11.5 线段的垂直平分钱 培优作业 2025--2026学年鲁教版七年级数学下册

**基本信息** 本同步练通过“夯基础+练能力”分层设计，以线段垂直平分线性质应用为起点，逐步进阶至综合推理与模型拓展，兼顾基础巩固与能力提升，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|线段垂直平分线性质应用、尺规作图、简单推理|以选择、填空、基础解答为主，结合实际情境（如水厂位置问题），强化概念理解与基本技能| |练能力|综合证明、模型应用（如将军饮马问题）|以证明题、综合实践题为主，通过图形变换与逻辑推理，发展推理能力与创新意识|

第十一章 三角形的证明及其应用 5 线段的垂直平分钱 第1课时 线段垂直平分线 夯基础 1.如图，在河岸 m 上建一个水厂，向两个村庄 P，Q供水，若水厂到两个村庄 P，Q的距离相等，则水厂应建在( ) A. A 点 B. B 点 C. C 点 D. D 点 2.如图,在平行四边形ABCD中,对角线 BD=8,分别以点 A,B 为圆心,以大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 E 和点 F,作直线 EF,交对角线 BD 于点G,连接 GA,若 GA⊥AD,GA=3,则AD 的长是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图,在△ABC 中,∠APC=114°,P 为△ABC 内一点,过点P 的直线MN 分别交AB,BC 于点 M,N.若 M 在 PA 的垂直平分线上,N 在 PC 的垂直平分线上，则∠ABC 的度数为( ) A.48° B.52° C.62° D.66° 4.如图,点 P 在∠MON内,点 P 关于OM,ON 的对称点分别为E,F,若EF=OP,则∠MON 的度数是( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 5.如图,在△ABC 中,AD,BE 分别为 BC,AC 边上的高,AD,BE 相交于点 F,AD=BD,连接CF,则下列结论:①BF=AC②CF⊥AB ③若BF=2EC,则△FDC 的周长等于AB 的长 ④∠FCD=∠DAC.其中正确的有 ( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 6.如图,在△ABC 中,BC=7,AB 的垂直平分线分别交 AB,BC 于点D,E,AC 的垂直平分线分别交AC,BC 于点F,G,则△AEG 的周长为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 7.如图,在四边形 ABCD中,AB∥CD,E 为 BC 的中点,且 AE⊥DE,延长 DE 交AB 的延长线于点 F.若 AB=9,CD=4,则 AD 的长为 ( ) A.11 B.12 C.13 D.14 8.如图，在△ABC 中，AB=AC,BC=4,面积是 12,AC 的垂直平分线EF 分别交AB,AC 边于点E,F.若点 D 为BC 边的中点，点 P 为线段 EF 上一动点，则△PCD 周长的最小值是 . 9.如图,点 A,D 在 BC 同侧,AB = BC = CA = 2,BD = CD = 则AD= . 10. 在Rt△ABC 中,∠A =90°,AB =5,AC =12,BC=13,EF 垂直平分AB,点 P 是EF 上一动点,过 P 作 PH⊥BC,垂足为点 H,连接 BP,则 BP +PH 的最小值为 . 11.如图,AD⊥BC,BD=DC,CF 垂直平分 AE,交 AE 于点F. (1)若∠BAC=40°,求∠E 的度数; (2)若AB+BD=6,AE=8,求△ABE 的周长. 练能力 12.在△ABC 中,AB =CB,∠ABC =90°,点 D 是 AC 上一点,AD=AB,点 E 是AB 上一点,AE=CD. (1)如图1,求证:△BDE 是等腰三角形; (2)如图2,延长 ED,BC 交于点G,求证:点 C 在 DG 的垂直平分线上. 13.如图 1,在△ABC 中,AB = AC,O 为△ABC 内一点,且 OB=OC,易得:直线AO 垂直平分BC. (1)如图2,在△ABC 中,AB=AC,点 D,E 分别在AB,AC 上,且 BD=CE,请你只用无刻度的直尺画出 BC 边的垂直平分线，并说明理由； (2)如图 3,在五边形 ABCDE 中,AB =AE,BC=DE,∠B=∠E,请你只利用无刻度的直尺画出CD 边的垂直平分线. 第2课时 三角形的线段垂直平分线与尺规作图 夯基础 1.在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC 三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC 的 ( ) A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边垂直平分线的交点 D.三边上高的交点 2.如图,在△ABC 中,AB=AC,AC 的垂直平分线交 AC 于点D,交 AB 于点 E,∠A=30°,则∠BCE 的度数是 ( ) A.30° B.36° C.45° D.60° 3.如图,DE 是△ABC 的边 BC的垂直平分线，分别交边 AB，BC 于点 D，E,且AB=9,AC=6,则△ACD 的周长是( ) A.10.5 B.12 C.15 D.18 4.如图,在△ABC 中,分别以点A 和点C 为圆心，大于 AC 的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M,N 两点,直线 MN 分别与边 BC,AC 相交于点D,E,连接AD.若 BD=DC,AE=4,AD=5,则AB 的长为 ( ) A.9 B.8 C.7 D.6 5.如图,在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线交边AB 于点D,交边 AC 于点E.若△ABC 与△EBC 的周长分别是 40 cm, 24 cm,则 AD = cm. 6.如图,在△ABC 中,按以下步骤作图：(1)以点 A 为圆心，AC 的长为半径画弧,交 BC 于点D;(2)分别以点 C 和点 D为圆心，大于 CD 的长为半径画弧，两弧相交于点 F;(3)画射线 AF 交 BC 于点 E.若∠C=2∠B,BC=23,BD=13,则 AE 的长为 . 7.如图,在△ABC 中,边AB 的垂直平分线 OM 与边 AC 的垂直平分线ON 交于点 O，这两条垂直平分线分别交BC 于点 D,E,已知△ADE 的周长为13 cm,分别连接OA,OB,OC,若△OBC 的周长为28 cm,则OA 的长为 . 8.如图，有A，B，C三个居民小区的位置呈三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市 P，使购物超市到三个小区的距离相等. (1)请在图中标注购物超市 P 的位置；(尺规作图，保留作图痕迹) (2)证明点 P 的正确性. 9.用圆规、直尺作图，不写作法，但要求保留作图痕迹. 已知：线段a. 求作:△ABC,使得BC=a,AB=AC=2a. 10.如图,C 是线段AB 的中点,∠A=∠B,∠D=∠E. (1)求证:△ACE≌△BCD; (2)请判断线段 OD 与OE 的数量关系，并说明理由； (3)分别连接 CO,GF,求证 CO 垂直平分GF. 练能力 11.综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图1，将军从 A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到 B 地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”. 【模型解决】如图2，小明作点 B 关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点 C 就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的(如图 2,AC + BC = AC +B'C≥AB'). 【模型应用】如图3,△ABC 中,直线 m 是边BC 的垂直平分线，点 P 是直线m 上的动点.若 AB = 5,AC = 4,BC = 7,则△APC 周长的最小值为 . 【模型拓展】如图4,已知∠MON=40°,P为∠MON 内一定点,OM 上有一点 A,ON 上有一点 B，当△PAB 的周长取最小值时,求∠APB 的大小. 第1课时线段垂直平分线 1. B 2. B 3. A 4. B 5. A 6. C 7. C8.8 9. -1 10. 11.解:(1)∵BD=DC,AD⊥BC,∴AB=AC, ∴∠ACD=90°-20=70°. ∵CF 垂直平分线段AE,∴CA=CE, ∴∠E=∠CAE. ∵∠ACD=∠E+∠CAE=70°, ∴∠E=35°; (2)∵AB =AC =CE,BD= DC,AB +DB=6, ∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=6, ∴AB+BE=12. ∵AE=8, ∴△ABE 的周长=12+8=20. 12.证明:(1)∵AB=CB,∠ABC=90°, ∴∠A=∠C=45°. ∵AD=AB,∴AD=CB, 在△ADE 和△CBD中, ∴△ADE≌△CBD(SAS), ∴DE=BD, ∴△BDE 是等腰三角形; (2)∵AD=AB,∠A=45°, ∴∠CBD = ∠ABC - ∠ABD = 90°- 67.5°=22.5°, 由(1),得△ADE≌△CBD, ∴∠ADE=∠CBD=22.5°, ∴∠CDG=∠ADE=22.5°, ∴∠G=∠ACB-∠CDG=45°-22.5°=22.5°, ∴∠G=∠CDG, ∴CD=CG, ∴点 C 在DG 的垂直平分线上. 13.解:(1)如图2,连接BE,CD,它们相交于 P点,连接AP 并延长交BC 于 H,则 AH 为BC 的垂直平分线. 理由如下:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∵BD=CE,BC=CB, ∴△BCD≌△CBE(SAS), ∴∠BCD=∠CBE, ∴PB=PC. 又∵AB=AC, ∴AH 垂直平分BC; (2)如图3,AM 即为所求作. 第 2课时 三角形的线段垂直平分线与尺规作图 1. C 2. C 3. C 4. D 5.8 6.12 7.7.5cm8.解:(1)如图,点P 即为所求; (2)证明：由作图，得直线 MN 垂直平分线段AB,直线EF 垂直平分线段AC,直线MN 和EF 交于点 P, ∴PA=PB,PA=PC, ∴PA=PB=PC, ∴购物超市 P 到三个小区的距离相等. 9.解:如图所示,△ABC 为所求. 10.证明:(1)∵C是线段AB 的中点, ∴AC=BC, 在△ACE 和△BCD中, ∴△ACE≌△BCD(AAS); (2)OD=OE,理由如下: ∵△ACE≌△BCD, ∴AE=BD. ∵∠A=∠B, ∴OA=OB, ∴AE-OA=BD-OB, ∴OD=OE; (3)如图,连接CO,GF,交点为 M, ∵∠A=∠B, ∴OA=OB. ∵C 是线段AB的中点， ∴AC=BC, ∴∠GOC=∠FOC, 在△EOF 和△DOG 中, ∴△EOF≌△DOG(ASA), ∴OG=OF, ∴OM⊥GF,GM=FM, ∴CO 垂直平分GF. 11.解:【模型应用】9; 【模型拓展】分别作点 P 关于OM，ON 的对称点 P',P",连接OP',OP",P'P",交 OM.ON 于点A,B,连接 PA,PB,此时△PAB周长的最小值等于 P'P"， 由轴对称性质，得OP' = OP"= OP,∠P'OA=∠POA,∠P"OB=∠POB, ∴∠OP'P"=∠OP"P'=(180°-80°)÷2=50°. 又∵∠BPO =∠OP"B = 50°,∠APO=∠AP'O=50°, ∴∠APB=∠APO+∠BPO=100°. 学科网（北京）股份有限公司 $