精品解析：四川省织 绵阳市富乐实验中学2026年九年级 中考适应性检测数学试题

初中2023级中考适应性检测试题卷 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、考号． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 习近平总书记在2026年新年贺词中提到，中国2025年全年经济总量预计达到1400000亿元人民币，数字1400000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 年月日是第个全国中小学生安全教育日，学校高度重视校园安全教育，从认识安全警告标志入手开展了各种形式的安全教育提高学生安全防范意识和自我防护能力，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 注意安全 B. 急救中心 C. 水深危险 D. 禁止攀爬 4. 有一几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 6. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6，4)，若直线DE经过定点D(1，0)，且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式（ ） A. y＝3x﹣2 B. C. y＝x﹣1 D. y＝3x﹣3 9. 如图，在正六边形中，连接，以点A为圆心，的长为半径作，再以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）则大楼的高度是（ ）米．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：，精确到整数） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 11. 如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿着路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到，，，…根据这个规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，，点E在边上，连接，将线段绕点A逆时针旋转交延长线于点F，连接，连接分别交，于点M，N．若，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 因式分解：______． 14. 如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 15. 如图，四边形是的内接四边形，已知的半径为4，，则________． 16. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量x的取值范围是____． 17. 若关于的方程有正整数解，且关于的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 18. 如图，等腰 中 ，，点是边上一动点，点是射线上一动点，，交于点，且．连接，当动点沿边从点移动到点过程中，长的最小值为_________________． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 按要求完成下列计算： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，选取一个合适的整数． 20. 某学校为丰富课后服务内容，计划开设A．快乐足球、B．花艺、C．播音主持、D．扎染、E．民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下面问题： （1） ； （2）在一个学期中，该学校共有1080名学生参加课后服务，请估计喜欢“民族舞蹈”的学生人数； （3）在课后服务时间，甲同学准备从A，B，D三门课程中随机选择一门课程，乙同学从B，D，E三门课程中随机选择一门课程，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率． 21. 为落实“书香校园”建设，某校开展数学综合实践活动，决定采购经典读物与科普读物充实班级图书角．市场调研：购买2套经典读物和3套科普读物共需220元；购买3套经典读物和1套科普读物共需190元．实践任务：学校计划购买两种读物共200套，请结合经费与配比要求：①科普读物数量不超过经典读物的3倍；②购买总费用不超过9200元． （1）求每套经典读物、科普读物的单价； （2）本次实践活动共有几种符合条件的采购方案？ （3）通过计算确定最省钱的采购方案，并求出最低费用． 22. 在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点． （1）如图，连接，当时，求证：； （2）过点作的垂线交射线于点，连接，． （）如图，求证：； （）如图，当时，求的值． 23. 如图1，矩形的顶点、分别落在轴、轴的正半轴上，点，反比例函数的图象与、分别交于、两点，． （1）求反比例函数关系式和点的坐标； （2）如图2，将直线沿轴向下平移且过点，交轴于点，交双曲线于点，为线段上任意一点，过点作与轴平行的直线交双曲线于点，试探索三角形的面积是否存在最大值？如果有，请求出最大值，如果无，请说明理由． 24. 如图，四边形内接于，，对角线交于点，延长至点，，连接交于点． （1）求证：． （2）记的面积为，的面积为，若，，求的值． （3）求证：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标； （3）如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中2023级中考适应性检测试题卷 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、考号． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 习近平总书记在2026年新年贺词中提到，中国2025年全年经济总量预计达到1400000亿元人民币，数字1400000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．据此求解即可． 【详解】解： 故选：B． 3. 年月日是第个全国中小学生安全教育日，学校高度重视校园安全教育，从认识安全警告标志入手开展了各种形式的安全教育提高学生安全防范意识和自我防护能力，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 注意安全 B. 急救中心 C. 水深危险 D. 禁止攀爬 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义，对选项依次判断即可． 【详解】解：选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项：是轴对称图形同时也是中心对称图形； 选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项：不是轴对称图形也不是中心对称图形； 4. 有一几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的三视图，掌握立体图形的特点，三视图的特点是关键． 根据立体图形的特点分析，立体图形存在的线段，三视图中看不到的用虚线表示，看得到的用实线表示，由此即可求解． 【详解】解：立体图形的俯视图是 故选：B ． 5. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确； 故选：D． 6. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式和平方差公式，根据相关运算法则逐项计算即可得出答案． 【详解】解：A，，计算错误，不合题意； B，，计算错误，不合题意； C，，计算错误，不合题意； D，，计算正确，符合题意； 故选D． 7. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，列出方程即可． 【详解】解：一丈五尺尺，一尺五寸尺，五寸尺， 由题意，可列方程为：； 故选A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6，4)，若直线DE经过定点D(1，0)，且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式（ ） A. y＝3x﹣2 B. C. y＝x﹣1 D. y＝3x﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】根据过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可． 【详解】∵点B的坐标为（6，4）， ∴平行四边形的中心坐标为（3，2）， 设直线DE的函数解析式为， 则， 解得：， ∴直线DE的函数解析式为， 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键． 9. 如图，在正六边形中，连接，以点A为圆心，的长为半径作，再以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算．连接，交于点，证明为等边三角形，，求解，，，，结合即可得到结论． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵正六边形， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，，， ∴， 同理：， ∴，， ∴， ∴ ； 故选：B． 10. 在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）则大楼的高度是（ ）米．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：，精确到整数） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作，垂足为E，过点B作，垂足为D，则，根据已知可设米，则米，从而在 中，利用勾股定理可求出的长，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作，垂足为E，过点B作，垂足为D， 则， ∵斜坡的坡度， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米，米， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴（米）， ∴大楼的高度约为92米． 故选C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿着路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到，，，…根据这个规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据图中点的排列，找出规律，再计算求解即可． 【详解】解：根据图形发现，点的运动呈规律排列，个点为一个周期，一周期横坐标增加， ∴， ∴点的横坐标为， 则点的纵坐标与的纵坐标是相同的， 由图知，点的纵坐标为，即点的纵坐标为， 点的坐标为， 12. 如图，在正方形中，，点E在边上，连接，将线段绕点A逆时针旋转交延长线于点F，连接，连接分别交，于点M，N．若，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转性质证得，从而得到；利用证得，求出与的关系；延长交的延长线于点，利用求出，再利用求出与的关系，最后根据计算即可． 【详解】解： ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴． ∵， ∴． 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴． 由题意得， 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 延长交的延长线于点， ∵，即， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解： ． 14. 如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由平行的性质可得，由此求解即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ． 15. 如图，四边形是的内接四边形，已知的半径为4，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，首先根据圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理可得，再确定，，进一步利用三角函数解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵的半径为4，即，且， ∴，， ∴， ∴． 16. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，则自变量x的取值范围是____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象与不等式的解，解题的关键是数形结合． 根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点， 由图象知，当时，即一次函数在反比例函数上方，此时或， 故答案为：或． 17. 若关于的方程有正整数解，且关于的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识，根据题意确定的取值范围是解题的关键．首先根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解分式方程，结合题意可得，且，进而可得且；再解不等式组，可得，根据该不等式组有且只有3个整数解，即可确定的取值范围，进一步确的整数解，即可获得答案． 【详解】解：， 去分母，可得 ， 去括号，可得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ∵关于的方程有正整数解， ∴，且， 解得且， 解不等式组， 可得， ∵关于的不等式组有且只有3个整数解， ∴，解得， ∴且， 又∵关于的方程有正整数解，即为正整数， ∴的整数解为，， ∴有整数的和为． 故答案为：． 18. 如图，等腰 中 ，，点是边上一动点，点是射线上一动点，，交于点，且．连接，当动点沿边从点移动到点过程中，长的最小值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，通过两边对应成比例和夹角相等可证，得到，通过三角形外角的性质从而推出，然后分别作和的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，得到点在上运动，再利用圆周角定理得到，求得；连接，，，可推出当点在线段上时，取得最小值，此时，最后由勾股定理求得的长度，进而可得的最小值． 【详解】解：等腰中 ，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 分别作和的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，如图所示： ， 点在上， 在优弧上任取点，连接、，如上图， 则， ， ，， ， 连接，，，如图所示， ， 当点在线段上时，取得最小值， 此时， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，两点间线段最短等，根据题意得到点的轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 按要求完成下列计算： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，选取一个合适的整数． 【答案】（1） （2） ，选取时，原式的值为 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ； ∵， ∴，，， ∵且为整数， ∴当时， 原式. 20. 某学校为丰富课后服务内容，计划开设A．快乐足球、B．花艺、C．播音主持、D．扎染、E．民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，回答下面问题： （1） ； （2）在一个学期中，该学校共有1080名学生参加课后服务，请估计喜欢“民族舞蹈”的学生人数； （3）在课后服务时间，甲同学准备从A，B，D三门课程中随机选择一门课程，乙同学从B，D，E三门课程中随机选择一门课程，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用快乐足球的人数除以其人数占比即可得到总人数，进一步求解即可； （2）用1080乘以样本中喜欢“民族舞蹈”的人数占比即可得到答案； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到相同课程的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：名， ∴本次调查共抽取了200名学生． ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在一个学期中，该学校共有1080名学生参加课后服务，估计喜欢“民族舞蹈”的学生人数为：（人）． 【小问3详解】 解：列表如表所示， 甲 乙 由表格可知，共有9种等可能的结果，相同课程有种， ∴他们选择相同课程的概率为． 21. 为落实“书香校园”建设，某校开展数学综合实践活动，决定采购经典读物与科普读物充实班级图书角．市场调研：购买2套经典读物和3套科普读物共需220元；购买3套经典读物和1套科普读物共需190元．实践任务：学校计划购买两种读物共200套，请结合经费与配比要求：①科普读物数量不超过经典读物的3倍；②购买总费用不超过9200元． （1）求每套经典读物、科普读物的单价； （2）本次实践活动共有几种符合条件的采购方案？ （3）通过计算确定最省钱的采购方案，并求出最低费用． 【答案】（1）经典读物每套50元，科普读物每套40元； （2）共有71种购买方案； （3）购买经典读物50套，科普读物150套时，采购方案最省钱，最低费用为8500元 【解析】 【分析】（1）设每套经典读物元，每套科普读物元，根据购买2套经典读物和3套科普读物共需220元；购买3套经典读物和1套科普读物共需190元列方程组求解即可； （2）设购买经典读物a套，则科普读物套，根据①科普读物数量不超过经典读物的3倍；②购买总费用不超过9200元列不等式组求解即可； （3）设总费用为元，则，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每套经典读物元，每套科普读物元． 由题意得方程组：， 解得， 答：经典读物每套50元，科普读物每套40元； 【小问2详解】 解：设购买经典读物a套，则科普读物套． 依题意列不等式组：， 解得，且为整数． 方案数为： （种） 答：共有71种购买方案； 【小问3详解】 解：设总费用为元，则， ∵，所以随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，（元）， 套， 答：购买经典读物50套，科普读物150套时，采购方案最省钱，最低费用为8500元． 22. 在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上的一个动点，连接并延长交射线于点． （1）如图，连接，当时，求证：； （2）过点作的垂线交射线于点，连接，． （）如图，求证：； （）如图，当时，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）（）证明见解析； （）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质证明得，，连接，再结合勾股定理证明，最后利用垂直平分线的判定定理即可证明； （2）（）过点作，交的延长线于点，结合正方形性质证明四边形是矩形，得，再证明，由相似三角形性质得出，即可证明； （）由可得，，由垂直平分线性质得，结合相似三角形性质得，，设，则，建立一元一次方程，解出后可得，根据即可得解． 【小问1详解】 证：连接， 是边的中点， ， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， 为的中点，，， 中，， ， 点一定在线段的垂直平分线上， 故； 【小问2详解】 （）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 四边形为正方形，是边的中点， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即； （）解：由（1）可知， ，， 又， ， ， ， ，， 设，则， ， 又， 则有， 解得， 即， ． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元一次方程的应用、求角的正切值，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 23. 如图1，矩形的顶点、分别落在轴、轴的正半轴上，点，反比例函数的图象与、分别交于、两点，． （1）求反比例函数关系式和点的坐标； （2）如图2，将直线沿轴向下平移且过点，交轴于点，交双曲线于点，为线段上任意一点，过点作与轴平行的直线交双曲线于点，试探索三角形的面积是否存在最大值？如果有，请求出最大值，如果无，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数关系式为，点的坐标为 （2）三角形的面积存在最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质先求出点的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出直线的解析式，设点的坐标，表示出点的坐标，进而表示出，推出，由此利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，点， ，点的纵坐标为， ， ， 点的坐标为， 反比例函数经过点， ， ， 反比例函数关系式为， 令，得， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 四边形是矩形，点， ， 将点代入得， ，解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， ， 当时，有最大值， 即三角形的面积存在最大值，最大值为． 24. 如图，四边形内接于，，对角线交于点，延长至点，，连接交于点． （1）求证：． （2）记的面积为，的面积为，若，，求的值． （3）求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，即可解答； （2）证明，求得的值即可解答； （3）证明，可得，再证明，可得，即可解答． 【小问1详解】 证明：四边形内接于， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 证明：， ， ， 即， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标； （3）如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，为2，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先证明，再由得到，再证明，得到，即可求解； （3）证明得到，求出，同理，，即可求解． 【小问1详解】 设， 则； 【小问2详解】 抛物线的表达式为，则点， 连接，过作交于点，作轴于点， 将代入得， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去），或， ； 【小问3详解】 是定值，为2，理由： 过点作一直线交抛物线于、两点， 设直线的解析式为，，，，， ，， 直线的解析式为②， 联立①②得：， ，， 如图，作轴于点，作轴于点， 则， ， 即， ， 同理，， ，为定值． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $