专题07 七年级下册B卷专项汇编（5大考点期末真题汇编，四川成都专用）七年级数学下学期北师大版

**基本信息** 聚焦成都各区七年级下期末B卷高频考点，汇编几何最值、几何综合（填空/解答）、概率与变量关系、整式乘除5类压轴题，含选择、填空、解答题，适配期末专题突破。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择题|4题|几何最值、变量关系图像、概率计算|结合区域期末真题（如郫都校考几何最值题）| |填空题|18题|几何综合（旋转/折叠）、整式规律、概率应用|动态几何问题占比高（如金牛区折叠最小值题）| |解答题|22题|几何证明与计算、函数关系、新定义运算|分层设计，综合题含多问（如高新区几何折叠3问解答题）|

专题07 期末B卷专项汇编 5大高频考点概览 考点01几何最值压轴问题 考点02几何综合压轴问题（B卷填空题） 考点03几何综合压轴问题（B卷解答题） 考点04 概率初步与变量之间的关系综合压轴 考点05 整式的乘除综合压轴 ( 地 城 考点01 几何最值压轴问题 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都郫都区校考期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，    ∵平分，，，∴，∴，此时取最小值． ∵的面积为18，，∴，∴．即的最小值为6，故选：A． 二、填空题 2．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在等腰中，，于点，是上一动点，是射线上一点，且，．当取得最小值时，______．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【详解】解：作，且，连接，，如图： ∵，∴，∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴当G，E，C共线时，最小， ∵，，∴，∵，，∴， ∴．故答案为：． 3．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）如图，在四边形中，，，，，点E在边上，且，四边形的面积为12．点F为四边形内部一点，连接，且，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，的面积为______． 【答案】 【详解】解：过作于，连接交于，连接， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∴垂直平分，∴，， ∵四边形的面积为12．∴四边形的面积， ∴，解得，∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，∴，即， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，，即，∴， ∴，∴， ∵固定不变，∴点运动轨迹为固定直线， 当时最小，即当与重合时，最小，此时，故答案为：． 4．（24-25七年级下·四川成都七中育才学校·校考期末）如图，在四边形中，，，连接，，分别是线段，线段上的点，且始终满足，连接，，当最小时，恰好，此时_____． 【答案】1 【详解】解：延长，在右侧作，取，连接，如图所示： ∵，∴，∴，，∴， ∵两点之间线段最短，∴当、E、G三点共线时，最小，即最小， 如图，此时最小，∵此时，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴．故答案为：1． 5．（24-25七年级下·四川成都青羊区石室联中·校考期末）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为______． 【答案】/0.5 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵，∴， ∵，∴，在和中，， ∴，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∴，∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴点H是的中点，∴，∴点P与点H重合，· ∴，∴，故答案为：． 三、解答题 6．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）中，，点P为边上一动点．(1)如图1，过点A作于点D，以为边作，使，且，作射线交于点F．①求证：，；②求证：；(2)如图2，，，N为内一动点，且，M为中点，连接，当最小时，求的度数． 【答案】(1)①见详解②见详解(2) 【详解】（1）证明：①∵，∴，即， 在和中，，∴ ∴，，∴， ∵，∴，∴； ②过点C作，交的延长线于点H，由（1）可知，， ∵，∴，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴； （2）解：取的中点Q，连接，，∵，M为的中点，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴Q，N，P三点共线时，最小， ∵，∴，∴，，∴， ∵，∴ 7．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，． (1)如图1，若，求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：，，为等边三角形，，， 为等边三角形，，， ，，， 在和中，，； （2）解：；证明如下：由旋转的性质得： 如图，延长至点，使，连接， ∵，∴， ，，∴，∵为等边三角形， ∴，∴， 在四边形中，， ∴， ∴，在和中，， ，，，； （3）解：延长至点，使，连接， 因，则， ，，，， ，，为等腰直角三角形，， 由（2）得，，，， 为等边三角形，，，，， 当时，取最小值，即取最小值，此时． ( 地 城 考点02 几何综合压轴问题（ B卷填空题 ） ) 一、填空题 1．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，已知，，，若，则的度数为______． 【答案】/度 【详解】解：连接， 设，，则，，∴，， ∵，∴， ∴，， ∴，， ∴，，∴， ∵，∴，故答案为：． 2．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 【答案】17 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)，即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和，则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ，如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)，则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数，满足条件的的最小值是，故答案为：17． 3．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，上，且，．若，，，则________． 【答案】 【详解】解：在上截取， ，，， ，（），，，， ，，，， ，，， 在四边形中，，，，， ，，，， ，，， ，故答案为：． 4．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·期末）如图，在中，，，，．P是边上一点，连接，将沿对折，点B落在点处，与相交于点M．当时，若的面积为2，则重叠部分的面积为______． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质得到，，， ，，， ，，，，， 的面积，，， ，的面积的面积， 由折叠的性质得到得到面积的面积，的面积．故答案为：． 5．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．如图1，若点落在上，点落在上，则的度数是_____度；如图2，若，则的度数为_____（用含的代数式表示）． 【答案】 或 【详解】解：如图：由翻折的性质可得，；， ，，； 如图：，， 由翻折可知，，， ； 如图：，， 由翻折可知，，， ； 综上所述，的度数为或．故答案为：，或． 6．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）如图，在中，于点，平分，交于点，为的延长线上一点，，交的延长线于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．给出下列结论：；；；．其中正确的序号有 【答案】③ 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴ ，故错误；∵平分，∴， ∵∴， ∵， ∴，故错误； ∵平分，∴点到和的距离相等，∴，故正确； ∵，，∴，∴， ∵，，∴， ∴，故错误，综上可知：正确， 7．（24-25七年级下·四川成都简阳市·校考期末）如图，在中，，，点为的中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论的序号有 。 【答案】①②③ 【详解】解：∵，，点为的中点，， ∴，，， ∴，， ∴∴，故③正确； ∴，，∴是等腰直角三角形，故①正确； ∴，∴，故②正确； ∵∴，故④错误．故答案为：①②③ 8．（24-25七年级下·四川成都金堂县·期末）如图，，，在同一直线上，的平分线与的平分线交于点，，分别交于点，交于点，连接，．有以下结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确结论的序号有 。 【答案】①②③ 【详解】解：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE， ∵EF∥AC，∴∠CAE＝∠AEF，∴∠BAE＝∠AEF，∴AF＝EF，故①正确； ∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE，又∵BC＝BD，BE＝BE， ∴△BCE≌△BDE（SAS），∴CE＝DE，∴△CDE是等腰三角形，故②正确； 如图，过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥AC，交AC的延长线于点N，EH⊥BC于点H， ∵AE平分∠CAB，BE平分∠CBD，EM⊥AD，EN⊥AC，EH⊥BC，∴EN＝EH＝EM， 又∵EN⊥AC，EH⊥BC，∴CE平分∠BCN，∴∠ECN＝∠ECB， 又∵EF∥AC，∴∠ECN＝∠CEF，∴∠CEG＝∠ECG，故③正确； ∵CE与AF不平行，∴∠CEF与∠EFD不相等， ∵△BCE≌△BDE，∴∠EDB＝∠ECB＝∠CEG，∴∠EDB与∠EFD不相等， ∴ED与EF不相等，即EC与EF不相等，故④错误，故答案为：①②③ 9．（24-25七年级下·四川成都郫都区·校考期末）如图，中，，的角平分线和的邻补角的角平分线相交于点，分别交和的延长线于．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【详解】解：如图， ①∵是的外角，∴， ∵是的平分线，∴， ∵是的平分线，∴，在中，， ，故①正确； ∵，∴，∵为的角平分线，∴， 在和中， ，∴， ∴，垂直平分；故②正确； ③∵，∴，∵，∴， ∴，∴， ∵，，∴与都是等腰直角三角形， ∴，∴， ∵，∴不成立，故③错误， ④∵，∴， ∴，∵，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，∴，∴，故④正确； 综上所述①②④正确．故答案为：①②④． 10．（24-25七年级下·四川成都崇州市·校考期末）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了______秒． 【答案】或/或 【详解】解：如图，当点在直线左侧时，设与交于点，运动时间为，过点作，， ∵绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转， ∴，，∵，， ∴，，，， ∵∴ ∵，，∴∴，解得：； 如图，当点在直线右侧时，过点作，过点作， ∵，∴，∴，，， ∴，， ∵绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转， ∴，，∴，， ∵，∴，解得：； 综上所述：射线旋转了或秒． 11．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）如图，一副直角三角板（，）的斜边分别与直线、重合，且，将、分别绕点、点以每秒度和每秒度的速度同时逆时针旋转，转动一周回到初始位置时，两块三角板同时停止转动，设时间为秒，当与的一边平行时，的值为________． 【答案】或或 【详解】解：∵ 转动一周回到初始位置时停止 ∴ 运动时间 的范围为 ，即 如图，将直线平移到直线上，使得两点重合， ∵、分别绕点、点以每秒度和每秒度的速度同时逆时针旋转， ，，∴∴平分， 如图，当时，，即 解得： 如图，当时，，则，即解得： 如图，当时，，则，即解得： 综上所述，或或 ( 地 城 考点0 3 几何综合压轴问题（ B卷解答题 ） ) 一、解答题 1．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图1，在中，，的平分线交边于点D，过D作的平行线交于点E，将沿折叠得到，交边于点G． (1)求证：；(2)当时，试判断与的大小关系，并说明理由； (3)如图2，过点G作线段的垂线，垂足为H．若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）证明：∵平分，∴，， ∵，∴，，∴，∴； （2）解：与的大小关系是：，理由如下： 在中，，∴当时，是等腰直角三角形，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，， ∴，，∴是等腰直角三角形，∴， 由折叠的性质得：，∴， ∴是的外角，∴， 在中，， ∴，∴， 又∵，，∴，∴，即； （3）解：在上截取，连接，如图所示： ∵，，∴设，， ∴，，∴， ∵，∴，在和中，，∴，∴，∴， 由（1）可知：，，， ∴，，由折叠的性质得：， ∴，∴， ∵是的外角，∴， ∴，∴，∴，解得：，∴，∴． 2．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图，在中，，，点为的中点，是延长线上一点，连接，过点作的垂线交射线于点． (1)证明：；(2)如图，取的中点，连接，．）证明：； ）连接，当平分时，，且点到直线的距离为，求的面积． 【答案】(1)见解析；(2)）见解析；）． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵，，是中点，∴，，， ∴，，，∴， 又∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2））证明：延长到，使得，连接，如图： ∵是中点，∴， 在和中，，∴， ∴，，， ∵，∴，∵， ∴，，∴，， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴； ）解：如图：∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵是中点，∴，∴，由（）得， ∵，∴，∴，∵，∴，∵到的距离为， ∴，∴，∴，∴． 3．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）某班数学兴趣小组的同学在学习了轴对称知识后，利用一张长方形纸片进行折纸探究活动． (1)如图1，将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是，与交于点．求证：；(2)如图2，分别在、上取点、，将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是，连接、，探究和的位置关系，并说明你的理由； (3)如图3，长方形纸片中，，，点为边上一点，，，将长方形纸片沿直线翻折后，点的对应点是恰好落在射线上，点的对应点是，连接，求的最小值，并说明你的理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形，∴，， ∵将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是， ∴，，∴，，又∵，∴， （2）解：，理由如下， ∵将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是， ∴，∴， （3）解：的最小值为，理由如下，如图，设交于点， 由（2）可得 当时，，此时取得最小值， ∵四边形是长方形，∴，， ∵，∴∴ 又∵又∵∴ ∴，，∴ 4．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）已知，为等腰三角形，，点是边上一点（不与端点重合），作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线与交于点． (1)如图，求证：； (2)如图，若为等边三角形，点在边上，且，连接交于点，求证：； (3)如图，若，点是射线上一点（不与点，重合），其余条件不变，过点作于点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．（注：有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形） 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)，理由见解析． 【详解】（1）证明：由对称的性质可知 又∵，∴，∴； （2）证明: 连接，如图，∵为等边三角形，∴，， 由对称的性质可知，，∴， ∵，∴， ∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴； （3）解: ，理由如下：当在线段上时，设交于，连接，如图， 由对称的性质可知，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， 由（）知， ∵，∴，∴，∴，∴； 当在延长线上时，设交于，如图：同理可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点与点关于对称，∴，∴， ∴，∴，，综上所述，． 5．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）在四边形中，． (1)如图，为的中点，点关于直线的对称点为，射线交于点，射线交于点，交直线于点，求证：； (2)如图，点在延长线上，，为的中点，，求证：． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵点关于直线的对称点为，∴，， ∵为的中点，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴； （2）证明：如图，延长到点，使，连接， ∴，∵是的中点，∴， 在与中，，∴，∴，， ∵，∴，∴， 即，∵，∴，∵，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，∴． 6．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）在等边三角形中，D为射线上一点，连接，点B关于的对称点为点E，连接． (1)如图1；点D在线段上，且，求的度数； (2)直线与直线交于点F，过D作交直线于点G，直线交直线于点H． ①如图2，点D在线段上，求证： ②点D在线段的延长线上，试猜想线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)(2)①见解析；② 【详解】（1）解：由轴对称的性质可得， ∵是等边三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴； （2）解：①是等边三角形，，． ∵，，． ．是等边三角形．， ∴，       ．点B关于直线的对称点为E， ，，，， 设，则．．    ，∴，． ∵，∴，， ∴，∵，∴， ∴，∴， 在和中，，． ②，证明如下：是等边三角形，，． ∵，，．． 是等边三角形．，∴，       ． 点B关于直线的对称点为E，，，，， 设，则．．    ，∴，． ∵，∴，， ∴，∵，∴， ∴，∴， 在和中，，．，．     在中，， ∴，∴是等边三角形．．    ． 7．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）已知直线，点，分别在，上，是平面内一点（不在直线，，上），连接，，分，射线，交于点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，求的度数； (3)当点在直线，之外，且在直线的左侧时，试猜想，和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1），， 又，，，， 平分，，． （2），， ，，，平分， ，，由（1）知， ，． （3）如图3，当点在直线的上方，且在直线的左侧时， 猜想：，理由如下： ， ，由（1）知，，，， 平分，， ，，， 如图4，当点在直线的下方，且在直线的左侧时， 猜想：，理由如下： ， ，由（1）知，， ，， 平分，，， ，，， 综上可知，． 8．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，直线，于点A，于点B，直线分别与，相交于点C和点D，，，．点E，F，G分别在线段，，上，且，，连接，，过点F，G分别作，的平行线相交于点H． (1)求证：；(2)若点H落在四边形内或其边上，求面积的最大值与最小值； (3)当为等腰三角形时，请画图确定H的位置，并简要说明理由． 【答案】(1)见详解(2)面积的最大值为与最小值为(3)见详解 【详解】（1）证明：连接， 过点F，G分别作，的平行线相交于点H， ，，，， ，（），； （2）解：过作，过作于点， ，，，，， ， ，，， ，， ，（），，， ①当与重合时，取得最大值， 此时，面积的最大值为：； ②当在线段上时，取得最小值，过作， 直线，，，平行线之间的距离处处相等， ，，，， ，为等腰直角三角形，， ，， ，，， 面积的最小值为：；故面积的最大值为与最小值为； （3）解：过作，是定值，在直线上运动， 以为圆心长为半径画弧交于、，，、是等腰三角形； 如图，作的垂直平分线交于，，是等腰三角形． 9．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；；②；(2) 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ，，∴， ，同理可得: ， ∵，∴，∴， ∵平分平分；， ∴． ②如图，过点Q作，∵平分平分， ，， 设，∵，，∴， ， ∵，，，，， 由（1）可知，∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,，如图，过点O作，则， ，，， ， 由（1）可知：， ∵，∴，即，∴， ∵，，∴． 10．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）如图，交于点H，连．(1)求证：；(2)求；（用含α的式子表示）(3)求证：平分． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析 【详解】（1）证明：∵，∴，即， 在中，，∴； （2）解：设交于点O， ∵，∴， 又∵，∴； （3）证明：过点C作于M，于N， ∵，∴，∴，∴平分． 11．（24-25七年级下·四川成都金堂县·期末）问题探究： （1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用：（2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），过程见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴．∴． （2）对于图2，，理由如下：在上截取，连接， ∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴ 对于图3：对于图3，，理由如下：在上截取，使，连接， 同图2法可得：，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴； （3）结论：．理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，∴． 12．（24-25七年级下·四川成都彭州市·期末）（1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点与交于，若，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，交于点，等边的边与相交于点．若，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：是以、为腰的等腰三角形， ，，， 在和中，，∴ （2）证明：延长至，使，连接，如图： ，， 在和中，，∴，， ，，即，， ，，， ，； （3）过作于，连接． 为等边三角形，， ，，，， ，， ，，； 在和中，，∴，， ，，， ，，，， ，，，，， ，，． 13．（24-25七年级下·四川成都锦江区·校考期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】（1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】（2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴； （2）解：结论：．理由如下：如图，过点D作于点T，连接． ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，， ∵是等腰直角三角形，∴，又∵，， ∴，∴，∴，∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 同理可证明：，∴，∴， ∵，∴的面积等于60． ( 地 城 考点0 4 概率初步与变量之间的关系综合压轴 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）如图，在长方形中，动点E从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点C处停止．设点E运动的路程为的面积为s，如果s与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积和周长分别为（    ） A．12，14 B．6，14 C．6，12 D．12，22 【答案】A 【详解】解：由图可知，，，∴， ∴长方形的面积为，周长为，故选：． 2．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·期末）如图1，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法中正确的个数是（　　） ①；②长方形的周长为；③当时，；④当时，或3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：对于①，由图可知，点P在线段上运动的时间为，， 四边形是长方形，，所以①正确； 对于②，由图可知，点P在线段上运动的时间为，， 长方形的周长为，所以②正确； 对于③，当时，点P在上，，所以③正确； 对于④，当时，，令，则，解得， 当时，，当时，点P在上， ，令，则，解得， 当时，或3，所以④正确；综上所述，正确的个数是4个．故选：D． 3．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（单位：）与所用的时间（单位：）之间的关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（   ） A．乙走的路程比甲远 B．甲的平均速度为 C．前，甲的速度比乙快 D．经过，甲、乙都走了 【答案】D 【详解】解∶ A．后，甲的路程比乙的路程远， 故A不符合题意； B．根据图象可知， 甲走了，所以甲的平均速度为，故B不符合题意； C．前，甲走了，乙走了，所以乙比甲的速度快，故C不符合题意； D．经过，由函数图象可知，甲、乙都走了，故D符合题意．故选∶ D 4．（24-25七年级下·四川成都浦江县·校考期末）做随机抛掷一枚质地均匀的纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（精确到0.001） 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 下面有4个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，所以当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次；④表格空白处的数值是0.520．其中合理推断的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，本推断不合理；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，本推断合理；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本推断合理； ④表格空白处的数值是，本推断合理；综上，合理的推断有：，故选：． 二、填空题 5．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为________． 【答案】 【详解】解：∵在个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． ∴小明如果踩在图1中个小方格的任意一个小方格，则踩中地雷的概率是；故答案为：． 6．（24-25八年级下·四川成都双流天府第七中学·期末）在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码有一种密码，将个大写英文字母，，，，依次对应，，，，这个自然数（见表格）．当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号． 字母                                                    序号                                                 字母                                        序号                                                   按上述规定，将明码“”译成密码是______填写由个大写字母组成的密码 【答案】 【详解】解：由表格可知，明码“”对应的数字为， ∵当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号，∴当时，，当时，，当时，，当时，， ∴明码“”译成密码是，故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川成都新津区·期末）正方形边长为9，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式为________． 【答案】 【详解】解：由题意得：．故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图所示，某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为，按照这种连接方式，n节链条的总长度为，则y与n之间的关系式为_________． 【答案】 【详解】解：由题意可得：1节链条的长度为，2节链条的总长度为， 3节链条的总长度为，…， ∴n节链条的总长度为，∴y与n之间的关系式为． 9．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，直径为的圆形图形中，点均在圆上，且，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______．（取3） 【答案】 【详解】解：设直径为的圆形的圆心为，半径为，连接， ， ， 由圆的对称性可知封闭图形和面积相等，， 阴影部分的面积扇形的面积的面积， 针尖落在阴影区域的概率，故答案为：． 三、解答题 10．（24-25七年级下·四川成都崇州市·期末）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？(2)试写出y与x之间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 【答案】(1)小丽家该月应交煤气费76元(2)(3)小丽家4月份所用煤气量为90立方米 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：小丽家该月应交煤气费76元； （2）当时，由题意得：； 当时，由题意得：， 所以y与x之间的表达式为； （3）设小丽家4月份所用煤气量为a立方米， 因为（元），而88元元，所以小丽家4月份所用煤气量超过50立方米， 由（2）得，解得， 答：小丽家4月份所用煤气量为90立方米． 11．（24-25七年级下·四川成都青羊区是石室联中·期末）延安，中国五大革命圣地之一．2021年4月10日，成都和延安两地之间首次开行直达动车组列车（动车），比之前开行的普速列车（普列）缩短了不少时间，某天一辆普列从延安出发匀速驶向成都，同时另一辆动车从成都出发匀速驶向延安，两车与成都的距离（千米）与行驶时间t（时）之间的关系如表格和图像所示． t 0 2 4 5 … 1080 930 780 705 … (1)延安与成都的距离为_____________千米，普列到达成都所用时间为____________小时． (2)求动车从成都到延安的距离与t之间的关系式． (3)在成都、延安两地之间有一条隧道，当动车经过这条隧道时，两车相距135千米，求延安与这条隧道之间的距离．（隧道长度不计算在内） 【答案】(1)，(2)(3)延安与这条隧道之间的距离为450千米或270千米 【详解】（1）解：根据题意和表格数据可知，延安与成都的距离为千米， 普快的速度为（千米/时）， 普快到达成都所用时间为（小时），故答案为：，； （2）解：由图像知，动车的速度为(千米/时）， ∴与t之间的关系式为； （3）解：当普快在延安和隧道之间时，根据题意，得，解得， 则延安与这条隧道之间的距离为（千米）； 当普快在隧道和成都之间时，根据题意，得，解得， 延安与这条隧道之间的距离为（千米）， 综上，延安与这条隧道之间的距离为450千米或270千米． 12．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）为了加强新冠疫情的防控，某社区调查统计了A、B、C三栋居民楼全体居民的疫苗接种情况，得到如下统计表（不完整）： A栋 B栋 C栋 合计 已接种人数 40 35 30 105 未接种人数 20 15 x y (1)求变量y与变量x之间的关系式；(2)若A、B、C三栋居民楼一共有居民150人，请直接写出x和y的值，并求下列事件发生的概率； 事件1：从C栋的居民中随机选择一人，该居民已经接种疫苗； 事件2：从A、B、C三栋的居民中随机选择人，该居民未接种疫苗． 【答案】(1)(2)，；事件1：；事件2：． 【详解】（1）根据题意可知，整理，得：． 故变量y与变量x之间的关系式为：； （2）根据题意可知，∴； 事件1：从C栋的居民中随机选择一人，该居民已经接种疫苗的概率为； 事件2：从A、B、C三栋的居民中随机选择人，该居民未接种疫苗的概率为． 【点睛】本题考查用关系式表示变量之间的关系，简单的概率计算．读懂题意，熟练掌握各知识点是解题关键． 13．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）（1）如图，在长方形中，长为，宽为．除阴影部分M，N外，其余5块是全等的小长方形，小长方形的宽为． 求每个小长方形的长（用含x的代数式表示）； 分别用含x，y的代数式表示阴影M，N的面积； 若阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化，请求出x的值，并说明理由． （2）如图1，梯形上底的长为，高，动点P以的速度从A点出发，以的路径运动，记的面积为．y与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示． 求的长；求图2中m，n的值；求点P在线段上运动时，y与t的关系式． 【答案】（1），，理由见解析 （2） m的值为，n的值为15 【详解】（1）解：①大长方形的长为3m，小长方形的宽是xm，每个小长方形的长为（m） ②由题意可得，阴影M的长为m，宽是（m）， 阴影N的长为（m），宽是（m）， ③ 当时，阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化解得 （2）解：①由图2可知，点P从的运动时间为（s），（cm） ②根据题意得：（），（s） 图2中m的值为，n的值为15． ③由图2可知，点P在线段上运动时，， ，即． 14．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）通过与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性．某快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙．现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量y（单位：个）与工作时间x（单位：分钟）的关系如图所示． (1)乙机器人分拣包裹的速度是______个/分，12分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差______个． (2)由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间． (3)求整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间． 【答案】(1)60；600(2)42分钟(3)分钟 【详解】（1）解；由函数图象可得乙机器人分拣包裹的速度是（个/分）， ∴12分钟时，乙机器人分拣的包裹数量为（个）， ∴12分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差（个）； （2）解：（个/分）， ∴甲机器人视觉系统识别异常前，分拣包裹的速度是80个/分， ∴甲机器人视觉系统识别异常后，分拣包裹的速度是（个/分）， 设甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为x分， 则，解得， ∴甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为42分钟． （3）解：当时，由题意得，，解得； 当时，由于甲的分拣速度大于乙，故此过程两机器人分拣数量差一定超过200； 当时，由题意得，，解得； 当时，由题意得， ，解得； 当时，由题意得，，∴， ∴整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间为分钟． 15．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）如图，在长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动至点D，再以的速度从点D运动到点A处停止，设P点运动的时间为，的面积为，y关于x的图象如图2所示． (1)观察图象可知：______；______；______；______． (2)当时，直接写出y关于x的关系式；(3)当时，求x的值． 【答案】(1)10，16，23，80(2)(3)或 【详解】（1）解：根据题意，得点P从点B出发，以的速度向点D运动，则，根据图象，当时，的面积为， 根据题意，得，解得，根据图象，得点P在上运动了，，故，解得， 故从点D到点A的运动时间为：，故；故答案为：10，16，23，80． （2）解：当时，． （3）解：根据题意，得点P在上时，，故时，， 当时，，解得； 点P在上时，是定值，不可能为20，此时无解； 点P在上时，， 当时，，解得； 综上所述，当时，x的值为或． 16．（24-25七年级下·四川成都青羊区石室联中·期末）小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1) (2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 【答案】(1)(2)小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． (3)爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米． 【详解】（1）解：(分钟)，∴，故答案为：10； （2）解：∵(分钟)，∴，∴(米分)． ∴线段所在直线的函数解析式为； 线段所在的直线的函数解析式为． 联立两函数解析式成方程组，解得：，（米）． 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． （3）解：根据题意得：，解得：，． 答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米． 17．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，到达点时停止运动，连接（或）．设点运动的时间为，的面积为． (1)请写出关于的关系式；(2)当的面积为4时，求点的运动时间． 【答案】(1)(2)秒或6秒． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点D． ∵，∴， 当时，， 当时，， ∴S关于t的关系式为． （2）解：当时，解得， 当时，解得， ∴当的面积为4时，点P的运动时间t为秒或6秒． 18．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）综合与实践 主题：池塘里有多少条鱼 活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张； 活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数 50 100 150 200 摸到黑棋的次数 12 26 38 50 摸到黑棋的次数 0.24 0.26 0.253 注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一：估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值 黑棋与样本的比值 黑棋个数 3 4 4 2 3 2 2 1 3 2 2.6 0.26 ②方案二：试验次数10次，每次摸10个； 活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； 活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？ 根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题． 【答案】活动一：问题1：3；问题2：20；活动二：0.25、0.25、40；活动四：估计鱼塘中有1500条鱼． 【详解】解：活动一：袋子中有红球有3个 ； 这副扑克牌有20张；故答案为：3，20； 活动二：，表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25，黑球的概率是；总棋数是，故答案为：、40； 活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则：解得： 经检验，是所列方程的解，∴估计鱼塘中有1500条鱼． 19．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 498 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249 (1)小颖从盒子里随机摸出一只蓝球是 (填序号) ①必然事件         ②不可能事件         ③随机事件 (2)摸到白球的概率的估计值是 (精确到0.01)； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合问题（2）中结果的试验最有可能的是 (填序号)． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． ③掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“小于3”． (4)受上述摸球实验的启发，小刚为了估计边长为10的正方形二维码上黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 0.65 左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ． 【答案】(1)②(2)0.25(3)②(4)65 【详解】（1）解：小颖从盒子里随机摸出一只蓝球是不可能事件，故答案为：②； （2）解：由表可知，摸球2000次时摸到白球的频率为0.249， 因此摸到白球的概率的估计值是0.25，故答案为：0.25； （3）解：①“投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上”的概率为． ②“在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲”的概率为． ③“掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数小于3”的概率为． 因此符合问题（2）中结果的试验最有可能的是②，故答案为：②； （4）解：，估计此二维码黑色阴影部分的面积为65，故答案为：65． ( 地 城 考点0 5 整式的乘除综合压轴 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着展开式中的各项的系数，则的展开式所有项的系数和是（    ） A．4050 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据图中所给等式，展开式的第二项为    ， 展开式的第二项为， 展开式的第二项为，……， 根据变化规律，展开式的所有项的系数和为， ∴则的展开式所有项的系数和是，故选：D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）已知，则的值是______． 【答案】13 【详解】解：设，，则，， ∴，即，∴，∴， ∴，∴．故答案为：13． 3．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）约定：三个正整数m，n，a，若满足，称m，n是关于a的“和谐数组”，将这个“和谐数组”记为．如：关于3的“和谐数组”共有2组，分别是．已知关于正整数c的“和谐数组”为，其中的x，y满足，则关于正整数c的“和谐数组”的组数共有________组． 【答案】14 【详解】解：∵，∴，∵，∴， ∴或3或5或9或15或25或31或45或75或93或155或225或279或465， ∴关于正整数c的“和谐数组”的组数共有14组．故答案为：14． 4．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）大衍数列：0，2，4，8，12，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大街之数五十”的推论．对于按一定规律排列的数：，，，，…，依此规律排列，则大衍数列的第10个数是_______，第11个数是_______． 【答案】 50 60 【详解】解：设为序号（的正整数），即第个数， ∴，即第1个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第2个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第3个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第4个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第5个数，序号为奇数，对应的数字为：， ， ∴当，即第10个数，序号为偶数，对应的数字为：， 当，即第11个数，序号为奇数，对应的数字为：，故答案为：①；② ． 5．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如，，，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”． （1）当时，______；（2）不超过1010的所有“和谐数”之和为______． 【答案】 14 【详解】解：（1）∵，∴， 又∵，∴，故答案为：14； （2）设两个连续的偶数为（k为自然数）， ∴， ∵k为自然数，∴一定时大于0的奇数，∴“和谐数”一定是4的奇数倍， ∵，∴不超过1010的所有“和谐数”一共有个， ∴不超过1010的所有“和谐数”之和为，故答案为：． 6．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）在程序设计语言C语言中，对于正整数m，n，则等于m除以n的余数，例如：，，令，则的值为______；令，则的值为______． 【答案】 21 10 【详解】解：∵， ∴； ∵，∴，， ，，， ，，， ，，， ，∴， ∵，∴．故答案为：21，10． 7．（24-25七年级下·四川成都青白江区·期末）一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是_____． 【答案】100 【详解】解：根据题意，得， 时，商最大，为100，故答案为：100． 8．（23-24七年级下·四川成都金堂县·期末）如图（1）的杯子中盛满水，如果将这个杯子中的水全部倒入图（2）的瓶子中，那么一共需要______个这样的杯子才能将这个瓶子装满． 【答案】 【详解】解：图（2）瓶子的上半部分的体积为； 图（2）瓶子的下半部分的体积为； ∴图（2）瓶子的体积为； 图（1）杯子的体积为； ∴一共需要杯子为个故答案为： 三、解答题 9．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）【基于教材】（1）如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是 ； 【知识迁移】（2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若，，求种植番茄的面积； 【拓展应用】（3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）12 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为：， 图2中阴影部分的面积为：， ∴可以得到的等式为； （2）∵，，∴， ∵，∴，∴种植番茄的面积为： ； （3）设长方形的两边分别为m、n， ∵长方形纸片和正方形纸片的周长相等，∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， ∵四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16， ∴，， 即，，∴，， ∵，，∴，，∴，∴长方形纸片的面积为12． 10．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）【问题产生】小明在学习平方差公式后，突发奇想：比任意一个偶数大5的数与这个偶数的平方差能被5整除吗？ 【特例尝试】（1）的结果是5的几倍？ 【证明结论】（2）设这个偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除； 【拓展思考】（3）比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差能被10整除吗？若能，请说明理由；若不能，请求出余数． 【答案】（1）13倍；（2）见解析；（3）不能，余数为5 【详解】解：（1），即的结果是5的13倍； （2）， ∵，∴比大5的数与的平方差能被5整除； （3）设这个整数为m，， ∵， ∴比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差不能被10整除，余数为5． 11．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【详解】解：问题初探：∵，∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴，∴， 又∵，∴； 初步应用：∵，，，∴， ∵， ∴ ． 12．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． (1)按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； (2)我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； (3)若，请求出的值． 【答案】(1) ，(2)；(3) 【详解】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； （3）解：∵， 当时， ∴ 即① 当时， 即② ①+②得， 即∴ 13．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）（1）两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？ （2）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，共20个．其中红球5个，白球9个．从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率； 小明从盒子里取出m个白球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是黑球的概率为，请求出m的值． 【答案】（1）不相等，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数相差（2）；5 【详解】解：（1）设两个相邻整数为n，，则这两个整数的平均数的平方为 两个整数的平方的平均数为 因为所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数不相等 ． 所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数相差 （2）①由题意可知，黑球的个数为，P（摸出的球是黑球）= ②任意摸出一个球是黑球的概率为盒子中球的总量为：（个）， 可以将盒子中的白球取出（个） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期末B卷专项汇编 答案 ( 地 城 考点01 几何最值压轴问题 )一、选择题 1 A 二、填空题 2．【答案】 3．【答案】 4．【答案】1 5．【答案】/0.5 三、解答题 6．【答案】(1)①见详解②见详解(2) 【详解】（1）证明：①∵，∴，即， 在和中，，∴ ∴，，∴， ∵，∴，∴； ②过点C作，交的延长线于点H，由（1）可知，， ∵，∴，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴； （2）解：取的中点Q，连接，，∵，M为的中点，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴Q，N，P三点共线时，最小， ∵，∴，∴，，∴， ∵，∴ 7．【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：，，为等边三角形，，， 为等边三角形，，， ，，， 在和中，，； （2）解：；证明如下：由旋转的性质得： 如图，延长至点，使，连接， ∵，∴， ，，∴，∵为等边三角形， ∴，∴， 在四边形中，， ∴， ∴，在和中，， ，，，； （3）解：延长至点，使，连接， 因，则， ，，，， ，，为等腰直角三角形，， 由（2）得，，，， 为等边三角形，，，，， 当时，取最小值，即取最小值，此时． ( 地 城 考点02 几何综合压轴问题（ B卷填空题 ） ) 一、填空题 1．【答案】 2．【答案】17 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】 或 6．【答案】③ 7．【答案】①②③ 8．【答案】①②③ 9．【答案】①②④ 10．【答案】或/或 11．【答案】或或 ( 地 城 考点0 3 几何综合压轴问题（ B卷解答题 ） ) 一、解答题 1．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）证明：∵平分，∴，， ∵，∴，，∴，∴； （2）解：与的大小关系是：，理由如下： 在中，，∴当时，是等腰直角三角形，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，， ∴，，∴是等腰直角三角形，∴， 由折叠的性质得：，∴， ∴是的外角，∴， 在中，， ∴，∴， 又∵，，∴，∴，即； （3）解：在上截取，连接，如图所示： ∵，，∴设，， ∴，，∴， ∵，∴，在和中，，∴，∴，∴， 由（1）可知：，，， ∴，，由折叠的性质得：， ∴，∴， ∵是的外角，∴， ∴，∴，∴，解得：，∴，∴． 2．【答案】(1)见解析；(2)）见解析；）． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵，，是中点，∴，，， ∴，，，∴， 又∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2））证明：延长到，使得，连接，如图： ∵是中点，∴， 在和中，，∴， ∴，，， ∵，∴，∵， ∴，，∴，， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴； ）解：如图：∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵是中点，∴，∴，由（）得， ∵，∴，∴，∵，∴，∵到的距离为， ∴，∴，∴，∴． 3．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形，∴，， ∵将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是， ∴，，∴，，又∵，∴， （2）解：，理由如下， ∵将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是， ∴，∴， （3）解：的最小值为，理由如下，如图，设交于点， 由（2）可得 当时，，此时取得最小值， ∵四边形是长方形，∴，， ∵，∴∴ 又∵又∵∴ ∴，，∴ 4．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)，理由见解析． 【详解】（1）证明：由对称的性质可知 又∵，∴，∴； （2）证明: 连接，如图，∵为等边三角形，∴，， 由对称的性质可知，，∴， ∵，∴， ∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴； （3）解: ，理由如下：当在线段上时，设交于，连接，如图， 由对称的性质可知，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， 由（）知， ∵，∴，∴，∴，∴； 当在延长线上时，设交于，如图：同理可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点与点关于对称，∴，∴， ∴，∴，，综上所述，． 5．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵点关于直线的对称点为，∴，， ∵为的中点，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴； （2）证明：如图，延长到点，使，连接， ∴，∵是的中点，∴， 在与中，，∴，∴，， ∵，∴，∴， 即，∵，∴，∵，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，∴． 6．【答案】(1)(2)①见解析；② 【详解】（1）解：由轴对称的性质可得， ∵是等边三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴； （2）解：①是等边三角形，，． ∵，，． ．是等边三角形．， ∴，       ．点B关于直线的对称点为E， ，，，， 设，则．．    ，∴，． ∵，∴，， ∴，∵，∴， ∴，∴， 在和中，，． ②，证明如下：是等边三角形，，． ∵，，．． 是等边三角形．，∴，       ． 点B关于直线的对称点为E，，，，， 设，则．．    ，∴，． ∵，∴，， ∴，∵，∴， ∴，∴， 在和中，，．，．     在中，， ∴，∴是等边三角形．．    ． 7．【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1），， 又，，，， 平分，，． （2），， ，，，平分， ，，由（1）知， ，． （3）如图3，当点在直线的上方，且在直线的左侧时， 猜想：，理由如下： ， ，由（1）知，，，， 平分，， ，，， 如图4，当点在直线的下方，且在直线的左侧时， 猜想：，理由如下： ， ，由（1）知，， ，， 平分，，， ，，， 综上可知，． 8．【答案】(1)见详解(2)面积的最大值为与最小值为(3)见详解 【详解】（1）证明：连接， 过点F，G分别作，的平行线相交于点H， ，，，， ，（），； （2）解：过作，过作于点， ，，，，， ， ，，， ，， ，（），，， ①当与重合时，取得最大值， 此时，面积的最大值为：； ②当在线段上时，取得最小值，过作， 直线，，，平行线之间的距离处处相等， ，，，， ，为等腰直角三角形，， ，， ，，， 面积的最小值为：；故面积的最大值为与最小值为； （3）解：过作，是定值，在直线上运动， 以为圆心长为半径画弧交于、，，、是等腰三角形； 如图，作的垂直平分线交于，，是等腰三角形． 9．【答案】(1)①；；②；(2) 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ，，∴， ，同理可得: ， ∵，∴，∴， ∵平分平分；， ∴． ②如图，过点Q作，∵平分平分， ，， 设，∵，，∴， ， ∵，，，，， 由（1）可知，∴． （2）解：如图，在的上方有一点O，平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,，如图，过点O作，则， ，，， ， 由（1）可知：， ∵，∴，即，∴， ∵，，∴． 10．【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析 【详解】（1）证明：∵，∴，即， 在中，，∴； （2）解：设交于点O， ∵，∴， 又∵，∴； （3）证明：过点C作于M，于N， ∵，∴，∴，∴平分． 11．【答案】（1），过程见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴．∴． （2）对于图2，，理由如下：在上截取，连接， ∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴ 对于图3：对于图3，，理由如下：在上截取，使，连接， 同图2法可得：，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴； （3）结论：．理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，∴． 12．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：是以、为腰的等腰三角形， ，，， 在和中，，∴ （2）证明：延长至，使，连接，如图： ，， 在和中，，∴，， ，，即，， ，，， ，； （3）过作于，连接． 为等边三角形，， ，，，， ，， ，，； 在和中，，∴，， ，，， ，，，， ，，，，， ，，． 13．【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴； （2）解：结论：．理由如下：如图，过点D作于点T，连接． ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，， ∵是等腰直角三角形，∴，又∵，， ∴，∴，∴，∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 同理可证明：，∴，∴， ∵，∴的面积等于60． ( 地 城 考点0 4 概率初步与变量之间的关系综合压轴 ) 一、选择题 1 2 3 4 A D D C 二、填空题 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】 三、解答题 10．【答案】(1)小丽家该月应交煤气费76元；(2)；(3)小丽家4月份所用煤气量为90立方米 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：小丽家该月应交煤气费76元； （2）当时，由题意得：； 当时，由题意得：， 所以y与x之间的表达式为； （3）设小丽家4月份所用煤气量为a立方米， 因为（元），而88元元，所以小丽家4月份所用煤气量超过50立方米， 由（2）得，解得， 答：小丽家4月份所用煤气量为90立方米． 11．【答案】(1)，(2)(3)延安与这条隧道之间的距离为450千米或270千米 【详解】（1）解：根据题意和表格数据可知，延安与成都的距离为千米， 普快的速度为（千米/时）， 普快到达成都所用时间为（小时），故答案为：，； （2）解：由图像知，动车的速度为(千米/时）， ∴与t之间的关系式为； （3）解：当普快在延安和隧道之间时，根据题意，得，解得， 则延安与这条隧道之间的距离为（千米）； 当普快在隧道和成都之间时，根据题意，得，解得， 延安与这条隧道之间的距离为（千米）， 综上，延安与这条隧道之间的距离为450千米或270千米． 12．【答案】(1)(2)，；事件1：；事件2：． 【详解】（1）根据题意可知，整理，得：． 故变量y与变量x之间的关系式为：； （2）根据题意可知，∴； 事件1：从C栋的居民中随机选择一人，该居民已经接种疫苗的概率为； 事件2：从A、B、C三栋的居民中随机选择人，该居民未接种疫苗的概率为． 【点睛】本题考查用关系式表示变量之间的关系，简单的概率计算．读懂题意，熟练掌握各知识点是解题关键． 13．【答案】（1），，理由见解析 （2） m的值为，n的值为15 【详解】（1）解：①大长方形的长为3m，小长方形的宽是xm，每个小长方形的长为（m） ②由题意可得，阴影M的长为m，宽是（m）， 阴影N的长为（m），宽是（m）， ③ 当时，阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化解得 （2）解：①由图2可知，点P从的运动时间为（s），（cm） ②根据题意得：（），（s） 图2中m的值为，n的值为15． ③由图2可知，点P在线段上运动时，， ，即． 14．【答案】(1)60；600(2)42分钟(3)分钟 【详解】（1）解；由函数图象可得乙机器人分拣包裹的速度是（个/分）， ∴12分钟时，乙机器人分拣的包裹数量为（个）， ∴12分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差（个）； （2）解：（个/分）， ∴甲机器人视觉系统识别异常前，分拣包裹的速度是80个/分， ∴甲机器人视觉系统识别异常后，分拣包裹的速度是（个/分）， 设甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为x分， 则，解得， ∴甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为42分钟． （3）解：当时，由题意得，，解得； 当时，由于甲的分拣速度大于乙，故此过程两机器人分拣数量差一定超过200； 当时，由题意得，，解得； 当时，由题意得， ，解得； 当时，由题意得，，∴， ∴整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间为分钟． 15．【答案】(1)10，16，23，80(2)(3)或 【详解】（1）解：根据题意，得点P从点B出发，以的速度向点D运动，则，根据图象，当时，的面积为， 根据题意，得，解得，根据图象，得点P在上运动了，，故，解得， 故从点D到点A的运动时间为：，故；故答案为：10，16，23，80． （2）解：当时，． （3）解：根据题意，得点P在上时，，故时，， 当时，，解得； 点P在上时，是定值，不可能为20，此时无解； 点P在上时，， 当时，，解得； 综上所述，当时，x的值为或． 16．【答案】(1)(2)小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． (3)爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米． 【详解】（1）解：(分钟)，∴，故答案为：10； （2）解：∵(分钟)，∴，∴(米分)． ∴线段所在直线的函数解析式为； 线段所在的直线的函数解析式为． 联立两函数解析式成方程组，解得：，（米）． 答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米． （3）解：根据题意得：，解得：，． 答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，在自第一次出发分钟和20分钟时与小军相距100米． 17．【答案】(1)(2)秒或6秒． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点D． ∵，∴， 当时，， 当时，， ∴S关于t的关系式为． （2）解：当时，解得， 当时，解得， ∴当的面积为4时，点P的运动时间t为秒或6秒． 18．【答案】活动一：问题1：3；问题2：20；活动二：0.25、0.25、40；活动四：估计鱼塘中有1500条鱼． 【详解】解：活动一：袋子中有红球有3个 ； 这副扑克牌有20张；故答案为：3，20； 活动二：，表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25，黑球的概率是；总棋数是，故答案为：、40； 活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则：解得： 经检验，是所列方程的解，∴估计鱼塘中有1500条鱼． 19．【答案】(1)②(2)0.25(3)②(4)65 【详解】（1）解：小颖从盒子里随机摸出一只蓝球是不可能事件，故答案为：②； （2）解：由表可知，摸球2000次时摸到白球的频率为0.249， 因此摸到白球的概率的估计值是0.25，故答案为：0.25； （3）解：①“投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上”的概率为． ②“在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲”的概率为． ③“掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数小于3”的概率为． 因此符合问题（2）中结果的试验最有可能的是②，故答案为：②； （4）解：，估计此二维码黑色阴影部分的面积为65，故答案为：65． ( 地 城 考点0 5 整式的乘除综合压轴 ) 一、选择题 1 D 二、填空题 2．【答案】13 3．【答案】14 4．【答案】 50 60 5．【答案】 14 6．【答案】 21 10 7．【答案】100 8．【答案】 三、解答题 9．【答案】（1）；（2）；（3）12 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为：， 图2中阴影部分的面积为：， ∴可以得到的等式为； （2）∵，，∴， ∵，∴，∴种植番茄的面积为： ； （3）设长方形的两边分别为m、n， ∵长方形纸片和正方形纸片的周长相等，∴正方形的边长为， ∴正方形的边长为， ∵四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16， ∴，， 即，，∴，， ∵，，∴，，∴，∴长方形纸片的面积为12． 10．【答案】（1）13倍；（2）见解析；（3）不能，余数为5 【详解】解：（1），即的结果是5的13倍； （2）， ∵，∴比大5的数与的平方差能被5整除； （3）设这个整数为m，， ∵， ∴比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差不能被10整除，余数为5． 11．【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【详解】解：问题初探：∵，∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴，∴， 又∵，∴； 初步应用：∵，，，∴， ∵， ∴ ． 12．【答案】(1) ，(2)；(3) 【详解】（1）解：由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； （3）解：∵， 当时， ∴ 即① 当时， 即② ①+②得， 即∴ 13．【答案】（1）不相等，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数相差（2）；5 【详解】解：（1）设两个相邻整数为n，，则这两个整数的平均数的平方为 两个整数的平方的平均数为 因为所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数不相等 ． 所以，两个相邻整数的平均数的平方与它们平方的平均数相差 （2）①由题意可知，黑球的个数为，P（摸出的球是黑球）= ②任意摸出一个球是黑球的概率为盒子中球的总量为：（个）， 可以将盒子中的白球取出（个） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期末B卷专项汇编 5大高频考点概览 考点01几何最值压轴问题 考点02几何综合压轴问题（B卷填空题） 考点03几何综合压轴问题（B卷解答题） 考点04 概率初步与变量之间的关系综合压轴 考点05 整式的乘除综合压轴 ( 地 城 考点01 几何最值压轴问题 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都郫都区校考期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 2．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在等腰中，，于点，是上一动点，是射线上一点，且，．当取得最小值时，______．（用含的代数式表示） 3．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）如图，在四边形中，，，，，点E在边上，且，四边形的面积为12．点F为四边形内部一点，连接，且，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，的面积为______． 4．（24-25七年级下·四川成都七中育才学校·校考期末）如图，在四边形中，，，连接，，分别是线段，线段上的点，且始终满足，连接，，当最小时，恰好，此时_____． 5．（24-25七年级下·四川成都青羊区石室联中·校考期末）如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为______． 三、解答题 6．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）中，，点P为边上一动点．(1)如图1，过点A作于点D，以为边作，使，且，作射线交于点F．①求证：，；②求证：；(2)如图2，，，N为内一动点，且，M为中点，连接，当最小时，求的度数． 7．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，． (1)如图1，若，求和的数量关系； (2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数． ( 地 城 考点02 几何综合压轴问题（ B卷填空题 ） )一、填空题 1．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，已知，，，若，则的度数为______． 2．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 3．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，上，且，．若，，，则________． 4．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·期末）如图，在中，，，，．P是边上一点，连接，将沿对折，点B落在点处，与相交于点M．当时，若的面积为2，则重叠部分的面积为______． 5．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．如图1，若点落在上，点落在上，则的度数是_____度；如图2，若，则的度数为_____（用含的代数式表示）． 6．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）如图，在中，于点，平分，交于点，为的延长线上一点，，交的延长线于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．给出下列结论：；；；．其中正确的序号有 7．（24-25七年级下·四川成都简阳市·校考期末）如图，在中，，，点为的中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论的序号有 。 8．（24-25七年级下·四川成都金堂县·期末）如图，，，在同一直线上，的平分线与的平分线交于点，，分别交于点，交于点，连接，．有以下结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中正确结论的序号有 。 9．（24-25七年级下·四川成都郫都区·校考期末）如图，中，，的角平分线和的邻补角的角平分线相交于点，分别交和的延长线于．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确结论的序号是________． 10．（24-25七年级下·四川成都崇州市·校考期末）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了______秒． 11．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）如图，一副直角三角板（，）的斜边分别与直线、重合，且，将、分别绕点、点以每秒度和每秒度的速度同时逆时针旋转，转动一周回到初始位置时，两块三角板同时停止转动，设时间为秒，当与的一边平行时，的值为________． ( 地 城 考点0 3 几何综合压轴问题（ B卷解答题 ） ) 一、解答题 1．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图1，在中，，的平分线交边于点D，过D作的平行线交于点E，将沿折叠得到，交边于点G． (1)求证：；(2)当时，试判断与的大小关系，并说明理由； (3)如图2，过点G作线段的垂线，垂足为H．若，求的长． 2．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图，在中，，，点为的中点，是延长线上一点，连接，过点作的垂线交射线于点． (1)证明：；(2)如图，取的中点，连接，．）证明：； ）连接，当平分时，，且点到直线的距离为，求的面积． 3．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）某班数学兴趣小组的同学在学习了轴对称知识后，利用一张长方形纸片进行折纸探究活动． (1)如图1，将长方形纸片沿对角线进行折叠，点的对应点是，与交于点．求证：；(2)如图2，分别在、上取点、，将长方形纸片沿直线翻折，点的对应点是，点的对应点是，连接、，探究和的位置关系，并说明你的理由； (3)如图3，长方形纸片中，，，点为边上一点，，，将长方形纸片沿直线翻折后，点的对应点是恰好落在射线上，点的对应点是，连接，求的最小值，并说明你的理由． 4．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）已知，为等腰三角形，，点是边上一点（不与端点重合），作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线与交于点． (1)如图，求证：；(2)如图，若为等边三角形，点在边上，且，连接交于点，求证：；(3)如图，若，点是射线上一点（不与点，重合），其余条件不变，过点作于点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．（注：有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形） 5．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）在四边形中，． (1)如图，为的中点，点关于直线的对称点为，射线交于点，射线交于点，交直线于点，求证：； (2)如图，点在延长线上，，为的中点，，求证：． 6．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）在等边三角形中，D为射线上一点，连接，点B关于的对称点为点E，连接． (1)如图1；点D在线段上，且，求的度数； (2)直线与直线交于点F，过D作交直线于点G，直线交直线于点H． ①如图2，点D在线段上，求证： ②点D在线段的延长线上，试猜想线段之间的数量关系，并证明． 7．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）已知直线，点，分别在，上，是平面内一点（不在直线，，上），连接，，分，射线，交于点． (1)如图1，若，，求的度数；(2)如图2，若，，求的度数；(3)当点在直线，之外，且在直线的左侧时，试猜想，和之间的数量关系，并说明理由． 8．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，直线，于点A，于点B，直线分别与，相交于点C和点D，，，．点E，F，G分别在线段，，上，且，，连接，，过点F，G分别作，的平行线相交于点H． (1)求证：；(2)若点H落在四边形内或其边上，求面积的最大值与最小值； (3)当为等腰三角形时，请画图确定H的位置，并简要说明理由． 9．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为 ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 10．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）如图，交于点H，连．(1)求证：；(2)求；（用含α的式子表示）(3)求证：平分． 11．（24-25七年级下·四川成都金堂县·期末）问题探究： （1）如图，在四边形中，，，分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，请问：他的结论是 ；并对此问题给出完整解题过程． 理解运用：（2）已知：在四边形中，，，点、点分别在直线、直线上，且；如图，点、点分别在边、的延长线上；如图，点、点分别在边、的延长线上．请从图2和图3中任选一种，写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）如图，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 12．（24-25七年级下·四川成都彭州市·期末）（1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点与交于，若，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，交于点，等边的边与相交于点．若，请直接写出的长度． 13．（24-25七年级下·四川成都锦江区·校考期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】（1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】（2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． ( 地 城 考点0 4 概率初步与变量之间的关系综合压轴 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）如图，在长方形中，动点E从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点C处停止．设点E运动的路程为的面积为s，如果s与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积和周长分别为（    ） A．12，14 B．6，14 C．6，12 D．12，22 2．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·期末）如图1，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法中正确的个数是（　　） ①；②长方形的周长为；③当时，；④当时，或3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·四川成都·校考期末）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（单位：）与所用的时间（单位：）之间的关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（   ） A．乙走的路程比甲远 B．甲的平均速度为 C．前，甲的速度比乙快 D．经过，甲、乙都走了 4．（24-25七年级下·四川成都浦江县·校考期末）做随机抛掷一枚质地均匀的纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（精确到0.001） 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 下面有4个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，所以当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次；④表格空白处的数值是0.520．其中合理推断的序号是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图，此为计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的“雷区”中，随机埋藏着10颗“地雷”，每个小方格最多能埋藏1颗“地雷”．小明游戏时先踩中一个小方格，显示数字2，它表示与这个方格相邻的8个小方格（图中黑框所围区域，设为A区域）中埋藏着2颗“地雷”．小明在A区域外的“雷区”踩了一个小方格，这个小方格正好有“地雷”的概率为________． 6．（24-25八年级下·四川成都双流天府第七中学·期末）在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码有一种密码，将个大写英文字母，，，，依次对应，，，，这个自然数（见表格）．当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号． 字母                                                    序号                                                 字母                                        序号                                                   按上述规定，将明码“”译成密码是______填写由个大写字母组成的密码 7．（24-25七年级下·四川成都新津区·期末）正方形边长为9，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式为________． 8．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图所示，某品牌的自行车链条每节长为，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为，按照这种连接方式，n节链条的总长度为，则y与n之间的关系式为_________． 9．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，直径为的圆形图形中，点均在圆上，且，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______．（取3） 三、解答题 10．（24-25七年级下·四川成都崇州市·期末）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？(2)试写出y与x之间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 11．（24-25七年级下·四川成都青羊区是石室联中·期末）延安，中国五大革命圣地之一．2021年4月10日，成都和延安两地之间首次开行直达动车组列车（动车），比之前开行的普速列车（普列）缩短了不少时间，某天一辆普列从延安出发匀速驶向成都，同时另一辆动车从成都出发匀速驶向延安，两车与成都的距离（千米）与行驶时间t（时）之间的关系如表格和图像所示． t 0 2 4 5 … 1080 930 780 705 … (1)延安与成都的距离为_____________千米，普列到达成都所用时间为____________小时． (2)求动车从成都到延安的距离与t之间的关系式． (3)在成都、延安两地之间有一条隧道，当动车经过这条隧道时，两车相距135千米，求延安与这条隧道之间的距离．（隧道长度不计算在内） 12．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）为了加强新冠疫情的防控，某社区调查统计了A、B、C三栋居民楼全体居民的疫苗接种情况，得到如下统计表（不完整）： A栋 B栋 C栋 合计 已接种人数 40 35 30 105 未接种人数 20 15 x y (1)求变量y与变量x之间的关系式；(2)若A、B、C三栋居民楼一共有居民150人，请直接写出x和y的值，并求下列事件发生的概率； 事件1：从C栋的居民中随机选择一人，该居民已经接种疫苗； 事件2：从A、B、C三栋的居民中随机选择人，该居民未接种疫苗． 13．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）（1）如图，在长方形中，长为，宽为．除阴影部分M，N外，其余5块是全等的小长方形，小长方形的宽为． 求每个小长方形的长（用含x的代数式表示）； 分别用含x，y的代数式表示阴影M，N的面积； 若阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化，请求出x的值，并说明理由． （2）如图1，梯形上底的长为，高，动点P以的速度从A点出发，以的路径运动，记的面积为．y与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示． 求的长；求图2中m，n的值；求点P在线段上运动时，y与t的关系式． 14．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）通过与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性．某快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙．现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量y（单位：个）与工作时间x（单位：分钟）的关系如图所示． (1)乙机器人分拣包裹的速度是______个/分，12分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差______个． (2)由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间． (3)求整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间． 15．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）如图，在长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动至点D，再以的速度从点D运动到点A处停止，设P点运动的时间为，的面积为，y关于x的图象如图2所示． (1)观察图象可知：______；______；______；______． (2)当时，直接写出y关于x的关系式；(3)当时，求x的值． 16．（24-25七年级下·四川成都青羊区石室联中·期末）小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1) (2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离； (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？ 17．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，到达点时停止运动，连接（或）．设点运动的时间为，的面积为． (1)请写出关于的关系式；(2)当的面积为4时，求点的运动时间． 18．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）综合与实践 主题：池塘里有多少条鱼 活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张； 活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数 50 100 150 200 摸到黑棋的次数 12 26 38 50 摸到黑棋的次数 0.24 0.26 0.253 注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一：估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值 黑棋与样本的比值 黑棋个数 3 4 4 2 3 2 2 1 3 2 2.6 0.26 ②方案二：试验次数10次，每次摸10个； 活动三 设计方案：根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； 活动四 解决问题：某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？ 根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题． 19．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 498 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249 (1)小颖从盒子里随机摸出一只蓝球是 (填序号) ①必然事件         ②不可能事件         ③随机事件 (2)摸到白球的概率的估计值是 (精确到0.01)； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合问题（2）中结果的试验最有可能的是 (填序号)． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②在甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． ③掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6)，落地时面朝上点数“小于3”． (4)受上述摸球实验的启发，小刚为了估计边长为10的正方形二维码上黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 0.65 左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ． ( 地 城 考点0 5 整式的乘除综合压轴 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着展开式中的各项的系数，则的展开式所有项的系数和是（    ） A．4050 B． C． D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）已知，则的值是______． 3．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）约定：三个正整数m，n，a，若满足，称m，n是关于a的“和谐数组”，将这个“和谐数组”记为．如：关于3的“和谐数组”共有2组，分别是．已知关于正整数c的“和谐数组”为，其中的x，y满足，则关于正整数c的“和谐数组”的组数共有________组． 4．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）大衍数列：0，2，4，8，12，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大街之数五十”的推论．对于按一定规律排列的数：，，，，…，依此规律排列，则大衍数列的第10个数是_______，第11个数是_______． 5．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如，，，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”． （1）当时，______；（2）不超过1010的所有“和谐数”之和为______． 6．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）在程序设计语言C语言中，对于正整数m，n，则等于m除以n的余数，例如：，，令，则的值为______；令，则的值为______． 7．（24-25七年级下·四川成都青白江区·期末）一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是_____． 8．（23-24七年级下·四川成都金堂县·期末）如图（1）的杯子中盛满水，如果将这个杯子中的水全部倒入图（2）的瓶子中，那么一共需要______个这样的杯子才能将这个瓶子装满． 三、解答题 9．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）【基于教材】（1）如图1，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，将图1的阴影部分拼成了如图2所示的长方形，分别表示图1、图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是 ； 【知识迁移】（2）为落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》文件精神，成都市锦江区某校在图1的基础上重新设计了如图3所示的图案，其中阴影部分种植番茄．若，，求种植番茄的面积； 【拓展应用】（3）将两张全等的长方形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图4方式不重叠地放置在矩形内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．若四边形和四边形的面积之和为20，阴影部分的面积为16，求长方形纸片的面积． 10．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）【问题产生】小明在学习平方差公式后，突发奇想：比任意一个偶数大5的数与这个偶数的平方差能被5整除吗？ 【特例尝试】（1）的结果是5的几倍？ 【证明结论】（2）设这个偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除； 【拓展思考】（3）比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差能被10整除吗？若能，请说明理由；若不能，请求出余数． 11．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 12．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了展开式的规律．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． (1)按以上规则，展开式共有 项，第三项（字母部分为）的系数是 ； (2)我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式 ；进而写出的展开式 ； (3)若，请求出的值． 13．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）（1）两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？ （2）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，共20个．其中红球5个，白球9个．从中任意摸出一个球，求摸出的球是黑球的概率； 小明从盒子里取出m个白球（其他颜色的球数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是黑球的概率为，请求出m的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 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