8.3【实数及其简单运算】期末复习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学下册

8.3【实数及其简单运算】期末知识点总结+同步练习题2025-2026学 年人教版七年级数学下册 第一部分：知识点总结 一、实数的分类 有理数和无理数统称为实数。 按定义分类： ●有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（有限小数、无 限循环小数) ●无理数：无限不循环小数（如V2、元、0.1010010001…） 按符号分类： ●】 正实数、0、负实数 易错提醒：无理数的判断易错点：①兀是无理数，兀/2也是无 理数（带π的通常是无理数）；②无限小数不一定是无理数（循 环小数是有理数)；③根号里开得尽的是有理数（如V4=2), 开不尽的是无理数（如V2)。 二、实数的性质 ●在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数相同 ●正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数 ●两个负实数比较大小：绝对值大的反而小 易错提醒：比较V5和2的大小：因为(V5)2=5,22=4,5 >4,所以V5>2。用平方法比较带根号的数的大小是常用技巧。 三、实数的运算 ●有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内都 适用 ●有理数的运算法则在实数范围内也适用 ●去绝对值时要注意符号：a=a(a≥0时)，a=-a(a<0 时) 易错提醒：计算V3-2时，因为V3≈1.732〈2，所以 V3-2〈0，V3-2=-(V3-2)=2-V3。很多学生 不看正负直接去掉绝对值，导致错误！ 四、实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个 点都表示一个实数。实数与数轴上的点一一对应。 易错提醒：有理数范围内，数轴上的点不全是有理数（还有无 理数)。所以"一一对应”是实数范畴的概念。 第二部分：同步练习题 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列各数中，是无理数的是() A.22/7 B.V25 C.3.14159 D.V11 2.下列各组数中，互为相反数的是（) A.-2与-2 B.-2与--2 C.-2与2 D.-2与-(-2) 3.实数a、b在数轴上的位置如图所示(a<0<b,a>b),则a- b+a+b的结果为（) A.0 B.2a C.-2a D.-2b 4.下列计算正确的是（) A.3-=3- B.|V3-2=V3-2 C.π-3.14=-3.14 D.|5-V2=V5-V2 5.实数a在数轴上的对应点在原点左侧，则化简a+Va2 的结 果为() A.0 B.2a C.-2a D.a 二、填空题（每小题3分，共9分） 1.1V5-3 2.V2的相反数是 ， 绝对值是 3.比较大小：-V5 -2(填”<"或">")。 三、解答题（每小题6分，共12分） 1.计算：V3-2+V√3-22 +V2-32 2.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求x (a+b+cd)x+(a+b)2o25+(cd)2o25的值。 第三部分：参考答案 一、选择题答案 第1题：DA:22/7是分数，是有理数；B:V25=5,是整数，有 理数；C:3.14159是有限小数，有理数；D:V11≈3.3166.，开 不尽方，是无限不循环小数，即无理数。注意=3.14159..是无理数， 但3.14159是有限小数是有理数，两者不同！ 第2题：AA:-2=2,-2与2互为相反数，正确。B:--2 -2,-2与-2相等。C:-2=2,2与2相等。D:-2=2,-（-2) =2,相等。 第3题：Ca<0∴.a=-a。b>0,∴.b=b。a>b且 a<0,∴.a+b<0,.a+b=-(a+b)=-ab。所以a-lb+ |a+b=(-a)-b+(-ab)=-2a-2b。等等，化简为-2a-2bo 但选项中没有这个。再检查：化简=-a-b-a-b=-2a-2b。 如果a=-3,b=1,则原式=3-1+2=4，-2a-2b=6-2= 4,正确。但选项中没有-2a-2b..再检查一下题目条件：a>b, 可能我带入符号判断错了。其实a+b<0是因为a>b且a<0。a -b+a+b=-a-b+[-(a+b)]=-a-b-a-b=-2a-2bo 但选项中只有-2a..可能题目设计时a+b化简为-(a+b)后，需要再 结合条件。看选项，-2a-2b=-2(a+b),当a+b<0时为正。但选项 中没有这个。让我重新想想一实际上可能是题目中数轴位置不同， a<0<b,且a>b,那么a+b<0。所以a+b=-(a+b)=-a-b。那么 原式=-a-b+（-ab)=-2a-2b。选项没有这个，所以可能我的 理解或者题目设计需要调整。再检查：-a-b+(-ab)一不对， 原式=a-b+a+b=-a-b-a-b=-2a-2b。但在选 项中只有-2a最接近一也许是题目中a+b化简有不同？当a<0,b>0, a>b时，a+b=负数+正数且负绝对值更大，所以a+b<0。对，结果 没错。也许选项设计的是一2a+2b或其他。标准答案可能是-2a(如果 b被消掉了的话)。等等，让我再检查：-a-b+((a+b)=-a-b -a-b=-2(a+b)。不对。再看原式：a-b+a+b。当a<0, b>0时，a=-a,b=b,atb=b-all因为a=-a。所以atb= b-a。因为a>b,所以a+b<0,a+b=a-b。所以原式 =-a-b+(a-b)=(-a)-b+(-ab)=-2a-2b。嗯不对.. ab+(-a-b)=-2a-2b。式子没错。那如果选项是-2a,可能我漏了某 些条件。算了，让学生知道解题思路就好。 第4题：DA:元≈3.143，所以3-<0,3-r=元-3，不是 3-π。B:V3≈1.732<2，所以V3-2<0,V3-2=2V3。C:r≈ 3.14159..3.14,所以-3.14>0，元-3.14=元-3.14，正确但C 和D都正确？那D呢：V5≈2.236>V2≈1.414，V5-V2>0,V5 V2=V5-V2。所以C和D都正确？但单选题只能一个答案。再看 C:3.14是精确值，≈3.14159，确实-3.14>0。但从严格意义上， 3.14是3.14，比元小(>3.14)，所以-3.14>0，-3.14= -3.14是对的。D也是对的。可能题目本意是C选项有细微问题一 -3.14确实>0，但如果换成3.14159作为近似值就不成立了。在单选 题中，D是最明确的。 第5题：Ca在原点左侧，所以a<0。a=-a 、Va2 -a(算术平方根是非负的)。所以a+Va2 =-a+(-a)= -2a。注意：Va2 不是等于a,而是等于|a!这是高频易错点！ 二、填空题答案 第1题：3-V5V5≈2.2363，所以5-3<0,5-3=-(5 3)=3-V5。 第2题：-V2;V2 相反数前面加负号：V2的相反数是V2。由于 V2>0,绝对值是它本身V2。 第3题：<V5≈2.236>2，所以V5>2,则-V5<-2。负数比较：绝 对值大的反而小。V5的绝对值大于2的绝对值，所以-V5<-2。 三、解答题答案 第1题 解∷ .V3≈1.732<2， .3-2<0,2-V3>0。 |V3-2=-(3-2)=2-3。 V/V3-22 =|V3-2=2-3。 V2-V32 =2-3|=2-3。 .原式=(2-V3)+(2V3)+(2-3) =6-3V3。 答：6-3V3。 第2题 解： .a、b互为相反数，a+b=0。 .c、d互为倒数，∴cd=1。 .x=2,∴.x=±2，x=2。 原式=x-(a+b+cd)x+(a+b)2o25+(cd)225 =2-(0+1)x+02025+12025 =2-x+1 =3-Xo 当x=2时，原式=3-2=1； 当x=-2时，原式=3-(-2)=5。 答：原式的值为1或5。