第二十一章 四边形（知识清单）数学新教材冀教版八年级下册

该初中数学《四边形》单元知识清单系统梳理了多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形中位线及梯形等核心内容，构建了从概念定义到性质判定再到综合应用的递进式学习支架。 清单以分类梳理和易错点标注为特色，如明确多边形内角和公式与外角和区别，通过表格呈现平行四边形、特殊平行四边形的性质与判定，培养学生的几何直观和推理意识。设计“注意”提示和典型例题解析，帮助学生规避错误，不同基础学生可高效自主复习，教师能精准把握教学重难点，提升课堂实效。

第二十一章 四边形 知识点01 多边形 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做 . 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做 . 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做 ，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做 . 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做 . 【注意】 1、多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2、把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3、多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形注意点 1、正n边形有n条对称轴． 2、对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为 . 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于 ，与边数的多少没有关系. 知识点02 平行四边形 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别 的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别 的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边 的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别 的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相 的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 知识点03 矩形 矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 矩形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的 是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是 的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 知识点04 菱形 菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相 ，且每一条对角线 一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 菱形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 边 四条边 的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边 的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线 的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 知识点05 正方形 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是 ，四条边都 ，对边 . 2、正方形的两条对角线 ，并且互相 ，每条对角线平分一组对角. 【注意】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的 是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的 是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的 是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的 是正方形 知识点06 三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做 。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点07 梯形 梯形的概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 要点：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 等腰梯形的概念与性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 要点：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 梯形的中位线 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 一、多边形 1.内角和外角和公式记错 错误：n 边形内角和公式记错，外角和记成随边数变化； 注意：多边形内角和公式：(n-2)×180°，任意多边形外角和 = 360°（与边数无关）； 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）一个多边形被截去一个角后，其内角和为，求原多边形的边数．以下是甲、乙、丙三位同学的说法． 甲：边数可以为6；乙：边数可以为7；丙：边数可以为9； 以上说法正确的是（   ） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙、丙都正确 D．只有甲、乙正确 2.n 边形对角线条数 错误：写成 n (n-1)/2（当成线段总数） 忘记除以 2 注意：公式：n(n-3)/2 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）一个多边形共有20条对角线，设这个多边形的边数为n，下列结论错误的是（    ） A．过多边形的一个顶点的对角线有条 B．用n表示多边形对角线的总条数为 C．依题意可得方程 D． 3.“截去一个角后，边数怎么变” 错误：一律认为少 1 条 注意：不过顶点：边数 +1；过一个顶点：边数不变；过两个顶点：边数 -1 3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是（　　） A．9 B．10 C．8或9或10 D．9或10或11 二、平行四边形 1.平行四边形的概念错误 错误：只说 “一组对边平行” 就当成平行四边形； 注意：两组对边平行即可证明是平行四边形； 4．（25-26八年级上·全国·单元复习）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 2.平行四边形的性质 错误：记混平行四边形的性质，以为对角线相等（那是矩形） 以为对角线互相垂直（那是菱形） 以为四个角都是直角（那是矩形） 注意：对边平行且相等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 5．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， (1)求的度数； (2)求平行四边形的周长． 3.平行四边形的判定 错误：记错平行四边形的判定定理； 注意：两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 6．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平行四边形中，、分别是，边上的中点，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，求的长． 三、特殊的平行四边形 1.矩形 错误：矩形的判定与性质不会运用 注意：矩形常考的一个点在于对角线相等，学生考试时容易犯错； 7．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，D，E，F分别是的边，的中点． (1)求证：与互相平分． (2)当满足___________时，四边形是矩形． 2.菱形 错误：菱形的判定与性质不会运用 注意：菱形常考的一个点在于对角线垂直且平分，和菱形的面积计算问题 8．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． (1)求证：； (2)若，则的度数为__________． 3.正方形 错误：正方形的判定与性质不会运用 注意：正方形是矩形、菱形结合的一个图形，具有矩形、菱形的所有性质，在做题时要注意正方形的对称性； 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形是正方形，延长到点F，使，连结，求的度数． 四、三角形中位线 1.遇到中点不知道如何添加辅助线 错误：遇到中点不知道该做哪条辅助线； 注意：优先找到三角形，从这个三角形里边找到一个中点，看看组成的三角形的中位线能不能解决问题 10．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 五、梯形 1.梯形的性质 错误：易混淆梯形与平行四边形定义，误把一组对边平行当作等腰梯形条件；求腰长时常漏高构造直角三角形，上下底分辨出错导致列式失误。 注意：牢记只有一组对边平行才是梯形，等腰梯形优先作高转化直角三角形；做题先标注上下底，区分腰与底边，活用边角等量关系解题。 11．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块四边形的劳动教育基地，如图，量得，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 1．（2026·河北唐山·二模）下列哪一组度数可以作为一个三角形的三个外角（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）阅读如下证明过程： 如图，在四边形中，对角线，交于点，，， 求证：四边形是菱形． 证明：，， 垂直平分，……（结论①） ，，……（结论②） ∴四边形是菱形． 对于该题目及证明过程，下列说法正确的是（    ） A．证明过程中结论①错误 B．证明过程中结论②错误 C．该证明过程严谨，结论正确 D．该题目需要补充条件，才能完成证明 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图所示，在直角梯形中，，，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河北保定·期中）一个零件的形状如图所示，按照规定，所在直线和所在直线的夹角为的零件为合格零件．要检验该零件是否合格，有以下两种方案．甲：只需测量出和的度数；乙：量出和的度数也可以检验该零件是否合格．则两人的方案（）． A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 5．（25-26八年级下·河北保定·期中）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的边长是2，，则（    ） A． B． C． D．4 6．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接并延长至点，连接．有下列条件：①；②；③．要使四边形为平行四边形，可以增加的一个条件是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或②或③ 7．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，M，N是对角线上不重合的两个点，且．当改变点M，N位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是（   ） A．总是矩形 B．总是菱形 C．中不可能存在 D．中可能存在 8．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 9．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）某校举办的科技节活动中，“纸牌承重”项目受到同学们的广泛关注．琪琪所在小组用若干张图1中的纸牌无缝隙、无叠合搭建成可承重的两条桌腿，制成如图2所示的“纸牌承重桌”（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计），“纸牌承重桌”的高度为______． 10．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，图形M与图形N可以无缝拼接成一个平行四边形，则图中的度数是________． 11．（25-26八年级上·河北衡水·开学考试）如图，在中，点E、F分别是边和边的中点，点D是线段上一点，且，若，则的长为_________． 12．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，平行四边形的对角线交于点为边上的动点（不与点重合），连接并延长交于点，图中三个阴影部分①、②、③的面积分别为，则之间的数量关系为___________． 13．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，平行四边形中，，，将沿对角线折叠，使点落在平面上处．若，则长为______． 14．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，在中，，，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是______． 15．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 16．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．求证：． 17．（25-26八年级下·河北雄安·期中）在中，过点作于点，点在边上，且．连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，平分，，求的长． 18．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）在一节数学活动课上，王老师在黑板上画出了一个四边形，如图1，，．并提出问题：利用尺规作图作出，交于点E．经过同学们分组讨论，展示了下面甲、乙两组的作图：    解答下面问题： (1)请你分别判断甲组、乙组的做法是否正确？ (2)请从（1）中任选一个你作出的判断，通过推理，说明你判断的理由； (3)请你用不同于甲组和乙组的方法，在图1中，用尺规作图作出，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． (1)如图2，求证：； (2)请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 20．（25-26八年级下·河北唐山·阶段检测）如图1，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点． (1)求证：=； (2)如图2，已知，，，∠=∠． ①当为多少度时，？ ②在①的条件下，连接，直接写出的周长 ． 21．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 22．（25-26八年级上·河北保定·期末）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 知识点01 多边形 多边形的相关概念： 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. 多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 【注意】 1、多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2、把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线； 3、多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形注意点 1、正n边形有n条对称轴． 2、对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称中心是多边形的中心. 多边形内角和定理 多边形内角和定理：n边形的内角和为. 多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系. 知识点02 平行四边形 平行四边形的性质定理 性质 符号语言 图示 边 平行四边形两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 平行四边形对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 定义 一组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形 边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形 知识点03 矩形 矩形的性质定理： 性质 符号语言 图示 边 两组对边平行且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 矩形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 知识点04 菱形 菱形的性质定理 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 菱形的判定定理 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 知识点05 正方形 正方形的性质： 1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【注意】 1、正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 2、一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°. 3、两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 4、正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半. 正方形的判定： 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 知识点06 三角形的中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点07 梯形 梯形的概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 要点：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 等腰梯形的概念与性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 要点：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 梯形的中位线 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 一、多边形 1.内角和外角和公式记错 错误：n 边形内角和公式记错，外角和记成随边数变化； 注意：多边形内角和公式：(n-2)×180°，任意多边形外角和 = 360°（与边数无关）； 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）一个多边形被截去一个角后，其内角和为，求原多边形的边数．以下是甲、乙、丙三位同学的说法． 甲：边数可以为6；乙：边数可以为7；丙：边数可以为9； 以上说法正确的是（   ） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙、丙都正确 D．只有甲、乙正确 【答案】D 【分析】本题主要考查截多边形，多边形内角和定理，原多边形被截去一个角后，边数可能减少1、不变或增加1，截后的多边形内角和为，可求出其边数为7，由此推断原多边形的边数可能为6、7或8，分别验证甲、乙、丙的说法是否成立即可． 【详解】解：设截后多边形的边数为，根据内角和公式：， 解得，， ∴截后的多边形为7边形， ∵截去一个角后，原多边形的边数（的正整数）可能变为、或， ∴原多边形的边数可能为6、7或8， 综上，只有甲、乙正确， 故选：D． 2.n 边形对角线条数 错误：写成 n (n-1)/2（当成线段总数） 忘记除以 2 注意：公式：n(n-3)/2 2．（25-26九年级上·河北唐山·期中）一个多边形共有20条对角线，设这个多边形的边数为n，下列结论错误的是（    ） A．过多边形的一个顶点的对角线有条 B．用n表示多边形对角线的总条数为 C．依题意可得方程 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数问题，过n边形的一个顶点可以引条对角线，那么n边形一共有条对角线，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、过多边形的一个顶点的对角线有条，原说法正确，不符合题意； B、用n表示多边形对角线的总条数为，原说法错误，符合题意； C、依题意可得方程，原说法正确，不符合题意； D、解C选项中的方程可得，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 3.“截去一个角后，边数怎么变” 错误：一律认为少 1 条 注意：不过顶点：边数 +1；过一个顶点：边数不变；过两个顶点：边数 -1 3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是（　　） A．9 B．10 C．8或9或10 D．9或10或11 【答案】D 【分析】首先求得内角和为1440°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为1440°的多边形的边数是n，则（n-2）•180=1440， 解得：n=10． ∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1， ∴原多边形的边数是9或10或11． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，求出原来多边形的边数是关键． 二、平行四边形 1.平行四边形的概念错误 错误：只说 “一组对边平行” 就当成平行四边形； 注意：两组对边平行即可证明是平行四边形； 4．（25-26八年级上·全国·单元复习）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A．两组对边分别相等 B．一组对边平行且另一组对边相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理判断各选项是否成立即可． 【详解】解：∵ 平行四边形的判定定理：两组对边分别平行（选项C）、两组对边分别相等（选项A）、一组对边平行且相等（选项D）均能判定平行四边形； 而选项B：一组对边平行且另一组对边相等，不能判定平行四边形（如等腰梯形满足此条件但非平行四边形）． ∴ 不能判定四边形为平行四边形的是B． 故选B． 2.平行四边形的性质 错误：记混平行四边形的性质，以为对角线相等（那是矩形） 以为对角线互相垂直（那是菱形） 以为四个角都是直角（那是矩形） 注意：对边平行且相等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 5．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图所示，在平行四边形中，于E，于F，，，， (1)求的度数； (2)求平行四边形的周长． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，直角三角形的性质： （1）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由，，可得，即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，在和中，根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中，， ∴， ∵，， ∴， ∴平行四边形的周长为． 3.平行四边形的判定 错误：记错平行四边形的判定定理； 注意：两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 6．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平行四边形中，、分别是，边上的中点，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，然后得到，即可得结论； （2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到，进而，再利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 、分别是，边上的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，平行线的性质， 等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． 三、特殊的平行四边形 1.矩形 错误：矩形的判定与性质不会运用 注意：矩形常考的一个点在于对角线相等，学生考试时容易犯错； 7．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，D，E，F分别是的边，的中点． (1)求证：与互相平分． (2)当满足___________时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的中位线定理，得出，进而得出四边形是平行四边形，即可求证与互相平分； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得当满足时，四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵、、分别是边、、的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． （2）解：当满足时，四边形是矩形， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 2.菱形 错误：菱形的判定与性质不会运用 注意：菱形常考的一个点在于对角线垂直且平分，和菱形的面积计算问题 8．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． (1)求证：； (2)若，则的度数为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是关键． （1）由菱形的性质可得，，结合，，可证明，则； （2）由三角形内角和定理可得，结合，则．根据菱形的邻角互补的性质可得，作差求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 3.正方形 错误：正方形的判定与性质不会运用 注意：正方形是矩形、菱形结合的一个图形，具有矩形、菱形的所有性质，在做题时要注意正方形的对称性； 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形是正方形，延长到点F，使，连结，求的度数． 【答案】 【分析】本题考场正方形的性质，等边对等角，根据正方形的性质，得到，等边对等角，求出，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、三角形中位线 1.遇到中点不知道如何添加辅助线 错误：遇到中点不知道该做哪条辅助线； 注意：优先找到三角形，从这个三角形里边找到一个中点，看看组成的三角形的中位线能不能解决问题 10．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，及分别是的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形 (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． （1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据三角形的中位线的性质即可得证； 【详解】（1）∵是的中点， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 （2）∵及分别是的中点， ∴是的中位线 ∴ 五、梯形 1.梯形的性质 错误：易混淆梯形与平行四边形定义，误把一组对边平行当作等腰梯形条件；求腰长时常漏高构造直角三角形，上下底分辨出错导致列式失误。 注意：牢记只有一组对边平行才是梯形，等腰梯形优先作高转化直角三角形；做题先标注上下底，区分腰与底边，活用边角等量关系解题。 11．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）为构建“五育并举”的教育体系，培育德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，某学校在校园内开辟了一块四边形的劳动教育基地，如图，量得，，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是梯形，理由见解析 (2) 【分析】（1）证明，且与不平行，即可判断四边形是梯形； （2）作于点E，作于点F．在求出，，得出．在求出，，得出，然后根据梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 同理可求：， ∴， ∴， ∵， ∴与不平行， ∴四边形只有一组对边平行， ∴四边形是梯形； （2）解：如图，作于点E，作于点F． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 1．（2026·河北唐山·二模）下列哪一组度数可以作为一个三角形的三个外角（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】利用三角形外角和为的性质，计算各选项三个角度数的和，和为即为符合要求的选项． 【详解】解：A选项： ，不符合要求． B选项： ，不符合要求． C选项： ，不符合要求． D选项： ，符合要求． 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）阅读如下证明过程： 如图，在四边形中，对角线，交于点，，， 求证：四边形是菱形． 证明：，， 垂直平分，……（结论①） ，，……（结论②） ∴四边形是菱形． 对于该题目及证明过程，下列说法正确的是（    ） A．证明过程中结论①错误 B．证明过程中结论②错误 C．该证明过程严谨，结论正确 D．该题目需要补充条件，才能完成证明 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，结合菱形的判定即可求解． 【详解】解：证明：∵， 垂直平分（线段垂直平分线的定义）， ∴（线段垂直平分线的性质）， 由题目条件无法证明四边形是菱形， 综上可知，结论①和②正确，故A，B不符合题意； 该证明过程不严谨，结论不正确，故C不符合题意； 该题目需要补充条件，才能完成证明．故D符合题意． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图所示，在直角梯形中，，，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，证明四边形是矩形，求出，利用等角对等边求出，再利用线段和差求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·河北保定·期中）一个零件的形状如图所示，按照规定，所在直线和所在直线的夹角为的零件为合格零件．要检验该零件是否合格，有以下两种方案．甲：只需测量出和的度数；乙：量出和的度数也可以检验该零件是否合格．则两人的方案（）． A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理和四边形内角和定理即可判断． 【详解】解：如图，延长，交于点， 甲：测量出和的度数，则，则甲的方案正确； 乙：量出和的度数， ∵， ∴， ∴ ， ∴乙的方案正确； 综上：甲、乙均对． 5．（25-26八年级下·河北保定·期中）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的边长是2，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据，得到，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． 6．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接并延长至点，连接．有下列条件：①；②；③．要使四边形为平行四边形，可以增加的一个条件是（   ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或②或③ 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定条件分析即可； 【详解】， ， ， 当时，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形； 当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形为平行四边形． 7．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，M，N是对角线上不重合的两个点，且．当改变点M，N位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是（   ） A．总是矩形 B．总是菱形 C．中不可能存在 D．中可能存在 【答案】B 【分析】连接交于点O，根据菱形的性质可得四边形是菱形，当时，菱形是正方形，则．据此判断即可． 【详解】解：如图，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， 当时，菱形是正方形，则． 8．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则． 【详解】解：由旋转得， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 故选：A． 9．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）某校举办的科技节活动中，“纸牌承重”项目受到同学们的广泛关注．琪琪所在小组用若干张图1中的纸牌无缝隙、无叠合搭建成可承重的两条桌腿，制成如图2所示的“纸牌承重桌”（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计），“纸牌承重桌”的高度为______． 【答案】 【分析】如图，连接，根据题意，得到是等边三角形，边长都为，进而得到四边形是菱形，推出，即“纸牌承重桌”的高度为的长度，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意，是等边三角形，边长都为， 四边形是菱形， ， ， ，即“纸牌承重桌”的高度为的长度， ． 10．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，图形M与图形N可以无缝拼接成一个平行四边形，则图中的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，熟练掌握多边形内角和的计算公式是解题的关键．先根据求得，然后根据多边形内角和公式求得图形N的内角和，从而得到的度数，最后根据平角的定义再进一步求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，， ∵， ∴ ∵图形是五边形， ∴图形的内角和为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·河北衡水·开学考试）如图，在中，点E、F分别是边和边的中点，点D是线段上一点，且，若，则的长为_________． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据三角形中位线的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，进而即可求出答案． 【详解】解：∵点E、F分别是边和边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点F是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：1． 12．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，平行四边形的对角线交于点为边上的动点（不与点重合），连接并延长交于点，图中三个阴影部分①、②、③的面积分别为，则之间的数量关系为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，由平行四边形的性质得，，，可得，由判定，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， （）， ， ． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，平行四边形中，，，将沿对角线折叠，使点落在平面上处．若，则长为______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理．由平行四边形和折叠得到，，，过作于，过作于，再证明，得到，，即可得到，四边形是矩形，，设，则，，再在和中，利用勾股定理得到，代入列方程求解即可． 【详解】解：过作于，过作于，则， ∵中，，， ∴，，， ∴， ∵将沿对角线折叠， ∴，，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，在中，，，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理捏定理，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键．连接，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理逆定理求出，再根据三角形等面积法求出，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，最小， 当时，最小， 在中，∵，，，， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 解得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 【答案】 【分析】（1）如图所示，由三角形内角和定理得到，，结合对顶角相等、等腰三角形的判定与性质确定、、，代入得到关于的方程，求解即可得到，再由对称性质，在中，由两锐角互余求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由对称性得到,，，进而确定,，在中、中和中，由勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： 则，，， 由与关于对称，得到，则， 在正方形中，，则， ， ，即， 解得， 由与关于对称，得到， 在中，，，则； 故答案为：； （2）连接，如图所示： 由与关于对称，得到,，， 则,， 在中，由勾股定理可得, 点是中点， 设,则， 在中，由勾股定理可得,即， 解得， , 在等腰中，,,由勾股定理可得, 解得, 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、正方形性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等腰三角形的判定与性质、对称性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，准确构造辅助线求解是解决问题的关键． 16．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】由矩形的性质得到，，根据，推出四边形是平行四边形，因此，即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ． 17．（25-26八年级下·河北雄安·期中）在中，过点作于点，点在边上，且．连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，进而证明，，即可得证； （2）根据含度角的直角三角形的性质得出，根据平行线的性质以及角平分线的定义可得，则，结合，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 又， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2），，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 又， ． 18．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）在一节数学活动课上，王老师在黑板上画出了一个四边形，如图1，，．并提出问题：利用尺规作图作出，交于点E．经过同学们分组讨论，展示了下面甲、乙两组的作图：    解答下面问题： (1)请你分别判断甲组、乙组的做法是否正确？ (2)请从（1）中任选一个你作出的判断，通过推理，说明你判断的理由； (3)请你用不同于甲组和乙组的方法，在图1中，用尺规作图作出，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)甲组正确；乙组正确 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行四边形和矩形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质判断即可； （2）根据平行四边形和矩形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质证明即可； （3）利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可． 【详解】（1）解：甲组正确；乙组正确． （2）解：若选“甲组正确”， 理由：如题图所示，∵， ∴， ∴，即， 由甲组的尺规作图可知，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故甲组作法正确． 若选“乙组正确”， 理由：如图，连接，． 由乙组的尺规作图可知，． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故乙组作法正确．    （3）解：如图所示，．    19．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． (1)如图2，求证：； (2)请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 【答案】(1)证明见解析 (2)选①证明见解析；选②证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质得，进而可证，然后根据可证； （2）选①由对顶角相等得，由全等三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理可证； 选②由得，，然后根据三角形面积公式可证结论成立． 【详解】（1）证明：∵在正方形和正方形中，， ，即， ； （2）解：选①证明：设与交于点 ， ， 在和中， ∵， ， 在旋转过程中，的度数不变 选②证明：如图， ， ，， ， ， 在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 20．（25-26八年级下·河北唐山·阶段检测）如图1，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点． (1)求证：=； (2)如图2，已知，，，∠=∠． ①当为多少度时，？ ②在①的条件下，连接，直接写出的周长 ． 【答案】(1)见解析 (2)①当时，；② 【分析】(1)先证明，继而证明，可推导出，即可解答； (2)①先证明，推导出，再由，即可解答； ②先证明垂直平分，则，继而求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． （2）解：①∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴垂直平分． ∴． ∵在中，， ∴在中，． ∴的周长． 21．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质得，，再根据，得，根据平行四边形的判定即可得证； （2）①在中，由勾股定理得，进而得，从而即可得解；②过点作于，根据面积公式得，再证明（），得，从而利用面积公式即可得解． 【详解】（1）证明：连接交于． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②过点作于， ∵，，，， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 故答案为：． 22．（25-26八年级上·河北保定·期末）综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列方程是解决问题的关键． （1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质得，，，再设，则，由勾股定理列方程即可求解； （3）根据折叠的性质得出，再由长方形可得，则可得，设，则，由勾股定理列方程求解出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，, 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为． （3）解：由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $