专题05 图形的轴对称（4大考点期末真题汇编，四川成都专用）七年级数学下学期北师大版

**基本信息** 成都各区七年级下期期末试题汇编，聚焦图形的轴对称四大高频考点，以本土文化（如世运会图标、编钟）和生活情境（万花筒、折叠）为载体，梯度设计基础判断、性质应用及综合作图题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约12题|轴对称识别、折叠性质|以成都世运会图标、AI模型图标考轴对称判断，结合编钟翻折考性质辨析| |填空|约15题|垂直平分线、角平分线、折叠计算|等边三角形折叠求阴影周长，直角三角形翻折求角度，体现空间观念| |解答|约15题|尺规作图、将军饮马、综合证明|网格中作轴对称图形并求面积，结合“将军饮马”模型设计最短路径问题，融合几何直观与推理能力|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05 图形的轴对称 ☆4大高频考点概览 考点01轴邮对称及其性质 考点02简单的轴对称图形 考点03尺规作图及相关运算 考点04轴对称的相关最值（将军饮马） 目目 考点01 轴对称及其性质 选择题 2 3 4 5 6 D D C D D B 二、填空题 7.【答案】73°/73度 8.【答案】50°/50度 9.【答案】12 10.【答案】18 11.【答案】124°124度 12.【答案】44 三、解答题 13.【答案】(1)图见解析(2)是，图见解析(3)图见解析 【详解】(1)如图，△A,B,C即为所求. (2)是.如图，直线m即为所求 (3)如图，作线段BC的垂直平分线，则点P即为所求. 1/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 14【答案】(1)见解析(2)3 【详解】(1)解：如图，△AB,C即为所求 (2) ABC的面积为。×3×1+。×3×1=3. 15. 【答案】()见详解(2)(3)见详解 【详解】(1)解：△A'B'C'如图所示： B (2)解：4BC的面积=2x4-×1x3-x1x2-1××4=8- 2 2 2 -1-2=7 2 (3)解：如图所示：线段CD即为所求： 2/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 简单的轴对称图形 选择题 2 D 二、填空题 3.【答案】56 4.【答案】44° 5.【答案】36°/36度 6.【答案】32°32度 7.【答案】4 8.【答案】48 三、解答题 9.【答案】∠DCE;∠BCD=∠ACE;SAS;∠B=∠CAE;等量代换；内错角相等，两直线平行 【详解】证明：：ABC和△EDC都是等边三角形， .BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°. .LACB-LDCA=∠DCE-∠DCA.即∠BCD=∠ACE. BC=AC 在△BCD和△ACE中， ∠BCD=∠ACE.△BCD≌△ACE(SAS)..LB=∠CAE. DC=EC :ABC是等边三角形，.∠ABC=∠ACB,.∠CAE=∠ACB(等量代换)， ∴.AE∥BC(内错角相等，两直线平行). 3/11 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 故答案为：∠DCE;∠BCD=∠ACE;SAS;LB=∠CAE;等量代换；内错角相等，两直线平行， 10.【答案】(1)AB=AC,证明见解析(2)证明见解析 【详解】(I)证明：：EB=EC,LEBC=∠ECB, 又：∠ABE=LACE,LABE+LEBC=∠ACE+LECD, 即∠ABC=∠ACB,·AB=AC; (2):AB=AC,EB=EC.AD垂直平分线段BC 11.【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)24 【详解】(1)证明：：AB=BC,∠BAC=∠BCA, :AC平分∠BAD,:∠BAC=∠DAC,.∠DAC=∠BCA,.AD∥BC: (2)证明：：AB=BC,BG平分∠ABC,.AG=CG,BG⊥AC,:AD∥BC,LEAG=∠FCG, [∠EAG=∠FCG 在△AEG和△CFG中，：{AG=CG ,.△AEG≌aCFG(ASA),.AE=CF: ∠AGE=∠CGF (3)解：过点A作AH⊥BC于点H,如图所示： E D G B HF :AD与BC之间的距离为6，.AH=6, :BG14C,由三角形的面积公式得：Sc=)ACBG=BCH, ·ACBG=BCAH,.2AG.BG=BC·AH,AGBG BC4H_8x6=24. 2 2 12.【答案】(1)见解析(2)∠0FG=40° 【详解】(1)证明：：AB∥MN,.∠AOD=∠ODF, :FG是线段OD的垂直平分线，.OF=DF, ∠DOF=LODF,.∠AOD=∠DOF,.OD是∠AOF的角平分线； (2)解：OE平分∠A0C,∠C0E=65°，.∠A0C=2LC0E=130°， .∠A0D=180°-130°=50°，由(1)知：∠0DF=∠D0F=∠A0D=50°， :FG是线段0D的垂直平分线，.∠0GF=90°，∠0FG=180°-90°-50°=40°. 13.【答案】(1)见解析(2)52°(3)36°或45° 4/11 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：在ABC与△ABD中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，LADB+∠ABC+∠BAD=180°， :∠ADB=∠BAC,∠ACB=∠BAD,:AB=AC,∠ABC=∠ACB,∠BAD=∠ABC,:AD=BD; 另解：：∠ACB是△ACD的一个外角，：∠ACB=∠D+∠CAD=∠BAC+∠CAD=∠BAD, :AB=AC,∠ACB=LABC,LABC=∠BAD,AD=BD: (2)解：由(1)可得AD=BD, 又：AB=AC,∠ADB=∠BAC,∠DAB=∠DBA=∠ABC=∠ACB, ∠CAD=12°，∠DAB=∠BAC+12°，在ABC中，LBAC+∠ABC+∠ACB=180°， 则2(LBAC+12)+∠BAC=180°，∠BAC=52°： (3)解：①当FC=BC时，∠CFB=LCBF,设LBAC=x, 在4Bc中，∠48c=∠4CB=180-∠B4C=0-5 在△BFC中，∠CFB=∠CBF=180°-∠ACB=45°+ +,又LAPE=LCFB, :BE⊥AD,·在RtAAFE中，∠FAE=90°-∠AFE=45°- 4 aBAD=∠BAC+LC4D=x±45°-=45°+兰，由(I)可知∠BAD=L4CB 4 450+390°：x=36°，即∠8AC=36°， 4 ②当BF=BC时，∠BFC=∠BCF,设∠BAC=∠ADB=y, :∠BCF=LABC=LBAD,·LBAC=∠ADB=∠CBF, :∠ACB=∠CFB=∠4FE=80P-∠BMC)=90-,∠4CB是a4CD的外角， kC1D=∠4CB-∠4D8=90-,:∠4EP=90,∠B4r+∠4FE:0, 即90-3》+90-=90，解得7=5，即Z48C=450 2 ③当BF=CF时，此时与题意不符；综上所述，∠BAC的度数为36°或45° 14.【答案】(1)证明见解析；(2)ADE的面积存在最大值，BD=4;(3)能，AD的值为4或16 【详解】(1)证明：：△ABC、△CDE都是等边三角形，：∠DCE=LACB=60°，CE=CD,CA=CB, ·∠DCE-∠ACD=∠ACB-LACD,即LECA=LDCB, CE=CD 在△CAE和△CBD中， ∠ECA=∠DCB∴ACAE≌ACBD(SAS; CA=CB (2)解： ADE的面积存在最大值，由(I)得△CAE≌△CBD, 5/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SE边形4DcE=SHCE+S.ACD=SBcn+S.ACD=SABc, 又：S阳边形DcE=S.DE+ScDE,:S.DE+S.cDE=SABc,:若SHDE最大，则需要SACDE最小， :当CD⊥AB时，CD的长最小，Se最小，BD=AB=4: (3)解：当点D在直线AB上运动时，△AEF能形成直角三角形，分两种情况， ①当∠AEF=90°时，如图，：△CAE≌aCBD,∠EAC=∠CBD=60°，∠EFA=30°， E B E :∠ECD=60°，÷∠CDF=90°，AD= 24B=4; ②当LAFE=90°时，如图，：∠ECD=60°，∠CDF=30°， ∠BCD=∠CBA-∠CDF=30°，DB=BC=8,AD=8+8=16. 综上，当点D在直线AB上运动时，△AEF能形成直角三角形，AD的值为4或16. 15。【答案】(0①3m,6m,1之c:@成立，理由见解析；(@0中的结论还成立。理山见解析 【详解】(1)解：①设CE=m,BC=2m1=AF+BD+CE=3m, c=A8C的周长=6m,:此时1与c的数量关系为1=0故答案为：3加，6m,1=20: ②成立.理由：：等边△ABC,PE⊥AC,PF⊥AB, ∠CPE=30∠BPF=30,CE=PC8F=P8 不妨设CE=m,BF=n,.PC=2m,PB=2n, 1=AF+BD+CE=2m+n+2n+m=3m+3n,c=△ABC的周长=3×2m+2n=6m+6n, :此时1与c的数量关系为1=2 1 (2)解：①中的结论还成立，理由：过点P作IH∥BC交AB,AC于I,H, 6/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E H B C D 作J⊥BC,HK⊥BC,J=HK,:∠B=∠C,△IBJ≌△HCK(AAS),BJ=CK, :等边△ABC,PE⊥AC,PF⊥AB,PD⊥BC,:∠IPF=30°，∠BIJ=30°，∠EPH=30°，∠KHC=30°， 不妨设FI=a,EH=b,BJ=CK=c,PI=2a,PH=2b,IB=HC=2c :JD PI=2a,DK PH =2b,.BC=AB=AC 2a+2b+2c, :.1=AF+BD+CE =a+2b+c+2a+b+2c=3a+3b+3c, 1 c=△ABC的周长=3x(2a+2b+2c)=6a+6b+6c.:此时1与c的数量关系为l=。c. 16.【答案】(1)50°(2)5(3)L0DG+LFDH=∠GDH,理由见解析 【详解】(I)解：：CD平分∠ACB,∠ACD=∠BCD, AC=BC 在△ACD和△BCD中， ∠ACD=∠BCD.△ACD≌△BCD(SAS),.∠CAO=∠DBC, CD=CD :∠CA0=50°，：LDBC=50°，故答案为：50°； (2)解：过点D作DN⊥AC于点N,如图所示： AD=DE :AN EN :AE AN EN 2EN, AC CE+AE CE +2EN ,.AC+CE=CE+2EN+CE=2(CE+EN)=2CN, 又AC+CE=10,.2CN=10,CN=5, :CD平分∠ACB,AO⊥BC于点O,DN⊥AC于点N,∠COD=∠CND=90°，D0=DN, DO=DN 在Rt△CDO和Rt△CDN中， .RtACDOSRtACDN(HL),:.CO=CN =5; CD=CD F H D B O BMO G (3)∠ODG,∠FDH,∠GDH这三个角之间的数量关系是：LODG+∠FDH=LGDH,理由如下： 7/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 在OB上截取OM=FH,连接DM,如图所示： FH+0G=GH,OM +0G=GH,GM=GH, :CD平分∠ACB,AO⊥BC于点O,DF⊥AC于点F,:DO=DF,∠DOM=∠DFH=90°， OM=FH 在△D0M和△DFH中， ∠DOM=∠DFH.△DOM=△DFH(SAS, DO=DF :∠ODM=∠FDH,DM=DH,∠ODG+∠FDH=∠ODG+LODM=∠GDM, DM=DH 在△GDM和△GDH中， GM=GH :.GDM≌GDH(SSS), DG=DG .∠GDM=∠GDH,∠ODG+∠FDH=∠GDH. 目目 考点03 尺规作图及相关运算 选择题 2 B 二、填空题 3.【答案】5 4. 【答案】60 5.【答案】69°169度 6.【答案】①②③④ 7.【答案】42° 8.【答案】6 9.【答案】2 10.【答案】12 11. 【答案1 三、解答题 12.【答案】(1)LEDC=65°(2)7cm 【详解】(1)解：由作法可知MN垂直平分AC,所以DE⊥AC,所以LDEC=90°， 8/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为∠C=25°，所以∠EDC=180°-∠DEC-∠C=65°； (2)由作法可知MN垂直平分AC,所以DA=DC, 因为ABC的周长为13cm,AE=3cm即AB+BC+AC=13cm,AC=6cm 所以AB+BD+DC=7cm即AB+BD+DA=7cm所以△ABD的周长为7cm. 目目 考点04 轴对称的相关最值（将军饮马） 一、 选择题 二、填空趣 2.【答案】3 3.【答案】9 【答1号 4. 5.【答案】4 三、解答题 6.【答案】()见解析；(2)2：（③）见解析. 【详解】(I)如图，aDEF即为所求。 21 （2》DEF的面积为2×0+3×3-×3x1-分1x2=6- 21 (3)如图，连接AE交直线1于点P,连接BP, 此时PA+PB=PA+PE=AE,为最小值，则点P即为所求. 7【答案】（①）见解析(2)见解析(3)7 9/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：如图，△AB,C即为所求. D (2)如图，连接AB,交直线DE于点P,连接BP, 此时PA+PB=PA+PB=AB,为最小值，则点P即为所求， (3)△ABC的面积为×2+5)×4-x2×2- ×5×2=14-2-5=7 2 8. 【答案】①)图形见解析（②）图形见解析(3)2 1 【详解】(1)解：如图，△AB,C即为所求， M B B (2)解：如图，连接AB,交直线MN于点P,连接PB, :点B和B关于MN对称，.PB=PB,.PA+PB=PA+PB, :PA+PB,≥AB.当A、P、B共线时，PA+PB取得最小值，故如图点P即为所求： r。=3x4-×3x1-2X41222223= 2 2 2 9.【答案】(1)见解析(2)6.5(3)见解析 【详解】(1)解：如图所示，△AB,C为所求作的图形： 10/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C B 2》5c=1+4到x4×1x3x1x4x-10-15-2=65, 2 (3)如图所示，点P为所求作的点 取AC与直线1的交点P,此时A,P+CP=A,P+C,P=A,C,为最小值. 11/11 专题05 图形的轴对称 4大高频考点概览 考点01轴对称及其性质 考点02简单的轴对称图形 考点03尺规作图及相关运算 考点04轴对称的相关最值（将军饮马） ( 地 城 考点01 轴对称及其性质 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D． 2．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）下列为成都2025年世界运动会相关会徽与图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据轴对称图形得定义，不是轴对称图形，D是轴对称图形．故选：D． 3．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）在北师大版数学教材中，《制作万花筒》这一节介绍了万花筒是一种光学玩具，从孔中看去即可观测到对称的美丽图案，不可能从万花筒中看到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A，B，D是轴对称图形，C不是轴对称图形，则不可能从万花筒中看到的是C图形， 故选：C． 4．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图1所示是中国古代的一种打击乐器编钟．老师绘制了从正面看到的编钟形状的一部分．如图2所示，操作如下：将四边形沿直线翻折．点A，B的对应点分别为，其中点A，E，三点在同一条直线上．则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将四边形沿直线l翻折．点A，B的对应点分别为， ∴，∴选项A，B，C都正确； 选项D不一定成立，故选项D符合题意；故选：D． 5．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由翻折得到，，，， ， ．故选：D． 6．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）如图，将直角三角形纸片进行折叠，使得点B恰好落到纸片边缘上的点处，折痕为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴，根据折叠的性质，得， ∵，∴．故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则______． 【答案】/73度 【详解】解：∵沿折叠得，∴， ∵，∴， 由折叠的性质得到：．故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于___________． 【答案】/50度 【详解】解：四边形是长方形，，， 又由折叠的性质可得，． 9．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为______ 【答案】 【详解】解：是边长为的等边三角形，， 由折叠的性质得到：，三个阴影部分的周长的和，故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为________． 【答案】18 【详解】解：∵将、分别沿、向外翻折至、， ∴，，，， ∴，， ∴，∴是等腰直角三角形，要使面积最小，即是使的长度最小，也就是长度最小，此时为的边上的高， ∵，且，∴最小为，即的最小值为6， ∴面积的最小值为，故答案为：18． 11．（24-25七年级下·四川成都西川中学·期末）如图，在纸片中，，将该三角形纸片折叠，使得点A落在边BC上的点D处，折痕为CE，若，则的度数为___________． 【答案】/124度 【详解】∵，，∴． ∵将折叠后，点A落在边BC上的点D处，折痕为， ∴，∴；故答案是：． 12．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则______ 【答案】 【详解】解：沿翻折到的位置，． 将沿翻折到的位置，， ．，．故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，小正方形的顶点为格点，和的顶点都在格点上． (1)作关于直线l对称的；(2)与是否关于某条直线m对称？若是，画出直线m，若不是，请说明理由；(3)在直线l上找一点P，使得，请画出点P． 【答案】(1)图见解析(2)是，图见解析(3)图见解析 【详解】（1）如图，即为所求． （2）是．如图，直线m即为所求． （3）如图，作线段BC的垂直平分线，则点P即为所求． 14．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形（提示：作图时，先用2B铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑）；(2)求的面积． 【答案】(1)见解析(2)3 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）的面积为． 15．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）如图是一个的网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上． (1)画出关于直线l对称的．(2)求的面积． (3)在直线l下方取格点D，作线段，使． 【答案】(1)见详解(2)(3)见详解 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：的面积． （3）解：如图所示：线段即为所求： ( 地 城 考点02 简单的轴对称图形 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】解：∵的周长是，∴， ∵，∴，∵垂直平分， ∴，∴，∴ 故选：． 2．（24-25七年级下·四川成都浦江县·校考期末）如图，在中，是它的一条角平分线，是它的一条中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作于，于， 平分，，，， ，，是的中线，， ，∴，故选：D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·四川成都简阳市·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是40，则的周长是_____． 【答案】56 【详解】解：∵是的垂直平分线，交于点E，∴，， ∵，∴，，∵的周长是40，∴， ∴，∴，∴．故答案：56． 4．（23-24七年级下·四川成都青羊区·期末）如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则_______． 【答案】 【详解】解：连接， ， ∵分别是的垂直平分线，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，， ∴，，故答案为：． 5．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则______． 【答案】/度 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，∴，∴， ∵在中，，，∴， ∴，故答案为：． 6．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）如图，在中，，点D是边的中点，，的平分线交于内一点P，连接．若，则______°． 【答案】/32度 【详解】解：∵，∴，∵点D是边的中点，∴， 又∵，∴，∴， ∵的平分线交于内一点P，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川成都郫都区·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解: 过作于，∵，，∴， ∵和分别平分和，∴，，∴，∴， ∵，∴的最小值为，故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川成都青羊区石室联中·期末）如图，在四边形中，， P， Q分别在， 边上，且 ， E为的中点， 连接， ， 若 ，则五边形的面积为_______________． 【答案】 【详解】解：延长至G，使，连接、，如图所示：∵E为的中点，∴， 在和中，，∴， ∴，，，∴，∴， ∵，，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴五边形的面积的面积， 故答案为：48． 三、解答题 9．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）补充完成下列推理过程： 如图，在等边中，是边上一点，以为边向上作等边，连接．求证：． 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴（ ）．即（ ）． 在和中，∵∴（ ）．∴（ ）． ∵是等边三角形，∴．∴（ ）．∴（ ）． 【答案】；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【详解】证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴．即． 在和中，∵∴．∴． ∵是等边三角形，∴．∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 10．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，是内一点，的延长线交于点，连接，，且，． (1)请判断与之间的数量关系，并说明理由；(2)试说明垂直平分线段． 【答案】(1)，证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， 又∵，∴， 即，∴； （2）∵∴垂直平分线段． 11．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图，在四边形中，，对角线平分，平分交于点G，过点G的直线分别交于点E，F．(1)求证：；(2)求证：；(3)若与之间的距离为6，，求的值． 【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)24 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴； （2）证明：∵，平分， ∴，∵，∴， 在和中，∵，∴，∴； （3）解：过点A作于点H，如图所示： ∵与之间的距离为6，∴， ∵，∴由三角形的面积公式得：， ∴，∴，∴． 12．（24-25七年级下·四川成都简阳市·期末）如图，直线，相交于点O，平分，直线，交直线于点D，是线段的垂直平分线，交线段于点G，交直线于点F，连接．(1)求证：是的角平分线；(2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵是线段的垂直平分线，∴， ∴，∴，∴是的角平分线； （2）解：∵平分，，∴， ∴，由（1）知：， ∵是线段的垂直平分线，∴，∴． 13．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，在等腰中，，点在的延长线上，，交于于点． (1)证明：；(2)若，求的度数；(3)若为等腰三角形，求度数． 【答案】(1)见解析(2)(3)或 【详解】（1）证明：在与中，，， ，，，，，； 另解：是的一个外角，， ，，，； （2）解：由（1）可得， 又，，， ，，在中，， 则，； （3）解：①当时，，设， 在中，， 在中，，又， ∵，在中，， ，由（1）可知， ，，即； ②当时，，设， ，， ，是的外角， ，，， 即，解得，即； ③当时，此时与题意不符；综上所述，的度数为或． 14．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：；(2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由；(3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)的面积存在最大值，；(3)能，的值为4或16 【详解】（1）证明：、都是等边三角形，，，， ，即， 在和中，； （2）解：的面积存在最大值，由（1）得，， 又，，若最大，则需要最小， 当时，CD的长最小，最小，； （3）解：当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，分两种情况， ①当时，如图，，，， ，，； ②当时，如图，，， ，，． 综上，当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，的值为4或． 15．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）数学课堂上，同学们正在探索一个有趣的数学问题：如图1，点P是等边内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与的周长的关系，记，的周长．（含角的直角三角形中角所对的边等于斜边的一半） (1)从特殊情形入手：①若点P在的顶点B处，此时点D、F与点B重合，如图2，此时l与c有什么数量关系呢？小明提出了他的解法： 等边， 不妨设，______（用含m的式子表示） 的周长=______（用含m的式子表示） 此时l与c的数量关系为______． ②若点P在的一条边BC上，如图3，此时①中的结论还成立吗？请说明理由． (2)回到一般情形，若点P不在的边界上，如图4，此时①中的结论还成立吗？请你借助特殊情形下获得的结论和方法解决这个问题，请写出解决过程． 【答案】(1)①，，；②成立，理由见解析；(2)①中的结论还成立．理由见解析 【详解】（1）解：①设， 的周长，此时l与c的数量关系为 故答案为：，，； ②成立． 理由：等边， ， 不妨设，， ，的周长， 此时l与c的数量关系为 （2）解：①中的结论还成立．理由：过点P作交，于I，H， 作，，，，， 等边，， 不妨设， ，， ， 的周长此时l与c的数量关系为 16．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长； (3)如图3，过点作于点，点在上，点在上，，试判断，，这三个角之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)5(3)，理由见解析 【详解】（1）解：平分，， 在和中，，， ，，故答案为：； （2）解：过点作于点，如图所示∶ ，，， ，， 又，，， 平分，于点，于点，，， 在和中，，； （3），，这三个角之间的数量关系是∶，理由如下∶ 在上截取，连接，如图所示∶ ，，即， 平分，于点，于点，，， 在和中，， ，，， 在和中，， ，． ( 地 城 考点0 3 尺规作图及相关运算 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点F，由题意可知：平分，      ∵，，∴， ∵，，， ∴，∴．故选：B 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，可得的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作法得：垂直平分，平分， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴．故选：C 二、填空题 3．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，已知，，则的面积为______． 【答案】5 【详解】解：如图，过点作于点，∵在中，，∴， 由题意可知，平分，∴（角平分线的性质定理）， ∵，∴的面积为，故答案为：5． 4．（22-23七年级下·四川成都新都区·期末）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则__________度．    【答案】60 【详解】解：∵，，∴， 由作图可知垂直平分线段，∴，∴， ∴．故答案为：60． 5．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，作射线．若，则的度数为________． 【答案】/69度 【详解】解：由作法得平分，， ，，故答案为：． 6．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的编号为_____． 【答案】①②③④ 【详解】解：①：由作图痕迹可知，射线为的平分线； ②：由作图痕迹可知，，， 又，，同理可得，， ，射线为的平分线； ③：由作图痕迹可知，，，可得， 又由图可知，，，射线为的平分线； ④：由作图痕迹可知，，是等腰三角形， 射线是的垂直平分线，也是的平分线．故答案为：①②③④． 7．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再以点为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交的延长线于点．如果，则______． 【答案】 【详解】解：由题意得，，由作图可知：， ∴，∴，故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图，的周长为15，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧的交点D恰好在边上，连接．若的周长为9，则的长为_______． 【答案】6 【详解】解：由题意，∴的周长， ∵的周长为15，∴．故答案为：6． 9．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点C为圆心，的长为半径画弧，交于B，D两点；②分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E：③作射线交于点F．若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ___________． 【答案】 【详解】解：过点作于点，根据作图可知为的角平分线， ∵∴，∵，∴，故答案为：。 11．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点F，已知，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：根据作图得：平分，∴点到的距离相等， ∵，∴，∴点到的距离均为的长， ∴，∴；故答案为：． 三、解答题 12．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·校考期末）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与，分别相交于点E和D，连接． (1)若，求的度数；(2)若，的周长为，求的周长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由作法可知垂直平分，所以，所以， 因为，所以； （2）由作法可知垂直平分，所以， 因为的周长为，即， 所以即所以的周长为． ( 地 城 考点0 4 轴对称的相关最值（将军饮马） ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都温江区东辰外国语学校·期末）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【详解】作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点； 通过观察图形，可知该交点为点．故选：C． 二、填空题 2．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）如图，正方形的周长为12，E，F分别在，边上，，，P是上的一动点，则的最小值为______． 【答案】3 【详解】解：正方形的周长为12，， ，，，， 作点关于的对称点，连接、，则，，， ，，， 当、、在同一直线上，且时，的最小值为． 的最小值为3，故答案为：3． 3．（24-25七年级下·四川成都金堂县·校考期末）如图，在等边三角形中，是边的中点，是的中线上的动点，且，则的最小值是_______． 【答案】9 【详解】连接，交于点，连接，如图所示． 是等边三角形，是边上的中线，， 是的垂直平分线，，． 当三点共线时，最小，有最小值， 当点在点处时，有最小值，且最小值为的长． 是边的中点，是的中线，， ，，即的最小值为9． 4．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作，    平分，， ，∴，，， ∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ，，即的最小值为，故答案为：． 5．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）已知在中，，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、D．作直线，点F为中点，点P为直线上任意一点，连接，．若，的面积为6，则的最小值为_____． 【答案】4 【详解】解：连接，交直线于点，连接， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，可知当点P与点重合时，，为最小值．由题意得，点F为中点，故． 根据题意，得解得，故的最小值为4．故答案为：4． 三、解答题 6．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请按要求完成下列问题．(1)画出关于直线l对称的（与，与，与相对应）；(2)求的面积；(3)在直线l上画出点，使的值最小． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）的面积为． （3）如图，连接交直线l于点，连接， 此时，为最小值，则点即为所求． 7．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）如图，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上．(1)画出关于直线的轴对称图形；(2)在直线上找一点，使点到点，的距离和最小，并在图中描出点的位置(请保留画图痕迹）；(3)求的面积． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值，则点即为所求． （3）的面积为 8．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出作法），并解答下列问题．(1)作关于直线的轴对称图形；(2)在上画出点P，使得的和最小：(3)求的面积． 【答案】(1)图形见解析(2)图形见解析(3) 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，连接，交直线于点，连接， ∵点和关于对称，∴，∴， ∵∴当、、共线时，取得最小值，故如图点即为所求： （3）解：． 9．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上． (1)画出关于直线成轴对称的；(2)求的面积； (3)在直线上找一点使得的值最小，并标出点位置． 【答案】(1)见解析(2)6.5(3)见解析 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的图形： （2）； （3）如图所示，点为所求作的点． 取与直线l的交点P，此时，为最小值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的轴对称 4大高频考点概览 考点01轴对称及其性质 考点02简单的轴对称图形 考点03尺规作图及相关运算 考点04轴对称的相关最值（将军饮马） ( 地 城 考点01 轴对称及其性质 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）下列为成都2025年世界运动会相关会徽与图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）在北师大版数学教材中，《制作万花筒》这一节介绍了万花筒是一种光学玩具，从孔中看去即可观测到对称的美丽图案，不可能从万花筒中看到的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图1所示是中国古代的一种打击乐器编钟．老师绘制了从正面看到的编钟形状的一部分．如图2所示，操作如下：将四边形沿直线翻折．点A，B的对应点分别为，其中点A，E，三点在同一条直线上．则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川成都武侯区·期末）如图，将直角三角形纸片进行折叠，使得点B恰好落到纸片边缘上的点处，折痕为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则______． 8．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于___________． 9．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为______ 10．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为________． 11．（24-25七年级下·四川成都西川中学·期末）如图，在纸片中，，将该三角形纸片折叠，使得点A落在边BC上的点D处，折痕为CE，若，则的度数为___________． 12．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则______ 三、解答题 13．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，小正方形的顶点为格点，和的顶点都在格点上． (1)作关于直线l对称的；(2)与是否关于某条直线m对称？若是，画出直线m，若不是，请说明理由；(3)在直线l上找一点P，使得，请画出点P． 14．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形（提示：作图时，先用2B铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑）；(2)求的面积． 15．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）如图是一个的网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上． (1)画出关于直线l对称的．(2)求的面积． (3)在直线l下方取格点D，作线段，使． ( 地 城 考点02 简单的轴对称图形 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都成华区·期末）如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25七年级下·四川成都浦江县·校考期末）如图，在中，是它的一条角平分线，是它的一条中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·四川成都简阳市·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长是40，则的周长是_____． 4．（23-24七年级下·四川成都青羊区·期末）如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则_______． 5．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则______． 6．（24-25七年级下·四川成都青羊区·期末）如图，在中，，点D是边的中点，，的平分线交于内一点P，连接．若，则______°． 7．（24-25七年级下·四川成都郫都区·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为_____． 8．（24-25七年级下·四川成都青羊区石室联中·期末）如图，在四边形中，， P， Q分别在， 边上，且 ， E为的中点， 连接， ， 若 ，则五边形的面积为_______________． 三、解答题 9．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）补充完成下列推理过程： 如图，在等边中，是边上一点，以为边向上作等边，连接．求证：． 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴（ ）．即（ ）． 在和中，∵∴（ ）．∴（ ）． ∵是等边三角形，∴．∴（ ）．∴（ ）． 10．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，是内一点，的延长线交于点，连接，，且，． (1)请判断与之间的数量关系，并说明理由；(2)试说明垂直平分线段． 11．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图，在四边形中，，对角线平分，平分交于点G，过点G的直线分别交于点E，F．(1)求证：；(2)求证：；(3)若与之间的距离为6，，求的值． 12．（24-25七年级下·四川成都简阳市·期末）如图，直线，相交于点O，平分，直线，交直线于点D，是线段的垂直平分线，交线段于点G，交直线于点F，连接．(1)求证：是的角平分线；(2)若，求的度数． 13．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，在等腰中，，点在的延长线上，，交于于点． (1)证明：；(2)若，求的度数；(3)若为等腰三角形，求度数． 14．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·校考期末）如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：；(2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由；(3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 15．（24-25七年级下·四川成都龙泉驿区·期末）数学课堂上，同学们正在探索一个有趣的数学问题：如图1，点P是等边内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与的周长的关系，记，的周长．（含角的直角三角形中角所对的边等于斜边的一半） (1)从特殊情形入手：①若点P在的顶点B处，此时点D、F与点B重合，如图2，此时l与c有什么数量关系呢？小明提出了他的解法： 等边， 不妨设，______（用含m的式子表示） 的周长=______（用含m的式子表示） 此时l与c的数量关系为______． ②若点P在的一条边BC上，如图3，此时①中的结论还成立吗？请说明理由． (2)回到一般情形，若点P不在的边界上，如图4，此时①中的结论还成立吗？请你借助特殊情形下获得的结论和方法解决这个问题，请写出解决过程． 16．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）已知，于点，平分，交于点． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点为上一点，连接，，，求的长； (3)如图3，过点作于点，点在上，点在上，，试判断，，这三个角之间的数量关系，并说明理由． ( 地 城 考点0 3 尺规作图及相关运算 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，图中所作直线与射线交于点D，点D在边上，根据图中尺规作图痕迹，可得的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25七年级下·四川成都金牛区·期末）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，已知，，则的面积为______． 4．（22-23七年级下·四川成都新都区·期末）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则__________度．    5．（24-25七年级下·四川成都双流区·期末）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，作射线．若，则的度数为________． 6．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）七年级2班数学学习兴趣小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的编号为_____． 7．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再以点为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交的延长线于点．如果，则______． 8．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图，的周长为15，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧的交点D恰好在边上，连接．若的周长为9，则的长为_______． 9．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点C为圆心，的长为半径画弧，交于B，D两点；②分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E：③作射线交于点F．若，，则的长为______． 10．（24-25七年级下·四川成都青羊区树德实验学校·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ___________． 11．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点F，已知，，则的长为______． 三、解答题 12．（24-25七年级下·四川成都都江堰市·校考期末）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与，分别相交于点E和D，连接． (1)若，求的度数；(2)若，的周长为，求的周长． ( 地 城 考点0 4 轴对称的相关最值（将军饮马） )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川成都温江区东辰外国语学校·期末）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（    ） A．A B．B C．C D．D 二、填空题 2．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）如图，正方形的周长为12，E，F分别在，边上，，，P是上的一动点，则的最小值为______． 3．（24-25七年级下·四川成都金堂县·校考期末）如图，在等边三角形中，是边的中点，是的中线上的动点，且，则的最小值是_______． 4．（24-25七年级下·四川成都温江区·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为______． 5．（24-25七年级下·四川成都锦江区·期末）已知在中，，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、D．作直线，点F为中点，点P为直线上任意一点，连接，．若，的面积为6，则的最小值为_____． 三、解答题 6．（24-25七年级下·四川成都高新区·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，请按要求完成下列问题．(1)画出关于直线l对称的（与，与，与相对应）；(2)求的面积；(3)在直线l上画出点，使的值最小． 7．（24-25七年级下·四川成都新都区·期末）如图，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上．(1)画出关于直线的轴对称图形；(2)在直线上找一点，使点到点，的距离和最小，并在图中描出点的位置(请保留画图痕迹）；(3)求的面积． 8．（24-25七年级下·四川成都天府新区·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出作法），并解答下列问题．(1)作关于直线的轴对称图形；(2)在上画出点P，使得的和最小：(3)求的面积． 9．（24-25七年级下·四川成都邛崃市·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上． (1)画出关于直线成轴对称的；(2)求的面积； (3)在直线上找一点使得的值最小，并标出点位置． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $