暑假作业07 一元一次不等式6知识19题型巩固练+培优练+拓展练（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

**基本信息** 以“概念-性质-解法-应用”为逻辑主线，系统整合6大知识点与19类题型，通过步骤化方法提炼与分层训练，培养符号意识、推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念性质|2大知识点+6题|不等号意义辨析、性质3符号变向法则|从定义到性质，构建不等式运算基础| |解法|2大知识点+10题|数轴标根法、整数解确定步骤|由不等式到不等式组，形成解题流程| |实际应用|2大知识点+43题|审设列解答五步法、关键词转化技巧|从数学模型到实际问题，体现应用意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 一元一次不等式 【知识点1 不等式的概念】 定义：像4＞3，3x＜6这样用用不等号表示数量关系的式子叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等号： 符号 读作 实际意义 举例 ≠ 不等于 不相等 3≠4 ＜ 小于 小于、不足 2+3＜6 ＞ 大于 大于、高出 2+4＜6 ≤ 小于或等于 不大于、不超过、至多 x≤4 ≥ 大于或等于 不小于、不低于、至少 x≥4 【知识点2 不等式的性质】 文字标识 符号语言 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变. 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 不等式两边都乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变. 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 传递性 若a＞b，b＞c，则a＞c 【注意】 1）不等式两边都要参与运算，并且是同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 【知识点3 一元一次不等式的概念】 一元一次不等式定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式. 【注意】含有一个未知数就隐含着未知数的系数不等于0.例如，如果已知ax+4＞1（a是常数）是一元一次不等式，那么就隐含了a≠0. 一元一次不等式的一般形式：或. 一元一次不等式的解集定义：一元一次不等式的所有解组成一元一次不等式的解集. 表示方法： 1）用不等式表示：如一元一次不等式的解集是x≥-2. 2）用数轴表示：要确定边界点和方向： （1）确定边界点，实心圆点表示该点的数值能取到，空心圆圈表示该点的数值取不到. （2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 【知识点4 一元一次不等式组的概念】 一元一次不等式组定义：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组.如： 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【知识点5 解一元一次不等式组】 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 【知识点6 实际问题与不等式（组）】 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）； 解：解所列的不等式（组），求出符合题意的解； 答：写出答案（包括单位名称）. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中，如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时，其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 【题型1 列不等式】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键； 根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较． 【详解】解：A、 a不是负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意； B、x不大于3表示， 但选项为， 错误，不符合题意； C、x与4的和是负数表示， 与选项一致， 正确，符合题意； D、x与3的差是非负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段检测）贵阳某日最高气温是，最低气温是，则贵阳当日气温（）的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用不等式表示实际问题，解题的关键是理解题意． 根据题意，将其转化为数学式子表示即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，气温介于最低和最高温度之间，包含临界温度， ∴， 故选：A． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查用不等式表示数学语句．需要根据语句中的关键词，如“负数”表示小于0、“比．．．大”表示大于、“不大于”表示小于或等于、“正数”表示大于0，选择正确的不等号进行表示． （1）“a是负数”意味着a小于0，即可列出不等式； （2）“x比大”意味着x大于，即可列出不等式； （3）“m与n的差”表示为，“不大于2”意味着该表达式小于或等于2，即可列出不等式； （4）“x与的差”表示为，即，“是正数”意味着该表达式大于0，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． （4）解：由题意，得，即． 【题型2 不等式的性质】 4．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：由图可得：若，则． 5．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将原不等式右边变形，可得： . ∵原不等式的解集为，不等号方向没有改变， ∴. 解得． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向；据此逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可得，原式不成立，不符合题意； B、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意； C、由，可得，原式一定成立，符合题意； D、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意； 故选：C． 【题型3 识别一元一次不等式（组）】 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）下列不等式中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义即可得出答案． 【详解】解：A．原式是一元一次不等式，故本选项符合题意； B．原式不是一元一次不等式，故本选项不符合题意； C．原式是二元一次不等式，故本选项不符合题意； D．原式是一元二次不等式，故本选项不符合题意． 故选：A． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解：只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 9．（22-23八年级下·全国·寒假作业）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 【题型4 解一元一次不等式】 10．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）解不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【详解】（1）解： 在数轴上表示： （2）解： 在数轴上表示： 11．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）解不等式：． 【答案】 【分析】先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 12．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (2)解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【答案】(1)；数轴见详解 (2)；数轴见详解 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为解不等式，并把解集表示在数轴上． （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项解不等式，并把解集表示在数轴上． 【详解】（1）解： 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为：． 数轴表示如图： （2）解： 去分母： 去括号：， 移项：， 合并同类项：． 数轴表示如图： 【题型5 数轴上表示不等式（组）解集】 13．（2026·湖南郴州·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 解不等式 ，得 不等式组的解集为 在数轴上表示为： 14．（25-26七年级上·江苏·期末）关于的不等式的解集如图所示，则的值为（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集、数轴上解集的表示，根据数轴得到解集是解题的关键． 首先根据数轴写出解集为，再将不等式化简即可得到解得的值即可． 【详解】解：如图可知，关于的不等式的解集为， ∴不等式的解集为， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 15．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，在数轴上表示不等式的解集，掌握绝对值的性质是解答本题的关键． 根据0和负数的绝对值是它的相反数，可得，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， 则x的取值范围在数轴上表示正确的是 ． 故选：D． 【题型6 求一元一次不等式的整数解】 16．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）不等式 的正整数解有______个． 【答案】3 【分析】先解不等式得到解集，再找出解集中的正整数，统计正整数的个数即可． 【详解】解：∵， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为得 ， ∴ 不等式的正整数解为，共个． 17．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）不等式的最小整数解为_______． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 不等式的最小整数解为． 18．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次不等式，正确解方程和不等式是解题的关键．先解方程得到关于的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合是非正整数，求出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于的方程的解为负数， ， ， 所有符合条件的非正整数为：，，，，， 所有符合条件的非正整数的和为：． 【题型7 解一元一次不等式（组）】 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式得：， 因此，不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式得：， 因此，不等式组的解集为． 20．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段检测）解下列方程组与不等式组，并将不等式组的解集表示在数轴上； (1) (2) 【答案】(1) (2) ，在数轴上表示见解析 【分析】（1）得，将②整体代入③消去x，求出y的值，y代入②求出x的值即可； （2）分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可. 【详解】（1）解：， ，得， 将②代入③， 得， 解得， 把代入②， 得， 解得， ∴原方程组的解为． （2）解：， 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴ ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示不等式组的解集： 21．（21-22八年级下·山东枣庄·期中）解不等式组 (1)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)解集，整数解的和为3 【详解】（1）解： ， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以这个不等式组的解集， 在数轴上表示解集为： ． （2）解： ， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以这个不等式组的解集， 整数解为，其和为． 【题型8 求一元一次不等式组的整数解】 22．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定． 首先解不等式，根据解的情况确定的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 此不等式组有3个整数解， 这3个整数解为3，4，5， 的取值范围是， 故答案为：． 23．（22-23七年级下·江苏·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是22，则m的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为22，可以确定不等式组的整数解，再确定m的取值范围即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， ∴， ∵所有整数解的和是22，即或， ∴不等式组的整数解为：7，6，5，4或7，6，5，4，3，2，1，0，，，， ∴或； 故答案为：或． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则不等式组的整数解的和为______． 【答案】36 【分析】本题考查了性定义，求不等式组的解集，根据新定义把转化为一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴由得， 解①得， 解②得， ∴， ∴整数解为， ∴整数解的和为． 故答案为：36． 【题型9 由不等式组解集的情况求参数】 25．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解，即两个解集之间存在公共部分，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②： 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 关于的不等式组有解 解得． 26．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）若不等式组的解集为，则m的取值范围为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法．分别解出每个不等式，然后根据不等式组的解集是，即可得到一个关于m的不等式，从而求解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 关于的不等式组的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 27．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若不等式组的最小整数解是，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集及整数解的应用。解题关键是掌握一元一次不等式组的解集． 首先分别求解两个不等式，确定的取值范围，再根据最小整数解的条件，反向推导的取值范围即可． 【详解】解第一个不等式： 解得：； 解第二个不等式： 解得：； 结合解集得： ， 根据最小整数解， ， 故答案为：． 【题型10 不等式组与方程组综合问题】 28．（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整数k值为2024， 故选：C． 29．（20-21七年级下·重庆·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】先将二元一次方程组的解用a表示出来，然后再根据题意列出不等式组求出 的取值范围，进而求出所有a的整数值，最后求和即可． 【详解】解：解关于x，y的二元一次方程组，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为正数， ∴， ∴3＜a＜7， ∴满足条件的所有整数a的和为4+5+6＝15． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组等知识点，根据题意求得a的取值范围是解答本题关键． 30．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握不等式组的解法成为解题的关键． 先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 故答案为：． 【题型11 解特殊不等式组】 31．（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，绝对值等知识点，分和，两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】①当，即， 解集为； ②当，即：， 解集为； 综上可知，原不等式的解集为． 32．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 33．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段检测）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 【题型12 根据实际问题列不等式（组）】 34．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）小七同学骑自行车上学、放学，已知他上学的平均速度是，放学回家的平均速度是，来回一趟的时间不少于，设小七家和学校的距离是，根据题意，列出不等式是______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设小七家和学校的距离是，根据时间路程速度，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：小七家和学校的距离是， 依题意，得． 故答案为：． 35．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 36．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得， 故选：C． 37．（23-24八年级下·全国·暑假作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 【题型13 不等式组的行程问题】 38．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 39．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查从函数图象中获取信息以及不等式组的求解，关键是通过计算汽车到达各路口的时间，结合绿灯亮灯时间段判断能否通过，并通过不等式组求解速度范围． （1）先计算汽车到达、路口的时间，再结合各路口绿灯的亮起和熄灭时间，判断对应时间是否处于绿灯区间； （2）根据、路口的绿灯时间段，列出汽车到达时间的不等式组，求解不等式组的交集得到速度的取值范围． 【详解】（1）解：汽车速度为，到路口的时间，到路口的时间． 从图2的路段的交通信号示意图可以看出，时路口为绿灯，可通过， 时路口处于红灯，不可通过； 综上，汽车不能一路绿灯通过路口和路口； （2）解：汽车速度为()，则到路口的时间，到路口的时间，且，， 路口的绿灯时间段为，路口的绿灯时间段为、等． 要一路绿灯通过，需在的绿灯区间且在的绿灯区间， 因此列不等式组：或， 解不等式①得，解不等式②得； ∴第一个不等式组①无解； 解不等式③得，解不等式④得， ∴第二个不等式组的解集为． 答：若想一路绿灯匀速通过、两个路口，速度的取值范围为． 40．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇． (1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少． (2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？ 【答案】(1)甲车的速度为，乙车的速度为 (2)乙车提速后的速度至少是每小时60千米 【分析】（1）设甲车的速度为，乙车的速度为，根据“若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇”列出方程组，即可求解； （2）设乙车提速后的速度为，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲车的速度为，乙车的速度为， 根据题意得，解得， 答：甲车的速度为，乙车的速度为； （2）解：设乙车提速后的速度为， 根据题意得， 解得， 答：乙车提速后的速度至少是每小时60千米． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组或不等式是解题的关键． 【题型14 不等式组的工程问题】 41．（21-22八年级下·山东青岛·期末）某学校为美化校园环境，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知乙队每天能完成绿化的面积是50平方米，甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，每天需付给乙队为0.5万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【答案】至少安排甲队工作10天． 【分析】根据题意“甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，每天需付给乙队为0.5万元，这次的绿化总费用不超过8万元”列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解；设安排甲队工作x天，根据题意得： 解得：x≥10． 答：至少安排甲队工作10天． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，根据题干条件抽象出一元一次不等式是解题的关键． 42．（23-24八年级下·江西抚州·期中）为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B两个工程队共同建设某区域的绿化带；已知A工程队每人每天能完成80米绿化带的建设，A工程队的5人与B工程队的6人合作每天能完成700米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同） (1)求B工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设； (2)该公司决定派A，B两个工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人，则该公司有哪几种安排方案？ 【答案】(1)50米 (2)3种方案，方案1：A工程队17人，B工程队3人；方案2：A工程队18人，B工程队2人；方案3：A工程队19人，B工程队1人 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是熟练正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出算式和不等式组． （1）用两工程队合作工作总量减去A工程队工作总量，再除以B工程队人数即可解答； （2）设A工程队派出x人，则B工程队派出人，根据“每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人”列出不等式组，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得： （米）， 答：B工程队每人每天能完成50米绿化带的建设． （2）解：设A工程队派出x人，则B工程队派出人， ， 解得：， ∵x为整数， ∴， ∴该公司有3种方案： 方案1：A工程队17人，B工程队3人； 方案2：A工程队18人，B工程队2人； 方案3：A工程队19人，B工程队1人． 43．（22-23七年级下·山西临汾·期末）政府计划为某村修建一条长为1000米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．已知若甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程．甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米． (1)求甲、乙两工程队每天各施工多少米？ (2)现计划由两工程队联合施工完成该工程，两工程队联合施工4天后，因甲队有事，剩下的部分由乙工程队独立完成，若要在12天内完成该项工程，则乙工程队每天至少应再多施工多少米？ 【答案】(1)甲、乙两工程队每天各施工50米和40米 (2)乙工程队每天至少应再多施工40米 【分析】（1）设甲、乙两工程队每天各施工米和米，根据等量关系列出方程组即可求解； （2）设乙工程队每天应再多施工米，根据题意列出不等式，可求解； 【详解】（1）解：设甲、乙两工程队每天各施工米和米， 由题意得：， 解得：， 答：甲、乙两工程队每天各施工50米和40米． （2）解：设乙工程队每天应再多施工米， 由题意得：， 解得， 答：乙工程队每天至少应再多施工米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意并列出方程组或不等式是解题的关键． 【题型15 不等式组的销售问题】 44．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）某商家在线上销售甲、乙两种纪念品．为了吸引顾客，该商家推出两种促销方案A和B，且每天只能选择其中一种方案进行销售．方案A，B分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润（单位：元）如表： 甲纪念品单件利润 乙纪念品单件利润 方案A 10 18 方案B 16 14 该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共100件，且当天全部售完． (1)某天采用方案A销售，当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共1360元，求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件？ (2)某天销售甲、乙两种纪念品，要使采用方案B当天所获得的利润不低于采用方案A当天所获得的利润，求甲种纪念品当天的销量至少是多少件？ 【答案】(1)甲、乙两种纪念品当天分别销售55件，45件 (2)甲种纪念品当天的销售至少40件 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析等量关系． （1）设甲为x件，乙为y件，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设甲 为x件，乙为y件，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲为x件，乙为y件， 解得， ∴甲、乙两种纪念品当天分别销售55件，45件； （2）解：设甲 为x件，乙为y件， 解得， 答：甲种纪念品当天的销售至少40件． 45．（24-25七年级下·福建福州·期中）某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种笔记本的销售单价保持不变） 月份 销售数量（本） 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 40 20 880 三月份 20 40 800 (1)求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； (2)若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案； (3)为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金元，要使（2）中所有的方案获利相同，求的值． 【答案】(1)甲、乙两款笔记本的销售单价分别是16元和12元 (2)共有3种进货方案 (3)当，（2）中所有方案获利相同 【分析】本题主要查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，根据题意得到数量关系式是解题的关键． （1）设甲、乙两款笔记本的销售单价分别是元和元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购进甲款笔记本本，根据题意，列出不等式组，即可求解； （3）设购进甲款笔记本本，根据题意，列出关于a的代数式，再由总获利使（2）中所有的方案获利相同，可得到m的值，即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两款笔记本的销售单价分别是元和元： 由题意：，                       解得，                                     答：甲、乙两款笔记本的销售单价分别是16元和12元； （2）解：设购进甲款笔记本本．则：                               解得：． 的正整数解为30，31，32． 共有3种进货方案； （3）解：设购进甲款笔记本本，则总获利为： ． ∵使（2）中所有的方案获利相同， ∴， 即当，（2）中所有方案获利相同． 46．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）六一儿童节当天，七（1）班同学在公园里举行义卖活动，他们制作了一定数量的爆米花、蛋挞进行销售，已知爆米花和蛋挞成本分别为1.5元/份和2元/份，每份爆米花售价比蛋挞少1元，开始一小时，他们一共售出爆米花20份和蛋挞50份，销售利润为200元． (1)求每份爆米花和蛋挞的售价； (2)临近中午时，他们的销售利润超过了900元，但由于销售量较多，同学们只记得售出爆米花的数量满足份，上午至少售出蛋挞几份？ (3)下午，一部分同学继续出售爆米花和蛋挞，另一部分同学组成团队在现场制作冰淇淋用于义卖，冰淇淋售价为5元/份，租借冰淇淋制作机需要100元，每制作一份冰淇淋需要材料费2元，到结束时，全班同学制作了三种食品共份全部销售一空，爆米花与蛋挞的份数之比为，制作销售冰淇淋的团队也有盈利，且三种食品的销售总利润恰好为2025元，求的最大值． 【答案】(1)爆米花的售价为4元，蛋挞的售价为5元 (2)217份 (3)761 【分析】本题主要考查一元一次方程，二元一次方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设爆米花的售价为元，则蛋挞的售价为元，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）设上午售出蛋挞份，由题意易得，然后根据可得，进而问题可求解； （3）设制作的爆米花为份，蛋挞为份，则冰淇淋为份，由题意易得，且，进而求解即可. 【详解】（1）解：设爆米花的售价为元，则蛋挞的售价为元．根据题意，得： ， 解得， 所以． 答：爆米花的售价为4元，蛋挞的售价为5元． （2）解：设上午售出蛋挞份．根据题意，得： ，即． 又因为， ∴． 又因为是正整数，所以的最小值为217． 答：上午至少售出蛋挞的份数为217份． （3）解：∵爆米花与蛋挞的份数之比为， 设制作的爆米花为份，蛋挞为份，则冰淇淋为份，根据题意，得： ，且， 解得， 解得：． 因为均为正整数，所以当时，取得最大值，． 所以的最大值为761． 【题型16 不等式组的分配问题】 47．（25-26七年级下·福建福州·阶段检测）某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【答案】 共有名同学 【分析】结合题意列出一元一次不等式组即可得解． 【详解】解：设共有名同学，则这些书有本， ， 解得， 为整数， ， 共有名同学． 48．（2026·陕西西安·模拟预测）为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 【答案】则至少需要采购心愿卡34件 【分析】本题为一元一次不等式组的实际应用题，解题思路是设采购心愿卡的数量为未知数，根据总费用限制和数量的不等关系列出不等式组，求解后结合件数为正整数的实际要求，得到最小采购数量． 【详解】解：设需要采购心愿卡x件，则采购明信片件，x为正整数， 根据题意可知：， 解不等式组得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为34， 答：则至少需要采购心愿卡34件． 49．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 【题型17 不等式组的方案问题】 50．（2026·河南平顶山·二模）某复印店购进一批复印纸和墨盒．购进箱复印纸和箱墨盒共需元；购进箱复印纸和箱墨盒共需元． (1)求复印纸和墨盒每箱的价格． (2)若复印店计划采购复印纸和墨盒共箱，且复印纸的箱数不多于墨盒的倍，复印纸和墨盒的采购总费用不超过元，该复印店共有几种采购方案？（不需要写出具体方案） 【答案】(1)复印纸元；墨盒元； (2)种． 【分析】（）设复印纸每箱元，墨盒每箱元，由题意得，然后解方程组即可； （）设购进墨盒箱，则购进复印纸箱，由题意得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：设复印纸每箱元，墨盒每箱元， 由题意，得， 解得， 答：复印纸每箱元，墨盒每箱元； （2）解：设购进墨盒箱，则购进复印纸箱， 由题意，得， 解得， ∵为整数， ∴（种）， ∴该复印店共有种采购方案． 51．（2026·贵州遵义·模拟预测）为响应“阳光体育”运动，某校购进，两种实心球，种个，种个，共花费元．已知种实心球的单价比种实心球的单价高“”元（“”是被墨水弄脏的数字）．根据题意，设种实心球的单价为元，列出一元一次方程：，解这个方程，得到． (1)根据解答过程，“”的数字为________； (2)根据需要，学校决定再购进，两种实心球共个，总费用不超过元，且购买种实心球不少于个．若实心球单价不变，共有几种购买方案？ 【答案】(1)30 (2)3种 【分析】（1）把方程的解代入求解即可； （2）设学校再购买种实心球个，购买种实心球个，根据题意，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：设学校再购买种实心球个，购买种实心球个，根据题意得： ，解得：． 为正整数， 的值为，即有三种购买方案 答：共有3种购买方案． 52．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某体育用品店计划试销A、B两种不同品牌的足球．已知3个A品牌足球和2个B品牌足球的售价是640元，2个A品牌足球和3个B品牌足球的售价是560元． (1)求一个A品牌足球和一个B品牌足球的售价分别是多少元？ (2)经了解，每个A品牌足球的进价是100元，每个B品牌足球的进价是50元．体育用品店购进两种足球共20个，且进货总资金不超过1450元，销售完毕后的总利润不低于800元．则体育用品店有哪几种进货方案？哪种方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)一个A品牌足球的售价为160元，一个B品牌足球的售价为80元 (2)共有3种进货方案，分别是①购进A品牌足球7个，B品牌足球13个；②购进A品牌足球8个，B品牌足球12个；③购进A品牌足球9个，B品牌足球11个. 购进A品牌9个、B品牌11个的方案利润最大，最大利润为870元 【分析】（1）设一个A品牌足球的售价为x元，一个B品牌足球的售价为y元，根据题意，得：，解答即可； （2）设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个，根据题意得 ，解答即可． 【详解】（1）解：设一个A品牌足球的售价为x元，一个B品牌足球的售价为y元， 根据题意，得：， 解得：． 答：一个A品牌足球的售价为160元，一个B品牌足球的售价为80元； （2）解：设购买A品牌足球个，购买B品牌足球个，根据题意得， 解得， 由m是正整数， 故的值为， 故共有3种进货方案，分别是①购进A品牌足球7个，B品牌足球个； ②购进A品牌足球8个，B品牌足球个； ③购进A品牌足球9个，B品牌足球个； 设总利润为w元，根据题意，得， 又w随m的增大而增大， 故时，w取得最大值，此时（元）， 故购进A品牌9个、B品牌11个的方案利润最大，最大利润为870元． 【题型18 不等式组的解题收费问题】 53．（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 54．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 55．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 56．（25-26七年级下·海南海口·期中）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)4台 (3)甲型设备5台，乙型设备5台 【分析】（1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元”，列出二元一次方程组，即可求解． （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意列出一元一次不等式，求得最小整数解，即可求解． （3）根据题意，得出，结合（2）的结论得出，进而取整数解，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得 解得 （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意，得 解得． 答：至少购买甲型设备4台． （3）根据题意，得 解得， ∴． ∵取整数， ∴的取值为4或5． 共有两种购买方案： 方案一：购买甲型设备4台，乙型设备6台； 所需资金为 （元）； 方案二：购买甲型设备5台，乙型设备5台； 所需资金为 （元）． ∵ ，∴方案二省钱． 答：最省钱的购买方案为购买甲型设备5台，乙型设备5台． 【题型19 不等式组的其它问题】 57．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长． (1)若活动区域（长方形）的一边长为，则另一边 ． (2)若活动区域（长方形）的面积为，求边的长． 【答案】(1) (2)边的长为． 【分析】（1）由栅栏总长为，即可求出的长； （2）设，则，根据活动区域的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：设，则，依题意得： ， 解得：， ∵， ∴， ∴， 当时，，符合题意． 答：边的长为． 58．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． (2)共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． (3)最大利润的购进方案为购进型个，型个，最大利润为元． 【分析】（1）根据表格中的总费用信息，列二元一次方程组求解、两种冰箱贴的购进单价． （2）设购进型冰箱贴个，根据总费用限制和数量要求列一元一次不等式，求出符合条件的正整数解，得到所有购货方案． （3）根据利润关系列出总利润关于的一次函数，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案． 【详解】（1）解：设型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元， ， 解得， ∴型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． （2）解：设购进型冰箱贴个，则购进型冰箱贴个， ， 解不等式组得， ∵为正整数， ∴，，． 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有种购货方案：方案一：购进型个，型个； 方案二：购进型个，型个； 方案三：购进型个，型个． 答：共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． （3）解：设总利润为元， 单个型冰箱贴利润：元，单个型冰箱贴利润：元， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ， 此时对应方案为购进型个，型个． 59．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． (1)若，直接写出该程序需要运行____ 次才停止； (2)若该程序只运行了1次就停止了，则x的取值范围是______． (3)若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据运算程序计算运行的结果，再与23比大小，即可求解； （2）根据运算程序，列出不等式，即可求解； （3）根据运算程序，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：输入5，第一次运行的结果为； 输入7，第二次运行的结果为； 输入11，第三次运行的结果为； 输入19，第四次运行的结果为； 所以若，直接写出该程序需要运行4次才停止； （2）解：∵该程序只运行了1次就停止了， ∴， ∴x的取值范围是； （3）解：∵该程序只运行了2次就停止了， ∴， 解得：． 60．（25-26八年级下·全国·单元测试）“四书五经”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》（四书）及《诗经》《尚书》《周易》《礼记》《春秋》（五经）的总称，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买本《论语》和本《孟子》共需要元，购买本《论语》和本《孟子》共需要元． (1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元/本？ (2)某学校决定购进《论语》和《孟子》共本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打折，《孟子》的单价优惠元．如果此次学校买书的总费用不超过元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)《论语》的单价为元本，《孟子》的单价为元本． (2)共有种购买方案．购买《论语》本，《孟子》本． 【分析】（1）设《论语》的单价为元/本，《孟子》的单价为元/本．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买《论语》本，则购买《孟子》本．依题意得出不等式组，求得整数解，再分别算出各方案的费用，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设《论语》的单价为元/本，《孟子》的单价为元/本． 依题意得：， 解得． 答：《论语》的单价为40元/本，《孟子》的单价为25元/本． （2）解：设购买《论语》本，则购买《孟子》本． 依题意得， 解得． 为正整数， 的值为38，39或40，共有3种购买方案． 方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本，购书的总费用为（元）； 方案2：购买《论语》39本，《孟子》11本，购书的总费用为（元）； 方案3：购买《论语》40本，《孟子》10本，购书的总费用为（元）． ， 为了节约资金，学校应选择方案1：购买《论语》38本，《孟子》12本． 1．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， 即， ． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之当n为非负整数时，如果，则例如：，，，，…，解决下列问题： (1)填空：①______（为圆周率）； ②如果，则实数的取值范围为______； (2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）①利用对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的值；②利用对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的取值范围； （2）首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意，； ②， ， ， 故答案为：①3；②； （2）解：由题意，解不等式组得：， 由不等式组整数解恰有3个，得， ， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）定义：关于，的二元一次方程中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3)2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值、解一元一次不等式等知识，正确理解交换系数方程的定义是解题关键． （1）根据题目所给“交换系数方程”的定义进行解答即可； （2）根据交换系数方程的定义建立方程组，解方程组求出，的值，再代入方程可得，，据此计算即可得； （3）根据交换系数方程的定义求出方程的交换系数方程，再分两种情况讨论，对比方程的各系数，解方程组求出，，然后根据，为整数求解即可得． 【详解】（1）解：根据“交换系数方程”的定义可知方程的交换系数方程为或． 或． 或． 故答案为：或． （2）解：由题意，方程与它的交换系数方程组成的方程组为①或②， 解方程组①得， ， ， 方程组①的解为， 解方程组②得， ， 方程组②的解为， 综上，方程与它的交换系数方程组成的方程组的解为， 由题意可知，将代入，得：， ，， ． （3）解：由题意，方程的交换系数方程为或， ①当方程的交换系数方程为时， 是关于，的二元一次方程的交换系数方程， 各系数与各系数相等， ， ， ， ， ， ， 为整数， ，即， ． ②当方程的交换系数方程为时， 由条件可知各系数与各系数相等， ． ，不是整数，不符合题意，舍去． 综上，的值为2． 2．（24-25七年级上·全国·单元复习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【答案】(1) (2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等 (3)当，选择套餐省钱 【分析】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键． （1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，代入解答即可； （2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，分类解答即可； （3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，分类计算可． 【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：， 当时， （元， 故答案为：； （2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元， 当两位老师的费用都是元时，根据题意得： ， 解得：； 当两位老师的费用超过元时，根据题意得： ， 解得． 故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等． （3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元， 根据（2）解答得： 时，套餐便宜， 此时； 当时，套餐便宜， 此时； 故当，选择套餐省钱． 3．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∵，， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当时，则， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 一元一次不等式 【知识点1 不等式的概念】 定义：像4＞3，3x＜6这样用用不等号表示数量关系的式子叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等号： 符号 读作 实际意义 举例 ≠ 不等于 不相等 3≠4 ＜ 小于 小于、不足 2+3＜6 ＞ 大于 大于、高出 2+4＜6 ≤ 小于或等于 不大于、不超过、至多 x≤4 ≥ 大于或等于 不小于、不低于、至少 x≥4 【知识点2 不等式的性质】 文字标识 符号语言 性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变. 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 不等式两边都乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变. 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 传递性 若a＞b，b＞c，则a＞c 【注意】 1）不等式两边都要参与运算，并且是同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 【知识点3 一元一次不等式的概念】 一元一次不等式定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式. 【注意】含有一个未知数就隐含着未知数的系数不等于0.例如，如果已知ax+4＞1（a是常数）是一元一次不等式，那么就隐含了a≠0. 一元一次不等式的一般形式：或. 一元一次不等式的解集定义：一元一次不等式的所有解组成一元一次不等式的解集. 表示方法： 1）用不等式表示：如一元一次不等式的解集是x≥-2. 2）用数轴表示：要确定边界点和方向： （1）确定边界点，实心圆点表示该点的数值能取到，空心圆圈表示该点的数值取不到. （2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 【知识点4 一元一次不等式组的概念】 一元一次不等式组定义：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组.如： 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【知识点5 解一元一次不等式组】 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 【知识点6 实际问题与不等式（组）】 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）； 解：解所列的不等式（组），求出符合题意的解； 答：写出答案（包括单位名称）. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中，如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时，其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 【题型1 列不等式】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段检测）贵阳某日最高气温是，最低气温是，则贵阳当日气温（）的变化范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a是负数． (2)x比大． (3)m与n的差不大于2． (4)x与的差是正数． 【题型2 不等式的性质】 4．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 识别一元一次不等式（组）】 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）下列不等式中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（22-23八年级下·全国·寒假作业）下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型4 解一元一次不等式】 10．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）解不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 11．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）解不等式：． 12．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来． (2)解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【题型5 数轴上表示不等式（组）解集】 13．（2026·湖南郴州·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·江苏·期末）关于的不等式的解集如图所示，则的值为（   ） A．－2 B．0 C．2 D．4 15．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（       ） A． B． C． D． 【题型6 求一元一次不等式的整数解】 16．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）不等式 的正整数解有______个． 17．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）不等式的最小整数解为_______． 18．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 【题型7 解一元一次不等式（组）】 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1) (2) 20．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段检测）解下列方程组与不等式组，并将不等式组的解集表示在数轴上； (1) (2) 21．（21-22八年级下·山东枣庄·期中）解不等式组 (1)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【题型8 求一元一次不等式组的整数解】 22．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是______． 23．（22-23七年级下·江苏·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是22，则m的取值范围是___________． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则不等式组的整数解的和为______． 【题型9 由不等式组解集的情况求参数】 25．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 26．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）若不等式组的解集为，则m的取值范围为________． 27．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若不等式组的最小整数解是，则的取值范围为___________． 【题型10 不等式组与方程组综合问题】 28．（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 29．（20-21七年级下·重庆·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 30．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解中x是非负数，y的值不大于，则a的取值范围为______． 【题型11 解特殊不等式组】 31．（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式． 32．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 33．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段检测）先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【题型12 根据实际问题列不等式（组）】 34．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）小七同学骑自行车上学、放学，已知他上学的平均速度是，放学回家的平均速度是，来回一趟的时间不少于，设小七家和学校的距离是，根据题意，列出不等式是______． 35．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 36．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级下·全国·暑假作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【题型13 不等式组的行程问题】 38．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 39．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) 40．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速行驶，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇：若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇． (1)求甲乙两车的速度（单位：千米/小时）是多少． (2)若甲乙两车同时按原速度行驶了1小时，甲车发生故障不动了，为了保证乙车再经过不超过2小时与甲车相遇，乙车提高了速度，求乙车提速后的速度至少是每小时多少千米？ 【题型14 不等式组的工程问题】 41．（21-22八年级下·山东青岛·期末）某学校为美化校园环境，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知乙队每天能完成绿化的面积是50平方米，甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，每天需付给乙队为0.5万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？ 42．（23-24八年级下·江西抚州·期中）为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B两个工程队共同建设某区域的绿化带；已知A工程队每人每天能完成80米绿化带的建设，A工程队的5人与B工程队的6人合作每天能完成700米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同） (1)求B工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设； (2)该公司决定派A，B两个工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人，则该公司有哪几种安排方案？ 43．（22-23七年级下·山西临汾·期末）政府计划为某村修建一条长为1000米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．已知若甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程．甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米． (1)求甲、乙两工程队每天各施工多少米？ (2)现计划由两工程队联合施工完成该工程，两工程队联合施工4天后，因甲队有事，剩下的部分由乙工程队独立完成，若要在12天内完成该项工程，则乙工程队每天至少应再多施工多少米？ 【题型15 不等式组的销售问题】 44．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）某商家在线上销售甲、乙两种纪念品．为了吸引顾客，该商家推出两种促销方案A和B，且每天只能选择其中一种方案进行销售．方案A，B分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润（单位：元）如表： 甲纪念品单件利润 乙纪念品单件利润 方案A 10 18 方案B 16 14 该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共100件，且当天全部售完． (1)某天采用方案A销售，当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共1360元，求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件？ (2)某天销售甲、乙两种纪念品，要使采用方案B当天所获得的利润不低于采用方案A当天所获得的利润，求甲种纪念品当天的销量至少是多少件？ 45．（24-25七年级下·福建福州·期中）某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种笔记本的销售单价保持不变） 月份 销售数量（本） 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 40 20 880 三月份 20 40 800 (1)求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； (2)若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案； (3)为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金元，要使（2）中所有的方案获利相同，求的值． 46．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）六一儿童节当天，七（1）班同学在公园里举行义卖活动，他们制作了一定数量的爆米花、蛋挞进行销售，已知爆米花和蛋挞成本分别为1.5元/份和2元/份，每份爆米花售价比蛋挞少1元，开始一小时，他们一共售出爆米花20份和蛋挞50份，销售利润为200元． (1)求每份爆米花和蛋挞的售价； (2)临近中午时，他们的销售利润超过了900元，但由于销售量较多，同学们只记得售出爆米花的数量满足份，上午至少售出蛋挞几份？ (3)下午，一部分同学继续出售爆米花和蛋挞，另一部分同学组成团队在现场制作冰淇淋用于义卖，冰淇淋售价为5元/份，租借冰淇淋制作机需要100元，每制作一份冰淇淋需要材料费2元，到结束时，全班同学制作了三种食品共份全部销售一空，爆米花与蛋挞的份数之比为，制作销售冰淇淋的团队也有盈利，且三种食品的销售总利润恰好为2025元，求的最大值． 【题型16 不等式组的分配问题】 47．（25-26七年级下·福建福州·阶段检测）某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 48．（2026·陕西西安·模拟预测）为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 49．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【题型17 不等式组的方案问题】 50．（2026·河南平顶山·二模）某复印店购进一批复印纸和墨盒．购进箱复印纸和箱墨盒共需元；购进箱复印纸和箱墨盒共需元． (1)求复印纸和墨盒每箱的价格． (2)若复印店计划采购复印纸和墨盒共箱，且复印纸的箱数不多于墨盒的倍，复印纸和墨盒的采购总费用不超过元，该复印店共有几种采购方案？（不需要写出具体方案） 51．（2026·贵州遵义·模拟预测）为响应“阳光体育”运动，某校购进，两种实心球，种个，种个，共花费元．已知种实心球的单价比种实心球的单价高“”元（“”是被墨水弄脏的数字）．根据题意，设种实心球的单价为元，列出一元一次方程：，解这个方程，得到． (1)根据解答过程，“”的数字为________； (2)根据需要，学校决定再购进，两种实心球共个，总费用不超过元，且购买种实心球不少于个．若实心球单价不变，共有几种购买方案？ 52．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某体育用品店计划试销A、B两种不同品牌的足球．已知3个A品牌足球和2个B品牌足球的售价是640元，2个A品牌足球和3个B品牌足球的售价是560元． (1)求一个A品牌足球和一个B品牌足球的售价分别是多少元？ (2)经了解，每个A品牌足球的进价是100元，每个B品牌足球的进价是50元．体育用品店购进两种足球共20个，且进货总资金不超过1450元，销售完毕后的总利润不低于800元．则体育用品店有哪几种进货方案？哪种方案能获得最大利润？最大利润是多少？ 【题型18 不等式组的解题收费问题】 53．（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 54．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 55．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 56．（25-26七年级下·海南海口·期中）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【题型19 不等式组的其它问题】 57．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长． (1)若活动区域（长方形）的一边长为，则另一边 ． (2)若活动区域（长方形）的面积为，求边的长． 58．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 59．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行． (1)若，直接写出该程序需要运行____ 次才停止； (2)若该程序只运行了1次就停止了，则x的取值范围是______． (3)若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 60．（25-26八年级下·全国·单元测试）“四书五经”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》（四书）及《诗经》《尚书》《周易》《礼记》《春秋》（五经）的总称，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买本《论语》和本《孟子》共需要元，购买本《论语》和本《孟子》共需要元． (1)求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元/本？ (2)某学校决定购进《论语》和《孟子》共本，其中《论语》不少于38本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打折，《孟子》的单价优惠元．如果此次学校买书的总费用不超过元，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 1．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之当n为非负整数时，如果，则例如：，，，，…，解决下列问题： (1)填空：①______（为圆周率）； ②如果，则实数的取值范围为______； (2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求的取值范围． 1．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）定义：关于，的二元一次方程中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 2．（24-25七年级上·全国·单元复习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 3．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $