过点G，，则是的斜边的中线，进而得，因此当时，则是等边三角形，设，则，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：（1）连接，如图所示： 在中，， 是等腰直角三角形， 又点O是边的中点，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， 当为最小时，为最小， 点D是上的动点， 根据“垂线段最短”得：当时，为最小， 当点D与点O重合时，为最小，最小值为线段的长， 即的最小值为6， 的最小值为6， 故答案为：6； （2）点G是的中点，四边形是矩形， 经过点G，， 即点G是的中点， ， 是的斜边的中线， ， 当时，则， 是等边三角形， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰直角的性质，垂线段最短，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，理解相关性质定理是解决问题的关键． 32．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）在数学探究活动中，明明进行了如下操作：如图，先对折矩形纸片，使得边与边重合，得到折痕，P为边上任意一点，沿着折叠，使得点B落在处．已知，，请完成如下探究： （1）若点落在折痕上，线段的长度______； （2）线段的最小值______． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理，三角形三边的关系等知识． （1）由翻折可求出和的长，利用勾股定理即可解题； （2）根据三角形三边关系得出的最小值为，利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：，，，， ， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：； （2）连接， ∵ 的最小值为， 在中，由勾股定理得： ， 故最小值为：， 故答案为： 33．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，点B恰好落在上的点F处． （1）如图1，当时，______． （2）如图2，当时，______． 【答案】 2 【分析】此题主要考查了图形的翻折及其性质，矩形的性质，平行四边形的性质，理解图形的翻折及其性质，熟练掌握矩形的性质，平行四边形的性质，灵活运用含有度角的直角三角形性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． （1）当时，则是矩形，根据及折叠性质得，进而得，在中，由勾股定理得，继而可得的长； （2）过点D作，交的延长线于点H，当时，则，在中，由得，由勾股定理得，则，根据及折叠性质得，进而得，在中，由勾股定理得，继而可得的长． 【详解】（1）在中，，，， ，，， 当时，则是矩形， ， 由折叠性质得：， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：2； （2）过点D作，交的延长线于点H，如图所示： 在中，，，， ，，， 当时， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 由折叠性质得：， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为：． 34．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接． （1）若，，三点在同一条直线上时，的长度为 ______； （2）若点落在线段上时，的长度为 ______． 【答案】 或 【分析】（）由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，求出，在中由勾股定理可求解；（）过点作于，过点作于，证明四边形是矩形，所以，，，由“”可证，可得，可证四边形是平行四边形，可得，可证四边形是平行四边形，可得，当与点重合时，，则，即可求解． 【详解】解：（）如图， ∵，， ∴，， ∵以为轴将进行翻折，得到， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， 故答案为：； （）如图，过点作于，过点作于， ∵以为轴将进行翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图，当与点重合时， 同理可得：四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 35．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在矩形 中，，E为的中点，F是对角线上一动点（），为矩形内下方一点，连接与交于点G，已知，当为直角三角形时，求 【答案】或． 【知识点】全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】由矩形的性质得，，，根据平行线的性质得，再利用度直角三角形的性质得，由勾股定理得，为直角三角形，分为或，两种情况，利用全等三角形的性质及等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵为的中点， ∴． 当为直角三角形时，分为或， 当时，如解图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 在中，； 当时，如解图②，连接， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，． 综上所述，当为直角三角形时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键． 36．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，平分，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】（1）证明即可得证四边形 是矩形； （2）根据， 得到，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故矩形的周长为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 考点04 菱形性质与判定（含面积双公式） 37．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在菱形中，，，过点作于点，则的长是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 根据菱形的性质得到，，，从而得出，，最后根据勾股定理即可求出菱形的边长，再利用菱形面积公式即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， 在中，， ， ， ， 故选：C． 38．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，分别以为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接并延长恰好经过点，则平行四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质求解、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定．先利用基本作图得到，再证明得到，于是可判断平行四边形为菱形，然后根据菱形的性质求解． 【详解】解：根据基本作图可得平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形， ∴平行四边形的周长． 故选：D． 39．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，，，是对角线上的动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．6 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查轴对称的最短路线问题，包括菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接交于，以为邻边作平行四边形，则，故，据此计算即可得到答案． 【详解】解：连接交于，以为邻边作平行四边形， ， ， 故的最小值为， 菱形，，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，平行四边形， ∴， ∴， 则的最小值为， 故选：A． 40．（22-23八年级下·安徽亳州·期末）平行四边形中，对角线与互相垂直，那么这个四边形的邻边________．（填“相等”或“不相等”）． 【答案】相等 【知识点】利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】根据题意可得平行四边形是菱形，然后根据菱形的性质求解即可． 【详解】∵平行四边形中，对角线与互相垂直， ∴平行四边形是菱形 ∴这个四边形的邻边相等． 故答案为：相等． 【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和判定定理． 41．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在菱形中，，，则平行线与之间的距离为___________． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、求平行线间的距离 【分析】本题考查等面积法求线段长，涉及菱形的性质、勾股定理及菱形的面积等知识，过点作于点，如图所示，在菱形中，，，且，在中，由勾股定理求出，结合等面积法，由代值求解即可得到答案．熟记菱形的性质、勾股定理及菱形的面积等知识是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在菱形中，，，则，，且， 在中，由勾股定理可得， ，则， 解得， 平行线与之间的距离为， 故答案为：． 42．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在菱形中，过点A作于点E，交对角线于点F，点G为的中点．若，则_______°． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】根据菱形的性质得出，进而得出，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含度角的直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 43．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在菱形中，，，M是边上一动点，N是上的一个定点，在线段上有一动点．连接，． （1）菱形的面积为______； （2）的最小值为______． 【答案】 24 //4.8 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积、最短路径问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了最短路径问题，菱形的性质，菱形的面积的计算，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据菱形的面积公式即可求解； （2）设与交于点O，根据菱形的性质和勾股定理得到，作于Q，作于M，根据角平分线的性质得到，则有，分析可得当三点共线时，有最小值，最小值为，再根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）菱形的面积； 故答案为：24； （2）设与交于点O， 菱形中，，， ，，，平分， ； 作于Q，作于M， 平分，，， ， ， 当三点共线时，有最小值，最小值为， 此时， ， 即的最小值是， 故答案为：． 44．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，且，． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是菱形、利用矩形的性质证明 【分析】本题围绕矩形与菱形的性质判定展开，核心考查“特殊四边形性质的联动应用”； （1）：判定菱形的“两步走”逻辑：先通过“两组对边平行”证平行四边形，再结合矩形“对角线相等且平分”得“邻边相等”，完成菱形判定，这是特殊四边形判定中“平行四边形 + 特殊条件（邻边相等、对角线垂直等）”的典型思路； （2）：周长计算的“转化思想”：利用矩形“直角三角形边角关系（角）”求出对角线一半（即菱形边长），再结合菱形“四边相等”转化为边长×4计算周长． 【详解】（1）， ， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形，是对角线且交于点， ， 四边形是菱形； （2）四边形是矩形， ， ， 在中，， 在中，由勾股定理得：，已知， 即：， 解得：， ， ， 四边形是菱形， ． 45．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，，两点在的正方形网格的格点上，其中网格中每一小格为1． (1)在网格内，以线段为边画一个菱形（不能是正方形，且，在格点上）； (2)①直接填空：菱形的面积是 ； ②直线与之间的距离是 ． 【答案】(1)见解析 (2)①6；② 【知识点】勾股定理与网格问题、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形 【分析】此题考查作图——应用与设计作图，菱形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据菱形的判定四条边相等作图即可； （2）①根据图形得出对角线长为，，再根据菱形的面积公式即可得出答案； ②设直线与之间的距离是h，根据勾股定理求出，再根据面积法求出答案即可． 【详解】（1）菱形即为所求； （2）解：①∵，， ∴菱形的面积是； ②设直线与之间的距离是h， ∵， ∴，即， ∴． 46．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，已知：菱形的两条对角线，交于点O，． (1)若，求菱形的周长； (2)求证：四边形为矩形． 【答案】(1)菱形的周长为； (2)证明见解析． 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据四边形是菱形，则，，，，由勾股定理得，然后求出菱形周长即可； （）由，，则四边形是平行四边形，通过菱形的性质得出，所以，然后由矩形的判定方法即可求证． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 47．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识； （1）根据平行线的性质，角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，则，根据一组对边平行且相等是四边形是平行四边形可出四边形是平行四边形，然后结合邻边相等即可得证； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据菱形的性质求出、，根据勾股定理求出，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴． 48．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，，D、E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．    (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的证明、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据三角形的中位线即可得，结合得出，证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，进而可得结论； （2）根据角形的性质和等边三角形的性质可得，所以得，再根据含30度角的直角三角形即可得结果． 【详解】（1）证明：∵、分别为、的中点， ∴， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形为菱形． （2）解：∵平行四边形为菱形， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理、勾股定理，含30度角的直角三角形等知识，得出是解题关键． 49．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，E，F分别为，的中点，是对角线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若四边形是矩形，求证：四边形是菱形； (3)若，四边形是菱形，则四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）由平行四边形的性质得，因为，所以，即可根据“”证明； （2）由，E、F分别为边的中点，得，推导出，则四边形是平行四边形，由矩形的性质得，则，即可证明四边形是菱形； （3）由交的延长线于点G，得，则四边形是平行四边形，所以，则，由菱形的性质推导出，则，可证明，而，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，E、F分别为边的中点， ∴，， ∴， 在和中，， ∴； （2）证明：∵，E、F分别为边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）解：∵交的延长线于点G， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，推导出是解题的关键． 考点05 正方形性质与判定（期末中档证明核心） 50．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，仍不能使矩形成为正方形的是（    ）    A． B．平分 C． D．是等边三角形 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】根据正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A选项，添加，满足“对角线互相垂直的矩形是正方形”，不合题意； B选项，平分，则，，，，，，是正方形，不合题意； C选项，添加，满足“有一组邻边相等的矩形是正方形”，不合题意； D选项，是等边三角形，则，不满足，不能使矩形成为正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，能熟记正方形的判定定理是解题的关键． 51．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】在上取点F，使，连接，根据角平分计算，可得，得，得取得最小值为，当时，取得最小值，求出,即得，即得的最小值． 【详解】解：在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点Q在上时， ，取得最小值， 当时，取得最小值， ∵正方形的边长是6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理——最短路线问题．熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，垂线段性质，根据题意作出辅助线，是解答此题的关键． 52．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质以及直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是取中点，利用轴对称的性质得出． 取中点P，连接、、，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而求出，然后利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】如图，取中点P，连接、，    ∵正方形的边长为4， ∴， ∴ 由折叠的性质可知，，Q为中点， ∵为直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 53．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可得，，，再根据折叠的性质可得,，进而得到、、，设，则、，在中运用勾股定理列方程可得，进而求得；然后再根据平行线的性质结合折叠的性质可得，，即，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵面积为16的正方形纸片， ∴，，, ∵正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处， ∴，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识点，说明点是的中点是解答本题的关键． 54．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，在正方形中，是一条对角线，是的平分线，交于点．在边上有一点，，连接交于点，连接交于点，已知．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形和三角形，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，是解题的关键． 证明，得，判断①；证明，判断②；由证明，故②正确；根据，，可得，得 ，判断③；根据是的平分线，，证明，得，由，得判断④． 【详解】解：∵在正方形中，，且， ∴， ∴， 故①正确； ∵在正方形中，， 又， ∴， 故②正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确， 故正确的结论有①②③④， 故选：D． 55．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，已知正方形，以为斜边在正方形外作等腰直角，连接与交于点F， ， ______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、二次根式的乘法、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，连接，连接交于，证明，求解，，可得，证明，，可得． 【详解】解：连接，连接交于， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 56．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【答案】 3 或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定求面积、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案． 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 57．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，是正方形的对角线，是上一点，是的垂直平分线且交于点，是垂足． （1）的度数为______； （2）若，则______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． （1）如图，过点作于点，作于点，则．由正方形的性质以及角平分线的性质可得，由垂直平分线的性质可得，易证可得，进而证明是等腰直角三角形即可解答； （2）设，，再说明四边形是正方形，则，即，解得，进而得到、，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）如图，过点作于点，作于点，则． 四边形是正方形， 平分， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ； 故答案为：； （2）∵是正方形的对角线，， 设，， ， 四边形是正方形， ，即，解得， ， ， ． 故答案为： 58．（24-25八年级下·安徽六安·期末）数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作． (1)如图1，“雅思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论； (2)“雅学”小组的同学在图1基础上连接，得到图2，发现图2中线段与之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由； (3)“雅问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，，当时，连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】证明四边形是正方形、根据正方形的性质证明、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据矩形的性质、角平分线的性质和正方形的判定方法，进行证明即可； （2）连接交于点O，连接，由（1）得四边形为正方形，，然后由线段垂直平分线的性质即可证明结论； （3）过点作交于点，延长，交的延长线于点，证明四边形为菱形，可得，进而得到，最后再运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 四边形平行四边形， 平行四边形是矩形， 平分， ， ， ， 矩形为正方形． （2）解：，理由如下： 连接交于点，连接，如图： 由（1）得，四边形是正方形， ， 垂直平分， 四边形为矩形， ， ． （3）解：过点作交于点，延长，交的延长线于点，如图所示： 由题意得四边形为平行四边形， ， 又易得四边形为菱形， ， ， ， ， ， 线段的长为． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及勾股定理、平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，学会添加辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 考点06 三角形中位线专题（填空压轴高频） 59．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）已知三角形的三条中位线的长分别为，则这个三角形的周长是__________． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟知三角形的中位线定理是解决问题的关键． 根据三角形的中位线定理解答即可． 【详解】解：∵三角形的三条中位线的长分别是， ∴三角形的三条边分别是 ∴这个三角形的周长为：． 故答案为：． 60．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为________．    【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理．利用勾股定理求得，再利用三角形中位线定理求得，即可求解． 【详解】：连接，    ∵，，，， ∴， ∵点E、G分别是、的中点， ∴， 故答案为：． 61．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知：是的中线，点是的中点，点是延长线与的交点．则的值为___________． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是通过作辅助线构造中位线． 如图，过点如图，过点的中点H，连接，利用三角形中位线定理来求解的值． 【详解】如图，过点的中点H，连接， ∵是的中线， ，点是的中点， ， ， 故答案为：． 62．（24-25八年级下·安徽·期末）如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则________． 【答案】 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质定理等，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．取中点H，连接与，根据线段中点得出，利用三角形中位线的性质及平行线的判定得出四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可． 【详解】解： 取中点H，连接与，如图所示： ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是的中点，H为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 63．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）在平行四边形中，分别为的中点，与交于点．若四边形的周长为6，则平行四边形的周长为______． 【答案】12 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得点O为的中点，再由三角形中位线定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴点O为的中点， ∵分别为的中点， ∴分别为的中位线，， ∴， ∵四边形的周长为6， ∴， ∴平行四边形的周长为． 故答案为：12 64．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，，，，对角线与交于点，过作交于点，过作交于，则的长为_____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线，解题的关键是掌握相关知识．根据题意可得，在中，由勾股定理求出，进而得到，根据平行四边形的性质可得是的中点，由，得到是的中位线，即可求解． 【详解】解：，，， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在平行四边形中，对角线与交于点， 是的中点， 又， 是的中位线， ， 故答案为：． 65．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，E是边的中点，过点A作平分线的垂线，垂足为D，连接，若，，则_____． 【答案】4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、与三角形中位线有关的求解问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线点的定义，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长交于点，证明，得出，，再根据中位线的判定与性质定理得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， 故答案为：4． 66．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为______． 【答案】1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题、三角形角平分线的定义 【分析】延长交于点F，由角平分线的定义可得，证得，可得，，从而可得，是的中位线，可得，即可求解． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形的中位线定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定和三角形的中位线定理证得是解题的关键． 67．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点D是的中点，，若，则的为________． 【答案】2 【知识点】线段中点的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的判定与性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形和平行四边形．熟练掌握平行四边形的判断和性质，三角形全等的判断和性质，三角形中位线性质，是解决问题的关键． 延长交于点F，延长到点G，使，连接，，，根据中点性质证明四边形是平行四边形，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，得到，推出，得到，根据，，得到，． 【详解】延长交于点F，延长到点G，使，连接，，， ∵点D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． 68．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，是内一点，，，，，，，，分别是的中点，则四边形的周长为______． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，首先利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出，，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：，，，， ， 、、、分别是、、、的中点， ，， 四边形的周长， 又， 四边形的周长， 故答案为：． 69．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图在中，是边上的中点，是的平分线，于点，已知，，那么的长为___________．    【答案】2.5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】延长交于点D，证明得到，，求出|的长，然后利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】延长交于点D， ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵是边上的中点，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：2.5．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 70．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，平分交于点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，，．交于点．延长交于点G．则下列结论正确的有____________（填序号）    ①平分；②；③；④；⑤ 【答案】①②③⑤ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】解：可证 ，从而可证，故②可得证；可证，，故①可得证；可证四边形是平行四边形，从而可得，，故③可得证；可证，由，故④可证；可证，，故⑤可得证． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， 平分， ， ， ， 是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， 平分， 故①②正确； 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故③正确； 由上得：， ， ， ， ， ， ， 故④错误； 由上得：，， ， 故⑤正确． 故答案：①②③⑤． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形中位线定理，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 71．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）如图，四边形的对角线与互相垂直，点E，F分别是的中点，连接，已知，，则    （1）四边形的面积为___________； （2）的长为__________． 【答案】 24 5 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）将四边形的面积写成，然后用三角形的面积公式和已知条件即可解答； （2）如图：取的中点G，连接，根据三角形中位线的性质可得、，再结合可得，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）如图：四边形的面积为：． 故答案为24．    （2）如图：取的中点G，连接． ∵是的中点， ∴, 同理：, ∵, ∴, ∴．    故答案为5． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，做辅助线、构造三角形中位线是解答本题的关键． 72．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．解决以下问题： （1）平行四边形边上的高为__________； （2）的最大值为__________． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形 【分析】取的中点M，连接，作于N．再证明，求出，，即平行四边形边上的高为，然后由三角形中位线定理，可得，最后求出的最大值即可． 【详解】解：如图：取的中点M，连接，作于N． ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，, ∴，即平行四边形边上的高为 ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴ ∵的最大值为的长， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为，． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，正确添加辅助线和证得是解答本题的关键． 考点07 动态四边形判定问题（期末压轴解答题最后一题） 73．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 【答案】(1)当时，四边形是正方形； (2)当时； (3) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）设经过后四边形是正方形，则，，在矩形中，，，则当时，四边形是正方形，即，然后解方程即可解答； （2）由于，，得四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，，再利用勾股定理列方程求解即可； （3）四边形为平行四边形，四边形的面积为，即，解得，则，，再分别求矩形的周长与四边形的周长即可解答． 【详解】（1）解：∵ 在矩形中，， ，， 设经过后四边形是正方形，则，， 在矩形中，，， 当时，四边形是正方形， ∴，解得， ∴当时，四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ， ∵， ，解得， ∴当时； （3）解：∵四边形为平行四边形， ∴ 四边形的面积为，即，解得， ，， ∴四边形的周长， ∴矩形的周长， ∴矩形的周长与四边形的周长的比值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定、平行四边形的判定和性质、菱形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 74．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点A出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设点的运动时间为； (1)边的长度为________，的最大值为________； (2)当为何值时，四边形是矩形； (3)当时，判断此时四边形的形状，并说明理由； 【答案】(1)，； (2)； (3)四边形是菱形，理由见详解； 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）过点作于，证明四边形是平行四边形，根据勾股定理即可求得，根据路程与速度关系分别求出两动点的时间，即可得到答案； （2）根据四边形是矩形可得，列方程求解即可得到答案； （3）将时的，表示出来即可判断； 【详解】（1）解：如图1，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴（cm）， 根据勾股定理得， （cm）， ∵点在上运动， ， ∴， ∵点在上运动， ， ∴， ∴， 故答案为，； （2）解：∵，，且四边形要是矩形， ∴， 即， 解得：； （3）解：由题意可得， 当时， ，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴, ∴四边形是菱形； 【点睛】本题考查四边形上动点问题，矩形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据性质列方程求解． 75．（24-25八年级下·安徽六安·期末）在正方形中，E为上动点，连接，A和关于对称，连接交于点G，连接，如图所示． (1)如图1，当B、、D共线时， ①若时，求的长； ②若，求的长； (2)如图2，延长交于点F，连接，求证． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和SSS综合（SSS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，根据勾股定理求解即可；②根据正方形的性质得到，根据轴对称的性质得到垂直平分，易证，由全等三角形的性质可得，求得，再根据勾股定理求得的长即可； （2）由（1）知，，根据等腰三角形的性质得到求得，即，最后根据邻补角求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴，, ∵A和关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴，解得：或（不合题意舍弃）． （2）证明：由（1）知，， ∴， ∴， ∵四边形, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关识点是解题的关键． 76．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）在正方形中，点E，F分别是边 上的中点，点 P是一动点，记，，．    (1)如图1，若点P运动到线段的中点时， ， ． (2)如图2，若点P在线段上运动时，，和之间有何关系? (3)当点在直线上（在线段之外且与不重合）运动时，，和间又有何关系? 说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)①当点在延长线上时，；②当点在延长线上，且在直线上方时，；③当点在延长线上，且在直线下方时，，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、直角三角形的两个锐角互余、根据矩形的性质与判定求角度、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质和平行线的性质求解即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可得； （3）分三种情况：①点在延长线上，②点在延长线上，且在直线上方，③点在延长线上，且在直线下方，根据平行线的性质和直角三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，即． （3）解：①如图3-1，当点在延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即； ②如图3-2，当点在延长线上，且在直线上方时， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即； ③如图3-3，当点在延长线上，且在直线下方时， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，即．    77．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）在丰富多彩的几何世界中，平行四边形是一类具有独特性质和广泛应用的重要图形，已知，周长为12． (1)如图1，若． ①求的长； ②若，连接，在上取一点，连接，当时，求的长． (2)如图2，若，平分，是上的一个动点．求的最小值． 【答案】(1)①4；②． (2). 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定定理是解题的关键． （1）①根据平行四边形的性质得到，求得，由于，进而求得的长即可；②如图1，过D作交的延长线于H，根据平行四边形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，再根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，推出四边形是菱形，得到BC=CD=3，当时，CP的值最小，根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， ∵周长为12， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． ②如图1，过D作交的延长线于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵周长为12， ∴， ∵P是上的一个动点， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 78．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【知识技能】如图1，点是正方形的对角线上一动点，连接，，求证：； 【数学思考】如图2，点是正方形的边的中点，连接交对角线于点，连接交对角线于点． （1）求证：； （2）若，求（用含的式子表示）； 【拓展研究】如图3，在边长为10的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，若点是的中点，求的最小值． 【答案】[知识技能]证明见解析；[数学思考]（1）见解析；（2）；[拓展探究] 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，斜边中线的性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． [知识技能]根据正方形的性质证明即可； [数学思考]（1）先证明，再证明即可； （2）由，得到，在中，由三角形内角和定理得到，再由外角性质得到，即可求解； [拓展探究] 延长至点，使得，连接，，证明，得到，则，证明，则，故，那么当点三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：[知识技能] ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； [数学思考] （1）证明：∵点是中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； [拓展探究] 解：延长至点，使得，连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值， 即此时有最小值，最小值为的长， ∵正方形边长为，为中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 考点08 折叠模型（期末压轴解答题最后一题） 79．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图1， 点E，F是正方形边上的点，连接，将和分别沿对折，点A、点C交于对角线上一点 P． (1)的度数为 °； (2)如图2，过点P作边的垂线， 分别交于点M、N、H， 求证：四边形是菱形． (3)如图3， 连接，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】证明四边形是菱形、正方形性质理解、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据正方形的性质与折叠的性质即可解答； （2）由翻折知，，， ，结合四边形为正方形，易证，再证明，结合是等腰直角三角形，进而证明四边形是平行四边形，由翻折易证，进而证明结论； （3）设，则，，即；再根据等腰直角三角形的判定与性质以及直角三角形的性质可得、，即，再证明四边形是矩形可得，然后根据勾股定理求得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵将和分别沿对折，点A、点C交于对角线上一点 P． ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）证明：由翻折知，， ， ∴， ∵四边形为正方形， ，， ， ， 又， ， 又， ， 又是等腰直角三角形， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵分别沿折叠得到， ∴， 四边形是菱形． （3）解：设，则，， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 80．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）综合与实践 定义：将一张纸片折叠，若折叠后的纸片恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，则称这样的长方形为完美长方形． (1)【操作发现】将一张三角形纸片按如图1所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为12，，则完美长方形的边的长为_____，面积为_____． (2)【类比探究】将一张平行四边形纸片按如图2所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为20，，求完美长方形的周长． (3)【拓展延伸】将一张平行四边形纸片按如图3所示的方式折叠成完美长方形．若，，求完美长方形的周长与面积． 【答案】(1)3；6； (2)13； (3)周长为．面积是． 【知识点】矩形与折叠问题、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）根据折叠得到是中点，过点作于，根据△的面积求出的长，推出是的中位线，得到，即可求出完美长方形的面积； （2）根据折叠可知，，从而求出的长，根据平行四边形的面积求出的长，即可求出周长； （3）根据折叠可证点、分别是、的中点，判定四边形是平行四边形，推出，推出矩形的对角线长后根据，利用勾股定理求出、的长后即可求出此完美矩形的周长． 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， ，点是中点， ， 如图，过点作于，交于点， ， ， 由折叠可知：， ， 完美矩形的面积为：． 故答案为：3；6； （2）解：由折叠可知：，，，， ，矩形的面积为：， ， 矩形的周长； （3）解：由折叠可知：点、分别是、的中点， ，， 如图，连接， 由题意可知：，， ，， 四边形是平行四边形， ， ∵，， 在中，设，则， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ，， 此完美矩形的周长为．面积是． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 81．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形中，点是射线上一个动点，连接并延长交直线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． (1)求证：； (2)若． （）如图，点是边的中点时，求的长； （）当点在线段上，且时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)（）；（） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（）由折叠的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定可得出答案； （）（）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（）知，，在中利用勾股定理即可求解；（）当在线段上，则点在线段的延长线上，当时，设，则，，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴； （2）解：（）∵点是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则由（）知，，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为； （）当点在线段上，则点在线段的延长线上，如图所示， 当时，设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 82．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： （1）_____，的形状是_____ 【探究与证明】 （2）如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，． 求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 （3）设，，求与之间的数量关系（用等式表示，不写过程，直接写出结果）． 【答案】（1），等腰直角三角形 （2）见解析 （3）或或或 【知识点】正方形折叠问题、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据正方形的性质与折叠的性质即可求出；根据正方形的性质，折叠的性质推出，，证明，得到，再证明，得到，等边对等角，推出，即可得出结论； （2）先证明，结合是等腰直角三角形，易证四边形是平行四边形，再结合，即可得出结论； （3）由（1）可知：，进而得到，勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】解：（1）解：如图，连接，， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； ∵将边和边对折后在上重合，得到折痕和， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）证明：由（1）知， 又∵正方形中，， ， 又， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵由（1）知， 四边形是菱形； （3）由（1）知，， ∴， 在中，， ∴， ∴或或． 【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 83．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）（综合实践） 【问题情境】 已知在四边形中，为边上一点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点． 【问题解决】 （1）如图①，若四边形是正方形，点落在对角线上，连接并延长交于点．求的度数； 【拓展变式】 （2）如图②，若四边形是矩形，点恰好落在的垂直平分线上，与交于点．求证：； （3）如图③，若四边形是平行四边形，，点落在线段上，点为边上一点，连接，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）由正方形的性质可得，根据折叠的性质可得，再根据等边对等角可得，然后根据平行线的性质即可解答； （2）由垂直平分线的性质可得、；再证明是等边三角形可得，再根据折叠的性质以及三线合一的性质可得，即；最后根据含直角三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （3）由平行四边形的性质可得，，；如图：连接，易证为等边三角形，再证明，即平行四边形是菱形， ；再证明四边形是平行四边形，易得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形，点落在对角线上， ， 由翻折可知：， ∴， ∵ ． （2）证明：如图：连接， 垂直平分线段 ，， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴ ， ， 在中，， ， ． （3）∵四边形是平行四边形， ∴，，， 如图：连接， 将沿折叠得到， ， ， 为等边三角形， ，即 ，即， 平行四边形是菱形，， ， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴由勾股定理，得． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 考点09 十字模型（期末压轴解答题最后一题） 84．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为的正方形中， (1)如图1，，垂足为点，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长； (3)如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质证明、分母有理化、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据垂直平分线的性质得出，，，设，可得，，可求出，设，则，利用勾股定理得出，解方程求出值即可； （3）如图，过点作于点，连接，并延长交于点，连接，可证明四边形是矩形，得出，，即可证明，根据可得出，，，，证明，得出，，利用勾股定理求出，利用中位线的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵垂直平分，且， ∴，，， 设， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∴ 解得：，即． （3）解：如图，过点作于点，连接，并延长交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合，涉及全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的性质及矩形的判定与性质，合理作出辅助线是解题关键． 85．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图1，在正方形中，，垂足为O． (1)求证：； (2)如图2，平移线段，使，连接． ①求证：； ②如图3，连接，当D、O、B三点共线时，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②． 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）如图1，过点F作于点H，证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）①如图2，延长交于点P，证明点D是的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明结论；②如图3，连接，过O作于M，则于N，作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形，证明，是等腰直角三角形，则，设，则，，由勾股定理得，得出，最后代入化简即可解答． 【详解】（1）证明：如图1，过点F作于点H，则四边形是矩形， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴． （2）①证明：如图2，延长交于点P， ∵正方形，， ∴，，即， ∵，，， ∴， ∴，即D是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴，即； ②解：如图3，连接，过O作于M，则于N，作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∵D、O、B三点共线， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）①可知，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识点，掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 86．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图1，在正方形中，相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接DO，当时． ①求证：； ②如图2，当D、O、B三点共线时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】（1）如图1，过点作于点，证明，进而结论可知； （2）①如图2，延长交于点，证明点是的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明； ②如图3，证明，是等腰直角三角形，，则，设，则，，由勾股定理得，得出，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，过点作于，    则四边形是矩形， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； （2）①证明：如图2，延长与的延长线相交于点，    ∵正方形，， ∴，，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴； ②解：如图3，连接，过作于，则于，作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形，    ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）①可知，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得： ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握这些知识点并熟练运用是解题的关键． 87．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图1，边长为24的正方形中，点P为边上一个动点，连接，作于点E，交边于M，交边于N．    (1)求证：； (2)如图2，连接，线段交于点F，点E为的中点． ①当时，求的长； ②线段是否存在最小值，若存在，请直接写出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在最小值，的最小值为12 【知识点】根据正方形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）过点作，交AP于点，交于点G，先判断出，再根据从而得到； （2）①连接，先证明，推出，从而得到，由勾股定理求出即可求解； ②当点P和B重合时，最小，进行求解即可． 【详解】（1）明：过点作，交于点，交于点G， ∵， ∴． 由正方形得，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴．    （2）①连接，    ∵，又点E为的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵正方形关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵相交， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由①知， ∴当点P和点B重合时，，此时最小， ∴最小值． 【点睛】此题考查了正方形的性质，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，以及勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握相关知识点． 88．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】（1）先利用正方形的性质，矩形的性质，说明O为中点，G为中点，从而可得是中位线，根据中位线的性质可得，从而可得， 故答案为： （2）先证明四边形是正方形，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，进面可得； （3）先根据正方形的性质得出，，再设，从而可用表示出，借助勾股定理可用表示出，再用表示出，即可求得． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，即O为中点， ∵四边形是矩形， ∴，即G为中点， ∴是中位线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点P作于点M，于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，平分，垂直平分， ，， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点P作于点M，于点N， 由（2）得，四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质综合（），解题关键是掌握上述知识点求解． 89．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知：正方形中，是对角线所在直线上一点． (1)如图1，若在对角线上，连接，过点作交于点．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图3，若在的延长线上，连接，过点作交延长线于点，连接，若，的面积是20，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、化为最简二次根式 【分析】（1）连接，证明≌，可得，进一步证明，可得，进一步可得结论． （2）过点作，由正方形的性质可得，根据，可得，继而可证是等腰三角形，由勾股定理可得，根据矩形的判定可得四边形是矩形和四边形是矩形，继而得到，继而求出，从而得到； （3）过点作，根据正方形的性质可得是的角平分线，由角平分线的性质可得，根据三角形的判定定理可证，继而可得，再由正方形的性质求出，设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，根据列方程求出，最后根据勾股定理进行计算． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点作， ∵正方形中，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证：四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴， ∴． （3）过点作，如图， ∵正方形中，是对角线，点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵四边形和均为正方形， ∴， ∴， ∴， 设小正方形的边长为，则大正方形的边长为， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练运用正方形的性质和勾股定理以及正确的添加辅助线是解题的关键. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 四边形 高频考点概览 考点01多边形内角、外角、对角线计算（必考选择/填空） 考点02平行四边形性质与判定（基础必考） 考点03矩形性质与判定（含直角三角形斜边中线） 考点04 菱形性质与判定（含面积双公式） 考点05正方形性质与判定（期末中档证明核心） 考点06三角形中位线（填空压轴高频） 考点07动态四边形判定问题（期末压轴解答题最后一题） 考点08折叠模型（期末压轴解答题最后一题） 考点09十字模型（期末压轴解答题最后一题） 考点01 多边形内角、外角、对角线计算（必考选择/填空） 1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形 2．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知正多边形的一个内角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·安徽池州·期末）若一个多边形的每个外角都等于它相邻的内角，则这个多边形的每个外角的度数是_____． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在六边形中，若，与的角平分线交于点G，则等于______． 7．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 8．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在正六边形中，连接，，求的度数． 考点02 平行四边形性质与判定（基础必考） 9．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 11．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，，，、是线段上的两点，则以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ）    A． B． C． D．， 12．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）四边形的对角线，垂足为，若，，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 13．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，的面积为20，对角线，相交于点O，点E，F分别是上的点，且，则图中阴影部分的面积为______． 14．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形中，分别平分交于点E、点F，已知，则的长为_________ 15．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是_______． 16．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为的中点，延长至，使，连接，延长交于点，若，． （1）过点作于，则______； （2）四边形的面积为______． 17．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，平分，求的长． 18．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 19．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在平行四边形中，点G为边的中点，点E 在边上，且 ， (1)求证：E为的中点； (2)若点F 为线段延长线上一点， ， 求证：； (3)在（2）的条件下， 交于点 H， 若， ，， 的长是 ． 20．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）我们曾借助学习“图形的全等判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． 【知识回顾】 如图1，四边形中，我们用符号语言表示出所有的8个边，角、对角线的数量关系： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． 我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． （1）请选择上面8个条件中的2个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及3条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法： （请用文字语言表述）； 【数学思考】 若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ （2）若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形．如图2，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形．小明的同学思路如下： 证明：延长并截取． ∵ ∴，即 ∵ ∴四边形是平行四边形． … 请同学们按照小明的思路完成证明过程． （3）在①或者③中选择一个条件和⑩组成条件也可以判定四边形是平行四边形，并证明．如图3，在四边形中，相交于点O， ，．求证：四边形是平行四边形． 考点03 矩形性质与判定（含直角三角形斜边中线） 21．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在四边形中，，点O为对角线的中点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 22．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，点在上，，，作于点，交于，则的长是（   ） A．4 B． C． D．3 24．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图，在中，，，，、、分别是边、、上不与、、重合的动点，且于，于，连接、，则的最小值为(    ) A． B． C．5 D．6 25．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点E、F分别为矩形边、上的两点，连接、相交于点G，且，连接，则下列结论一定正确的是（      ）    A． B． C． D．平分 26．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中， 的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论：①；②；③；④若，则 其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 27．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若矩形的对角线长为，一条边长为，则此矩形的面积为________． 28．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）若矩形的长为，宽为，则其对角线的长为________． 29．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在中，，是上一点，过点作于点，是的中点，连接．若是的中点，，则的长为______． 30．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）的对角线、相交于点，，． （1）若，则的面积等于______ ； （2）若，则的面积等于______ ． 31．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，中，，点O是边的中点，点D是上的动点，过点D作，交AC于点E，作，交于点F，连接，点G是的中点，若． （1）的最小值为____________； （2）连接，当时，长为____________． 32．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）在数学探究活动中，明明进行了如下操作：如图，先对折矩形纸片，使得边与边重合，得到折痕，P为边上任意一点，沿着折叠，使得点B落在处．已知，，请完成如下探究： （1）若点落在折痕上，线段的长度______； （2）线段的最小值______． 33．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，点B恰好落在上的点F处． （1）如图1，当时，______． （2）如图2，当时，______． 34．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接． （1）若，，三点在同一条直线上时，的长度为 ______； （2）若点落在线段上时，的长度为 ______． 35．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在矩形 中，，E为的中点，F是对角线上一动点（），为矩形内下方一点，连接与交于点G，已知，当为直角三角形时，求 36．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，在中，平分，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的周长． 考点04 菱形性质与判定（含面积双公式） 37．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在菱形中，，，过点作于点，则的长是（   ） A．10 B． C． D． 38．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，分别以为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接并延长恰好经过点，则平行四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 39．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，，，是对角线上的动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．6 40．（22-23八年级下·安徽亳州·期末）平行四边形中，对角线与互相垂直，那么这个四边形的邻边________．（填“相等”或“不相等”）． 41．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在菱形中，，，则平行线与之间的距离为___________． 42．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在菱形中，过点A作于点E，交对角线于点F，点G为的中点．若，则_______°． 43．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在菱形中，，，M是边上一动点，N是上的一个定点，在线段上有一动点．连接，． （1）菱形的面积为______； （2）的最小值为______． 44．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，矩形的对角线，相交于点，且，． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若，，求四边形的周长． 45．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，，两点在的正方形网格的格点上，其中网格中每一小格为1． (1)在网格内，以线段为边画一个菱形（不能是正方形，且，在格点上）； (2)①直接填空：菱形的面积是 ； ②直线与之间的距离是 ． 46．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，已知：菱形的两条对角线，交于点O，． (1)若，求菱形的周长； (2)求证：四边形为矩形． 47．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 48．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，，D、E分别为的中点，延长至点F，使，连接和．    (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求． 49．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，E，F分别为，的中点，是对角线，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若四边形是矩形，求证：四边形是菱形； (3)若，四边形是菱形，则四边形的面积为______． 考点05 正方形性质与判定（期末中档证明核心） 50．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，仍不能使矩形成为正方形的是（    ）    A． B．平分 C． D．是等边三角形 51．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（    ） A．3 B．6 C． D． 52．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 53．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为（    ）． A．3 B． C． D． 54．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）如图，在正方形中，是一条对角线，是的平分线，交于点．在边上有一点，，连接交于点，连接交于点，已知．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 55．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，已知正方形，以为斜边在正方形外作等腰直角，连接与交于点F， ， ______． 56．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 57．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，是正方形的对角线，是上一点，是的垂直平分线且交于点，是垂足． （1）的度数为______； （2）若，则______． 58．（24-25八年级下·安徽六安·期末）数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作． (1)如图1，“雅思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论； (2)“雅学”小组的同学在图1基础上连接，得到图2，发现图2中线段与之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由； (3)“雅问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，，当时，连接，请直接写出线段的长． 考点06 三角形中位线专题（填空压轴高频） 59．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）已知三角形的三条中位线的长分别为，则这个三角形的周长是__________． 60．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为________．    61．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知：是的中线，点是的中点，点是延长线与的交点．则的值为___________． 62．（24-25八年级下·安徽·期末）如图在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则________． 63．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）在平行四边形中，分别为的中点，与交于点．若四边形的周长为6，则平行四边形的周长为______． 64．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，，，，对角线与交于点，过作交于点，过作交于，则的长为_____． 65．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，E是边的中点，过点A作平分线的垂线，垂足为D，连接，若，，则_____． 66．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为______． 67．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点D是的中点，，若，则的为________． 68．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，是内一点，，，，，，，，分别是的中点，则四边形的周长为______． 69．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图在中，是边上的中点，是的平分线，于点，已知，，那么的长为___________．    70．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，平分交于点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，，．交于点．延长交于点G．则下列结论正确的有____________（填序号）    ①平分；②；③；④；⑤ 71．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）如图，四边形的对角线与互相垂直，点E，F分别是的中点，连接，已知，，则    （1）四边形的面积为___________； （2）的长为__________． 72．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．解决以下问题： （1）平行四边形边上的高为__________； （2）的最大值为__________． 考点07 动态四边形判定问题（期末压轴解答题最后一题） 73．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为． (1)求当t为何值时，四边形是正方形； (2)求当t为何值时，； (3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值． 74．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在四边形中，，，，，，点从点A出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设点的运动时间为； (1)边的长度为________，的最大值为________； (2)当为何值时，四边形是矩形； (3)当时，判断此时四边形的形状，并说明理由； 75．（24-25八年级下·安徽六安·期末）在正方形中，E为上动点，连接，A和关于对称，连接交于点G，连接，如图所示． (1)如图1，当B、、D共线时， ①若时，求的长； ②若，求的长； (2)如图2，延长交于点F，连接，求证． 76．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）在正方形中，点E，F分别是边 上的中点，点 P是一动点，记，，．    (1)如图1，若点P运动到线段的中点时， ， ． (2)如图2，若点P在线段上运动时，，和之间有何关系? (3)当点在直线上（在线段之外且与不重合）运动时，，和间又有何关系? 说明理由． 77．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）在丰富多彩的几何世界中，平行四边形是一类具有独特性质和广泛应用的重要图形，已知，周长为12． (1)如图1，若． ①求的长； ②若，连接，在上取一点，连接，当时，求的长． (2)如图2，若，平分，是上的一个动点．求的最小值． 78．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【知识技能】如图1，点是正方形的对角线上一动点，连接，，求证：； 【数学思考】如图2，点是正方形的边的中点，连接交对角线于点，连接交对角线于点． （1）求证：； （2）若，求（用含的式子表示）； 【拓展研究】如图3，在边长为10的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，若点是的中点，求的最小值． 考点08 折叠模型（期末压轴解答题最后一题） 79．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图1， 点E，F是正方形边上的点，连接，将和分别沿对折，点A、点C交于对角线上一点 P． (1)的度数为 °； (2)如图2，过点P作边的垂线， 分别交于点M、N、H， 求证：四边形是菱形． (3)如图3， 连接，求的值． 80．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）综合与实践 定义：将一张纸片折叠，若折叠后的纸片恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，则称这样的长方形为完美长方形． (1)【操作发现】将一张三角形纸片按如图1所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为12，，则完美长方形的边的长为_____，面积为_____． (2)【类比探究】将一张平行四边形纸片按如图2所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为20，，求完美长方形的周长． (3)【拓展延伸】将一张平行四边形纸片按如图3所示的方式折叠成完美长方形．若，，求完美长方形的周长与面积． 81．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形中，点是射线上一个动点，连接并延长交直线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． (1)求证：； (2)若． （）如图，点是边的中点时，求的长； （）当点在线段上，且时，求的长． 82．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： （1）_____，的形状是_____ 【探究与证明】 （2）如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，． 求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 （3）设，，求与之间的数量关系（用等式表示，不写过程，直接写出结果）． 83．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）（综合实践） 【问题情境】 已知在四边形中，为边上一点（不与点重合），连接，将沿折叠得到，点A的对应点为点． 【问题解决】 （1）如图①，若四边形是正方形，点落在对角线上，连接并延长交于点．求的度数； 【拓展变式】 （2）如图②，若四边形是矩形，点恰好落在的垂直平分线上，与交于点．求证：； （3）如图③，若四边形是平行四边形，，点落在线段上，点为边上一点，连接，求的值． 考点09 十字模型（期末压轴解答题最后一题） 84．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在边长为的正方形中， (1)如图1，，垂足为点，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长； (3)如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 85．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图1，在正方形中，，垂足为O． (1)求证：； (2)如图2，平移线段，使，连接． ①求证：； ②如图3，连接，当D、O、B三点共线时，则 ． 86．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图1，在正方形中，相交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接DO，当时． ①求证：； ②如图2，当D、O、B三点共线时，求的值． 87．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图1，边长为24的正方形中，点P为边上一个动点，连接，作于点E，交边于M，交边于N．    (1)求证：； (2)如图2，连接，线段交于点F，点E为的中点． ①当时，求的长； ②线段是否存在最小值，若存在，请直接写出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 88．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 89．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知：正方形中，是对角线所在直线上一点． (1)如图1，若在对角线上，连接，过点作交于点．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图3，若在的延长线上，连接，过点作交延长线于点，连接，若，的面积是20，求的长. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $