8.3 实数及其简单运算 同步讲练 2024--2025学年人教版七年级数学下册

              实数及其简单运算 8.3     一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•烟台期末）下列实数中，是无理数的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•北碚区期末）估计的值在　　 A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 3．（2024秋•诸暨市期末）在，，，（每两个0之间多一个中无理数的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024秋•诸暨市期末）下列说法正确的是　　 A．0不是有理数 B．正数和负数统称实数 C．存在最大的负有理数 D．实数与数轴上的点一一对应 5．（2024秋•慈溪市期末）如图，数轴上，两点分别对应实数，，且，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•沙坪坝区期末）估算的整数部分是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 7．（2024秋•北碚区校级期末）下列四个数中，最大的数是　　 A． B．3.14 C． D．0 8．（2024秋•丰泽区期末）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•济宁期末）计算的结果是　　 A．1 B． C．5 D． 10．（2024秋•滨江区期末）设实数，，若的结果是有理数，则　　 A．为有理数，为有理数 B．的结果必为有理数 C．为无理数，为有理数 D．的结果可能为无理数 二、填空题（共10小题） 11．（2025•西城区校级开学）已知，且是整数，则的值是 　　． 12．（2024秋•江北区期末）、是连续的两个整数，若，则的值为 　　． 13．（2024秋•锦江区校级期末）满足的最大整数是　　． 14．（2024秋•市北区期末）比较两数的大小： 　　3．（填“”或“” 15．（2024秋•天府新区期末）若的整数部分为，的立方根为，则 　　． 16．（2024秋•钢城区期末）的相反数是 　　；8的立方根为 　　． 17．（2024秋•鼓楼区期末）在实数，，，中，　　是无理数． 18．（2024秋•丽水期末）在数，，3.14，0，，，中，无理数共有　　个． 19．（2024秋•三亚期末）写出一个大于1且小于5的无理数 　　． 20．（2024秋•哈尔滨期末）计算： 　　． 三、解答题（共7小题） 21．（2024秋•广饶县期末）已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分． （1）求，，的值． （2）求的平方根． 22．（2024秋•纳溪区期末）计算：． 23．（2024秋•衡东县期末）计算：． 24．（2024秋•惠安县期末）计算：． 25．（2024秋•三原县期末）计算：． 26．（2024秋•黄岩区期末）在实数范围内定义运算“△”：△，例如：3△． （1）若，，计算△的值． （2）若△，求的值． （3）若，求△△的值． 27．（2024秋•青山湖区校级期末）（1）若一个数的平方根是和，求这个数． （2）若与互为相反数，且，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D D A C B A D 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：是无理数， 故选：． 2．【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出的范围． 【解答】解：， ， 故选：． 3．【答案】 【分析】先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【解答】解：， 无理数有：，，（每两个0之间多一个，共3个， 故选：． 4．【答案】 【分析】．根据有理数的定义判断0是否是有理数，进行判断即可； ．根据实数的定义进行判断即可； ．根据数轴判断有没有最大的负有理数即可； ．根据实数可以用数轴上的点表示，进行判断即可． 【解答】解：．是有理数，此选项的说法错误，故此选项不符合题意； ．有理数和无理数统称为实数，此选项的说法错误，故此选项不符合题意； ．没有最大的负有理数，此选项的说法错误，故此选项不符合题意； ．实数与数轴上的点一一对应的，此选项的说法正确，故此选项符合题意； 故选：． 5．【答案】 【分析】先观察数轴可知：，然后根据有理数的加法法则判断选项的正误，再根据有理数的乘除法则判断、选项的正误，最后再根据，判断选项的正误即可． 【解答】解：观察数轴可知：， ．，，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； ．，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； ．，，此选项的结论错误，故此选项不符合题意； ．，，此选项的结论正确，故此选项符合题意； 故选：． 6．【答案】 【分析】运用算术平方根知识进行估算、求解． 【解答】解：， 的整数部分是6， 故选：． 7．【答案】 【分析】先取一个近似数，再比较四个数的大小得结论． 【解答】解：， ． 故选：． 8．【答案】 【分析】观察数轴可知：手掌遮挡住的点表示的数是大于且小于，然后分别估算各个选项中无理数的大小，再进行判断即可． 【解答】解：观察数轴可知：手掌遮挡住的点表示的数是大于且小于， ．，，此选项不符合题意； ．，，此选项符合题意； ．，此选项不符合题意； ．，此选项不符合题意； 故选：． 9．【答案】 【分析】根据绝对值，立方根的定义进行计算可得答案． 【解答】解：原式． 故选：． 10．【答案】 【分析】两数相加为有理数，可以都为有理数，也可以都为无理数，据此即可判断． 【解答】解：选项：若，，则，为有理数，但和都为无理数， 故选项错误，不符合题意； 选项：若，，则，为无理数， 故选项错误，不符合题意； 选项：无理数与有理数相加结果为无理数， 故选项错误，不符合题意； 选项：若，，则，为有理数，此时和均为无理数， 若，，则，此时和均为有理数， 故选项正确，符合题意； 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】3． 【分析】找出大于且小于的整数，进行解答即可． 【解答】解：，即，，且是整数， 的值为3， 故答案为：3． 12． 【分析】根据算术平方根的定义估算无理的大小，确定、的值，再代入计算即可． 【解答】解：，，而， ， 而，是两个连续整数，若， ，， ， 故答案为：5． 13．【答案】3． 【分析】利用估算无理数的大小即可求得答案． 【解答】解：， ， 即的最大整数是3， 故答案为：3． 14． 【分析】首先分别求出两个实数的平方的值，比较出它们的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个正实数也大，判断出、3的大小关系即可． 【解答】解：，， ， ． 故答案为：． 15．【答案】9． 【分析】先估算的取值范围，即可得出的值，再根据立方根的定义求出的值，再代入根据有理数的乘方法则计算即可． 【解答】解：， ， 的整数部分为， ， 的立方根为， ， ， 故答案为：9． 16．【答案】． 【分析】根据互为相反数和立方根的定义进行解答即可． 【解答】解：的相反数是：，8的立方根为：2， 故答案为：． 17．【答案】，． 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：，是整数； 在实数，，，中，，是无理数． 故答案为：，． 18．【答案】2． 【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可． 【解答】解：无理数有：，，共2个， 故答案为：2． 19．【答案】（答案不唯一）． 【分析】任意写出一个大于1且小于5的无理数即可． 【解答】解：是大于1且小于5的数， 大于1且小于5的无理数是：， 故答案为：（答案不唯一）． 20．【答案】． 【分析】先根据立方根、算术平方根的定义计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 三、解答题（共7小题） 21．【答案】（1），，； （2）． 【分析】（1）先根据已知条件和平方根与立方根的定义，列出关于和关于的方程，解方程求出，，再估算的大小，从而求出其整数部分即可； （2）把（1）中所求，，代入进行计算，从而求出其平方根即可． 【解答】解：（1）一个数的两个平方根分别是和， ， ， ， ， 的立方根为， ， 解得：， ，即， 的整数部分， ，，； （2）由（1）可知：，，， ， 的平方根为：． 22．【答案】2． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解： ． 23．【答案】． 【分析】先根据算术平方根、有理数的乘方、立方根、绝对值的性质计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【解答】解： ． 24．【答案】． 【分析】先根据立方根、绝对值、算术平方根的定义计算，再合并即可． 【解答】解： ． 25．【答案】． 【分析】利用乘法分配律、二次根式的运算法则计算即可． 【解答】解：原式 ． 26．【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据已知条件中的新定义，把，的值代入进行计算即可； （2）根据已知条件中的新定义得到关于的方程，解方程求出即可； （3）根据已知条件中的新定义把所求式子进行化简，并化成含有的形式，最后把代入进行计算即可． 【解答】解：（1）△，，， △ ； （2）△，△， ， ， ， ， ； （3）△，， △△ ． 27． 【分析】（1）根据平方根的定义得到，然后解方程即可； （2）根据立方根互为相反数，可得被开方数互为相反数，根据等式的性质，可得答案． 【解答】解：根据题意得， 解得． 则这个数是：； （2）由与互为相反数得 ． 化简，得 ． 两边都除以，得． 学科网（北京）股份有限公司 $$               实数及其简单运算 8.3     目录 探究1 无理数 2 探究2 实数的概念和分类 5 探究3 实数与数轴 7 探究4 相反数、倒数、绝对值 10 探究5 实数的运算 12 探究1 无理数 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ （1）无限不循环小数叫做无理数．如：，π，0．121121112…等． （2）判断方法： ①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据； ②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）． （3）初中阶段常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如，，1+等；②含有π的一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0．2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【典例1】　（2024秋•张店区期末）下列各实数中，为无理数的是　　 A． B．0 C． D． 【答案】 【分析】根据立方根，算术平方根，无理数的定义判断即可． 【解答】解：是有理数；0是有理数；是无理数，是有理数； 故选：． 【典例2】　（2024秋•沂源县期末）下列四个选项中，不是无理数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【解答】解：是无限循环小数，它不是无理数， ，，是无限不循环小数，它们是无理数， 故选：． 【典例3】　（2024秋•广饶县期末）在3.14，，0，，，，（相邻两个1之间依次增加一个这些数中，无理数的个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】按照无理数的定义（无限不循环小数）逐个判断． 【解答】解：因为3.14是有限小数，是有理数；是无限循环小数，是有理数；0是整数，是有理数；是无限不循环小数，是无理数；是无限不循环小数，是无理数；是无限循环小数，是有理数；（相邻两个1之间依次增加一个是无限不循环小数，是无理数， 所以，，（相邻两个1之间依次增加一个是无理数，共3个． 故选：． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可． 2．带根号的数并不都是无理数（比如，），而开方开不尽的数才是无理数． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究2 实数的概念和分类 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ （1）概念：有理数与无理数统称为实数． （2）实数按定义分类： 按性质符号分类： ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【典例4】　（2024秋•江安县期中）下列说法中，正确的有　　 ①0是最小的实数； ②无理数就是带根号的数； ③不带根号的数是有理数； ④无限小数不能化成分数； ⑤无限不循环小数就是无理数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 【分析】①根据实数的定义即可判定；②根据无理数的定义即可判定；③根据无理数、有理数的定义即可判定；④根据分数和无限小数的关系即可判定；⑤根据无理数的概念即可解答． 【解答】解：①没有最小的实数，故说法错误，不符合题意； ②无理数就是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，故说法错误，不符合题意； ③不带根号的数不一定是有理数，例就不带根号但它是无理数，故说法错误，不符合题意； ④无限循环小数能化成分数，故说法错误，不符合题意； ⑤无限不循环小数是无理数，故说法正确，符合题意； 故选：． 【典例5】　（2024春•上虞区期末）关于数“”，下列说法正确的是　　 A．它是一个无理数 B．它是一个有理数 C．它是一个整数 D．它是一个分数 【答案】 【分析】根据无理数的定义，有理数的定义，算有理数的分类逐个判断即可． 【解答】解：数“”，它是一个无理数． 故选：． 【典例6】　（2024•江汉区校级模拟）数3除了属于有理数，还属于　　 A．实数 B．负数 C．相反数 D．无理数 【答案】 【分析】根据实数的定义即可求得答案． 【解答】解：3是正整数，它是有理数，也是实数， 故选：． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 1．对实数进行分类时，标准不同，得到的分类结果也就不同，但不管哪种分类方法，都要按照统一标准，做到不重不漏． 2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究3 实数与数轴 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ （1）实数与数轴上的点的对应关系 实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． （2）实数的大小比较 在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【典例7】　（2024秋•微山县期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先观察数轴判断的取值范围，再判断和的正负，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 【解答】解：观察数轴可知：， ，， ， 故选：． 【典例8】　（2024秋•济宁期末）如图，数轴上，两点对应的实数分别为1和，若点关于点的对称点为点，则点所对应的实数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设点所对应的实数是，根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解． 【解答】解：设点所对应的实数是， 则有， 解得：，故正确． 故选：． 【典例9】　（2024秋•太平区期末）如图，数轴上，两点所对应的实数分别是，1．若线段，则点所表示的实数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据两点间的距离公式，求出，再根据，求出，最后再根据两点间的距离公式求出点表示的数即可． 【解答】解：，两点所对应的实数分别是，1， ， ， ， 点表示的实数为：， 故选：． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 数轴上的数，右边的数比左边的数大，实数与数轴上的点一一对应．若实数a，b在数轴上所对应的点分别为A，B，则数轴上A，B两点之间的距离AB=|a-b|． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究4 相反数、倒数、绝对值 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ （1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．例如和互为相反数；的绝对值是；的倒数是． （2）有关概念 ①相反数：数a的相反数是． ②倒数：实数a的倒数是． ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【典例10】　（2024秋•大名县期末）下列各组数中，互为相反数的一组是　　 A．与 B．与 C．与 D．3与 【答案】 【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：．与，是互为相反数，符合题意； ．与，不是互为相反数，不符合题意； ．与，不是互为相反数，不符合题意； ．3与，不是互为相反数，不符合题意； 故选：． 【典例11】　（2024秋•拱墅区期末）若，，分别表示的相反数、绝对值、倒数，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别计算出，，的值，比较大小即可． 【解答】解：，，， ， ，，，， 故，，选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意， 故选：． 【典例12】　（2024秋•蓬莱区期末）的相反数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，再根据相反数的定义即可求解． 【解答】解：计算原式可得：， 的相反数是， 故选：． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 求一个有理数的相反数、倒数和绝对值与求一个实数的相反数、倒数和绝对值的意义是一样的．根据“互为相反数的两数和为0；互为倒数的两数积为1；绝对值是正数的数有两个，它们互为相反数”，结合整体思想求解． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 探究5 实数的运算 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数运算时，有理数的运算法则和运算性质等同样适用． 实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．同级运算按照从左到右的顺序依次进行．如果遇到括号，则先进行括号里的运算． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 【典例13】　（2024秋•沂源县期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）7． 【分析】（1）利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的定义计算即可； （2）利用算术平方根及立方根的定义计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【典例14】　（2024秋•泗洪县期末）计算：． 【答案】1． 【分析】先根据零指数幂、二次根式的性质、立方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【解答】解： ． 【典例15】　（2024秋•福山区期末）（1）； （2）． 【答案】（1）1； （2）． 【分析】根据，，求解即可得到答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用． 2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 牛刀小试 一、选择题（共6小题） 1．（2024秋•张店区期末）若，则的值在　　 A．0和之间 B．和1之间 C．1和之间 D．和3之间 2．（2024秋•淄川区期末）下列有关的说法中，错误的是　　 A．7的平方根是 B．是无理数 C． D．的相反数是 3．（2024秋•涟源市期末）在，，0，这四个数中，最小的数是　　 A． B． C．0 D． 4．（2024秋•偃师区期末）下列各数中，不是无理数的是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•吴桥县期末）关于的叙述不正确的是　　 A． B．面积是8的正方形的边长是 C．是正无理数 D．是64的算术平方根 6．（2024秋•招远市期末）若，则的值所在的范围是　　 A． B． C． D． 二、填空题（共4小题） 7．（2024秋•嘉兴期末）若整数满足，则的值是　　． 8．（2024秋•平顶山期末）计算：　　． 9．（2024秋•云岩区期末）实数的相反数是 　　． 10．（2024秋•曲阳县期末）如图，数轴上点，对应的实数分别是，2，点在线段上运动，如果点表示无理数，那么点可以是 　　（写出一个即可）． 三、解答题（共1小题） 11．（2024秋•仁寿县期末）计算：． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A A． C D B 一、选择题（共6小题） 1．【答案】 【分析】根据无理数估算的方法即可求解． 【解答】解：， ， ，即， ， 故选：． 2．【答案】 【分析】根据平方根，无理数的定义，无理数的估算，相反数的定义逐项判断即可． 【解答】解：根据平方根，无理数的定义逐项分析判断如下： ．7的平方根是，故说法错误，符合题意； ．是无理数，故说法正确，不符合题意； ．， ， 故说法正确，不符合题意； ．的相反数是， 故说法正确，不符合题意； 故选：． 3．【答案】． 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：， 最小的数是：． 故选：． 4．【答案】 【分析】根据无理数的概念解答即可． 【解答】解：由无理数的概念可知：均是无理数， 是分数，不是无理数， 故选：． 5．【答案】 【分析】根据二次根式的相关知识点进行分析即可． 【解答】解：，故改该选选项正确，不符合题意； ，故该选项正确，不符合题意； 是不能开尽方的数，是无理数，该选项正确，不符合题意； 的算术平方根是8，故该选项错误，符合题意． 故选：． 6．【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论． 【解答】解：， ， ，即． 故选：． 二、填空题（共4小题） 7．【答案】3． 【分析】根据夹逼法估算无理数的大小即可． 【解答】解：， ， 整数满足， ， 故答案为：3． 8．【答案】0． 【分析】先算开方，再算加减即可． 【解答】解：先算开方，再算加减可得： ． 故答案为：0． 9．【答案】． 【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案． 【解答】解：实数的相反数等于． 故答案为：． 10．【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据所写无理数的取值范围可得答案． 【解答】解：在和2之间的无理数可以是、、等， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题（共1小题） 11．【答案】． 【分析】先根据乘方的意义、平方根和立方根的定义，计算乘方和开方，再算加减即可． 【解答】解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$