精品解析：湖南衡阳市衡阳县第五中学2025-2026学年高一下学期数学模块综合测评卷

衡阳县五中2026年春高一模块综合测评卷 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 考试范围：人教A版必修二全册 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义列出式子即可求出. 【详解】因为是纯虚数， 所以，则，所以. 故选：A. 2. 已知一组数据从小到大排列为70，72，75，76，82，83，84，m，90，92，这组数据的第70百分位数是86，则（    ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 【答案】C 【解析】 【分析】根据第百分位数的概念，求出结果即可. 【详解】由题意可知共有10个数，因为，则第70百分位数是第七个和第八个数的平均数， 即，解得. 故选：C. 3. 已知直线a，b与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】与位置关系不确定，可相交，可平行，A项不合题意； 与不一定垂直，B项不合题意； 与可以平行，不一定垂直，C项不合题意； ，则在平面内存在直线，且，则，又 ，则，D项符合题意． 4. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率. 【详解】设2名男同学为，3名女同学为， 从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能， 选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能 则选中的2人都是女同学的概率为， 故选D. 5. 如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，再根据求解即可. 【详解】连接，如图所示： 因为分别为的中点， 所以， ， 因为为中点， 所以. 故选：C 6. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用向量数量积运算和向量的模即可求解. 【详解】因为，，所以. 由，得，即， 整理得， 解得，或（舍去）． 故选：C． 7. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】解：在中，因为，，， 由余弦定理，即， 解得或（舍去）. 故选：C 8. 的面积为S.若，，则角B等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化以及两角和正弦可求得的度数，再根据面积公式以及余弦定理可求得，即可求得角B 【详解】根据题意知，有正弦定理边角互化可知， ， 化简可得，在中，所以，则， 所以得， 由， 可得，，所以， 所以. 故选：C 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则（ ） A. 甲队获胜的概率为 B. 乙队以3：0获胜的概率为 C. 乙队以3：1获胜的概率为 D. 乙队以3：2获胜的概率为 【答案】AB 【解析】 【分析】由概率的乘法公式对选项逐一判断， 【详解】对于A，在乙队以2：0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，所以甲队获胜的概率为，故A正确； 对于B，乙队以3：0获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确； 对于C，乙队以3：1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故C错误； 对于D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3：2获胜的概率为，故D错误． 故选：AB 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】解析：，，即，，. ，根据正弦定理可得， 即，又，.，， ，. 11. 如下图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理逐项验证即可. 【详解】对于A，如下图，连接，则， 又平面，则平面，所以不平行平面，故A不正确； 对于B，因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，如下图，取中点，连接， 由正方体得，又， 所以六点共面，故C不正确； 对于D，如下图，连接交于，连接， 在正方体中，由于四边形为正方形，所以为中点，又为中点，所以， 平面，平面，所以平面，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距_______________n． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求的长度即可. 【详解】由题设， n且， 正弦定理有，则，可得 n. 故答案为： 13. 中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体表面积的计算公式可求表面积. 【详解】如图所示，该几何体可视为两个直三柱挖去一个四棱锥， 且四棱锥为正四棱锥，其斜高长为. 由题设有，故， 故两个直三棱柱的表面积和为， 两者有公共侧面，其面积为， 而四棱锥的侧面积为， 故几何体的表面积为， 故答案为：. 14. 已知正的边长为2，PQ为内切圆O的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】先由正的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到，，再结合，可得到，再根据图像利用临界值法，求出的取值范围. 【详解】 如图所示，O为正内切圆圆心，OD为内切圆半径，在中，，，可求得内切圆半径. 又PQ为圆O的直径, ， 利用向量的线性表示可得，，， ， 又M为边上的动点，由图可知，当M为边的中点时，最小为，即；当M为的顶点时，最大为，即. 的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查向量知识在几何中的应用，一般在求解此类问题时，常用三角形法则或平行四边形法则把问题转化，结合数形结合思想解决问题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用平方法求；（2）根据，且与不能同向共线，即可得出结果 【小问1详解】 ，， 又， ，， . 【小问2详解】 与的夹角为锐角， ，， ，，，，，. 又与不共线，，， 且. 16. 已知中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）证明：A＝2B； （2）若a＝3，b＝2，求的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化边为角，结合余弦定理可得，再化边为角 结合三角恒等变换即可证明； (2)结合(1)求得，由余弦定理求，再求，利用面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，即， ， ， ， ， 所以或，， 又， 所以； 【小问2详解】 由(1) ，又a＝3，b＝2， 所以， 由余弦定理可得， 因为，所以， 所以的面积. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． （1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB； （2）若平面AEC，求证：E是PD中点． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可知，利用线面平行的判定定理可证平面； （2）连接，交于，连接，因为平面，利用线面平行的性质定理可得，且为中点，可证E是PD中点． 【小问1详解】 证明：取中点，连接，， 在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且， 又因为底面ABCD为平行四边形，为的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 连接，交于，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，在中，为中点， 所以为中点. 18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 【答案】(1)；(2)平均数为，中位数为；(3)． 【解析】 【分析】(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率； (2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数； (3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】解：(1)第六组的频率为， ∴第七组的频率为． (2)由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于，， 设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则， 由得， 所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm，平均数为 ． (3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d， 第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B， 则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F． （1）求证：平面； （2）求证：F为的中点； （3）在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）存在N使得平面，，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，易知，再由线面平行的判定证结论； （2）由，根据线面平行的判定有面，再由线面平行的性质可得，结合已知即可证结论. （3）为中点，连接，由已知易证为平行四边形，则，再由线面平行可证面，即可判断存在性. 【小问1详解】 连接交于，连接，如下图： 由为平行四边形，则为中点，又E为棱的中点， 所以为中位线，则， 又面，面，故平面； 【小问2详解】 由题设知：，面，面， 所以面，又面，面面， 所以，又E为棱的中点，即是△的中位线， 故F为的中点； 【小问3详解】 存在N使得平面且，理由如下： 为中点，连接， 由题设且，由（2）知且， 所以且，即为平行四边形， 所以，而面，面， 所以面，故所求点即为点， 则上存在点N使得平面，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县五中2026年春高一模块综合测评卷 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 考试范围：人教A版必修二全册 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知一组数据从小到大排列为70，72，75，76，82，83，84，m，90，92，这组数据的第70百分位数是86，则（    ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 3. 已知直线a，b与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 的面积为S.若，，则角B等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则（ ） A. 甲队获胜的概率为 B. 乙队以3：0获胜的概率为 C. 乙队以3：1获胜的概率为 D. 乙队以3：2获胜的概率为 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 如下图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距_______________n． 13. 中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面ABCD.在底面EBC中，若，则该几何体的表面积为_________ 14. 已知正的边长为2，PQ为内切圆O的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为______________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 已知中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）证明：A＝2B； （2）若a＝3，b＝2，求的面积． 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． （1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB； （2）若平面AEC，求证：E是PD中点． 18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． (1)求第七组的频率； (2)估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F． （1）求证：平面； （2）求证：F为的中点； （3）在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $