专题04 多边形常考问题专训（专项训练）数学新教材冀教版八年级下册

**基本信息** 以多边形概念为起点，通过13类题型系统覆盖内角和、外角和、对角线等核心性质，结合实际应用与几何推理，构建从基础到综合的认知体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与分类|4题|凸多边形判断、正多边形辨析|从多边形定义到分类，建立几何直观| |截角问题|4题|截角后边数与内角和变化|体现图形变换中的空间观念| |内角和/外角和|12题|正多边形内角计算、内外角综合应用|从公式推导到实际情境应用，培养推理意识| |平面镶嵌|4题|正多边形组合镶嵌|结合生活实例，发展应用意识|

专题04 多边形常考问题专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、多边形的概念与分类 1 题型二、多边形截角后的边数问题 2 题型三、多边形的周长 3 题型四、网格中多边形面积比较 5 题型五、多边形对角线的问题 6 题型六、正多边形的相关概念 8 题型七、多边形的内角和问题 9 题型八、正多边形的内角和问题 11 题型九、多边形截角后的内角和问题 11 题型十、多边形的外角问题 11 题型十一、多边形外角和的实际应用 11 题型十二、多边形内角和与外角和的综合问题 11 题型十三、平面镶嵌 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、多边形的概念与分类 1．下列图形中，属于凸多边形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 4．如图，凸四边形，有两种剖分方法：（如图示）世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（表示凸边形的三角剖分数），请你用上面的公式计算______． 题型二、多边形截角后的边数问题 5．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 7．一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是______边形． 8．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 题型三、多边形的周长 9．如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 11．如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 12．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 题型四、网格中多边形面积比较 13．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 14．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 15．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形四个顶点坐标分别是，，，，四边形中任意一点，经平移后对应点为，将四边形作同样的平移得到四边形 ．    (1)请在图中画出四边形； (2)请写出四边形的顶点、坐标； (3)请求出四边形的面积． 题型五、多边形对角线的问题 17．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 18．从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 19．P表示凸边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P与的关系式是：(其中，a，b是常数，) （1）若，即四边形时，通过画图可得___(填数字)； （2）下列结论正确的是___________(填写正确的序号) ①若，则；②；③；④a与b的值不能确定． （2）由画图可得，当时，，故①错误； 将时，；时，，代入公式可得： 化简得： 20．请按要求完成填空与解答： 图形             … 边数 3 4 5 6 … 从一个顶点引出的对角线条数 0 1 2 __________ … ________ 三角形个数 1 2 3 __________ … ________ 内角和 __________ … (1)将上面表格中5处“_______”填写完整； (2)根据表中规律可发现，边形的内角和是_______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 题型六、正多边形的相关概念 21．如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 22．下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 23．从如图正九边形的顶点中选出个顶点连成钝角三角形，则不同的选法有_______种． 24．如图，六边形是正六边形，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，连接，画出一个以为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形上； (2)如图2，为边上一点，在边上找一点，使得． 题型七、多边形的内角和问题 25．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 26．大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________． 27．如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 28．阅读与思考请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 对余四边形【定义理解】 有一组对角互余的四边形叫作“对余四边形”，这组互余的角叫作“对余角”．如图1，在四边形中，，则四边形为对余四边形，和为对余角． 【问题解决】 问题1：若四边形为对余四边形，和为对余角，则__________°． 问题2：如图2，四边形为对余四边形，和为对余角，且，，连接．试证明． 证明：如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，． ， ，即． 又，， ． ，． …… 任务： (1)填空：问题1中，__________． (2)请补全问题2中的证明过程． (3)如图4，在中，，．作出以A，B，C，D为顶点的四边形，使得该四边形为对余四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 题型八、正多边形的内角和问题 29．如图，一组正多边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．    (1)将表格补充完整． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 (2)观察上面表格中的变化规律，与边数的关系为：____________． (3)根据规律，是否存在一个正多边形，其中的？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 30．阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等角准正多边形”的研究报告 勤思小组 研究对象：等角准正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其所有的各角都相等，且有两条边不等于其他相等的边，我们称这个凸多边形为等角准正多边形．如图1，我们学习过的矩形（正方形除外）就是等角准正四边形，类似地，还有等角准正六边形、等角准正八边形…… 【特例研究】根据等角准正多边形的定义，等角准正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果在六边形中，，且，那么六边形是等角准正六边形． 性质探索：根据定义，探索等角准正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等角准正六边形的每个内角均等于___________．每个外角均等于___________． 对角线．．．．．． 任务： (1)直接写出研究报告中空缺的内容：___________，___________． (2)在图2中，等角准正六边形的三组正对边与与与分别有什么位置关系？请证明你的结论． (3)如图3，已知八边形中，，，且．求证：八边形是等角准正八边形 31．如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题． (1)将表格补充完整． 正多边形的边数 3 4 5 6 α的度数 　   　 　   　 　   　 　   　 (2)观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 　 　． (3)根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝ 　 　． 32．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”是__________度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 题型九、多边形截角后的内角和问题 33．若一个多边形的内角和为，则将该多边形截去一个角后，剩下的多边形的内角和不可能为（    ） A． B． C． D． 34．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 35．如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为__________． 36．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 题型十、多边形的外角问题 37．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 38．如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数． 39．课本再现： 如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果． （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来． 类比迁移： （2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程． （3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______． 40．几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 题型十一、多边形外角和的实际应用 41．如图是甘肃平凉延恩寺塔，又名大明宝塔，始建于多年前的明弘治年间．从上面看该塔，得到的平面图形是八边形，该八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 42．图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图2是从左图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 43．中国乒乓球队运动员孙颖莎王楚钦在巴黎奥运会上获得我国首枚奥运混双金牌，它不仅再次印证了中国乒乓球的卓越实力，更是对国家荣誉的有力捍卫，对中华体育精神的生动诠释．图1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图2所示，则的度数是______． 44．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 题型十二、多边形内角和与外角和的综合问题 45．将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（    ）个这样的正五边形． A．5 B．6 C．7 D．8 46．如图是剪纸的一部分，是剪纸中正多边形的一角，测得，则这个正多边形有_____条边． 47．项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度．例如，一块四边形地块相邻两条道路和，我们需在外部设置绿化带或排水沟，与就是这两个外角区域的角平分线．工程师想知道在已知地块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角是多少？ 任务一  模型初探（发现规律） 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中是四边形的一组相邻外角，是相邻的两个内角． 问题1：测量或推导 (1)观察图①中与之间存在怎样的数量关系？写出理由； (2)观察图②中与之间存在怎样的数量关系？直接写出来； 任务二  应用建模 问题2：如图③，在四边形地块的外部，，分别是外角与的平分线． (3)已知地块的，请利用你发现的规律，求出的度数． 48．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探索研究四边形的某两个外角和与它们不相邻的内角之间的关系．已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论探究】 (1)如图，当，时，计算___________； 【结论推导】 (2)如图，观察猜想与之间的关系，并证明你的结论； 【结论应用】 若直线分别平分四边形的外角和． (3)如图，当直线时，试判断之间的数量关系是___________； (4)当，时，若直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点顺时针旋转，直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点逆时针旋转，两条直线同时出发，设旋转时间为（单位：），在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值．（写出个即可）． 题型十三、平面镶嵌 49．如图是用正方形和六边形两种材料铺成的地面的一部分，那么这种六边形材料最大的内角度数是（   ） A．90° B．120° C．135° D．150° 50．数学实践课上，某小组用两种边长相同的正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案中有一个顶点周围有1个正方形和a个正八边形，则a的值为______． 51．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖铺设，从里向外共铺了层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个多边形，若中央正六边形的地砖的边长为 ，则第层的外边界所围成的多边形的周长是______． 52．【综合与实践】中国镶嵌工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉代发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺中的镶嵌，传承着东方美学与匠心精神． (1)如图1，在中，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，其中，平移的距离是___________．同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是___________． (2)小徽家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小徽调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜30元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． （i）请问两种瓷砖每块各多少元？ （ii）小徽对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小徽的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少多少元？ 1．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）一个多边形的每一个外角都为，那么这个多边形的内角和是（    ）度 A．720 B．900 C．1080 D．1440 2．（2026·河北邢台·模拟预测）如图，点是正六边形边上一点，将正六边形沿折叠，使点的对应点落在对角线上，点的对应点落在处，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·二模）将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，，，则剪去的这个角的度数为（   ） A．或 B．或 C． D． 4．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26八年级下·河北保定·期中）已知，点P为内一点，点A为上一点，点B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为_______． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是_____． 7．（2025·江西·模拟预测）如图是两块平面镜，由点 发射出的光线经平面镜 反射后恰好经过点．若，则的度数为________． 8．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，用n个全等的正六边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正六边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正六边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为________． 9．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）已知边形的内角和为：． (1)五边形的内角和为____________； (2)已知一个边形的内角和是它的外角和的2倍，求的值； (3)一个边形的内角和可以是吗？如果可以，求出的值；如果不可以，请说明理由． 10．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 11．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，为外部一点，连接，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； (3)求． 12．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）在四边形中，． (1)如图1，若，则______度； (2)如图2，作的平分线交于点，若，求的度数； (3)如图3，作和的平分线交于点，求的度数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 多边形常考问题专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、多边形的概念与分类 1 题型二、多边形截角后的边数问题 2 题型三、多边形的周长 3 题型四、网格中多边形面积比较 5 题型五、多边形对角线的问题 6 题型六、正多边形的相关概念 8 题型七、多边形的内角和问题 9 题型八、正多边形的内角和问题 11 题型九、多边形截角后的内角和问题 11 题型十、多边形的外角问题 11 题型十一、多边形外角和的实际应用 11 题型十二、多边形内角和与外角和的综合问题 11 题型十三、平面镶嵌 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、多边形的概念与分类 1．下列图形中，属于凸多边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据凸多边形的定义判断，满足两点：一是多边形，各顶点首尾顺次相接；二是整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧． 【详解】解：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫作凸多边形， 因此选项A、D都不符合题意，选项C符合题意； 多边形各顶点要首尾顺次相接，因此选项B不符合题意． 2．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据多边形、正多边形、对角线的定义，逐一判断说法正误即可． 【详解】解：①∵多边形是由至少3条线段首尾顺次围成的封闭图形， ∴三角形是边数最少的多边形，①正确； ②∵正多边形的定义是各边相等、各内角也相等的多边形，长方形四条边不都相等，不是正多边形， ∴②错误； ③∵根据多边形的性质，n边形有n条边、n个顶点、n个内角， ∴③正确. ④∵六边形边数，从一个顶点出发的对角线条数为，所有对角线总条数为， ∴④正确. 综上，正确的说法共有3个，故C正确． 3．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 【答案】 五 5 2 3 【分析】此题考查了多边形的边、对角线的知识，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题是解题的关键．多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从n边形的一个顶点出发的对角线有条，把n边形分成个三角形． 【详解】解：如图，图中的图形是五边形，有5条边，从一个顶点出发的对角线有2条，把该多边形分成3个三角形． 故答案为：五；5；2；3． 4．如图，凸四边形，有两种剖分方法：（如图示）世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（表示凸边形的三角剖分数），请你用上面的公式计算______． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的概念，代数式求值，由题意得，，求出，然后再通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二、多边形截角后的边数问题 5．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】根据截线经过的位置不同分三种情况讨论，即可得到剩下多边形的形状。 【详解】解：分三种情况讨论： ∵当截线经过四边形的两个不相邻顶点，即沿对角线截去一个角时，剩余多边形为三角形； 当截线经过四边形的一个顶点和不与该顶点相邻的边上的一点时，剩余多边形为四边形； 当截线经过四边形相邻两条边上非顶点的两点时，剩余多边形为五边形； ∴剩下的多边形是三角形或四边形或五边形． 6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 【答案】D 【分析】先根据多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据多边形截去一个角的三种情况，讨论得到原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的新多边形的边数是，根据多边形内角和公式可得 ， 解得， ∵多边形截去一个角共有三种情况， ①截线不过原多边形顶点时，新多边形边数比原多边形多， ②截线过原多边形一个顶点时，新多边形边数与原多边形相等， ③截线过原多边形两个顶点时，新多边形边数比原多边形少， ∴原多边形边数为或或，即原来多边形的边数是或或． 7．一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是______边形． 【答案】六或七或八 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 8．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 题型三、多边形的周长 9．如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形对角线长为，利用正方形对角线与边长的关系，分别求出大正方形周长和所有小正方形周长之和，再进行比较． 【详解】解：设大正方形的对角线长为． 大正方形的边长为，周长． 把对角线分成等份，每一份长为，即每个小正方形的对角线长为． 每个小正方形的边长为，周长为． 共有个小正方形，所以所有小正方形的周长之和． A、，计算得，不符合题意； B、，计算得，不符合题意； C、，计算得，符合题意； D、，计算得，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质（对角线与边长的关系）、周长的计算。解题关键是通过设对角线长度，建立大、小正方形周长的表达式，从而比较大小． 10．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 11．如图是一块长方形皮影戏幕布，若它的长为，宽为，则这块幕布的周长为______． 【答案】28 【分析】根据长方形的周长公式列出算式，利用二次根式的性质化简各二次根式，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】由题意得，这块幕布的周长为． 12．旧版的一角硬币内是一个正多边形，下面是一张相关图片（尺寸未定）． (1)求该硬币内正多边形的内角和； (2)若其一边长为，求该正多边形的周长； (3)该正多边形共有___________条对角线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据图片得出正多边形的边数是，进而利用求内角和；利用求周长；利用求对角线的条数. 【详解】（1）解：由图可知：旧版的一角硬币内是一个正九边形， ∴， 即：正多边形内角和为； （2）解：∵ ∴该正多边形的周长是； （3）解：∵， ∴该正多边形共有条对角线. 题型四、网格中多边形面积比较 13．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 14．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 15．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 【答案】 【分析】根据网格，计算正方形、正方形的面积，利用面积计算线段，，从而得到，，三条线段的数量关系． 【详解】解：，正方形、正方形的顶点均在格点上， 正方形面的积，正方形的面积，， ，， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了网格图形面积计算，正方形面积与边长关系，算术平方根计算，熟练掌握网格图形面积计算是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形四个顶点坐标分别是，，，，四边形中任意一点，经平移后对应点为，将四边形作同样的平移得到四边形 ．    (1)请在图中画出四边形； (2)请写出四边形的顶点、坐标； (3)请求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)点、的坐标分别为、 (3) 【分析】（1）由点P的对应点的坐标得出平移的方向和距离，据此依据平移的点的坐标变化规律可得； （2）根据点的位置，即可写出点、的坐标； （3）根据特殊四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵点，经平移后对应点为， ∴四边形向左平移3个单位，再向下平移2个单位， 四边形如图所示；   ； （2）解：由图形知点、的坐标分别为、； （3）解：四边形的面积． 题型五、多边形对角线的问题 17．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 18．从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 【答案】 3 4 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为． 本题中六边形，因此可以作对角线条数为． 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为． 19．P表示凸边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P与的关系式是：(其中，a，b是常数，) （1）若，即四边形时，通过画图可得___(填数字)； （2）下列结论正确的是___________(填写正确的序号) ①若，则；②；③；④a与b的值不能确定． 【答案】 1 ②③/③② 【分析】通过画图确定时，时P的值，组成方程组求出a，b的值，即可判断 【详解】解：（1）由画图可得，当时，； （2）由画图可得，当时，，故①错误； 将时，；时，，代入公式可得： 化简得： 解之得：，故②正确，③正确，④错误． 20．请按要求完成填空与解答： 图形             … 边数 3 4 5 6 … 从一个顶点引出的对角线条数 0 1 2 __________ … ________ 三角形个数 1 2 3 __________ … ________ 内角和 __________ … (1)将上面表格中5处“_______”填写完整； (2)根据表中规律可发现，边形的内角和是_______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)第一列依次为：3，4，；第二列依次为：， (2) (3)没有内角和为的多边形，理由见解析 【分析】（1）根据题意补全表格即可； （2）根据表中规律求解即可； （3）根据题意得到，然后求解判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，填写表格如下： 图形             … 边数 3 4 5 6 … 从一个顶点引出的对角线条数 0 1 2 3 … 三角形个数 1 2 3 4 … 内角和 … （2）解：根据表中规律可发现，边形的内角和是； （3）解：没有内角和为的多边形，理由如下： 根据题意，得， 解得，不是正整数， ∴没有内角和为的多边形． 题型六、正多边形的相关概念 21．如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，据此求解即可. 【详解】解：根据题意可得：图形为正八边形的是选项B. 22．下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义逐一判断选项即可，正多边形定义为各边相等、各角也相等的多边形． 【详解】A、∵多边形是由三条或三条以上线段首尾顺次连接围成的封闭图形，正三角形符合多边形定义， ∴A错误； B、∵正多边形需要同时满足各边相等、各角相等，长方形四个角相等但四条边不一定都相等， ∴B错误； C、∵正方形的四条边相等，四个角也相等，满足正多边形的定义， ∴C正确； D、∵各角相等的多边形各边不一定相等，例如长方形各角相等但不是正多边形，不满足正多边形定义， ∴D错误． 23．从如图正九边形的顶点中选出个顶点连成钝角三角形，则不同的选法有_______种． 【答案】54 【分析】本题考查了钝角三角形的定义和正多边形的性质，进行分类讨论，即可解答． 【详解】解：如图，当三角形的其中一条边为时， 则、、为钝角，即此时有3个钝角三角形， 同理，这样的线段有9条， ∴这类钝角三角形共有（个）； 当三角形的其中一条边为时， 则、为钝角，即此时有2个钝角三角形， 同理，这样的线段有9条， ∴这类钝角三角形共有（个）； 当三角形的其中一条边为时， 则为钝角，即此时有1个钝角三角形， 同理，这样的弦有9条， ∴这类钝角三角形共有（个）； 综上，从正九边形的顶点中选出3个顶点连成钝角三角形，不同的选法有（种）． 故答案为：54． 24．如图，六边形是正六边形，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，连接，画出一个以为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形上； (2)如图2，为边上一点，在边上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接、即可； （2）连接、交于点J，连接，并延长交于点Q，即可求解. 【详解】（1）解：如图， 即为所求, ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：如图，点即为所求， 理由：∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∵， ∴ ， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴ ， ∴. 题型七、多边形的内角和问题 25．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：八边形的内角和为． 26．大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________． 【答案】 【详解】解：五边形的内角和． 27．如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】边形的内角和为，据此求出五边形的内角和即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴． 28．阅读与思考请认真阅读下列材料，并完成相应的任务． 对余四边形【定义理解】 有一组对角互余的四边形叫作“对余四边形”，这组互余的角叫作“对余角”．如图1，在四边形中，，则四边形为对余四边形，和为对余角． 【问题解决】 问题1：若四边形为对余四边形，和为对余角，则__________°． 问题2：如图2，四边形为对余四边形，和为对余角，且，，连接．试证明． 证明：如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，． ， ，即． 又，， ． ，． …… 任务： (1)填空：问题1中，__________． (2)请补全问题2中的证明过程． (3)如图4，在中，，．作出以A，B，C，D为顶点的四边形，使得该四边形为对余四边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 【答案】(1)270 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据“对余角”定义得，再根据四边形内角和为360度，即可求解； （2）由旋转得为等边三角形．根据“对余角”定义得，进而证明，由勾股定理解得，通过等量代换可得． （3）通过构造等边三角形使即可． 【详解】（1）解：和为对余角， ， ， ； （2）证明：，， 为等边三角形． ． 和为对余角， ． ， ． ， 在中，根据勾股定理，得． ． （3）解：如图，四边形即为所求．（答案不唯一） 题型八、正多边形的内角和问题 29．如图，一组正多边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．    (1)将表格补充完整． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 (2)观察上面表格中的变化规律，与边数的关系为：____________． (3)根据规律，是否存在一个正多边形，其中的？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)存在，的值为10 【分析】（1）先根据多边形的内角公式求出每一个内角的度数，再根据多边形的性质每条边都相等，得到等腰三角形，然后求解即可； （2）根据表格中的数据总结规律即可； （3）利用（2）中总结的公式分析计算即可． 【详解】（1）解：正多边形每个内角的度数为， 则当时，该多边形的一个内角为，则， 当时，该多边形的一个内角为，则， 当时，该多边形的一个内角为，则， 当时，该多边形的一个内角为，则， 所以，可填写表格如下： 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 （2）结合（1）可知，对于边形， 可有， 所以，与边数的关系为． 故答案为：； （3）存在一个正多边形，其中的． 由（2）可知，，解得， 所以，当的值为10时，在该正多边形中，其中的． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，能求出多边形的一个内角的度数是解此题的关键． 30．阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等角准正多边形”的研究报告 勤思小组 研究对象：等角准正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其所有的各角都相等，且有两条边不等于其他相等的边，我们称这个凸多边形为等角准正多边形．如图1，我们学习过的矩形（正方形除外）就是等角准正四边形，类似地，还有等角准正六边形、等角准正八边形…… 【特例研究】根据等角准正多边形的定义，等角准正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果在六边形中，，且，那么六边形是等角准正六边形． 性质探索：根据定义，探索等角准正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等角准正六边形的每个内角均等于___________．每个外角均等于___________． 对角线．．．．．． 任务： (1)直接写出研究报告中空缺的内容：___________，___________． (2)在图2中，等角准正六边形的三组正对边与与与分别有什么位置关系？请证明你的结论． (3)如图3，已知八边形中，，，且．求证：八边形是等角准正八边形 【答案】(1) (2)均为平行，见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，正多边形的性质，理解题意以及多边形的相关性质是解题关键． （1）根据等角准正六边形的定义解答即可； （2）连接，根据六边形是等角准正六边形，得出．结合四边形内角和得出，即可得，根据，得出．即可得．同理可证． （3）延长，与的延长线交于点，延长，与的延长线交于点，根据，得出，，根据，得出，即可得，同理，得出，即可证明． 【详解】（1）解：每个外角均等于，等角准正六边形的每个内角均等于， 故答案为：； （2）解：，，． 证明：方法一：连接，如图： 六边形是等角准正六边形， ． ， ． ， ． ． 同理可证． 方法二：延长交于点，如图： 六边形是等角准正六边形， ． ． ． ． ． 同理． （3）解：（方法不唯一）延长，与的延长线交于点，延长，与的延长线交于点，如图： ， ． ． ， ． ． ． 同理． ． 又，且， 八边形是等角准正八边形． 31．如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题． (1)将表格补充完整． 正多边形的边数 3 4 5 6 α的度数 　   　 　   　 　   　 　   　 (2)观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 　 　． (3)根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝ 　 　． 【答案】(1)，，， (2) (3)10 【分析】（1）先根据多边形的内角公式求出每一个内角的度数，再根据多边形的性质每条边都相等，得到等腰三角形，求出的度数． （2）根据（1）中的数据总结规律． （3）引用（2）中总结的公式计算即可． 【详解】（1）正多边形每个内角的度数为． ； ； 正五边形的内角，； 正五边形的内角，． （2）观察（1）中结论， 总结规律，则有． （3）借助（2）中公式，有 ，即 解得． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、多边形内角的计算及观察总结能力，解题的关键是利用多边形内角的计算公式计算内角，并与等腰三角形两底角相等结合应用． 32．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”是__________度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1) (2)小明求的是边形内角和 (3)这个正多边形的一个内角是 【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用．熟练掌握多边形的内角和，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，计算求解即可； （3）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ∴这个“多加的锐角”是 ， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 解得，， ∴小明求的是边形内角和； （3）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是． 题型九、多边形截角后的内角和问题 33．若一个多边形的内角和为，则将该多边形截去一个角后，剩下的多边形的内角和不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多边形内角和公式求出原多边形的边数，再分析截去一个角后新多边形的三种边数情况，分别计算内角和即可得到不可能的结果． 【详解】解：设原多边形的边数为， 根据多边形内角和公式可得， 解得， 即原多边形为六边形． 截去一个角后，新多边形的边数有三种情况： 1．截线不经过原多边形的顶点，新多边形边数为，内角和为； 2．截线经过原多边形的一个顶点，新多边形边数仍为，内角和为； 3．截线经过原多边形的两个顶点，新多边形边数为，内角和为． 因此剩下多边形的内角和不可能为． 34．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 35．如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】此题考查了多边形的内角，分类讨论的思想，如图，一条直线将该五边形分割成两个多边形（含三角形）的情况有5种，分别求出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断． 【详解】解：图①中，； 图②中，； 图③中，； 图④中，； 图⑤中，． 由上述分析可知，的最大值为． 故答案为：． 36．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 题型十、多边形的外角问题 37．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 【详解】解：， 的外角为， ． 38．如图是由射线，，，，组成的平面图形，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形外角和公式和平行线的性质，准确计算是解题的关键． 根据多边形的外角和等于，即可得到的度数，进而得出的度数，再根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图， 由多边形的外角和等于可知，， 又， ， ， 又， ． 39．课本再现： 如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果． （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来． 类比迁移： （2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程． （3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______． 【答案】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，；（2）小明第一次回到O点时所走过的路程为120米；（3）18 【分析】（1）外角的大小不会改变，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画出图形即可． （2）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形的周长计算得（米）． （3）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形的周长计算得，解方程即可． 本题考查了多边形的外角性质，外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画图如下： ． （2）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为， 故多边形的周长为：（米）． （3）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 40．几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质； （1）选择，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得：，，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，由（1）B可知：，即可求解． 【详解】（1）证明：选择，证明如下： ，，， ， ； 选择B，证明如下： 由翻折性质得：，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 即； 故答案为：或． （2）延长，交于点，如图③所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； （3）由（2）可知：， ，， ， 设，， ，， ，， ， 即， ， ， 由（1）B可知：． 题型十一、多边形外角和的实际应用 41．如图是甘肃平凉延恩寺塔，又名大明宝塔，始建于多年前的明弘治年间．从上面看该塔，得到的平面图形是八边形，该八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵多边形的外角和等于， ∴该八边形的外角和为． 42．图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图2是从左图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，． 43．中国乒乓球队运动员孙颖莎王楚钦在巴黎奥运会上获得我国首枚奥运混双金牌，它不仅再次印证了中国乒乓球的卓越实力，更是对国家荣誉的有力捍卫，对中华体育精神的生动诠释．图1是2024年巴黎奥运会金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块，这个正六边形铁块的示意图如图2所示，则的度数是______． 【答案】/60度 【分析】根据正n边形的外角求解即可． 【详解】解：∵是正六边形的外角， ∴． 44．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 题型十二、多边形内角和与外角和的综合问题 45．将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（    ）个这样的正五边形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先求出正五边形的内角度数，再根据拼接处周角为求出围成圆环所需的正五边形总数，最后减去已有的数量即可． 【详解】解：正五边形的内角为． 则在圆环内侧形成的正边形的一个内角为． 设围成这一圆环共需要个正五边形， 该正边形的一个外角为． ∵多边形的外角和为， ∴． 图中已排出4个正五边形，还需要个这样的正五边形． 46．如图是剪纸的一部分，是剪纸中正多边形的一角，测得，则这个正多边形有_____条边． 【答案】/八 【分析】求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以它即可求解． 【详解】解：∵是正多边形的一角，且， ∴正多边形的每个外角度数为， ∴这个正多边形的边数为． 47．项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度．例如，一块四边形地块相邻两条道路和，我们需在外部设置绿化带或排水沟，与就是这两个外角区域的角平分线．工程师想知道在已知地块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角是多少？ 任务一  模型初探（发现规律） 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中是四边形的一组相邻外角，是相邻的两个内角． 问题1：测量或推导 (1)观察图①中与之间存在怎样的数量关系？写出理由； (2)观察图②中与之间存在怎样的数量关系？直接写出来； 任务二  应用建模 问题2：如图③，在四边形地块的外部，，分别是外角与的平分线． (3)已知地块的，请利用你发现的规律，求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形的内角和等于表示出，再根据平角的定义表示出，即可得解； （2）同（1）中方法求解即可； （3）根据（1）、（2）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ，， ， ； （2）解：∵， ， ，， ， ； （3）解：， 根据（1）和（2）的结论有：， 分别是的平分线， ，， ， ． 48．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探索研究四边形的某两个外角和与它们不相邻的内角之间的关系．已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论探究】 (1)如图，当，时，计算___________； 【结论推导】 (2)如图，观察猜想与之间的关系，并证明你的结论； 【结论应用】 若直线分别平分四边形的外角和． (3)如图，当直线时，试判断之间的数量关系是___________； (4)当，时，若直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点顺时针旋转，直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点逆时针旋转，两条直线同时出发，设旋转时间为（单位：），在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值．（写出个即可）． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)； (4)在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值为或或（写出个即可）． 【分析】（）连接，根据三角形的外角性质即可求解； （）连接，根据三角形的外角性质即可求解； （）过作，则，所以，，又平分，平分，则，，从而可得由（）得，，则，然后通过等式的性质即可求解； （）分当在内部时，当在内部时，如图，当在内部时，分别通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：， 证明：连接， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴ ， ∴； （3）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴ 由（）得，， ∴， ∴； （4）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（）得， ∴， ∴， 当在内部时，如图，设与交于点， ∴，， ∴      ， ∴， 解得：， 当在内部时，如图，设与交于点， ∴， ∴， 解得：； 如图，当在内部时， 同理， ∴， 解得：， 综上可得：在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值为或或（写出个即可）． 题型十三、平面镶嵌 49．如图是用正方形和六边形两种材料铺成的地面的一部分，那么这种六边形材料最大的内角度数是（   ） A．90° B．120° C．135° D．150° 【答案】C 【分析】本题考查了密铺，周角，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意，六边形最大的角为，其中，利用，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，六边形最大的角为，其中，，，如图所示： 那么． 故选：C． 50．数学实践课上，某小组用两种边长相同的正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案中有一个顶点周围有1个正方形和a个正八边形，则a的值为______． 【答案】2 【分析】根据平面镶嵌的性质，同一顶点处各内角的和为，先分别求出正方形与正八边形的每个内角的度数，再列一元一次方程求解即可． 【详解】解：首先，正方形的每个内角为， 根据多边形内角和公式，可得正八边形每个内角的度数为：， 由平面镶嵌的条件，同一顶点处内角和为，列方程得：， 解得． 51．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖铺设，从里向外共铺了层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个多边形，若中央正六边形的地砖的边长为 ，则第层的外边界所围成的多边形的周长是______． 【答案】 【分析】观察图形，可知第层外边界是边形， 即得到第层外边界是边形，据此即可求出多边形的周长． 【详解】解：由图可知，从里向外的第层外边界是边形， 第层外边界是边形， 此后，每层都比前一层多条边，依此类推， ∴第层外边界是边形， 当时，第层外边界是边形， 又∵边长为， ∴第层外边界所围成的多边形的周长是． 52．【综合与实践】中国镶嵌工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉代发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺中的镶嵌，传承着东方美学与匠心精神． (1)如图1，在中，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，其中，平移的距离是___________．同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成。我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是___________． (2)小徽家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小徽调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜30元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． （i）请问两种瓷砖每块各多少元？ （ii）小徽对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小徽的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少多少元？ 【答案】(1)5； (2)（i）边长为1的正三角形瓷砖每块10元，边长为1的正六边形瓷砖每块40元；（ii）440元 【分析】（1）根据题意可得平移的距离是；计算的面积，根据题意可得题图5由6个组成； （2）（i）设一块正三角形瓷砖的单价为元，则一块正六边形瓷砖的单价为元，根据题意列方程即可； （ii）根据题意可得使用边长为1的正六边形瓷砖越多，总费用越少，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵题图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成， ∴平移的距离就是的长， ∴平移的距离是； ∴由平行四边形经过两次切割平移而成的题图4的面积与的面积相等， 如图1，过点作于点， ∵中，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴的面积， ∴平行四边形经过两次切割平移而成的基本图形的面积等于， ∴题图5的面积； （2）解：（i）设一块正三角形瓷砖的单价为元，则一块正六边形瓷砖的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：边长为1的正三角形瓷砖每块10元，边长为1的正六边形瓷砖每块40元； （ii）∵每个边长为1的正六边形的面积等于边长为1的正三角形的面积的6倍， ∴用边长为1的正六边形瓷砖越多，费用就越少， 如图2， 图中有黑点的三角形用三角形瓷砖，其余部分用正六边形瓷砖时，用正六边形最多， ∴此时总费用最少． ∵正六边形8个，正三角形12个， ∴最少费用（元）． 1．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）一个多边形的每一个外角都为，那么这个多边形的内角和是（    ）度 A．720 B．900 C．1080 D．1440 【答案】C 【分析】利用任意多边形的外角和为求出边数，再根据多边形内角和公式计算内角和，即可选出正确答案； 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每一个外角都为， ∴该多边形的边数为， ∴该多边形内角和为． 2．（2026·河北邢台·模拟预测）如图，点是正六边形边上一点，将正六边形沿折叠，使点的对应点落在对角线上，点的对应点落在处，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正六边形的每个内角，再求出、 的度数，最后根据平角解答即可． 【详解】解：六边形是正六边形， 正六边形的每个外角，每个内角， ， ， ， ， 由题意可得：， ， ． 3．（2026·河北·二模）将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，，，则剪去的这个角的度数为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别画出图形，根据三角形和四边形的内角和进行解答即可． 【详解】解：在四边形中，内角和等于． ∵，，， ∴． 若剪去的三角形与边重合，如图（1）所示， ∴． 若剪去的三角形与边重合，如图（2）所示， ∴． 综上所述，剪去的这个角的度数是或． 4．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】逐个检验是否能用三角形内角和及确定的角表示出四边形内角和即可． 【详解】 解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为，符合要求； 对于，将一个四边形补全为三角形，，，，， ，符合要求； 综上所述，个图形中的辅助线均可证明． 5．（25-26八年级下·河北保定·期中）已知，点P为内一点，点A为上一点，点B为上一点，当的周长取最小值时，的度数为_______． 【答案】 【分析】作P点关于的对称点，连接，可知当的周长取最小值时，在一条直线上，根据垂线的定义及三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图，作P点关于的对称点，然后连接，    ∵点与点P关于直线对称，点与点P关于对称， ∴， ∴， ∵的周长 ∴当的周长取最小值时，在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在中，由三角形的内角和定理可知：， ∴， ∴． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是_____． 【答案】2028 【分析】本题主要考查了多边形的对角线、一元一次方程的应用等知识点，掌握从n边形的一个顶点出发作对角线，最多将多边形分成个三角形是解题的关键． 设多边形的边数为n，再根据多边形对角线的特点列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n，根据多边形性质，从一个顶点出发作对角线，最多分成个三角形． 由题意可得，，解得：． 故答案为：2028． 7．（2025·江西·模拟预测）如图是两块平面镜，由点 发射出的光线经平面镜 反射后恰好经过点．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角定理，关键是利用 “反射角等于入射角” 这一条件得到，进而在中利用内角和定理，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作 的垂线，过点作的垂线，两线交于点 由题意可得 (提示∶反射角等于入射角)， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，用n个全等的正六边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正六边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正六边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为________． 【答案】5 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和和外角和定理是解题的关键． 由完全拼成一个圆环需要的正六边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正六边形的内角与夹角计算出正n边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴正六边形每个外角的度数为：， ∴正六边形每个内角为：， ∴组成的正多边形的每个内角为：， ∵n个全等的正六边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴组成的正多边形为正n边形， ∴，解得：． 故答案为：5． 9．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）已知边形的内角和为：． (1)五边形的内角和为____________； (2)已知一个边形的内角和是它的外角和的2倍，求的值； (3)一个边形的内角和可以是吗？如果可以，求出的值；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)540 (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】（1）代入到边形的内角和公式即可求解； （2）根据边形的内角和以及外角和公式列出方程，即可求出的值； （3）设一个边形的内角和是，根据边形的内角和公式列出方程，求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：五边形的内角和为； （2）解：∵一个边形的内角和是它的外角和的2倍， ∴， 解得； （3）解：设一个边形的内角和是， 则， 解得， ∵是整数， ∴不符合题意，舍去， ∴一个边形的内角和不可以是． 10．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）已知边形（且为整数）的内角和公式为，边形的外角和为． (1)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少，求这个多边形的边数； (2)如图，分别平分，，，求的值． 【答案】(1)5 (2)120度 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握边形的内角和公式以及边形的外角和为，是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）根据四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为，依题意，， 解得， 这个多边形的边数为5． （2）解：四边形的内角和为， ， ， 又分别平分，， ∴， ， ． 11．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，为外部一点，连接，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； (3)求． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以证明，即可作答． （2）①根据题意可得答案．②结合全等三角形的判定可得答案． （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，则可得． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求． （2）解：①通过作图可以得到：． 故答案为：；． ②结合作图得， ∵ ∴判定的依据是． 故答案为：． （3）解：在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． 12．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）在四边形中，． (1)如图1，若，则______度； (2)如图2，作的平分线交于点，若，求的度数； (3)如图3，作和的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由四边形内角和为，代入，求解即可得到答案； （2）由平行性质得到，再由邻补角及角平分线定义得到，在中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案； （3）由（1）可知，再由角平分线定义得到，进而求出，在中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在四边形中，，则， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 平分， ， 在中，， ； （3）解：由（1）可知， 平分，平分， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形、三角形中求角度，涉及四边形内角和为、平行性质、邻补角定义、角平分线求角度、三角形内角和定理等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $