专题07 七年级下册压轴题专项汇编（5大考点期末真题汇编，四川专用）七年级数学下学期人教版

**基本信息** 聚焦七年级下册5大高频压轴考点（平行线、坐标系、实数、方程组、不等式），汇编四川多地期末真题，以动态几何探究与代数综合应用为核心，强化逻辑推理与创新思维。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10+|平行线性质判定、坐标系规律等|结合图形变换（平移/折叠）考查空间观念| |填空题|9+|实数估算、新定义运算等|融入黄金数、集合元素等跨学科素材| |解答题|15+|几何动态探究、方程组与不等式综合|设置射灯旋转、“密接点”等真实情境，注重多知识点融合|

专题07 七年级下册压轴题专项汇编 答案 ( 地 城 考点01 平行线的性质与判定综合压轴 )一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D B B D B A 二、填空题 5．【答案】或或 6．【答案】②③④ 7．【答案】①②④ 三、解答题 8． 【答案】(1)，；(2)秒或秒；(3)． 【详解】（1）解：， 整理得：，解得：，故答案为：，； （2）解：由可知灯每秒转，灯每秒转，灯从转到需要秒， 灯从转到需要秒， 灯先旋转了秒，还剩下秒，， 灯从转到时，灯从转到后又从回转了秒， 如下图所示，灯还未到达时， ，，，，， 当灯旋转秒时，灯旋转了秒，此时，， ，解得：； 如下图所示，当灯旋转到后又返回时， 此时，，， ，，，， ，则有，解得：； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：设两灯旋转的时间是秒，则，， 如下图所示，过点作， ，，，， ， ，，， ，，． 9． 【答案】(1)；(2)①，是定值；②或或或或或 【详解】（1）解：∵，∴， ∴， 同理：，∵和的角平分线相交于点， ∴，即 （2）解：①，是定值，理由如下：∵，∴， ∵，∴ ∵与的角平分线相交于点， ∴， 同（1）可知：； ②情况一、如图所示： ，即； ，即； ，即； ，即； 情况二、如图所示： ，即 ，即 ，即 10． 【答案】(1)，理由见解析(2)（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为，证明见解析(3) 【详解】（1）解：．理由：如图，过点作，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为． 证明：如图，过点作，∴， ∵，∴，∴，∴， 即（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为； （3）解：∵，，， ∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴，∴， 联立，解得：，∴的度数为． 11． 【答案】(1)(2)(3)的度数为或或 【详解】（1）解：设，，， ，， ，即，解得：，； （2）解：如下图所示，过点作，设，， ，，，， 即，，即， ，，，，，， ，，， ，，； （3）解：设，，平分，， ，，， ，，，即，， 平分，，， ，，， 如下图所示，当时，则， ，解得：，即； 如下图所示，当时，则，； 如下图所示，当时，则， ，，， 即，解得：，， 当时，则， 即，解得：（不符合实际，舍去）； 综上，当四边形的一边与平行时，的度数为或或． 12． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图1，过作， ，∴，∴，， ，∴； （2）解：如图2，过作，过点P作，设， ，，，， ，，， 平分，平分，，， ，，平分，， ，，， ，，； （3）解：如图3，过作，过作，设，， 交于，平分，，， ，，，， ，，， ，平分，，， ，， ，， ，，，． 13． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，，，， ，，，； 选择欣欣同学，证明过程如下： ，，，， ，，， ； （2）如图 ，过点P作，则， ， ，， 平分，， ，，，，， ，即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ，，，， ，，， ，， ，，， 平分，，，， ，，， ，即的度数是． ( 地 城 考点02 坐标系与图形（规律、新定义、面积、角度等）综合压轴 ) 一、选择题 1 D 二、填空题 2．【答案】 3．【答案】 三、解答题 4． 【答案】(1)9(2)，或(3) 【详解】（1）解：∵，，， ∴，∴，，则．故答案为：9． （2）∵正方形的顶点坐标分别是，，，，， ∴，，，，设点的坐标为， ①当点在上时，时，则，∴， ∵，，，，， ∴，即，解得．∴点的坐标为． ②当点在上时， 时，则，∴， ∵，，，，， ∴，即，解得．∴点的坐标为． ③当点在上时， 时，则，∴， ∵，，，，， ∴，即，解得．∴点的坐标为． ④当点在上时，同理可得点的坐标为． 综上所述，点的坐标为，或． 故答案为：点的坐标为，或． （3）∵点是正方形的边上的动点，，， ∴设点的坐标为，则，∴， ∴，且， ∵将的最大值记为，的最小值记为，且， ∴，解得． 5． 【答案】(1)(2)(3)①是，②点B不是否为直线的“密接点”，理由见解析 【详解】（1）解：∵线段与轴有公共点，则点B在轴下方，∴， 点C在轴上方，∴，即，∴； （2）解：∵线段通过平移能够与线段重合， ∴，即，解得； （3）解：①∵点到直线的距离为；∴点是直线的“密接点”；故答案为：是； ②点不是的“密接点”，理由如下：∵点刚好落在直线上， ∴向右平移的距离为2，∴点的横坐标为，点的横坐标为4， 由题意可得：，解得，点的纵坐标为： ∵的面积为6，∴，解得或， 当，时，，，此时点到的距离为2，则点不是的“密接点”； 当，时，，，此时点到的距离为4，则点不是的“密接点”； 综上，点不是的“密接点”． 6． 【答案】(1)3；5(2)或(3)①见解析；②或 【详解】（1）解：∵， ∴；；故答案为：； （2）解：∵，∴或， ∵B点在第一象限，∴或，∴或，即或； （3）解：①∵， 当，，∴，∴图形是过的一段线段； 当，，∴，∴图形是过的一段线段； 当，，∴，∴图形是过的一段线段； 当，，∴，∴图形是过的一段线段； 如图1所示： ②设：，∵点E在线段上，则：，，∵且， 当时，当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 再往右移动，不满足题意； ∴当时，在线段上存在点E，使得点E满足且， 当时：当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 再往左移动，不满足题意； ∴当时，在线段上存在点E，使得点E满足且， 综上：或时，在线段MN上存在点E，使得点E满足且． 7． 【答案】(1)是“等差点”，不是“等差点”，理由见解析 (2)点的坐标为或(3)点的坐标为． 【详解】（1）解：是“等差点”，不是“等差点”， 理由：对于，，是“等差点”； 对于，，不是“等差点”； （2）解：为“等差点”，∴，即，∴， 点到轴的距离是它到轴距离的2倍，，或， 当时，，点的坐标为；当时，，点的坐标为； 点的坐标为或； （3）解：点的横坐标为，且点是“等差点”，， 点在轴上，纵坐标为，，点是“等差点”，即， ，，的面积为4，，， 点在第一象限，，，，， 点和点的对应点分别是点和点，点的坐标为． 8． 【答案】(1)，，；(2)；；，理由见解析；或． 【详解】（1）解：∵，∴，，∴，，∴，， 由平移性质可知，，，，， ∴四边形的面积为，故答案为：，，； （2）解：∵点在上运动，，∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等，∴，解得：，故答案为：； 由平移性质可知，，∵点在上运动，∴点的横坐标为， 由（）得，，，∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为，故答案为：； ，理由，当时，点在上运动，则过作，如图， ∵，∴，∴，， ∴， 由（）得，四边形的面积为，∵直线将四边形的面积分成两部分 ∴当在上时，，∴，解得：； ∴当在上时，，∴， ∴；∴，∴， ∴当直线将四边形的面积分成两部分时，的值为或． 9． 【答案】(1)；；(2)P点坐标为或(3)点P在线段上时，；点P在线段延长线上时，；点P在线段反向延长线上时， 【详解】（1）解：，，，， ∵点C在y轴正半轴上，，，故点C的坐标为； ∵线段平移至线段，，； 由平移可得；故答案为：；；； （2）解：设，若与以x轴上的边为底，则这两个三角形等高， 则面积的比等于底边的比，即，，即或， 解得：或，即P点坐标为或； （3）解：当点P在线段上时，； 如图，过点P作，则； ，，； ，； 当点P在线段延长线上，； 如图，过点P作，则； ，，； ，； 当点P在线段反向延长线上，； 如图，过点P作，则； ，，； ，； 10． 【答案】(1)，5，4 (2)①图见解析，点的坐标为；②点的坐标为或； (3)或． 【详解】（1）解：由题意得，，，解得：，， 是64的立方根，；故答案为：，5，4； （2）解：①由（1）得：， ∵ 如图，线段即为所求，点的坐标为； ②设点的坐标为，，，且的面积是6， ，，解得：，点的坐标为或； （3）解：如图，当点在之间时，过点作，由平移的性质得，则， ，，； 如图，当点在点的下方时，过点作，由平移的性质得，则， ，，，． 综上所述，或． 11． 【答案】(1)，(2)(3)点P移动的时间为或 (4)时，或时， 【详解】（1）解：∵，∴， ∴A点的坐标为，C点的坐标为，，， ∵四边形是长方形，∴，，∴点． （2）解：当点P移动时，移动路程为8，则点P在上， ∴，即点P的坐标为． （3）解：当点P到x轴的距离为5个单位长度时， ∴或，∴点P移动的时间为或． （4）解：∵，，∴长方形面积为24， ∵把长方形分成两部分的面积为，∴把长方形分成6和18两部分， ①如图：当点在上时，则，由题意可得：， ∴，即，解得：，∴，∴点； ②如图：当点在上时，则，由题意可得：， ∴，即，解得：，∴，∴点． 综上，时，或时，． 12． 【答案】(1)；；(2) (3)的值是定值，定值为3． 【详解】（1）解：∵点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，∴，； （2）解：如图，由题意得，，，，，， ∴，∴， 即，解得 ∴；设，则， ∵三角形面积为3，∴ ， ∴ ，解得：，∴； （3）解：结论：的值是定值．理由：如图，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒，由题意：，， ，，， ，； 如图，当点N在的延长线上时，连接． 同理可得：， ， 综上所述，的值是定值，定值为3． 13． 【答案】(1)(2)①，，；②的面积为；③ 【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为4，∴，，， ∵ ，∴，，，∴； （2）解：①∵，∴，，， ∴，，，即正方形的边长为，∴， 答：，，； ②当时，，，∴P点位于上，如图，连接， ∴； ③由题意可知：，， ∵，∴， ∴， 即：，解得：． 14． 【答案】(1)(2)2(3)存在，(4)不变；2 【详解】（1）解：由平移可知； （2）解：连接，如图，，，三角形的面积； （3）解：存在，连接，由题意知， 四边形的面积三角形的面积三角形的面积， ，解得，时，四边形的面积等于6． （4）解：的值不会发生变化． 当N在线段上时，连接，由题意知，， ，，， ， 当N在延长线上时，连接， 设，由题意知，，，， ，，， ，， 综上所述，的值不会发生变化，的值为2． ( 地 城 考点0 3 实数综合压轴 ) 一、选择题 1 2 3 B D C 二、填空题 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】 三、解答题 7． 【答案】(1)，(2)或3(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是； （2）解：∵无理数的“阳光区间”为，∴，∴，即， ∵的“阳光区间”为，∴，∴， 即，∴，∴， ∵a为正整数，∴或，当时，， 当时，，∴的值为或3； （3）解：∵， ∴，∴，∴， ∴，∴， 两式相减，得，∴，∴m的算术平方根为， ∵，∴，∴m的算术平方根的“阳光区间”是． 8． 【答案】(1)(2)1(3) 【详解】（1）解：∵，即，∴的小数部分为． （2）解：∵，即，∴的小数部分为，即； ∵，即，∴的整数部分为3，即； ∴． （3）解：∵∴ ∵其中x是整数，且∴，， ∴的相反数． 9． 【答案】(1)边长为；这个值在3与4之间(2)(3) 【详解】（1）解：正方形的面积为；正方形的边长为； ，，这个值在3与4之间； （2）解：由（1）可知，，； （3）解：点A表示的数为1，正方形的边长为，点表示的数为：； ∵正方形的边长为，第一次翻滚后点表示的数为：； 第二次翻滚后点对应的数为： 依题意，经过2025次翻滚后数轴上的点重合，则点表示的数为： 10． 【答案】解：任务1：两；5；任务2： 【详解】解：任务1：①， ，，的立方根是个两位数： ②，，， 立方根的十位上的数是5：故答案为：两；5． 任务2：，，， ，能确定110592的立方根是个两位数， ，，它的立方根的十位上的数是4； ，的个位上的数是8，． 11． 【答案】(1)(2)(3)或1或3 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到，故答案为：． （2）解：，与互为相反数， 与5互为相反数，，，故答案为：； （3）解：，，或，解得或1或3． ( 地 城 考点0 4 二元一次方程组综合压轴 ) 一、选择题 1 2 3 4 B B D D 二、填空题 5．【答案】6 6．【答案】0或或 7．【答案】①③④ 8．【答案】 9 9．【答案】 三、解答题 10． 【答案】(1)(2)(3)， 【详解】（1）解：，得：，解得； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 且关于p，q的二元一次方程组为∴，解得； （3）解：由题可得，得：，解得， 把代入，得，解得，，． 11． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：， 由②得，即③， 将①代入③得，，解得， 把代入①得：，解得， 所以，方程组的解为； （2）解：， 由②得，即③， 将③代入①得，解得，∴， ∵x，y都是正整数，∴，∴． 12． 【答案】（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生；（2）①方案一：小客车20车、大客车0辆；方案二：小客车11辆，大客车4辆；方案三：小客车2辆，大客车8辆；②方案三租金最少，最少租金为3440元． 【详解】解：（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生 根据题意，得解得：；∴（人） 答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可65名学生； （2）①由题意得：，∴， ∵a、b为非负整数，∴或或，∴租车方案有三种： 方案一：小客车20车、大客车0辆， 方案二：小客车11辆，大客车4辆， 方案三：小客车2辆，大客车8辆； ②方案一租金：200×20=4000（元）； 方案二租金：200×11+380×4=3720（元）； 方案三租金：200×2+380×8=3440（元）， ∴方案三租金最少，最少租金为3440元． 13． 【答案】(1)具有(2)或(3)时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系” 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下：， ①-②得，解得， 将代入②得，解得， ∴方程组的解为，∴， ∴方程组的解与具有“友好关系”，故答案为：具有； （2）解：，②-①得，∴ ∵方程组的解与具有“友好关系”， ∴，解得或，∴的值为或； （3）解： ，得，，解得， 与，都是正整数，当时，，则，此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，，则，此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）；当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 14． 【答案】(1)③(2)(3)m的值为19或 【详解】（1）解：当时，，解得：，①不是方程的解； 当时，，解得：，②不是方程的解； 当时，，解得：，③是方程的解； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程与a的取值无关， ∴，∴，，将，代入得：，解得：； （3）解：将方程组化简得：， ①+②得：，由得：， 将代入得：，整理得：， ∵方程组有解，∴，即，∴， ∵k、x、y均为正整数，∴可取1，2，5，10，即k可取3，4，7，12， 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，将代入①得； 当时，，，将代入①得：； 综上所述，m的值为19或． ( 地 城 考点0 5 不等式综合压轴 ) 一、选择题 1 2 B C 二、填空题 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】22 7．【答案】6 8．【答案】 9．【答案】3 10．【答案】19 三、解答题 11． 【答案】(1)(2)(3)S的最大值是6，最小值是4 【详解】（1）解：，得：， ∵，∴，∴； （2）解：，解得， ∵x、y均为非负数，即，∴，解得：， （3）解：∵，∴∴， ∴，∴，∴S的最大值是6，最小值是4． 12． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：∵3与是关于2的“关联数”，∴，即，∴； （2）解：∵与是关于3的“关联数”，∴，整理得：， 又∵，，∴，，∴，，∴； （3）解：∵与是关于的“关联数”，∴，∴， 把代入不等式组得：，整理得：， ∵关于，的不等式组中的整数解恰为1，2，3， ∴，解得：，∴． 13． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）解：①当时，即时，原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时，原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为或 （2）解：得，；∵，∴， ①当时，即时， 原式化为：，解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为：解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为， ∵为整数，∴，，，，1，它们的和为． 14． 【答案】(1)方程的解不是不等式的“内含解”，理由见详解(2)(3) 【详解】（1）解：解方程得：， 解不等式得：，∴不在范围内， ∴方程的解不是不等式的“内含解”； （2）解：得：，解得：， 把代入①得：，解得：，∴方程组的解为， ∵方程组的解是不等式的“内含解”，∴，解得：； （3）解：由①可得：，由②可得：，∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰好有3个整数解，且该3个整数解分别为，∴，解得：， 由方程可得，且方程的解是不等式组的“内含解”， ∴，解得：，综上所述：的取值范围为． 15． 【答案】(1)每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； (2)该服装厂有3种进货方案；(3)用礼盒包装的长裤买了14条． 【详解】（1）解：设每匹B型布料的进价是元，则A型布料的进价是元， 则，解得，∴， 答：每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； （2）解：设购进A型布料匹，则购进B型布料匹，由题意可得， ，解得， ∵两种布料购进的匹数均为整数，∴或或，答：该服装厂有3种进货方案； （3）解：设购买商品件数为则不用礼盒包装的T恤为件，设包装的T恤为件，包装的长裤为条，不用礼盒包装的长裤为条，其中为正整数，均为非负数，根据题意可得， ，即，由题意可得， 把代入并整理得到，， 即，解得，由及,可得， 代入得到，由得到，解得，∴， 代入，符合题意，答：用礼盒包装的长裤买了14条． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 七年级下册压轴题专项汇编 5大高频考点概览 考点01平行线的性质与判定综合压轴 考点02坐标系与图形（规律、新定义、面积、角度等）综合压轴 考点03实数综合压轴 考点04二元一次方程组综合压轴 考点05 不等式综合压轴 ( 地 城 考点01 平行线的性质与判定综合压轴 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川德阳·期末）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到，， ，，， ①当时，设，则， ∵，，， ，，解得：，∴ ， ②当时，设，则， ∵，，， ，，解得：，∴ ， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到，，，，∴， ①当时，设，则， ∵，，， ，，解得：，∴ ， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或，∴不可能的值为． 2．（24-25七年级下·四川凉山州·校考期末）如图，线段，，于点P，平分交于点M，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵∴，， ∵，，∴，，∴，∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，故选：A. 3．（24-25七年级下·四川绵阳江油市·期末）如图，已知直线，平分，过点C作，平分分别交于点H，G，过点A作于点M．设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，∵于点M．∴，    ∴，， ∴，∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴，故选：D 4．（25-26七年级上·四川绵阳·校考期末）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将∠AFE沿折叠，点A刚好落在边上的点处；再将沿折叠，点B刚好落在射线上的点处，交于点G，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∵， ∴，由折叠的性质得，作， ∴，， ∴，故选：B． 二、填空题 5．（24-25七年级下·四川南充·期末）将一副三角板如图所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图，，，且，若边与三角板的一条直角边边，平行时，则所有满足条件的的值为______． 【答案】或或 【详解】解：由题意得，，， 如图1，当时，延长交于点，      ①在上方时，，，，，， ，，，即，； ②在下方时，， ，，，，， ，，，即，； 当时，延长交于点I，在上方时，， ，，，， ，，，即，； ②在下方时，， ，，，，， ，，， 即，（不符合题意，舍去）， 综上，所有满足条件的的值为15或60或105，故答案为：15或60或105． 6．（24-25七年级下·四川自贡·期末）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点的对应点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论：    ①；②；③若，则；④ 上述正确的结论是________． 【答案】②③④ 【详解】解：由折叠性质得，， ，，则， 是的一个外角，， 设，则， 当时，，题中并未明确的度数，故①错误； ，，由折叠性质可知， 则，故②正确； 由折叠性质得，由①的证明过程可知，， 设，则，， ，，解得，即，故③正确； 由①知， 是的一个外角，，故④正确； 综上所述，题中正确的结论是②③④，故答案为：②③④． 7．（24-25七年级下·四川南充仪陇县·期末）如图所示，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论，其中正确的结论有________． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【详解】解：∵，∴，故①正确； 如图，作，则，∵，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，故②正确； 设，，则，， 如图，作，则，， ∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∴，无法判断是否为，故③错误； ，故④正确；综上所述，正确的有①②④． 三、解答题 8．（24-25七年级下·四川广元剑阁县·期末）某校艺术舞台两侧（）有两台氛围射灯和，它们发出的光束分别从、方向开始，分别以秒、秒的速度在同一平面内逆时针旋转，分别到达、方向后立刻回转，并不断往返．将无人机拍摄到的画面抽象出如图、图的几何图形，若、满足，探究下列问题： (1)填空：________，________； (2)在图中，若灯先转动秒，灯才开始转动，在灯发出的光束到达之前，设灯转动时间为秒，求当为何值时，两灯的光束互相平行？ (3)在图中，连接，测得，若两灯同时转动，在灯发出的光束到达之前，两灯射出的光束交于点，过作交于点，且，探究与有怎样的数量关系？ 【答案】(1)，；(2)秒或秒；(3)． 【详解】（1）解：， 整理得：，解得：，故答案为：，； （2）解：由可知灯每秒转，灯每秒转，灯从转到需要秒， 灯从转到需要秒， 灯先旋转了秒，还剩下秒，， 灯从转到时，灯从转到后又从回转了秒， 如下图所示，灯还未到达时， ，，，，， 当灯旋转秒时，灯旋转了秒，此时，， ，解得：； 如下图所示，当灯旋转到后又返回时， 此时，，， ，，，， ，则有，解得：； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：设两灯旋转的时间是秒，则，， 如下图所示，过点作， ，，，， ， ，，， ，，． 9．（24-25七年级下·四川泸州·期末）学习了平行线的相关知识后，小明尝试将角平分线的内容与平行线知识相结合，自主创编了一道练习题：题目如下：如图1，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作3条直线使得． (1)如图2，和的角平分线相交于点，则的度数为_____． (2)如图3，与的角平分线相交于点． ①的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求出的大小． ②已知个是含有角的直角三角板，且其顶点与点重合，另一直角顶点在直线上时（假设三角板的边长可以随时调整长度），记为，为，请直接写出与满足的所有数量关系（用等式表示）． 【答案】(1)；(2)①，是定值；②或或或或或 【详解】（1）解：∵，∴， ∴， 同理：，∵和的角平分线相交于点， ∴，即 （2）解：①，是定值，理由如下：∵，∴， ∵，∴ ∵与的角平分线相交于点， ∴， 同（1）可知：； ②情况一、如图所示： ，即； ，即； ，即； ，即； 情况二、如图所示： ，即 ，即 ，即 10．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知，，平分，点为射线上一点，连接． (1)如图，若点为线段上一点，，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由；(2)如图，若点为延长线上一点，上述（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出，，之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，如果，，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)，理由见解析(2)（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为，证明见解析(3) 【详解】（1）解：．理由：如图，过点作，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为． 证明：如图，过点作，∴， ∵，∴，∴，∴， 即（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为； （3）解：∵，，， ∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴，∴， 联立，解得：，∴的度数为． 11．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末）如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，． (1)如图1，若，则______；(2)如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求．(3)如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数． 【答案】(1)(2)(3)的度数为或或 【详解】（1）解：设，，， ，， ，即，解得：，； （2）解：如下图所示，过点作，设，， ，，，， 即，，即， ，，，，，， ，，， ，，； （3）解：设，，平分，， ，，， ，，，即，， 平分，，， ，，， 如下图所示，当时，则， ，解得：，即； 如下图所示，当时，则，； 如下图所示，当时，则， ，，， 即，解得：，， 当时，则， 即，解得：（不符合实际，舍去）； 综上，当四边形的一边与平行时，的度数为或或． 12．（24-25七年级下·四川凉山·期末）已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图，若，求的度数；(2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；(3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图1，过作， ，∴，∴，， ，∴； （2）解：如图2，过作，过点P作，设， ，，，， ，，， 平分，平分，，， ，，平分，， ，，， ，，； （3）解：如图3，过作，过作，设，， 交于，平分，，， ，，，， ，，， ，平分，，， ，， ，， ，，，． 13．（24-25七年级下·四川广元·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】（1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】（2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】（3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，，，， ，，，； 选择欣欣同学，证明过程如下： ，，，， ，，， ； （2）如图 ，过点P作，则， ， ，， 平分，， ，，，，， ，即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ，，，， ，，， ，， ，，， 平分，，，， ，，， ，即的度数是． ( 地 城 考点02 坐标系与图形（规律、新定义、面积、角度等）综合压轴 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川德阳旌阳区·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，是等边三角形的顶点，将向右滚动，第一次滚动后得到，，，，第二次滚动后得到，，按此规律滚动下去，的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ∵，第一次滚动后得到，，第二次滚动后得到，，第三次滚动后得到，，每次旋转，3次一循环，每3次横坐标， ∵，∴的横坐标是， ∴的横坐标是，纵坐标是，故选：D． 二、填空题 2．（24-25七年级下·四川广安邻水县·期末）在平面直角坐标系内原点第一次跳动到点，第二次从点跳动到点，第三次从点跳动到点，第四次从点跳动到点，…，按此规律下去，则点的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：∵，，，， ∴的纵坐标为1，的纵坐标为2，的纵坐标为3，的纵坐标为4，则的纵坐标为n， ∴的纵坐标为，∵从第2个点开始，每三个点的横坐标的绝对值相同， 又∵，∴为第组的第二个点，∴的横坐标为， 即点的坐标是．故答案为：． 3．（24-25七年级下·四川凉山·期末）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”． （1）若点是“吉祥点”，则的值为________； （2）下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“吉祥点”； ②已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； ③已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，三角形的面积记为，则． 【答案】 / 【详解】解：（1）点是“吉祥点” ， ，解得 ． （2）对于结论：第一象限内点的横，纵坐标均为正数，满足的点有无数个， 第一象限内有无数个“吉祥点”，故正确； 对于结论：，，直线轴，直线为， 点是“吉祥点”且在坐标轴上，若点在轴上，令，得，即， 点到直线的距离为， 若点在轴上，令，得，即，点到直线的距离为， 点到直线的距离为或，故错误； 对于结论：，，轴，， 设第一象限内“吉祥点”的坐标为，，即， ∴点到直线的距离为，， ，，即，故正确； 综上，故答案为（1）；（2） 三、解答题 4．（24-25七年级下·四川绵阳涪城区·期末）在平面直角坐标系中，对于点，，…，，给出如下定义：把，，…，这个数中的最大值记为，最小值记为，将称为点，，…，的“特征值”，记作． 已知点，，．正方形的顶点坐标分别是，，，，其中．(1)_________；(2)当时，若点在正方形的边上，且，直接写出点的坐标；(3)点是正方形的边上的动点，将的最大值记为，的最小值记为，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)9(2)，或(3) 【详解】（1）解：∵，，， ∴，∴，，则．故答案为：9． （2）∵正方形的顶点坐标分别是，，，，， ∴，，，，设点的坐标为， ①当点在上时，时，则，∴， ∵，，，，， ∴，即，解得．∴点的坐标为． ②当点在上时， 时，则，∴， ∵，，，，， ∴，即，解得．∴点的坐标为． ③当点在上时， 时，则，∴， ∵，，，，， ∴，即，解得．∴点的坐标为． ④当点在上时，同理可得点的坐标为． 综上所述，点的坐标为，或． 故答案为：点的坐标为，或． （3）∵点是正方形的边上的动点，，， ∴设点的坐标为，则，∴， ∴，且， ∵将的最大值记为，的最小值记为，且， ∴，解得． 5．（24-25七年级下·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点M作直线平行于y轴．(1)如果线段与x轴有公共点，求b的取值范围；(2)若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出a、b的值： (3)若直线外一点到这条直线的距离小于2，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点A__________（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”；②将平移到，平移后点A、点B、点C分别对应点D、点E、点F，点F刚好落在直线上，点E落在y轴上且纵坐标为，如果的面积为6，过点A作直线平行于x轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 【答案】(1)(2)(3)①是，②点B不是否为直线的“密接点”，理由见解析 【详解】（1）解：∵线段与轴有公共点，则点B在轴下方，∴， 点C在轴上方，∴，即，∴； （2）解：∵线段通过平移能够与线段重合， ∴，即，解得； （3）解：①∵点到直线的距离为；∴点是直线的“密接点”；故答案为：是； ②点不是的“密接点”，理由如下：∵点刚好落在直线上， ∴向右平移的距离为2，∴点的横坐标为，点的横坐标为4， 由题意可得：，解得，点的纵坐标为： ∵的面积为6，∴，解得或， 当，时，，，此时点到的距离为2，则点不是的“密接点”； 当，时，，，此时点到的距离为4，则点不是的“密接点”； 综上，点不是的“密接点”． 6．（24-25七年级下·四川绵阳游仙区·期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”． ①当时，为点与点的“远距离”，即；当时，为点与点的“远距离”，即． ②点与点的“总距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题：(1)已知点，则_________；_________； (2)若点在第一象限，且．求点B的坐标； (3)①若点，且，所有满足条件的点C组成了图形W，请在图一中画出图形W； ②已知点，，若在线段上存在点E，使得点E满足且，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)3；5(2)或(3)①见解析；②或 【详解】（1）解：∵， ∴；；故答案为：； （2）解：∵，∴或， ∵B点在第一象限，∴或，∴或，即或； （3）解：①∵， 当，，∴，∴图形是过的一段线段； 当，，∴，∴图形是过的一段线段； 当，，∴，∴图形是过的一段线段； 当，，∴，∴图形是过的一段线段； 如图1所示： ②设：，∵点E在线段上，则：，，∵且， 当时，当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 再往右移动，不满足题意； ∴当时，在线段上存在点E，使得点E满足且， 当时：当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 再往左移动，不满足题意； ∴当时，在线段上存在点E，使得点E满足且， 综上：或时，在线段MN上存在点E，使得点E满足且． 7．（24-25七年级下·四川绵阳平武县·期末）定义：当点的坐标满足时，我们称为“等差点”．(1)判断，是否为“等差点”，并说明理由；(2)已知点为“等差点”，且点到轴的距离是它到轴距离的2倍，求点的坐标； (3)已知点和点是平面直角坐标系中的两个等差点，点在第一象限，横坐标为，点在轴上，纵坐标为，连接，将线段平移得到线段，点和点的对应点分别是点和点，且，连接，，若三角形的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1)是“等差点”，不是“等差点”，理由见解析 (2)点的坐标为或(3)点的坐标为． 【详解】（1）解：是“等差点”，不是“等差点”， 理由：对于，，是“等差点”； 对于，，不是“等差点”； （2）解：为“等差点”，∴，即，∴， 点到轴的距离是它到轴距离的2倍，，或， 当时，，点的坐标为；当时，，点的坐标为； 点的坐标为或； （3）解：点的横坐标为，且点是“等差点”，， 点在轴上，纵坐标为，，点是“等差点”，即， ，，的面积为4，，， 点在第一象限，，，，， 点和点的对应点分别是点和点，点的坐标为． 8．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)___________，___________，四边形的面积为___________； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题：当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则___________秒； 当点在上运动时，点的坐标为___________；（用含的式子表示） 当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 当直线将四边形的面积分成两部分时，直接写出的值． 【答案】(1)，，；(2)；；，理由见解析；或． 【详解】（1）解：∵，∴，，∴，，∴，， 由平移性质可知，，，，， ∴四边形的面积为，故答案为：，，； （2）解：∵点在上运动，，∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等，∴，解得：，故答案为：； 由平移性质可知，，∵点在上运动，∴点的横坐标为， 由（）得，，，∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为，故答案为：； ，理由，当时，点在上运动，则过作，如图， ∵，∴，∴，， ∴， 由（）得，四边形的面积为，∵直线将四边形的面积分成两部分 ∴当在上时，，∴，解得：； ∴当在上时，，∴， ∴；∴，∴， ∴当直线将四边形的面积分成两部分时，的值为或． 9．（24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C在y轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，连接，P是x轴上一动点. (1)点C的坐标是______，点D的坐标是______；与的数量与位置关系是______． (2)当的面积是的面积的3倍时，求点P的坐标； (3)若，判断α，β，θ之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明. 【答案】(1)；；(2)P点坐标为或(3)点P在线段上时，；点P在线段延长线上时，；点P在线段反向延长线上时， 【详解】（1）解：，，，， ∵点C在y轴正半轴上，，，故点C的坐标为； ∵线段平移至线段，，； 由平移可得；故答案为：；；； （2）解：设，若与以x轴上的边为底，则这两个三角形等高， 则面积的比等于底边的比，即，，即或， 解得：或，即P点坐标为或； （3）解：当点P在线段上时，； 如图，过点P作，则； ，，； ，； 当点P在线段延长线上，； 如图，过点P作，则； ，，； ，； 当点P在线段反向延长线上，； 如图，过点P作，则； ，，； ，； 10．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，且，是64的立方根． (1)直接写出：　　，　　，　　；(2)将线段平移得到线段，点的对应点是点，点的对应点是点．①在平面直角坐标系中画出平移后的线段，直接写出点的坐标；②若点在轴上，且的面积是6，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，点在轴负半轴上运动，但不与点重合，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)，5，4 (2)①图见解析，点的坐标为；②点的坐标为或； (3)或． 【详解】（1）解：由题意得，，，解得：，， 是64的立方根，；故答案为：，5，4； （2）解：①由（1）得：， ∵ 如图，线段即为所求，点的坐标为； ②设点的坐标为，，，且的面积是6， ，，解得：，点的坐标为或； （3）解：如图，当点在之间时，过点作，由平移的性质得，则， ，，； 如图，当点在点的下方时，过点作，由平移的性质得，则， ，，，． 综上所述，或． 11．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动一周，设点P运动时间为t秒． (1) ________， ________，点B的坐标为__________；(2)当点P移动时，求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间的值． (4)在移动过程中，连接，当把长方形分成两部分的面积为时，直接写出点P移动的时间及对应的点P坐标． 【答案】(1)，(2)(3)点P移动的时间为或 (4)时，或时， 【详解】（1）解：∵，∴， ∴A点的坐标为，C点的坐标为，，， ∵四边形是长方形，∴，，∴点． （2）解：当点P移动时，移动路程为8，则点P在上， ∴，即点P的坐标为． （3）解：当点P到x轴的距离为5个单位长度时， ∴或，∴点P移动的时间为或． （4）解：∵，，∴长方形面积为24， ∵把长方形分成两部分的面积为，∴把长方形分成6和18两部分， ①如图：当点在上时，则，由题意可得：， ∴，即，解得：，∴，∴点； ②如图：当点在上时，则，由题意可得：， ∴，即，解得：，∴，∴点． 综上，时，或时，． 12．（24-25七年级下·四川德阳·期末）如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． (1)请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； (2)连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)；；(2) (3)的值是定值，定值为3． 【详解】（1）解：∵点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，∴，； （2）解：如图，由题意得，，，，，， ∴，∴， 即，解得 ∴；设，则， ∵三角形面积为3，∴ ， ∴ ，解得：，∴； （3）解：结论：的值是定值．理由：如图，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒，由题意：，， ，，， ，； 如图，当点N在的延长线上时，连接． 同理可得：， ， 综上所述，的值是定值，定值为3． 13．（24-25七年级下·四川广安·期末）如图1，四边形为正方形（四条边都相等，四个内角都是），平行于y轴． (1)如图1，已知，正方形的边长为4，直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图2，已知，，，点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动，运动时间为t秒，若． ①请直接写出B、C、D的坐标：②当时，求的面积；③当时，求t的值． 【答案】(1)(2)①，，；②的面积为；③ 【详解】（1）解：∵正方形ABCD的边长为4，∴，，， ∵ ，∴，，，∴； （2）解：①∵，∴，，， ∴，，，即正方形的边长为，∴， 答：，，； ②当时，，，∴P点位于上，如图，连接， ∴； ③由题意可知：，， ∵，∴， ∴， 即：，解得：． 14．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，已知点，将点向右平移4个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到线段，连接，． (1)请直接写出点的坐标；(2)连接，求三角形的面积； (3)点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向上平移运动，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)在（3）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴向左平移运动，设射线交轴于点．问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)(2)2(3)存在，(4)不变；2 【详解】（1）解：由平移可知； （2）解：连接，如图，，，三角形的面积； （3）解：存在，连接，由题意知， 四边形的面积三角形的面积三角形的面积， ，解得，时，四边形的面积等于6． （4）解：的值不会发生变化． 当N在线段上时，连接，由题意知，， ，，， ， 当N在延长线上时，连接， 设，由题意知，，，， ，，， ，， 综上所述，的值不会发生变化，的值为2． ( 地 城 考点0 3 实数综合压轴 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川广安邻水县·期末）估计的值在下列哪两个整数之间（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，，∴， ∴，即， ∴估计的值在7和8之间．故选：B． 2．（24-25七年级下·四川绵阳游仙区·期末）我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（    ） A．4 B．2 C．0 D．-2 【答案】D 【详解】解：∵集合，由集合互异性得，，∴，， 又∵，集合，且，∴∴，即 ∵，此时，，由集合互异性得，故，， 又∵与元素对应相等，得，∴， ∵，两边同除以得，∴，∴，即D选项符合题意． 3．（24-25七年级下·四川绵阳北川县·期末）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 【答案】C 【详解】，，与之间共有个数， ，，与之间共有个数， ，， 与之间共有个数，， ，，与之间共有个数， ．故选C． 二、填空题 4．（24-25七年级下·四川德阳·期末）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对只需进行3次操作后变为1．类似的，对只需进行3次操作后也变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是___________． 【答案】 【详解】解：设第三次操作的输入为，由，根据定义可知，两边平方得，因此的最大正整数值为3；设第二次操作的输入为，要使最大，取，则，根据定义得，两边平方得，因此的最大正整数值为； 设原正整数为，要使最大，取，则，根据定义得，两边平方得，因此的最大正整数值为． 验证：对进行操作：，符合题意；而需4次操作变为1，不符合．故答案为：． 5．（24-25七年级下·四川自贡·期末）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则①表示的数是________________ ；②与表示的两数的平方和为________ ． 【答案】 【详解】①解：第1排： 第2排：，（从左到右依次增大） 第3排：，，（从左到右依次减小） 第4排：，，，（从左到右依次增大） 第5排：，，，，（从左到右依次减小） 奇数排（1，3，5，…）的数字从左到右是从大到小排列． 偶数排（2，4，…）的数字从左到右是从小到大排列． 数字是自然数开根号，不重复，顺序是连续填充的． 前m排数字的总个数：， 前一排（第排）的总个数是， 所以第m排的第1个数是序列中的第个数的平方根． 当 m为奇数时，第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是，因此奇数排的第n个数（从左向右数）是：， 当m为偶数时，第m排有m个数，从左到右依次是：，，…，， 即最左是，最右是，因此偶数排的第 n个数是：， ，为偶数，，所代表的数为，故答案为：； ②，为偶数，，， ，为奇数，，， 它们的平方和为，故答案为：． 6．（24-25七年级下·四川广元利州区·期末）把一条线段分为两部分，若此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，则这个比值就是黄金数，即为．比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：， ∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：． 三、解答题 7．（24-25七年级下·四川绵阳安州区·期末）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题：(1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】(1)，(2)或3(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是； （2）解：∵无理数的“阳光区间”为，∴，∴，即， ∵的“阳光区间”为，∴，∴， 即，∴，∴， ∵a为正整数，∴或，当时，， 当时，，∴的值为或3； （3）解：∵， ∴，∴，∴， ∴，∴， 两式相减，得，∴，∴m的算术平方根为， ∵，∴，∴m的算术平方根的“阳光区间”是． 8．（24-25七年级下·四川凉山州·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务．(1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1)(2)1(3) 【详解】（1）解：∵，即，∴的小数部分为． （2）解：∵，即，∴的小数部分为，即； ∵，即，∴的整数部分为3，即； ∴． （3）解：∵∴ ∵其中x是整数，且∴，， ∴的相反数． 9．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形），若每个小正方形的边长为1，点表示的数为1． (1)图中正方形的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)如图所示，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与点重合时，记为第一次翻滚，点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，经过2025次翻滚后与数轴上的点重合，点表示的数为多少？ 【答案】(1)边长为；这个值在3与4之间(2)(3) 【详解】（1）解：正方形的面积为；正方形的边长为； ，，这个值在3与4之间； （2）解：由（1）可知，，； （3）解：点A表示的数为1，正方形的边长为，点表示的数为：； ∵正方形的边长为，第一次翻滚后点表示的数为：； 第二次翻滚后点对应的数为： 依题意，经过2025次翻滚后数轴上的点重合，则点表示的数为： 10．（24-25七年级下·四川广元·期末） 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ；能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 59319的个位数是9，，能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位数319得到数59，而，则， 可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空．①它的立方根是________位数；②它的立方根的十位上的数是________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 【答案】解：任务1：两；5；任务2： 【详解】解：任务1：①， ，，的立方根是个两位数： ②，，， 立方根的十位上的数是5：故答案为：两；5． 任务2：，，， ，能确定110592的立方根是个两位数， ，，它的立方根的十位上的数是4； ，的个位上的数是8，． 11．（24-25七年级下·四川绵阳涪城区·期末）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________．(2)若，则___________．(3)已知，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或1或3 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到，故答案为：． （2）解：，与互为相反数， 与5互为相反数，，，故答案为：； （3）解：，，或，解得或1或3． ( 地 城 考点0 4 二元一次方程组综合压轴 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川泸州·期末）为奖励期中考试中成绩优异的同学，七（二）班计划用50元购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本的价格为7元，中性笔的价格为2元，若两种奖品都买，则购买的方案有几种？（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：设可以购进笔记本x本，中性笔y支，依题意得： ，∴ ， ∵x，y均为正整数，∴ 或 或 ，∴共有3种购买方案，故选：B． 2．（24-25七年级下·四川自贡·期末）定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得，，即， 将代入二元一次方程可得， 化简可得，由题意可得，，解得，B选项符合题意． 3．（24-25七年级下·四川绵阳游仙区·期末）若，，，，是从，1，2这三个数中取值的一列数（三个数都要取到），且，则的值是（     ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】D 【详解】解：设这列数中，有个，个，个，均为正整数， ∵总共有个数，∴①， ∵，∴②， 将①变形为，代入②整理得：， ∵均为正整数（三个数都要取到），∴，∴，即， 当时，，，符合要求； 当时，，不是整数，不符合要求；∴， 令， 又∵，∴． 4．（24-25七年级下·四川绵阳盐亭县·期末）已知关于x，y的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2025 D．1 【答案】D 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组：，①+②得：，得：，将代入①得：， 将，，代入可得：，解得：， ∴，故选： 二、填空题 5．（24-25七年级下·四川广安·期末）一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40件，已知接力棒每根9元，标志桶每个18元，长绳每根25元，在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的，长绳购进10根，结果实际购进三种器材共30件．且比原计划少支付124元，则实际购进标志桶的数量为______个． 【答案】6 【详解】解：设计划购进接力棒根，实际购进标志桶个， 由题意，实际购买接力棒数量为 （根）， 实际购进长绳根，实际总件数为，因此可得： ，整理得： ， 设原计划购进标志桶个，则原计划长绳数量为根， 原计划总费用减去实际总费用等于， 列方程得：，整理得： ， 将 代入上式，得：，化简得，变形得：， ∵是正整数，∴为整数，又∵和互质，∴是的倍数， ∵，解得，∴，则，即实际购进标志桶的数量为个． 6．（24-25七年级下·四川南充·期末）已已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 【答案】0或或 【分析】先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得：∵方程组的解满足 ∴，∴， ∵∴整理得，，∴， ∵a，b均为正整数∴当时，，此时；当时，，此时； 当时，，此时；∴n的值为0，，． 7．（24-25七年级下·四川德阳·期末）知关于，的方程组，下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；其中正确的有________．（请填上你认为正确的结论序号） 【答案】①③④ 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， （1）+（2）得，2x+2y＝4+2a，即：x+y＝2+a， ①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正确； ②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确； ③方程组，解得，，∴x+2y＝2a+1+2-2a＝3，因此③是正确的； ④方程组，由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，x-y＝3（4-x-3y），即；，因此④是正确的，故答案为①③④． 8．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，因为，所以，则____；若，都是“相异数”，其中，，，且，都是正整数，规定，当时，则符合条件的所有的值之和为 _____． 【答案】 9 【详解】解：，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，因为，所以； ∵，都是“相异数”，其中，， ∴， ， ∵，∴，∴， ∵，，，都是正整数， ∴或或或或或或， ∵是“相异数”，∴且，∵是“相异数”，∴且， 综上，满足条件的解为：或或或， ①当时，，则， ②当时，，则， ③当时，，则， 当时，，则， ∴符合条件的所有的值之和为． 9．（24-25七年级下·四川绵阳实验外国语学校·期末）已知关于的方程组的解是整数，是正整数，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：解方程组：，得：， 得：，即，∴， ∵解为整数，∴为整数，是5的约数，即或， 解得：；；；；又∵是正整数，∴， 当时，，将代入得，解得：， ∴均为整数，符合条件，故答案为：． 三、解答题 10．（24-25七年级下·四川泸州·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 【答案】(1)(2)(3)， 【详解】（1）解：，得：，解得； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 且关于p，q的二元一次方程组为∴，解得； （3）解：由题可得，得：，解得， 把代入，得，解得，，． 11．（24-25七年级下·四川自贡·期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③， 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得：，解得， 所以，方程组的解为， 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题：(1)解方程组； (2)已知正整数x，y，z满足，试求x，y，z的值． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：， 由②得，即③， 将①代入③得，，解得， 把代入①得：，解得， 所以，方程组的解为； （2）解：， 由②得，即③， 将③代入①得，解得，∴， ∵x，y都是正整数，∴，∴． 12．（24-25七年级下·四川眉山·期末）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生；（2）①方案一：小客车20车、大客车0辆；方案二：小客车11辆，大客车4辆；方案三：小客车2辆，大客车8辆；②方案三租金最少，最少租金为3440元． 【详解】解：（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生 根据题意，得解得：；∴（人） 答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可65名学生； （2）①由题意得：，∴， ∵a、b为非负整数，∴或或，∴租车方案有三种： 方案一：小客车20车、大客车0辆， 方案二：小客车11辆，大客车4辆， 方案三：小客车2辆，大客车8辆； ②方案一租金：200×20=4000（元）； 方案二租金：200×11+380×4=3720（元）； 方案三租金：200×2+380×8=3440（元）， ∴方案三租金最少，最少租金为3440元． 13．（24-25七年级下·四川绵阳江油市·期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)具有(2)或(3)时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系” 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下：， ①-②得，解得， 将代入②得，解得， ∴方程组的解为，∴， ∴方程组的解与具有“友好关系”，故答案为：具有； （2）解：，②-①得，∴ ∵方程组的解与具有“友好关系”， ∴，解得或，∴的值为或； （3）解： ，得，，解得， 与，都是正整数，当时，，则，此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，，则，此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）；当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 14．（24-25七年级下·四川德阳·期末）【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】(1)以下x，y的值是方程的解的是： （填序号）； ①，②，③ (2)若关于x、y的二元一次方程的解与a的取值无关，且这组解也是方程的解，求b的值． 【拓展延伸】(3)已知m为实数，k为正整数，关于x、y的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求m的值． 【答案】(1)③(2)(3)m的值为19或 【详解】（1）解：当时，，解得：，①不是方程的解； 当时，，解得：，②不是方程的解； 当时，，解得：，③是方程的解； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程与a的取值无关， ∴，∴，，将，代入得：，解得：； （3）解：将方程组化简得：， ①+②得：，由得：， 将代入得：，整理得：， ∵方程组有解，∴，即，∴， ∵k、x、y均为正整数，∴可取1，2，5，10，即k可取3，4，7，12， 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，不合题意，舍去； 当时，，，将代入①得； 当时，，，将代入①得：； 综上所述，m的值为19或． ( 地 城 考点0 5 不等式综合压轴 ) 一、选择题 1．（24-25七年级下·四川绵阳安州区·期末）如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得 ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有5个整数解，5个整数解为∴， 解得，可得整数的可能取值为， 解二元一次方程组将第二个方程乘2得，与第一个方程相加解得： 代入第二个方程得， ∵方程组有整数解，即均为整数，逐个验证： ，均为整数，符合；，均为整数，符合； ，均为整数，符合；，均为整数，符合； ，不是整数，不符合；符合条件的所有整数的和为：． 2．（24-25七年级下·四川泸州·期末）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合要求的所有整数a的和为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】解：解①，得，解②，得，∵原不等式组有解，∴， ∵原不等式组有且只有3个整数解，∴，解得， 符合条件的整数a为1和2，和为．故选C． 二、填空题 3．（24-25七年级下·四川南充仪陇县·期末）若关于x的不等式组无解，关于x的不等式组的所有整数解之和为12，那么的最大值是___________． 【答案】 【详解】解：由可得，，由可得，， ∵关于x的不等式组无解，∴， 由可得：，由可得：， ∵关于x的不等式组的所有整数解之和为12， ∴此不等式组的整数解为、、或、、、、、、、， ∴或，∴的最大值为，故答案为：． 4．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末）定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边都是通常的加、减、乘法运算，比如：．若不等式组恰有4个整数解，则实数a的取值范围是_____． 【答案】/ 【详解】解：由题意得：，， ∴不等式组可转化为，解不等式①得：，解不等式②得：， ∵这个不等式组恰有4个整数解，∴，解得．故答案为： 5．（24-25七年级下·四川德阳·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和大于且小于，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：由得：，由得：． 则不等式组的解集是：． 不等式组的所有整数解的和大于且小于，则不等式组的整数解，是和，，． ∴．解得： ． 6．（24-25七年级下·四川绵阳游仙区·期末）若关于 x 的不等式组 有且只有 2 个整数解，且关于 y 的方程的解是负整数， 则符合条件的所有整数 a 的和是_________   ． 【答案】22 【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，， 关于 x 的不等式组 有且只有 2 个整数解，这两个整数解是3，4， ，，解方程得， 关于 y 的方程的解是负整数，或或或或或， 或4或5或6或8或14，符合条件的所有整数为和， ，符合条件的所有整数 a 的和是，故答案为：． 7．（24-25七年级下·四川绵阳涪城区·期末）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为_____． 【答案】6 【详解】解：，解得，，解得，， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解，∴，解得，， ，解得，， ∵关于，的二元一次方程组的解为整数，∴是的倍数，是的倍数， 当整数时，，符合题意；当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意；当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意；当整数时，，不符合题意； 当整数时，，符合题意；∴，故答案为： ． 8．（24-25七年级下·四川广安·期末）定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以是不等式组的“关联方程”，若关于的方程是不等式组的“关联方程”，则的取值范围是____________． 【答案】 【详解】解：解方程得．解不等式得，解不等式得， 因此不等式组的解集为．因为是该不等式组的“关联方程”， 所以方程的解在不等式组的解集范围内，可得，解得． 9．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）新定义：对于任意实数，其整数部分记为，且表示不超过的最大整数，余下部分记为，即：．如，；，．下列结论正确的个数是________． ①；②若，，，则；③若，，，则所有可能的值为6，7，8；④方程的解为或． 【答案】3 【详解】解：①根据定义，不超过的最大整数是，即，故①正确； ②，，，为正数，故， ，，∵，∴，又∵，∴，， 由题意得，，，故②正确； ③根据定义，，，，，，， ∴，即，的可能值为，，，故③正确； ④由题意得，，∴； ；解得，；设，为整数， ∴，且，∴，解得， 为整数，，，，当时，， 当时，，当时，，方程有三个解，故④错误； 综上，正确的结论共个． 10．（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 【答案】19 【详解】解：解不等式，得，解不等式得， 不等式组的解集为，∴，解方程组，由第一个方程得， 代入第二个方程得，解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数，∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去；当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 三、解答题 11．（24-25七年级下·四川广元旺苍县·期末）已知关于x、y的方程满足方程组 (1)若， 求m的值；(2)若x、y均为非负数，求m的取值范围；(3)在（2）的条件下，某工厂要制作一批零件，每个零件制作过程中产生的废料成本为，求废料成本S的最大值和最小值． 【答案】(1)(2)(3)S的最大值是6，最小值是4 【详解】（1）解：，得：， ∵，∴，∴； （2）解：，解得， ∵x、y均为非负数，即，∴，解得：， （3）解：∵，∴∴， ∴，∴，∴S的最大值是6，最小值是4． 12．（24-25七年级下·四川泸州合江县·期末）定义：对于实数，，若满足（为常数），则称与是关于的“关联数”．(1)已知3与是关于2的“关联数”，求的值；(2)已知与是关于3的“关联数”，求的值；(3)已知与是关于的“关联数”，若关于，的不等式组中的整数解恰为1，2，3，求的取值范围． 【答案】(1)1(2)(3) 【详解】（1）解：∵3与是关于2的“关联数”，∴，即，∴； （2）解：∵与是关于3的“关联数”，∴，整理得：， 又∵，，∴，，∴，，∴； （3）解：∵与是关于的“关联数”，∴，∴， 把代入不等式组得：，整理得：， ∵关于，的不等式组中的整数解恰为1，2，3， ∴，解得：，∴． 13．（24-25七年级下·四川泸州·期末）解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解： ①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为； ②当，即时，原式化为：，解得， 此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解关于x的不等式：； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求整数m的和． 【答案】(1)或(2) 【详解】（1）解：①当时，即时，原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时，原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为或 （2）解：得，；∵，∴， ①当时，即时， 原式化为：，解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为：解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为， ∵为整数，∴，，，，1，它们的和为． 14．（24-25七年级下·四川绵阳平武县·期末）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围；(3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”．且该不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)方程的解不是不等式的“内含解”，理由见详解(2)(3) 【详解】（1）解：解方程得：， 解不等式得：，∴不在范围内， ∴方程的解不是不等式的“内含解”； （2）解：得：，解得：， 把代入①得：，解得：，∴方程组的解为， ∵方程组的解是不等式的“内含解”，∴，解得：； （3）解：由①可得：，由②可得：，∴不等式组的解集为， ∵该不等式组恰好有3个整数解，且该3个整数解分别为，∴，解得：， 由方程可得，且方程的解是不等式组的“内含解”， ∴，解得：，综上所述：的取值范围为． 15．（24-25七年级下·四川南充·期末）某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售．已知一匹A型布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元． (1)每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？ (2)根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整数）．已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产出来的T恤数量不少于长裤数量的．则该服装厂有几种进货方案？ (3)某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售．为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装．已知每件T恤零售价65元，每条长裤零售价80元，每个礼盒售价15元．小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤件数占总购买件数的．则用礼盒包装的长裤买了多少条？ 【答案】(1)每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； (2)该服装厂有3种进货方案；(3)用礼盒包装的长裤买了14条． 【详解】（1）解：设每匹B型布料的进价是元，则A型布料的进价是元， 则，解得，∴， 答：每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； （2）解：设购进A型布料匹，则购进B型布料匹，由题意可得， ，解得， ∵两种布料购进的匹数均为整数，∴或或，答：该服装厂有3种进货方案； （3）解：设购买商品件数为则不用礼盒包装的T恤为件，设包装的T恤为件，包装的长裤为条，不用礼盒包装的长裤为条，其中为正整数，均为非负数，根据题意可得， ，即，由题意可得， 把代入并整理得到，， 即，解得，由及,可得， 代入得到，由得到，解得，∴， 代入，符合题意，答：用礼盒包装的长裤买了14条． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 七年级下册压轴题专项汇编 5大高频考点概览 考点01平行线的性质与判定综合压轴 考点02坐标系与图形（规律、新定义、面积、角度等）综合压轴 考点03实数综合压轴 考点04二元一次方程组综合压轴 考点05 不等式综合压轴 ( 地 城 考点01 平行线的性质与判定综合压轴 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川德阳·期末）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川凉山州·校考期末）如图，线段，，于点P，平分交于点M，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川绵阳江油市·期末）如图，已知直线，平分，过点C作，平分分别交于点H，G，过点A作于点M．设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·四川绵阳·校考期末）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将∠AFE沿折叠，点A刚好落在边上的点处；再将沿折叠，点B刚好落在射线上的点处，交于点G，．若，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·四川南充·期末）将一副三角板如图所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图，，，且，若边与三角板的一条直角边边，平行时，则所有满足条件的的值为______． 6．（24-25七年级下·四川自贡·期末）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点的对应点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论：    ①；②；③若，则；④ 上述正确的结论是________． 7．（24-25七年级下·四川南充仪陇县·期末）如图所示，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论，其中正确的结论有________． ①；②；③；④． 三、解答题 8．（24-25七年级下·四川广元剑阁县·期末）某校艺术舞台两侧（）有两台氛围射灯和，它们发出的光束分别从、方向开始，分别以秒、秒的速度在同一平面内逆时针旋转，分别到达、方向后立刻回转，并不断往返．将无人机拍摄到的画面抽象出如图、图的几何图形，若、满足，探究下列问题： (1)填空：________，________； (2)在图中，若灯先转动秒，灯才开始转动，在灯发出的光束到达之前，设灯转动时间为秒，求当为何值时，两灯的光束互相平行？ (3)在图中，连接，测得，若两灯同时转动，在灯发出的光束到达之前，两灯射出的光束交于点，过作交于点，且，探究与有怎样的数量关系？ 9．（24-25七年级下·四川泸州·期末）学习了平行线的相关知识后，小明尝试将角平分线的内容与平行线知识相结合，自主创编了一道练习题：题目如下：如图1，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作3条直线使得． (1)如图2，和的角平分线相交于点，则的度数为_____． (2)如图3，与的角平分线相交于点． ①的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求出的大小． ②已知个是含有角的直角三角板，且其顶点与点重合，另一直角顶点在直线上时（假设三角板的边长可以随时调整长度），记为，为，请直接写出与满足的所有数量关系（用等式表示）． 10．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知，，平分，点为射线上一点，连接． (1)如图，若点为线段上一点，，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由；(2)如图，若点为延长线上一点，上述（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出，，之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，如果，，求的度数．（用含的式子表示） 11．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末）如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，． (1)如图1，若，则______；(2)如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求．(3)如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数． 12．（24-25七年级下·四川凉山·期末）已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图，若，求的度数；(2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；(3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 13．（24-25七年级下·四川广元·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】（1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】（2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】（3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． ( 地 城 考点02 坐标系与图形（规律、新定义、面积、角度等）综合压轴 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川德阳旌阳区·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，是等边三角形的顶点，将向右滚动，第一次滚动后得到，，，，第二次滚动后得到，，按此规律滚动下去，的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25七年级下·四川广安邻水县·期末）在平面直角坐标系内原点第一次跳动到点，第二次从点跳动到点，第三次从点跳动到点，第四次从点跳动到点，…，按此规律下去，则点的坐标是__________． 3．（24-25七年级下·四川凉山·期末）在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”． （1）若点是“吉祥点”，则的值为________； （2）下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“吉祥点”； ②已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； ③已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，三角形的面积记为，则． 三、解答题 4．（24-25七年级下·四川绵阳涪城区·期末）在平面直角坐标系中，对于点，，…，，给出如下定义：把，，…，这个数中的最大值记为，最小值记为，将称为点，，…，的“特征值”，记作． 已知点，，．正方形的顶点坐标分别是，，，，其中．(1)_________；(2)当时，若点在正方形的边上，且，直接写出点的坐标；(3)点是正方形的边上的动点，将的最大值记为，的最小值记为，若，直接写出的取值范围． 5．（24-25七年级下·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，过点M作直线平行于y轴．(1)如果线段与x轴有公共点，求b的取值范围；(2)若线段通过平移能够与线段重合，平移后点A、点C分别对应点B、点M．请分别求出a、b的值： (3)若直线外一点到这条直线的距离小于2，则称这个点是该直线的“密接点”． ①点A__________（填写“是”或“不是”）直线的“密接点”；②将平移到，平移后点A、点B、点C分别对应点D、点E、点F，点F刚好落在直线上，点E落在y轴上且纵坐标为，如果的面积为6，过点A作直线平行于x轴，点B是否为直线的“密接点”，说明理由． 6．（24-25七年级下·四川绵阳游仙区·期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”． ①当时，为点与点的“远距离”，即；当时，为点与点的“远距离”，即． ②点与点的“总距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题：(1)已知点，则_________；_________； (2)若点在第一象限，且．求点B的坐标； (3)①若点，且，所有满足条件的点C组成了图形W，请在图一中画出图形W； ②已知点，，若在线段上存在点E，使得点E满足且，请直接写出m的取值范围． 7．（24-25七年级下·四川绵阳平武县·期末）定义：当点的坐标满足时，我们称为“等差点”．(1)判断，是否为“等差点”，并说明理由；(2)已知点为“等差点”，且点到轴的距离是它到轴距离的2倍，求点的坐标； (3)已知点和点是平面直角坐标系中的两个等差点，点在第一象限，横坐标为，点在轴上，纵坐标为，连接，将线段平移得到线段，点和点的对应点分别是点和点，且，连接，，若三角形的面积为4，求点的坐标． 8．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)___________，___________，四边形的面积为___________； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题：当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则___________秒； 当点在上运动时，点的坐标为___________；（用含的式子表示） 当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 当直线将四边形的面积分成两部分时，直接写出的值． 9．（24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C在y轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，连接，P是x轴上一动点. (1)点C的坐标是______，点D的坐标是______；与的数量与位置关系是______． (2)当的面积是的面积的3倍时，求点P的坐标； (3)若，判断α，β，θ之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必证明. 10．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，且，是64的立方根． (1)直接写出：　　，　　，　　；(2)将线段平移得到线段，点的对应点是点，点的对应点是点．①在平面直角坐标系中画出平移后的线段，直接写出点的坐标；②若点在轴上，且的面积是6，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，点在轴负半轴上运动，但不与点重合，直接写出、、之间的数量关系． 11．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动一周，设点P运动时间为t秒． (1) ________， ________，点B的坐标为__________；(2)当点P移动时，求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间的值． (4)在移动过程中，连接，当把长方形分成两部分的面积为时，直接写出点P移动的时间及对应的点P坐标． 12．（24-25七年级下·四川德阳·期末）如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． (1)请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； (2)连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 13．（24-25七年级下·四川广安·期末）如图1，四边形为正方形（四条边都相等，四个内角都是），平行于y轴． (1)如图1，已知，正方形的边长为4，直接写出点A，C，D的坐标； (2)如图2，已知，，，点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动，运动时间为t秒，若． ①请直接写出B、C、D的坐标：②当时，求的面积；③当时，求t的值． 14．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，已知点，将点向右平移4个单位长度，得到点，连接．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到线段，连接，． (1)请直接写出点的坐标；(2)连接，求三角形的面积； (3)点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向上平移运动，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (4)在（3）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴向左平移运动，设射线交轴于点．问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． ( 地 城 考点0 3 实数综合压轴 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川广安邻水县·期末）估计的值在下列哪两个整数之间（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 2．（24-25七年级下·四川绵阳游仙区·期末）我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（    ） A．4 B．2 C．0 D．-2 3．（24-25七年级下·四川绵阳北川县·期末）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 二、填空题 4．（24-25七年级下·四川德阳·期末）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对进行如下操作：，这样对只需进行3次操作后变为1．类似的，对只需进行3次操作后也变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是___________． 5．（24-25七年级下·四川自贡·期末）将按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则①表示的数是________________ ；②与表示的两数的平方和为________ ． 6．（24-25七年级下·四川广元利州区·期末）把一条线段分为两部分，若此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，则这个比值就是黄金数，即为．比较大小：______．（填“”“”或“”） 三、解答题 7．（24-25七年级下·四川绵阳安州区·期末）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题：(1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 8．（24-25七年级下·四川凉山州·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务．(1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：其中x是整数，且求的相反数． 9．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形），若每个小正方形的边长为1，点表示的数为1． (1)图中正方形的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)如图所示，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与点重合时，记为第一次翻滚，点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，经过2025次翻滚后与数轴上的点重合，点表示的数为多少？ 10．（24-25七年级下·四川广元·期末） 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ，，， ；能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 59319的个位数是9，，能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位数319得到数59，而，则， 可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 方法迁移 已知195112是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空．①它的立方根是________位数；②它的立方根的十位上的数是________； 任务2 解决问题 已知110592是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根． 11．（24-25七年级下·四川绵阳涪城区·期末）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________．(2)若，则___________．(3)已知，求的值． ( 地 城 考点0 4 二元一次方程组综合压轴 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川泸州·期末）为奖励期中考试中成绩优异的同学，七（二）班计划用50元购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本的价格为7元，中性笔的价格为2元，若两种奖品都买，则购买的方案有几种？（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级下·四川自贡·期末）定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川绵阳游仙区·期末）若，，，，是从，1，2这三个数中取值的一列数（三个数都要取到），且，则的值是（     ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 4．（24-25七年级下·四川绵阳盐亭县·期末）已知关于x，y的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2025 D．1 二、填空题 5．（24-25七年级下·四川广安·期末）一年一度的校园春季运动会即将拉开帷幕，学校体育教研室准备购买一批体育用品，其中计划同时购买接力棒、标志桶、长绳三种器材计划共40件，已知接力棒每根9元，标志桶每个18元，长绳每根25元，在价格不变的前提下，实际购买接力棒是计划数量的，长绳购进10根，结果实际购进三种器材共30件．且比原计划少支付124元，则实际购进标志桶的数量为______个． 6．（24-25七年级下·四川南充·期末）已已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 7．（24-25七年级下·四川德阳·期末）知关于，的方程组，下列结论：①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则；其中正确的有________．（请填上你认为正确的结论序号） 8．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，因为，所以，则____；若，都是“相异数”，其中，，，且，都是正整数，规定，当时，则符合条件的所有的值之和为 _____． 9．（24-25七年级下·四川绵阳实验外国语学校·期末）已知关于的方程组的解是整数，是正整数，那么的值是______． 三、解答题 10．（24-25七年级下·四川泸州·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 11．（24-25七年级下·四川自贡·期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③， 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得：，解得， 所以，方程组的解为， 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题：(1)解方程组； (2)已知正整数x，y，z满足，试求x，y，z的值． 12．（24-25七年级下·四川眉山·期末）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 13．（24-25七年级下·四川绵阳江油市·期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 14．（24-25七年级下·四川德阳·期末）【课本再现】已知，使二元一次方程两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 【解决问题】(1)以下x，y的值是方程的解的是： （填序号）； ①，②，③ (2)若关于x、y的二元一次方程的解与a的取值无关，且这组解也是方程的解，求b的值． 【拓展延伸】(3)已知m为实数，k为正整数，关于x、y的方程组的解也为正整数，且此方程组的解也为方程的解，求m的值． ( 地 城 考点0 5 不等式综合压轴 )一、选择题 1．（24-25七年级下·四川绵阳安州区·期末）如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·期末）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合要求的所有整数a的和为（   ） A． B． C．3 D．5 二、填空题 3．（24-25七年级下·四川南充仪陇县·期末）若关于x的不等式组无解，关于x的不等式组的所有整数解之和为12，那么的最大值是___________． 4．（24-25七年级下·四川绵阳三台·期末）定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边都是通常的加、减、乘法运算，比如：．若不等式组恰有4个整数解，则实数a的取值范围是_____． 5．（24-25七年级下·四川德阳·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和大于且小于，则的取值范围是________． 6．（24-25七年级下·四川绵阳游仙区·期末）若关于 x 的不等式组 有且只有 2 个整数解，且关于 y 的方程的解是负整数， 则符合条件的所有整数 a 的和是_________   ． 7．（24-25七年级下·四川绵阳涪城区·期末）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为_____． 8．（24-25七年级下·四川广安·期末）定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以是不等式组的“关联方程”，若关于的方程是不等式组的“关联方程”，则的取值范围是____________． 9．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）新定义：对于任意实数，其整数部分记为，且表示不超过的最大整数，余下部分记为，即：．如，；，．下列结论正确的个数是________． ①；②若，，，则；③若，，，则所有可能的值为6，7，8；④方程的解为或． 10．（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 三、解答题 11．（24-25七年级下·四川广元旺苍县·期末）已知关于x、y的方程满足方程组 (1)若， 求m的值；(2)若x、y均为非负数，求m的取值范围；(3)在（2）的条件下，某工厂要制作一批零件，每个零件制作过程中产生的废料成本为，求废料成本S的最大值和最小值． 12．（24-25七年级下·四川泸州合江县·期末）定义：对于实数，，若满足（为常数），则称与是关于的“关联数”．(1)已知3与是关于2的“关联数”，求的值；(2)已知与是关于3的“关联数”，求的值；(3)已知与是关于的“关联数”，若关于，的不等式组中的整数解恰为1，2，3，求的取值范围． 13．（24-25七年级下·四川泸州·期末）解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解： ①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为； ②当，即时，原式化为：，解得， 此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解关于x的不等式：； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求整数m的和． 14．（24-25七年级下·四川绵阳平武县·期末）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围；(3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”．且该不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围． 15．（24-25七年级下·四川南充·期末）某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售．已知一匹A型布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元． (1)每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？ (2)根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整数）．已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产出来的T恤数量不少于长裤数量的．则该服装厂有几种进货方案？ (3)某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售．为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装．已知每件T恤零售价65元，每条长裤零售价80元，每个礼盒售价15元．小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤件数占总购买件数的．则用礼盒包装的长裤买了多少条？ 2 / 8 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