第二十一章 四边形（复习讲义）数学新教材冀教版八年级下册

该初中数学四边形复习讲义通过知识框架图系统梳理了多边形、平行四边形及特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）、梯形的核心概念，用对比表格呈现性质与判定定理，清晰呈现图形从属关系和转化思想，夯实几何基础。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖基础计算、证明及综合探究题，如通过“多边形对角线公式推导”培养推理意识，“梯形中位线转化为三角形中位线”渗透转化思想，助力不同层次学生提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

第二十一章 四边形（复习讲义） 1、理解多边形、凸多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等核心概念，厘清各类图形的从属关系与边界区别，夯实几何概念基础。​ 2、掌握多边形内角和、外角和公式，能熟练完成角度、边长、周长、面积相关计算，灵活运用公式解决基础几何计算问题。​ 3、系统掌握平行四边形的性质与判定定理，深入理解矩形、菱形、正方形三类特殊平行四边形的专属性质、判定方法，理清三者与平行四边形的内在联系，能完成规范的几何证明。​ 4、理解梯形相关概念，掌握性质判定，能运用知识完成计算与几何证明。。​ 5、体会转化、分类、类比等几何思想，将四边形问题转化为三角形问题解决，提升逻辑推理、逆向分析与综合解题能力，养成严谨规范的几何书写习惯。 重点01 多边形 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【注意】 1、多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2、把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3、多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形注意点 1、正n边形有n条对称轴． 2、对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 重点02 平行四边形 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 重点03 矩形 矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 矩形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 重点04 菱形 菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 菱形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 重点05 正方形 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【注意】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 重点06 三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 重点07 梯形 梯形的概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 要点：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 等腰梯形的概念与性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 要点：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 梯形的中位线 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 题型一 多边形的基本概念 1．下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 2．如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 3．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 4．北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有_______块． 题型二 多边形的对角线问题 5．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成4个三角形，那么从这个多边形的一个顶点出发对角线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 6．一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是_________． 8．“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳、创新的过程，归纳、猜想、规律等都是运用了从特殊到一般的思想． 如我们在研究用边形的边数n表示对角线总条数s的式子时，可以从研究三角形、四边形、五边形、六边形等特殊情况入手： (1)完成下表 ______ ______ (2)若一个多边形是七边形，它的对角线总条数s为______，n边形的对角线总条数s为______（用含n的式子表示）； (3)如果一个多边形对角线的总条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数． 题型三 多边形内角和问题 9．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则____． 11．如图，四边形中，与的角平分线交于点，___________． 12．【阅读理解】定义：如图1，点D，E分别在射线上（均不与点A重合），过点D且垂直于的直线与过点E且垂直于的直线交于点F，则称满足这样条件的（需满足两边分别与的两边垂直）为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，分别延长，交于点C，交于点B，连接． ①与之间的数量关系是_________； ②求的“边垂角”及与它的“边垂角”之间的数量关系； (2)如图2，是的“边垂角”，，交于点E，点F在射线上，连接，若，，，求的长． 题型四 正多边形 13．下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 14．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 15．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 16．如图，已知正八边形，分别连接，其中交于点，交于点，交于点，交于点，则关于正八边形中心的对称三角形是______． 题型五 多边形内角和与外角和综合 17．已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 18．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍大，则这个多边形的所有对角线的条数是________． 19．已知一个多边形的边数为． (1)若时，则这个多边形的内角和为多少度？ (2)若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数． 20．请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． 初步运用 （2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则 ．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为 （请利用上面的结论直接写出答案）． 拓展提升 （3）如图④，在四边形中， ，分别平分外角，，设，试说明与的数量关系． 题型六 平面镶嵌 21．在生活中，很多墙面与地面会用各种形状的瓷砖铺成，像这样用一些不重叠摆放的多边形将平面完全覆盖，叫做平面镶嵌，为了使镶嵌美丽多变，有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，下列不可以进行平面镶嵌的一组是（   ） A．正三角形、正四边形 B．正三角形、正六边形 C．正五边形、正十边形 D．正四边形、正六边形 22．建筑师要为客户设计一种新颖的地砖图样，准备从边长相同的正三角形与正方形，正六边形，正八边形中同时选择其中两种地砖密铺地面，如果从图样上考虑，选择的方式有（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 23．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形地砖密铺，从里向外共10层（不包括中央的正六边形地砖）．每一层的外边界都围成一个多边形，若中央的正六边形地砖的边长为，则第层边界所围成的多边形的周长是_________． 24．【项目主题】寻找能铺满平面的任意多边形 【项目背景】我们已经知道，用一种正多边形铺地面，可以铺满平面的只有正三角形、正方形和正六边形三种．那么，用一种任意的多边形铺地面，能铺满平面的有哪些多边形呢？ 【探究工具】剪刀、彩纸、胶带、尺子． 活动1  铺满平面的条件 (1)铺满平面的条件为：当公共顶点处所有角的和为__________时，才有可能铺满平面． 活动2  任意完全相同的多边形能否铺满平面 用剪刀裁剪出一些任意完全相同的三角形、四边形及六边形，动手拼摆，探索单独的一种任意多边形是否可以铺满平面． (2)在下表中画出你铺满平面的示意图 多边形 示意图 任意三角形 任意四边形 (3)任意五边形、六边形、七边形可以铺满平面吗？ 活动3  探究五边形能够铺满平面 虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，于是展开了对一般五边形的密铺探究． (4)经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种，如图1为其中一种五边形的密铺图．图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为_________． 题型七 平行四边形的判定 25．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 26．如图，在中，是对角线上的两点，连接．若______，则四边形是平行四边形．请从；；这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 27．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 28．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 题型八 平行四边形的性质 29．如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 30．如图，在中，点、分别在、上，，． (1)求证：； (2)连接，若平分，，，求的长． 31．如图，在平行四边形中，平分，已知，，． (1)求的长； (2)若，求． 32．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且满足，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P、Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）． (1) ______， ______，点B的坐标为______； (2)在x轴上存在点D，使得的面积是12，求出点D坐标． (3)在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 题型九 添一个条件证明四边形是平行四边形 33．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 34．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 35．如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 36．如图，在中，，，其中是边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为．    解答下列问题： (1)线段 ， （用含的代数式表示）； (2)求的长； (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 题型十 矩形的判定 37．已知：如图，在中，点E，F分别是边的中点，连接，相交于点O． (1)求证：． (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 38．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 39．如图，在中，D是上一点，，平分交于点E，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，连接，求的长． 40．如图，在中，，平分，是的外角． (1)用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴①________． 又∵，平分， ∴②________（三线合一）． ∴． 又∵， ∴③________． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． 题型十一 矩形的性质 41．如图，在矩形中，点，在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当，，求的长． 42．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 43．如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 44．如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 题型十二 矩形与折叠问题 45．如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（    ） A． B． C． D． 46．第一步：如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平．若，，（     ） A． B． C． D． 47．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为________． 48．【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 题型十三 菱形的判定 49．如图，四边形是矩形，O是对角线的中点，连接，分别过点A，D作，，F是对角线延长线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 50．如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 51．已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边分别相交于点E、F．求证：四边形是菱形． 52．如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 题型十四 菱形的性质 53．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的度数是多少？ 54．如图，在中，对角线的交点为，且平分，为边的中点，连接，与的交点为． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的度数． 55．【感知】如图①，四边形、均为正方形．可知（不需要证明）． 【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且，求证：． 【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上，若，，的面积为8，求菱形的面积． 56．在四边形中，，点在边上，，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接交于点，若，求的长． 题型十五 正方形的判定 57．已知：如图，在中，E是两锐角平分线的交点，，垂足分别为D、F．求证：四边形是正方形． 58．已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 59． 中，平分． (1)求证四边形是菱形． (2)满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 60．如图，已知点是的边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形为矩形； (3)在（2）条件下，当再满足条件时，四边形为正方形． 题型十六 正方形的性质 61．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，试求的度数． 62．如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)请你猜想与的数量关系，并给出证明． (3)在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值． 63．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形边长相等．与相交于点M，与相交于点N．    (1)求证：； (2)嘉琪说：当正方形绕点O转动，且与垂直时，四边形的面积最小．你同意嘉琪的说法吗？请说明理由； (3)若正方形的边长为a，用含a的代数式表示两个正方形重叠部分的面积为______． 64．如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 题型十七 （特殊）平行四边形的存在性问题 65．如图，是直线与坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点．    (1)求三点的坐标； (2)点是折线上一动点． ①当点是的中点时，在轴上找一点，使的和最小，求点的坐标． ②若是平面内任意一点，是否存在点，使四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 66．在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，且x、y满足． (1)矩形的顶点B的坐标是 ； (2)若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形： (3)若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 67．如图，在正方形中，，点是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，在线段上是否存在一点，使四边形是平行四边形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 68．如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 题型十八 三角形中位线定理 69．如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 70．现有一四边形，借助此四边形作平行四边形，两位同学提供了如下方案，对于方案I、II，下列说法正确的是（    ） 方案I：   作边的垂直平分线，，分别交于点，顺次连接这四点围成的四边形即为所求． 方案II：   连接，过四边形各顶点分别作的平行线，这四条平行线围成的四边形即为所求． A．I可行、II不可行 B．I不可行、II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行 71．如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 72．【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 题型十九 中点四边形 73．如图，在四边形中，是对角线，点分别是边，的中点，依次连接．求证：四边形是平行四边形． 74．我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形，连接，证明：四边形是平行四边形． 75．综合与探究 课本再现： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1）并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：D，E分别是的边的中点； 求证：，且； 知识应用 （2）①如图2，在四边形中，E，F，G，H分别是四边形各边的中点． 求证：四边形是平行四边形． ②如图，在四边形中，，点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点，请你直接写出的周长为______，面积为_____． 76．【猜想结论】如图，在中，点分别是边的中点，可以根据度量或目测猜想结论：，且． 结论的符号语言：如图 ∵点是的中点， ∴，且．    【验证结论】（）如图，下面是小丽同学的部分证法． 证明：延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴≌（）， ∴，， ∴， ……（请将剩下的过程补充完整）． 【应用结论】（）如图，在四边形中，点分别为边的中点，顺次连结四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 题型二十 梯形 77．如图，在中，平分交于点，过作，交于点．试问： (1)四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由． (2)若，四边形是什么图形？请说明理由． 78．如图，直角梯形中，，，，，则梯形的面积为____． 79．如图，梯形中，，，，对角线与相交于点，且，那么________度．    80．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示． (1)在这个变化中，自变量是 ； (2)当点运动的路程时，的面积为 ； (3)求的长和梯形的面积． 基础巩固通关测 1．（2026·河北保定·二模）如图，将沿虚线剪去一个角后，得到四边形，则裁剪前后（     ） A．面积不变 B．周长变小 C．外角和变大 D．外角和变小 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是（    ） A．18米 B．24米 C．34米 D．36米 3．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当增大时，则的度数（    ） A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 6．（2026·河北邢台·一模）如图，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点交于点，已知与的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东临沂·二模）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（    ） A． B． C．2 D． 9．（2026·河北邯郸·一模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，、为支撑架，为拉杆，D，E分别是、的中点．已知，则B、C两点之间的距离为______． 10．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，的对角线，相交于点O．若，且的周长比的周长短4，则______． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________． 12．（15-16九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则______．    13．（2014七年级·江苏·期中）如图，五边形中，，分别是的外角，则___________． 14．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 15．（25-26八年级下·河北保定·期中）已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求的值． 16．（2026·河北沧州·二模）如图．正方形的顶点坐标分别为，，直线经过，两点． (1)求直线的解析式； (2)直线经过点，并与直线交于点，求点的坐标． 17．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 18．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． (1)求证：； (2)若，则的度数为__________． 19．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合． (1)旋转中心是___________，旋转角度最小为___________； (2)判断的形状，并说明理由． 20．（24-25八年级下·河北承德·期末）【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F，G，．求证：． 能力提升进阶练 21．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 22．（2020·河北·模拟预测）在菱形中，，，则（   ）． A． B． C． D． 23．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点落在点处，与边交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 24．（2026·河北邢台·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴负半轴，轴正半轴上，点在直线上，直线分别交轴，轴于点，将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 25．（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）如图，中，，，对角线、相交于点，点、、、分别是、、、的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，其他条件不变，则四边形为菱形 C．四边形是菱形 D． 26．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图 ，在边长为2的正方形中，点分别在边和上（均不与点重合），分别平分和．关于结论①，②，下列判断正确的是（    ） 结论①：点到的距离为2； 结论②：． A．结论①，②均正确 B．结论①，②均不正确 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 27．（25-26八年级上·河北唐山·期中）我们知道，正方形具有“四条边都相等，四个内角都是直角”的性质．如图，在中，，分别以，，为边，在的同侧作正方形，，．若图中两块阴影部分的面积分别记为，，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 28．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接；， 连接并延长， 与的平分线交于点F， 连接， 若， 则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 29．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 30．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在一个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则阴影部分的周长为_____m． 31．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在正方形中，，与交于点O，E，F分别为边，上的点（点E，F不与线段，的端点重合），，连接，，．关于以下三个结论，正确的有：______． 结论①：始终是等腰直角三角形； 结论②：面积的最小值是2； 结论③：四边形OECF的面积始终是8． 32．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，在平行四边形中，点M是的中点，点P是线段上任意一点．若，，，则的最大值为___________． 33．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在菱形中，过对角线上任一点P，作，，下列结论正确的是_______．（填序号） ①图中共有3个菱形； ②； ③四边形的面积一定等于四边形面积的2倍； ④四边形的周长等于四边形的周长． 34．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平行四边形中，在上截取，分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，连接，．若，，，则_____． 35．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，已知平行四边形，是的平分线，交于点E． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，求的度数． 36．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，，平分交于点．点为的中点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，时，求的长； (3)若四边形为菱形，直接写出的度数． 37．（2026·山西忻州·一模）阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 底角互余梯形 概念理解： 如图1，在四边形中，，，则四边形称为底角互余梯形 性质分析： 从“角”的角度分析：①两下底角互余，即；②两上底角相加等于，即；③夹边为腰的两邻角互补，即，． 从“边”的角度分析：①上底和下底平行，即；②两腰的平方和等于上底与下底之差的平方，即． 从“特殊点”分析：…… 性质求证： 在图1中，四边形是底角互余梯形，求证：． 证明：如图2，过点A作的平行线，交于点E， 又，∴四边形是平行四边形． …… 问题解决： (1)补全笔记中的证明过程． (2)拓展探究：如图3，四边形是底角互余梯形，若，． ①尺规作图：作底角互余梯形两底边中点的连线，其中，M是的中点，N是的中点； ②求的长． 38．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；同时点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． (1)直接写出边的长为_____； (2)当四边形是矩形时，求的值； (3)在点运动过程中，当是等腰三角形时，求的值； 39．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：． （1）根据以上信息，填空：① ° ； ②线段之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 40．（2026·河北石家庄·二模）【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)【探究】问题1：在中，______； (2)问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） (3)【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； (4)问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形（复习讲义） 1、理解多边形、凸多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等核心概念，厘清各类图形的从属关系与边界区别，夯实几何概念基础。​ 2、掌握多边形内角和、外角和公式，能熟练完成角度、边长、周长、面积相关计算，灵活运用公式解决基础几何计算问题。​ 3、系统掌握平行四边形的性质与判定定理，深入理解矩形、菱形、正方形三类特殊平行四边形的专属性质、判定方法，理清三者与平行四边形的内在联系，能完成规范的几何证明。​ 4、理解梯形相关概念，掌握性质判定，能运用知识完成计算与几何证明。。​ 5、体会转化、分类、类比等几何思想，将四边形问题转化为三角形问题解决，提升逻辑推理、逆向分析与综合解题能力，养成严谨规范的几何书写习惯。 重点01 多边形 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【注意】 1、多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2、把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3、多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形注意点 1、正n边形有n条对称轴． 2、对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 重点02 平行四边形 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 重点03 矩形 矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 矩形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 重点04 菱形 菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 菱形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 重点05 正方形 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【注意】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 重点06 三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 重点07 梯形 梯形的概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 要点：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 等腰梯形的概念与性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 要点：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 梯形的中位线 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 题型一 多边形的基本概念 1．下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立． 根据正多边形的定义即可判断A、B、D，根据多边形从一个顶点出发可以作条对角线判断C． 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意； B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D． 2．如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，割补法求面积；过点作交于，过点作交于，点作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，，设，，由四个三角形面积和，即可求解；能熟练利用割补法求面积，构建三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于，过点作交于，点作交于， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 同理可证：， ， ， ， 设， ， ， ， ， 故选：C． 3．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 【答案】3 【分析】本题考查多边形，理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键． 据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出符合条件的点D的位置即可． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知， 所有符合条件的点D共有3个，即图形中的， 故答案为：3 4．北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有_______块． 【答案】12 【分析】设足球上黑皮有x块，则白皮为块，可得五边形的边数共有条，六边形边数有条．由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，可得白皮边数是黑皮边数的2倍，由此列出方程，即可求解． 【详解】解：设足球上黑皮有x块，则白皮为块， ∴五边形的边数共有条，六边形边数有条． 由图形关系得：每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边， ∴白皮的边数为黑皮的2倍， ∴ 解得：， 答：白皮20块，黑皮12块． 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到白皮的边数为黑皮的2倍是解题的关键． 题型二 多边形的对角线问题 5．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成4个三角形，那么从这个多边形的一个顶点出发对角线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】边形从一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，且从一个顶点出发可引出条对角线，先根据分成的三角形个数求出多边形边数，再计算对角线条数即可. 【详解】解：设这个多边形有条边， 从边形的一个顶点出发作对角线，最多将多边形分成个三角形， ，解得，即这个多边形是六边形， 又从边形的一个顶点出发可作条对角线， ∴从这个多边形的一个顶点出发对角线有条. 6．一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 7．一个正多边形的边长是3，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是_________． 【答案】21 【分析】先求出多边形的边数，再计算正多边形的周长即可． 【详解】解：从一个顶点可以引出条对角线， 这个多边形的边数为， 该正多边形的边长为， 这个正多边形的周长为． 8．“从特殊到一般”就是从特殊、个别的事例推出一般规律的过程，是一个归纳、创新的过程，归纳、猜想、规律等都是运用了从特殊到一般的思想． 如我们在研究用边形的边数n表示对角线总条数s的式子时，可以从研究三角形、四边形、五边形、六边形等特殊情况入手： (1)完成下表 ______ ______ (2)若一个多边形是七边形，它的对角线总条数s为______，n边形的对角线总条数s为______（用含n的式子表示）； (3)如果一个多边形对角线的总条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)这个多边形的边数为． 【分析】（1）根据题意画出对角线即可解答； （2）根据表格数据找到规律即可解答； （3）设多边形的边数为，结合（2）中规律列出方程即可求解． 【详解】（1）解：完成下表如下： （2）解：∵三边形的对角线条数可表示为 ， 四边形对角线条数可表示为， 五边形对角线条数可表示为 ， 六边形对角线条数可表示为 ， 七边形对角线条数可表示为 ， ， ∴边形对角线条数可表示为； （3）解：设多边形的边数为， 根据题意，得 ，即， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， 答：这个多边形的边数为． 题型三 多边形内角和问题 9．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：正八边形的内角和． 10．如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则____． 【答案】 【分析】设多边形有n条边，则该多边形的内角和为． 【详解】解：五边形的内角和为， ． 11．如图，四边形中，与的角平分线交于点，___________． 【答案】105 【分析】先求解，结合角平分线可得，再进一步求解即可. 【详解】解：四边形的内角和为，， ， 分别是、的角平分线， ， ． 12．【阅读理解】定义：如图1，点D，E分别在射线上（均不与点A重合），过点D且垂直于的直线与过点E且垂直于的直线交于点F，则称满足这样条件的（需满足两边分别与的两边垂直）为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，分别延长，交于点C，交于点B，连接． ①与之间的数量关系是_________； ②求的“边垂角”及与它的“边垂角”之间的数量关系； (2)如图2，是的“边垂角”，，交于点E，点F在射线上，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)①；②的“边垂角”是，； (2)7 【分析】（1）①根据垂直的定义及四边形的内角和求解即可；②根据“边垂角”的定义求解即可； （2）先根据“边垂角”的定义可得，．再证明．．再求解即可． 【详解】（1）解：① ∵ ； ②根据“边垂角”的定义，可知的“边垂角”是． ，， ，即． （2）解：是的“边垂角”， ，． ． 由②可得． 在和中， ，，， ． ，． ， ． ． 在和中， ，，， ． ． ． 题型四 正多边形 13．下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义逐一判断选项即可，正多边形定义为各边相等、各角也相等的多边形． 【详解】A、∵多边形是由三条或三条以上线段首尾顺次连接围成的封闭图形，正三角形符合多边形定义， ∴A错误； B、∵正多边形需要同时满足各边相等、各角相等，长方形四个角相等但四条边不一定都相等， ∴B错误； C、∵正方形的四条边相等，四个角也相等，满足正多边形的定义， ∴C正确； D、∵各角相等的多边形各边不一定相等，例如长方形各角相等但不是正多边形，不满足正多边形定义， ∴D错误． 14．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 15．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为_______． 【答案】16 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的定义是解题关键．根据正八边形的所有边相等解答即可得． 【详解】解：∵正八边形的所有边相等，且其一边长为2， ∴该正八边形的周长为． 故答案为：16． 16．如图，已知正八边形，分别连接，其中交于点，交于点，交于点，交于点，则关于正八边形中心的对称三角形是______． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形，正多边形的性质，连接，，，根据正多边形和中心对称图形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， ∵正八边形是正多边形， ∴正八边形是中心对称图形， ∴关于正八边形中心的对称三角形是， 故答案为：． 题型五 多边形内角和与外角和综合 17．已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角的3倍多，则这个多边形的内角和为_______． 【答案】 【分析】设这个正多边形的一个外角为，根据内角与相邻外角互补列出方程，求出外角的度数，结合多边形外角和为求出边数，再利用多边形内角和公式计算内角和即可 【详解】解：设这个正多边形的一个外角为，则与它相邻的内角为. ， 解得， 任意多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等， 这个正多边形的边数为 ， ∴这个多边形的内角和为． 18．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍大，则这个多边形的所有对角线的条数是________． 【答案】27 【分析】任何多边形的外角和是，n边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得，， 解得， ∴（条）， 即这个多边形的所有对角线的条数是27． 19．已知一个多边形的边数为． (1)若时，则这个多边形的内角和为多少度？ (2)若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2)多边形的边数为8 【分析】（1）n边形的内角和为； （2）n边形的外角和为，列关于n的方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： 解得：， ∴这个多边形的边数为8． 20．请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． 初步运用 （2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则 ．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为 （请利用上面的结论直接写出答案）． 拓展提升 （3）如图④，在四边形中， ，分别平分外角，，设，试说明与的数量关系． 【答案】（1） （2）， （3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，四边形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． (1)根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． (2)先由邻补角性质求出，再根据三角形外角性质、角平分线的定义计算即可． (3)利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可． 【详解】（1），， ， ； （2）， ， ， ， ，分别平分外角，， ，， 即， 故答案为：，； （3），分别平分外角，， ，， 即． 题型六 平面镶嵌 21．在生活中，很多墙面与地面会用各种形状的瓷砖铺成，像这样用一些不重叠摆放的多边形将平面完全覆盖，叫做平面镶嵌，为了使镶嵌美丽多变，有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，下列不可以进行平面镶嵌的一组是（   ） A．正三角形、正四边形 B．正三角形、正六边形 C．正五边形、正十边形 D．正四边形、正六边形 【答案】D 【分析】平面镶嵌的条件是，拼接点处所有多边形的内角和为，设两种正多边形分别需要块块，判断是否存在正整数使内角和等于即可得到结果. 【详解】解：正三角形一个内角的度数为，正四边形一个内角的度数为，正五边形一个内角的度数为，正六边形一个内角的度数为，正十边形一个内角的度数为： A 、设需要正三角形瓷砖块，正四边形瓷砖块，可得方程，化简得，存在正整数解，可以平面镶嵌； B、 设需要正三角形瓷砖块，正六边形瓷砖块，可得方程，化简得，存在正整数解，可以平面镶嵌； C、 设需要正五边形瓷砖块，正十边形瓷砖块，可得方程，化简得，存在正整数解，可以平面镶嵌； D 、设需要正四边形瓷砖块，正六边形瓷砖块，可得方程，化简得，不存在正整数满足方程，因此不可以平面镶嵌； 22．建筑师要为客户设计一种新颖的地砖图样，准备从边长相同的正三角形与正方形，正六边形，正八边形中同时选择其中两种地砖密铺地面，如果从图样上考虑，选择的方式有（   ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形内角和定理的运用，掌握以上知识是解题的关键．根据多边形内角和定理分别求出正三角形，正方形，正六边形，正八边形的每个内角，根据密铺可知不同多边形相接的内角之和为，由此即可求解． 【详解】解：∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形的每个内角为，正八边形的每个内角为， ∴选择两种不同的正多边形地砖密铺地面，则不同多边形相接的内角之和为， ∴正三角形和正六边形，即或； 正方形和正三角形，即； 正方形和正八边形，即； 综上所述，可供选择的方法共有种， 故选：C． 23．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形地砖密铺，从里向外共10层（不包括中央的正六边形地砖）．每一层的外边界都围成一个多边形，若中央的正六边形地砖的边长为，则第层边界所围成的多边形的周长是_________． 【答案】 【分析】先分析每层边数的规律以及边长的规律，再根据周长公式计算第层边界所围成多边形的周长． 【详解】观察图形，可知正方形、正三角形和正六边形的边长相等，均为， 第一层共有个三角形和个正方形，共条边， 第二层共有个三角形和个正方形，共条边， 第三层共有个三角形和个正方形，共条边， 第层共有个三角形和个正方形，共条边， 因此第层边界所围成的多边形共条边，周长为． 24．【项目主题】寻找能铺满平面的任意多边形 【项目背景】我们已经知道，用一种正多边形铺地面，可以铺满平面的只有正三角形、正方形和正六边形三种．那么，用一种任意的多边形铺地面，能铺满平面的有哪些多边形呢？ 【探究工具】剪刀、彩纸、胶带、尺子． 活动1  铺满平面的条件 (1)铺满平面的条件为：当公共顶点处所有角的和为__________时，才有可能铺满平面． 活动2  任意完全相同的多边形能否铺满平面 用剪刀裁剪出一些任意完全相同的三角形、四边形及六边形，动手拼摆，探索单独的一种任意多边形是否可以铺满平面． (2)在下表中画出你铺满平面的示意图 多边形 示意图 任意三角形 任意四边形 (3)任意五边形、六边形、七边形可以铺满平面吗？ 活动3  探究五边形能够铺满平面 虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，于是展开了对一般五边形的密铺探究． (4)经过查找资料得知目前可以铺满的凸五边形共有15种，如图1为其中一种五边形的密铺图．图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为_________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)任意五边形不能密铺；任意六边形不一定能密铺；任意七边形不能密铺； (4) 【分析】（1）根据题意可得公共顶点处所有角的和为，才有可能铺满平面； （2）根据题意作图即可； （3）一个多边形的内角和能被整除时，该多边形才有可能铺满平面，据此逐一判断即可； （4）根据五边形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，当公共顶点处所有角的和为，才有可能铺满平面； （2）解：如图所示，即为所求； 三角形：     四边形： （3）解：任意五边形的内角和是，不能整除，不能密铺； 任意六边形的内角和是，虽能整除，但是不一定能密铺； 任意七边形的内角和是，不能整除，不能密铺； （4）解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 题型七 平行四边形的判定 25．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． (1)添加的一个条件是：______； (2)说明理由． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：从对角线的角度思考，可以添加， 故答案为：．不唯一 （2）证明：∵的对角线与相交于点O，     ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 26．如图，在中，是对角线上的两点，连接．若______，则四边形是平行四边形．请从；；这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，根据；；逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：选择， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 选择无法得出四边形是平行四边形． 27．如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由平行四边形得到，，然后得到，即可证明； （2）如图所示，连接，由得到，等量代换得到，证明出，即可得到四边形四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）如图所示，连接，    添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形四边形是平行四边形． 28．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 题型八 平行四边形的性质 29．如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E在上，点F在上，连接，使恰好经过点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，可证明，则可证明； （2）根据（1）的结论可证明，即，由平行四边形的对角线互相平分得到，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， ∵平行四边形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．如图，在中，点、分别在、上，，． (1)求证：； (2)连接，若平分，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识． （1）结合平行四边形的性质，利用“”证明即可； （2）根据全等的性质可得，，，再证明，接着再在、中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴； （2）如图： ∵，，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵在中，， ∴． 31．如图，在平行四边形中，平分，已知，，． (1)求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明，再根据平行四边形的性质求解即可； （2）先由勾股定理逆定理证明，再由直角三角形的性质以及平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形 ，， 平分 ； （2）解：，， 是直角三角形，且． ， 32．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且满足，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P、Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）． (1) ______， ______，点B的坐标为______； (2)在x轴上存在点D，使得的面积是12，求出点D坐标． (3)在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】(1)12，8， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，得出m和n的值，即可得出点B的坐标； （2）设点D的坐标为，然后确定底和高，根据三角形面积公式列出方程，解绝对值方程即可得出结论； （3）分类讨论：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，根据平行四边形的性质分别求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点B的坐标为； （2）解：设点D的坐标为， 点A的坐标为， ， 由（1）得点B的坐标为， ， ， ， 解得或， 点D的坐标为或； （3）解：点B的坐标为， ， 点Q运动到点C时，， 由题意知， ，，， 当时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 分两种情况： 当点P在线段上时，， 由得， ； 当点P在线段的延长线上时，， 由得， ， 综上所述，当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 题型九 添一个条件证明四边形是平行四边形 33．如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析； 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，通过选定组合②③，利用三角形全等，即可得到平行四边形判定的条件，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】证明如下：选择②③ ， ， 且满足，， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． 34．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 【答案】(1)①② (2)①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】（1）解：符合条件的选项有：①②； （2）解：我选择①，证明过程如下： ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 我选择②，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 35．如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 【答案】(1)①②④ (2)见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的角和边，通过证明三角形全等，得出相等的边，利用平行四边形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：添加一个条件使得四边形是平行四边形的选项是①②④； （2）选择① 证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； 选择② 证明：∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 同理，, ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择④ 证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】重点掌握平行四边形的性质定理和判定定理，借助全等三角形得出相等的边． 36．如图，在中，，，其中是边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为．    解答下列问题： (1)线段 ， （用含的代数式表示）； (2)求的长； (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)t， (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，解一元一次方程，分类思想，熟练掌握平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，得到线段；点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，得到； （2）由是边上的高，可得双勾股模型，由此列方程即可求解； （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合题意，，列式计算即可． 【详解】（1）∵点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴线段； ∵点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴； 故答案为：t，． （2）∵是边上的高， ∴，， ∵，， ∴， 解得． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当在线段上时，如图，此时，    根据题意，得， 解得．    当在线段上时，如图，此时， 根据题意，得， 解得，不合题意舍去． 故当时，以E、、、G为顶点的四边形是平行四边形． 题型十 矩形的判定 37．已知：如图，在中，点E，F分别是边的中点，连接，相交于点O． (1)求证：． (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，，再根据中点的定义得出，即可证明； （2）先证四边形是平行四边形，推出，再证四边形是平行四边形，根据对角线相等，可得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 又点E，F分别是边的中点， ， ． （2）证明：如图，连接， 中，， ， 点E，F分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 同理，，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 38．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由对角线互相平分可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）先得到是等边三角形，再由含有的直角三角形设出未知数，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 四边形是平行四边形． ， ． ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ． 是等边三角形，即， 在中，． 设，则， ，即， 解得，即， ． 39．如图，在中，D是上一点，，平分交于点E，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，连接，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得出答案； （2）先根据等腰三角形的性质得，再根据含直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，即． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示， ∵， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， 在中，． 40．如图，在中，，平分，是的外角． (1)用尺规完成作图：作的角平分线，过点C作，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)小敏作完图后，发现四边形是矩形，请帮助她完成下列推理过程： ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴①________． 又∵，平分， ∴②________（三线合一）． ∴． 又∵， ∴③________． ∴四边形是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）． 【答案】(1)如图， (2)；； 【分析】（1）根据尺规作角平分线，作垂线的方法作图即可； （2）根据平角和角平分线的定义，三线合一，垂直的定义，进行作答即可； 【详解】（1）略 （2）略 题型十一 矩形的性质 41．如图，在矩形中，点，在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得到，，利用角的等量代换求出，即可证明； （2）先求出的长，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴在中，． 42．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 43．如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点． （1）通过证明，得到，得证四边形是平行四边形，根据，得证结论． （2）根据矩形的性质得到，继而根据勾股定理得到， 根据平行四边形的性质得到，根据割补法计算四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 又为中点， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， 由勾股定理可得：， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积为． 44．如图，在中，，E、F分别是的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据的性质以及线段中点的意义证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一得到，即可证明四边形是矩形； （2）先证明为等边三角形，结合三线合一得到，再由勾股定理求解，即可求解面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∵E、F分别是的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，E为中点， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ， ∴在中， ∴矩形的面积． 题型十二 矩形与折叠问题 45．如图，长方形纸片沿对折后，点B、C的对应点分别为点．与交于点M．若 ，则 为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的性质得出平行线，根据平行线的性质得出，再根据翻折的性质得出相等的角，最后利用平行线的性质求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ∵， ∴． 46．第一步：如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平．若，，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质、折叠的性质可得，利用勾股定理得到，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕， ∴ ∴四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕， ∴，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， 解得：， 即：． 47．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和点的坐标得出和的长，利用折叠性质得到的长，在中利用勾股定理求出的长，进而求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令即可求出点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形，点， ，， 由折叠可得，， 在中，， ，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得，， 解得， ∴直线解析式为， 是直线与轴的交点， ∴令，得， 的坐标为． 48．【问题原型】 在矩形中，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为 ； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①证明：四边形是矩形， ， 由翻折的性质知，、， ， 在和中， ， ， ； ②； (3)的长为1或9 【分析】（1）由矩形的性质可得、，利用折叠的性质可得，再运用勾股定理求解即可； （2）①由矩形的性质、折叠的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论；②设，则，进而得到、，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分点Q在线段上和点Q在线段的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 、， 将沿直线翻折至的位置， ， 在中，； （2）①证明：略； ②解：∵, ∴, 设，则， ， 、， 在中，， ，解得：， ∴． （3）解：分两种情况讨论： 当点Q在线段上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、、， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时，如图所示： 由翻折的性质知， 、、， ， 设，则、， ， ， 在中，， ，解得：，即， 综上，的长为1或9． 题型十三 菱形的判定 49．如图，四边形是矩形，O是对角线的中点，连接，分别过点A，D作，，F是对角线延长线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可根据菱形的判定证明结论； （2）过点F作交的延长线于点G，先证明，得到，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：过点F作交的延长线于点G， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，． 50．如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； (2)6 【分析】（1）由中点的定义得，，再由可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）由中位线的性质得，证明四边形是平行四边形，则，，再根据菱形的性质得，，则，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 51．已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边分别相交于点E、F．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形的对角线的垂直平分线与边分别相交于点E、F， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 52．如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定定理即可得到四边形是菱形； （2）利用勾股定理求得，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是边上的高线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是边上的高线，即， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 题型十四 菱形的性质 53．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则的度数是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质以及平行线的性质．通过作图条件得到边的关系从而判定菱形，再利用菱形性质和平行线性质求解角度是解题的关键． （1）根据菱形的判定定理，四边相等的四边形是菱形，通过作图条件得出四条边相等来证明； （2）利用菱形的性质，先得出，再根据平行线的性质求出． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，， 四边形是菱形． （2）四边形是菱形， 54．如图，在中，对角线的交点为，且平分，为边的中点，连接，与的交点为． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，即可得证； （2）斜边上的中线，推出，进而得到，推出为等边三角形，三线合一结合三角形的外角求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴． ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）已知四边形是菱形， ∴，即． ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即． 在中，， ∵是的一个外角， ∴． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 55．【感知】如图①，四边形、均为正方形．可知（不需要证明）． 【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且，求证：． 【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上，若，，的面积为8，求菱形的面积． 【答案】拓展：证明见解析；应用： 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 拓展：先根据菱形的性质可得，，，，从而可得，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； 应用：先证出，根据三角形的面积公式可得，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据菱形的性质求解即可得． 【详解】证明：拓展：∵四边形、均为菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 解：应用：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∵的面积为8， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴菱形的面积为． 56．在四边形中，，点在边上，，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是解答的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论； （2）由菱形的性质得到，然后利用勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， ． 在中，， 根据勾股定理，得， ． 题型十五 正方形的判定 57．已知：如图，在中，E是两锐角平分线的交点，，垂足分别为D、F．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及正方形的判定，正确添加辅助线准确运用性质和判定定理是正确解答此题的关键． 过E作，根据角平分线的性质可得．再证明四边形是矩形，可根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形是正方形． 【详解】证明：过点作，垂足为． ，，是两锐角平分线的交点， ． ，，， ， 四边形为矩形． 又， 矩形为正方形． 58．已知矩形，平分交的延长线于点E，过点E作，垂足F在边的延长线上，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，根据矩形的性质得到，根据角平分线的性质得到，推出四边形是矩形，求得，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 59． 中，平分． (1)求证四边形是菱形． (2)满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查正方形的判定，菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用正方形的判定、菱形的判定与性质解答． （1）根据交AB于点E，交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题． 【详解】（1）证明：， ∴四边形是平行四边形； 平分． ． ， ． ． ． ∴四边形是菱形． （2）解：当时，四边形是正方形； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形． 60．如图，已知点是的边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：四边形为矩形； (3)在（2）条件下，当再满足条件时，四边形为正方形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)添加条件：． 【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，平行四边形、矩形、正方形的证明，熟练掌握基本知识点是解题关键． （1）根据平行四边形的性质可得到，从而可得到，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点E是的中点，从而可根据“”来判定，得到，从而根据“一组对边平行且相等是四边形是平行四边形”得证四边形是平行四边形； （2）根据全等三角形的对应边相等可证得，从而，由得，从而，得证是矩形； （3）矩形要想成为正方形，只需要一组邻边相等即可，由此可添另条件． 【详解】（1）在中，，， ∴ ， ∵ E为的中点 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形； （3）当为等腰三角形，即时，矩形为正方形． 题型十六 正方形的性质 61．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，试求的度数． 【答案】 【分析】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，三角形外角的性质，本题的关键是求出．根据正方形的性质及等边三角形的性质求出，，再求． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又是等边三角形， ，， ， ，， ， 又， ． 62．如图，正方形的周长是40．点P是正方形对角线上一动点，过P点分别作、的垂线，垂足分别为E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)请你猜想与的数量关系，并给出证明． (3)在P点运动过程中，的长也随之变化，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据由三个角为直角的四边形为矩形，即可求证； （2）根据矩形的性质可得，再证明△ADP≌△ABP，即可求证； （3）根据可得的最小值，即的最小值，再由垂线段最短，可得当时，取得最小值，求出AC，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ 又∵是正方形 ∴ ∴四边形四边形是矩形 （2）解：，证明如下： 连接， ∵四边形为矩形， ∴， 又∵四边形是正方形，P为上任意一点， ∴AD=AB，∠CAD=∠BAC=45°， ∵AP=AP， ∴△ADP≌△ABP， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，则的最小值，即的最小值， 当时，取得最小值， ∵正方形ABCD的周长为40， ∴AD=CD=10 ∵AD=CD，∠ADC=90°， ， ∵， ∴ ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 63．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形边长相等．与相交于点M，与相交于点N．    (1)求证：； (2)嘉琪说：当正方形绕点O转动，且与垂直时，四边形的面积最小．你同意嘉琪的说法吗？请说明理由； (3)若正方形的边长为a，用含a的代数式表示两个正方形重叠部分的面积为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)不同意，理由见解析 (3) 【分析】（1）由四边形与均为正方形，得，，，，进而有，于是即可证明结论成立； （2）证明四边形的面积总等于正方形面积的即可； （3）由（2）即可得解． 【详解】（1）证明：四边形与均为正方形， ，，，， ， ， 即， ． （2）解：不同意，理由： 由（1）可知：， ， ， 即当正方形绕点O转动时，四边形的面积总等于正方形面积的． （3）解：∵，正方形的边长为a， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到是解题的关键． 64．如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由正方形的性质得到，则可证明是矩形； （2）延长交于点H，则四边形是矩形，可证明是等腰直角三角形．得到，则矩形是正方形，据此可求出，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵在正方形中，， ∴是矩形． （2）解：如图，延长交于点H， 在正方形中，， ∵， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形． ∴， ∴矩形是正方形． ∴， 在中，． 题型十七 （特殊）平行四边形的存在性问题 65．如图，是直线与坐标轴的交点，直线过点，与轴交于点．    (1)求三点的坐标； (2)点是折线上一动点． ①当点是的中点时，在轴上找一点，使的和最小，求点的坐标． ②若是平面内任意一点，是否存在点，使四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，点的坐标为或 【分析】（1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点、的坐标；然后把点坐标代入求出的值，确定此函数解析式，然后再求点坐标； （2）①根据轴对称最短路径问题画出点的位置，由待定系数法确定直线的解析式为，易得点的坐标； ②依题意，，分两种情况：当点在上时，当点在上时．当点在上时，由等腰直角三角形的性质求得点的坐标为，；当点在上时，设交轴于点，证与全等，得，点的坐标为，，求得直线的解析式为，与组成方程组，求得交点的坐标为，． 【详解】（1）解：在中， 令，得， 令，得， ∴， 把，代入，得， 直线为： 在中， 令，得， 点的坐标为； （2）①如图，   点是的中点， ∴， 取点关于轴的对称点B1的坐标为，，连接， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得，， 该直线为：， 令，得， 点的坐标为． ②存在，点的坐标为或． ∵四边形为矩形， ∴， 1）当点在上时， ， ， 是以为直角的等腰直角三角形， 点的横坐标为， 当时，， 点的坐标为； 2）当点在上时，如图，设交轴于点．   ，， ， 又，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将与代入得， 解得， ， 联立，解得：， 的坐标为． 综上所述：点的坐标为或 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、矩形的性质，解题的关键是灵活运用一次函数的图象与性质以及全等的知识． 66．在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，且x、y满足． (1)矩形的顶点B的坐标是 ； (2)若D是中点，沿折叠矩形，使A点落在点E处，折痕为，连接并延长交y轴于Q点．求证：四边形是平行四边形： (3)若点M在y轴上，则在坐标平面内，是否存在这样的点N，使得为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，，，， 【分析】（）根据矩形的性质可知，，根据已知条件求出其长度即可； （）由折叠可知线段相等，角相等，结合D是中点，可求得，进而求得，且即可； （）根据菱形的性质，分别以为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线，再利用勾股定理求出即可求出其他的线段，从而求出点的坐标． 【详解】（1）∵ ∴， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵在第二象限， ∴； （2）证明：∵是中点， ∴， ∵折叠 ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且 ∴四边形是平行四边形； （3）解：存在，理由如下： ∵为顶点的四边形是菱形，分别以为圆心，长为半径画圆和的线段垂直平分线与y轴交点得出点M，如图所示： ∵，， ∴ ∴，， ∴，，，． 67．如图，在正方形中，，点是边上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)当，在线段上是否存在一点，使四边形是平行四边形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)存在， 【分析】（1）由正方形的性质可知，，再利用同角的余角相等，即可证明结论； （2）在上截取，连接，由正方形和等腰三角形的性质，得出，进而可证，即可证明结论； （3）过点作，交于点，交于点，连接，证明，得到，进而得到，证得四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，在上截取，连接， ∵四边形为正方形， ， ， ， ∵为正方形的外角平分线， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：存在点使得四边形是平行四边形，， 理由如下： 过点作，交于点，交于点，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， 由（2）可知，， ， ∴四边形是平行四边形， 此时． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 68．如图，矩形的边的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合． (1)求折痕所在直线解析式． (2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t（）的关系式． (3)点P是直线上一点，在平面内是否存在一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点M的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）求出，，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形；当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形；当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积； （3）分两种情况讨论：当时，此时，；当时，此时，． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵的长分别是方程的两个根（）， ∴，， 由折叠可知，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，故； 当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，故； 当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，即； 综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为； （3）当时，，此时， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴M点与P点关于对称， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，动点引出的几何图形面积与函数问题，两点间距离公式，一元二次方程，正方形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上内容是解题关键． 题型十八 三角形中位线定理 69．如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由中位线的性质定理得，，且，由平行线的性质结合角平分线可得，则可求得的长． 【详解】解：是的中位线，， ，，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 70．现有一四边形，借助此四边形作平行四边形，两位同学提供了如下方案，对于方案I、II，下列说法正确的是（    ） 方案I：   作边的垂直平分线，，分别交于点，顺次连接这四点围成的四边形即为所求． 方案II：   连接，过四边形各顶点分别作的平行线，这四条平行线围成的四边形即为所求． A．I可行、II不可行 B．I不可行、II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，三角形的中位线定理．熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 方案Ⅰ，利用三角形的中位线定理，即可得出结论； 方案Ⅱ，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：方案Ⅰ：连接，， 作边，，，的垂直平分线，，，，分别交，，，于点，，，， ，，，分别为，，，的中点， ， ， 四边形是平行四边形； 方案Ⅱ：由题意，得：， 四边形是平行四边形； 方案I、Ⅱ都可行， 故选C． 71．如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合），，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 分别延长交于点H，证明四边形为平行四边形，再由G为的中点，可得G正好为中点，从而得到在P的运动过程中，G始终为的中点，G的运行轨迹为的中位线，进而得到当P在中点时，的值最小，此时，即可求解． 【详解】解：如图，分别延长交于点H， ∵，均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． ∵G为的中点， ∴G正好为中点， 即在P的运动过程中，G始终为的中点， ∴G的运行轨迹为的中位线， ∴，， ∵当P在中点时，， ∴当P在中点时，的值最小，此时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时， ∴的最小值为， 故答案为： 72．【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 【答案】【三角形中位线定理】，；【应用】；【拓展】证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． [三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； [拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：[三角形中位线定理]，； 理由：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ，； [应用]连接，如图所示， 、分别是边、的中点， ，， ， ，， ，， ， ， ； [拓展]证明：取的中点，连接、．   、分别是、的中点， 是的中位线， 且， 同理可得且． ， ， ，， ，， ， ， ． 题型十九 中点四边形 73．如图，在四边形中，是对角线，点分别是边，的中点，依次连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形中位线定理得出，，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：分别是的中点， 是的中位线， ，， 同理：，， ，， ∴四边形是平行四边形． 74．我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形，如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形，连接，证明：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了中位线的性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线性质，平行四边形的判定方法． 因为， 分别是边， 的中点，根据中位线的性质得出，得出， ，同理得出， ，从而得出，由平行公理的推论得出，即可得出结论． 【详解】解：， 分别是边， 的中点， ∴， ， ∵，分别是边，的中点， ∴， ， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 75．综合与探究 课本再现： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1）并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：D，E分别是的边的中点； 求证：，且； 知识应用 （2）①如图2，在四边形中，E，F，G，H分别是四边形各边的中点． 求证：四边形是平行四边形． ②如图，在四边形中，，点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点，请你直接写出的周长为______，面积为_____． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②； 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的证明和应用，等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键； （1）延长至F，使，连接，如图，先证明，再根据全等三角形的性质证明四边形是平行四边形，得到，进一步即可得到结论； （2）①连接，根据三角形的中位线定理结合平行四边形的判定定理证明即可； ②先根据三角形的中位线定理证明，进而可得，可得，作于点G，如图，再求出即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：延长至F，使，连接，如图， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，且； （2）①证明：连接，如图， ∵F，G分别是边的中点， ∴， ∵E，H分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵点P是对角线的中点，点M是的中点，点N是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点G，如图， 则，， ∴， ∴， ∴的周长为，面积为 故答案为：；． 76．【猜想结论】如图，在中，点分别是边的中点，可以根据度量或目测猜想结论：，且． 结论的符号语言：如图 ∵点是的中点， ∴，且．    【验证结论】（）如图，下面是小丽同学的部分证法． 证明：延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴≌（）， ∴，， ∴， ……（请将剩下的过程补充完整）． 【应用结论】（）如图，在四边形中，点分别为边的中点，顺次连结四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 【答案】（1）补充见解析；（2）证明见解析 【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． （）根据题意补充证明过程即可； （）连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证； 【详解】解：（）补充过程如下： ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （）连接， ∵点分别为边的中点，    ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 题型二十 梯形 77．如图，在中，平分交于点，过作，交于点．试问： (1)四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由． (2)若，四边形是什么图形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰梯形，证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、等腰梯形的判定等知识． （1）首先证明四边形为平行四边形，再等量代换得到即可得到四边形为菱形； （2）由，是等边三角形，进而可得，由此可得四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：如下图所示∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． 78．如图，直角梯形中，，，，，则梯形的面积为____． 【答案】 【分析】过点作于点，根据矩形的判定与性质可得，，进而求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 由勾股定理得， ∴， ∴梯形的面积为： ． 79．如图，梯形中，，，，对角线与相交于点，且，那么________度．    【答案】105 【分析】作于，于，根据等腰直角三角形的性质用表示出及的长，由勾股定理及含30度直角三角形的性质求出的度数，根据三角形内角和等于得出的度数即可． 【详解】解：如图，作于，于， 在中， ，， ， ，， ． 又， ， ， ， ， ． 故答案为：105．    【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质、勾股定理及等腰三角形的判定，难度一般，关键是巧妙作辅助线进行解答． 80．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示． (1)在这个变化中，自变量是 ； (2)当点运动的路程时，的面积为 ； (3)求的长和梯形的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查动点问题的函数图象解读，自变量的概念，函数图象与几何图形的关系，以及直角梯形的面积计算． （1）根据函数的定义和自变量的概念即可得到答案． （2）根据函数图象与几何图形的关系，找到时，对应的值即为答案． （3）根据函数图象与几何图形的关系，得到，，继而根据直角梯形的面积计算公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点运动的路程为，的面积为， ∴根据图象可知，的面积是关于点运动的路程的函数， ∴自变量为， 故答案为：； （2）解：根据图象可知，点运动的路程时，的面积为， 故答案为：； （3）解：根据图象可得：，此时为， ∴，即，解得：， 由图象可得：， 则． 基础巩固通关测 1．（2026·河北保定·二模）如图，将沿虚线剪去一个角后，得到四边形，则裁剪前后（     ） A．面积不变 B．周长变小 C．外角和变大 D．外角和变小 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积，构成三角形的三边关系，多边形的外角．结合有关知识对选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A，裁剪后的图形减少了一个小三角形的面积，故裁剪后的面积变小了，所以选项A不符合题意； 选项B，如图，裁剪后四边形的周长为，故裁剪后的周长变小了，所以选项B符合题意； 因为任意四边形的外角和均为，故裁剪前后图形的外角和不变，所以选项C，D不符合题意． 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是（    ） A．18米 B．24米 C．34米 D．36米 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的中点分别为点， ∴是的中位线， ∵米， ∴米． 3．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴． 5．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当增大时，则的度数（    ） A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】根据菱形的对角线平分对角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，平分， ∴， ∵增大， ∴增大． 6．（2026·河北邢台·一模）如图，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点交于点，已知与的度数之比为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，再根据三角形的内角和定理求出，即可． 【详解】解：由题意，设，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，平行线的性质，根据菱形的性质得，由可得． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8．（2025·山东临沂·二模）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：A． 9．（2026·河北邯郸·一模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，、为支撑架，为拉杆，D，E分别是、的中点．已知，则B、C两点之间的距离为______． 【答案】60 【分析】连接，根据三角形中位线定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵D，E分别是、的中点， ∴， ∵， ∴， 即B、C两点之间的距离为． 10．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，的对角线，相交于点O．若，且的周长比的周长短4，则______． 【答案】6 【分析】证明，再利用周长差建立方程求解即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， ． 的周长比的周长短4， ， ， ． 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________． 【答案】6 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据垂直平分线的性质可知的周长． 【详解】解：∵的周长为， ∴， 由题意可得：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长． 12．（15-16九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则______．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转问题，勾股定理．根据正方形的性质以及旋转的性质可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 故答案为： 13．（2014七年级·江苏·期中）如图，五边形中，，分别是的外角，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：延长，，如图： ， ∵， ∴， 根据多边形的外角和定理可得， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 【答案】3 【分析】本题考查多边形，理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键． 据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出符合条件的点D的位置即可． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知， 所有符合条件的点D共有3个，即图形中的， 故答案为：3 15．（25-26八年级下·河北保定·期中）已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求的值． 【答案】(1)这个多边形的内角和为900° (2)的值为8 【分析】（1）由内角和公式直接计算即可； （2）根据任何多边形的外角和为360度，可以先求出所求多边形的内角和，再用内角和公式列方程即可求出该多边形的边数． 【详解】（1）解：当时，多边形内角和为： 则这个多边形的内角和为900° （2）解：由题意得， 解得， 则的值为8． 16．（2026·河北沧州·二模）如图．正方形的顶点坐标分别为，，直线经过，两点． (1)求直线的解析式； (2)直线经过点，并与直线交于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）得到点的坐标为，再利用待定系数法求解析式即可； （2）把点代入可得，再求交点即可． 【详解】（1）解：∵正方形的顶点坐标分别为，， ∴，轴， 点的坐标为， 设直线的解析式为，把及，代入， 得，解得， 直线的解析式为； （2）由题意知：， ∴点的坐标为， 把，代入，得， 直线的解析式为， 联立得，解得， 点的坐标为． 17．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 【答案】(1)6，4 (2) 【分析】（1）由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）设，由勾股定理可得，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到， ∴．， ∴在中，， ∴． （2）解：设， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴． 18．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． (1)求证：； (2)若，则的度数为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是关键． （1）由菱形的性质可得，，结合，，可证明，则； （2）由三角形内角和定理可得，结合，则．根据菱形的邻角互补的性质可得，作差求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 19．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合． (1)旋转中心是___________，旋转角度最小为___________； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)点， (2)等腰直角三角形，见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质以及等腰直角三角形的判定定理． （1）因为经逆时针旋转后能与重合，根据旋转的性质，旋转中心是两个三角形的公共点，旋转角度最小为； （2）因为四边形是正方形，所以，根据旋转的性质，可得，，从而得到是等腰直角三角形． 【详解】（1）经逆时针旋转后能与重合， 旋转中心是点，旋转角度最小为， 故答案为：点，； （2）是等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ， 绕点逆时针旋转后能与重合， ，， 是等腰直角三角形． 20．（24-25八年级下·河北承德·期末）【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F，G，．求证：． 【答案】中位线定理：；应用：；拓展：证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． 三角形中位线定理：根据三角形中位线定理即可得到结论； 应用：连接，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； 拓展：取的中点H，连接，则分别是的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：【三角形中位线定理】； 理由：∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 【应用】连接，如图所示， ∵E、F分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【拓展】证明：取的中点H，连接． ∵M、H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴且， 同理可得且． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 能力提升进阶练 21．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，是对角线，添加下列选项中的一个条件，不能判定平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，是对角线， ， ， ∵， ∴， ， ， ， 故平行四边形为矩形，故选项A能判定，不符合题意；     ， 故平行四边形为矩形，故选项B能判定，不符合题意； ， 故平行四边形为菱形，故C不能判定，符合题意； ， ， 故平行四边形为矩形，故选项D能判定，不符合题意． 22．（2020·河北·模拟预测）在菱形中，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 23．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，平行四边形纸片，，，面积为，将其沿对角线折叠，使点落在点处，与边交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，，垂足分别为，，则，证明四边形是矩形，则，由题意得，求得，在中，通过勾股定理得，由折叠性质知，所以，则，设，则，，再通过得，即，求出的值即可． 【详解】解：作，，垂足分别为，，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得， ∴， 在中，， ∵， ∴， 由折叠性质知， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴的长为． 24．（2026·河北邢台·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴负半轴，轴正半轴上，点在直线上，直线分别交轴，轴于点，将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】首先将点的坐标代入直线的解析式求出的值，确定直线的方程；然后过点作轴的垂线，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求出点的坐标；最后根据平移规律表示出平移后点的坐标，代入直线的解析式即可求出的值． 【详解】解：将点代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∵四边形正方形 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵A在轴负半轴 ∴， ∴， ∴， ∴， 将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点的对应点的坐标为， ∵点落在直线上， ∴， 解得． 25．（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）如图，中，，，对角线、相交于点，点、、、分别是、、、的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，其他条件不变，则四边形为菱形 C．四边形是菱形 D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定及三角形中位线可直接进行排除选项． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点、、、分别是、、、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 当时，， ∴， ∴四边形为菱形，故B正确； 当时，， ∴，故A错误； ∴四边形不是菱形，故C错误； ∵四边形是平行四边形， ∴与不一定垂直，故D错误． 26．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图 ，在边长为2的正方形中，点分别在边和上（均不与点重合），分别平分和．关于结论①，②，下列判断正确的是（    ） 结论①：点到的距离为2； 结论②：． A．结论①，②均正确 B．结论①，②均不正确 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 【答案】A 【分析】本题考查几何综合，涉及角平分线的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记正方形性质、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 过点作于点，如图所示，由角平分线的性质直接求证即可得到①正确；再由两个三角形全等的判定与性质得到、，数形结合表示出即可得到②正确． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 在正方形中，，， 平分，，， ， 故①正确； 分别平分和， ，， 在和中， ， ； 同理可证， ； ， 故②正确； 综上所述，结论①，②均正确， 故选：A． 27．（25-26八年级上·河北唐山·期中）我们知道，正方形具有“四条边都相等，四个内角都是直角”的性质．如图，在中，，分别以，，为边，在的同侧作正方形，，．若图中两块阴影部分的面积分别记为，，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定及其性质，掌握知识点的应用是解题的关键．过点作于点，令与交于点，与交于点，则，根据已知条件证明，继而由全等三角形的性质得，，，再由全等三角形的判定可得，进而可得，由正方形的性质和全等三角形的判定可知，继而可得，等量代换即可求解． 【详解】解：过点作于点，令与交于点，与交于点，则， 由题意可知：四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 28．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，在正方形中，O为对角线的中点，E为正方形内一点，连接；， 连接并延长， 与的平分线交于点F， 连接， 若， 则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】连接，根据正方形得到，，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得，再证明，求得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵O为对角线的中点， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得是解题的关键． 29．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 【答案】10 【分析】由平行四边形性质可得，，，即是中点，从而可得是中位线，所以，求得，然后求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴是中点， ∵点是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴的周长是． 30．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在一个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则阴影部分的周长为_____m． 【答案】 【分析】结合图形可知线段是的中位线，则有，即可求出阴影部分的周长． 【详解】解：由图可知，，， 点、分别为线段、的中点， ， 阴影部分的周长（）． 31．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在正方形中，，与交于点O，E，F分别为边，上的点（点E，F不与线段，的端点重合），，连接，，．关于以下三个结论，正确的有：______． 结论①：始终是等腰直角三角形； 结论②：面积的最小值是2； 结论③：四边形OECF的面积始终是8． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． ①由题意易证得，则可证得结论①正确； ②由的最小值是到的距离，即可求得的最小值2，根据三角形面积公式即可判断选项②正确； ③由，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项③正确． 【详解】解：四边形是正方形，，相交于点， ，， 在和中 ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； 故①正确； 当时，最小，此时， 面积的最小值是， 故②正确； ， ， 故③错误； 故答案为：①②． 32．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，在平行四边形中，点M是的中点，点P是线段上任意一点．若，，，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，连接，过点A作于点H，过点M作交的延长线于点则四边形是矩形．先根据勾股定理和平行四边形的性质得出，，，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，连接，过点A作于点H，过点M作交的延长线于点则四边形是矩形． 四边形是平行四边形， ， ∵在中，，， ∴， ∴， 是的中点， ∴， ∴， 四边形是矩形， ∴，， ∴， 当点P与B重合时，的值最大，的最大值为： ． 故答案为：． 33．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在菱形中，过对角线上任一点P，作，，下列结论正确的是_______．（填序号） ①图中共有3个菱形； ②； ③四边形的面积一定等于四边形面积的2倍； ④四边形的周长等于四边形的周长． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判与性质通过分析图形中的各个四边形和三角形，判断各结论的正确性即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， 同理四边形是菱形， ∴图中有3个菱形，菱形、菱形、菱形，故①正确； ∴，，又， ∴，故②正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形和菱形等高， ∴要使四边形的面积等于四边形面积的2倍， 则需要，故③错误； ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 同理， ∴四边形的周长四边形的周长，故④正确； 故答案为：①②④． 34．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平行四边形中，在上截取，分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，连接，．若，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，过点D作，垂足为点，连接，设，交于点，由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，则，，再证明，得到，则可证明，进而证明四边形是菱形，则，，利用勾股定理可得．利用等面积法可得，由勾股定理可得，则，即可得到． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为点，连接，设，交于点． 由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线， ∴，， ， 由平行四边形的性质可得， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ． ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵ ∴， ， 故答案为：． 35．（25-26八年级下·河北衡水·阶段检测）如图，已知平行四边形，是的平分线，交于点E． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)55° 【分析】（1）由平行四边形和平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，等量代换可得，即可得出； （2）由平行四边形和平行线的性质得出，利用（1）中结论通过等量代换得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可得，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 36．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，，平分交于点．点为的中点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，时，求的长； (3)若四边形为菱形，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一定理可知点是的中点，又因为点为的中点，可知是的中位线，所以，又因为，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； （2）根据勾股定理可以求出，根据三角形中位线定理可知，根据平行四边形的性质可知，根据线段之间的关系可以求出的长度； （3）根据四边形为菱形，可知，从而可知，根据三角形内角和定理可以求出． 【详解】（1）证明：，平分交于点， ， 点是的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知， ，平分交于点， ， ， ， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ； （3）解：若四边形为菱形， 则， 又， ， ， ， ． 37．（2026·山西忻州·一模）阅读与思考 下面是小林数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 底角互余梯形 概念理解： 如图1，在四边形中，，，则四边形称为底角互余梯形 性质分析： 从“角”的角度分析：①两下底角互余，即；②两上底角相加等于，即；③夹边为腰的两邻角互补，即，． 从“边”的角度分析：①上底和下底平行，即；②两腰的平方和等于上底与下底之差的平方，即． 从“特殊点”分析：…… 性质求证： 在图1中，四边形是底角互余梯形，求证：． 证明：如图2，过点A作的平行线，交于点E， 又，∴四边形是平行四边形． …… 问题解决： (1)补全笔记中的证明过程． (2)拓展探究：如图3，四边形是底角互余梯形，若，． ①尺规作图：作底角互余梯形两底边中点的连线，其中，M是的中点，N是的中点； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①画图见解析；② 【分析】1）过点A作的平行线，交于点E，证明四边形是平行四边形，，再利用勾股定理求解即可； （2）①延长和交于点P，作出线段的垂直平分线得到的中点，连接交于点M，即为所求线段； ②利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：过点A作的平行线，交于点E， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，即； （2）解：①如答图，即为所求线段； ②如图，记的延长线与的延长线的交点为P， ∵四边形是底角互余梯形， ∴， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴． 38．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；同时点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． (1)直接写出边的长为_____； (2)当四边形是矩形时，求的值； (3)在点运动过程中，当是等腰三角形时，求的值； 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或3或； 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，注意分情况讨论等腰三角形的三种情形是解题的关键． （1）过点B作于点H，证明四边形是矩形，求得，，再根据勾股定理求解即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分，，三种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点H， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，． 故答案为：． （2）解：，，， 当四边形是矩形时，， ， 解得； （3）解：当时， ， ， ， ； 当时，； 当时，，， 在中，， ， 解得； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为3或或； 39．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：． （1）根据以上信息，填空：① ° ； ②线段之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）45； （2），理由见解析 （3）2.5 【分析】（1）根据正方形的性质得，再根据旋转得，可知点G，B，E共线，即可说明，然后根据“边角边”证明，可得答案； （2）在上截取，连接，根据“边角边”可得， 接下来说明，即可得出答案； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，先根据正方形的性质及勾股定理求出，进而求出，再根据旋转的性质得，即可说明，得，然后设，则，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴． 将绕点A旋转，点D与点B重合，得到， 则， ∴点G，B，E共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45；； （2），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 由旋转，得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 40．（2026·河北石家庄·二模）【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)【探究】问题1：在中，______； (2)问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） (3)【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； (4)问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 【答案】(1)135 (2) (3) (4)当时，的长最小，长的最小值是 【分析】（1）根据平行四边形对平行的性质即可求解． （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可． （3）连接交于P，根据平行四边形的性质得到，即点P是的中点，过D作于H，于E，根据三角形的中位线的性质得到，，根据已知条件得到，解直角三角形即可得到结论． （4）（2）由题意得，，，于是得到，当时，的长最小，过D作于H，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：略； （3）解：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ，即点是的中点， 过作于，于， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：由题意得，，， ， ， 当时，的长最小， 过作于， 由问题3求得， ， ， ， ， ， ， 长的最小值是． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $