精品解析：河北郑口中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

高二数学 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如下四个散点图中，负相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】负相关，即随一个量增大另外一个量减少， A为正相关，BD不相关，C负相关. 2. （，）可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由排列数的计算公式即可求解. 【详解】对于共有个因式， 乘积的首项（最大项）是，因此原式可表示为. 3. 已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点得到y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】经验回归方程为，当时，可得预测值； 由样本点，得观测值； 残差. 4. 已知（）的展开式中的常数项为24，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式展开式通项公式，结合分类讨论思想即可求解. 【详解】对于的二项式展开式通项公式：  ， 原式的常数项由两部分组成： 第一部分：第一个括号取，第二个括号取常数项， 即令，得，这部分系数为：； 第二部分：第一个括号取，第二个括号取项， 令，得，这部分系数为：； 则总的常数项为，且，解得. 5. 某学校食堂有8个窗口，分别卖：拉面、盖饭、麻辣烫、汉堡、水饺、炒河粉、粥、米粉，现有两位同学分别从这8个窗口中随机选择1个窗口买饭．这两位同学中至少有一人选择在拉面窗口买饭的条件下，他们选择的窗口不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设事件为“两位同学中至少有一人选择在拉面窗口买饭”，事件为“两人选择的窗口不相同”； 则，； . 6. 某产品参数X服从正态分布，按照16%，34%，34%，16%的比例按参数从高到低将产品划分为1、2、3和4四个品级．若某个产品的参数为192，则其品级是（ ） 附：，， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合正态分布的对称性得，再结合题意即可求得答案. 【详解】因为，所以，，，， 因为， 所以， 所以，按照16%，34%，34%，16%的比例按参数从高到低将产品划分为1、2、3和4四个品级对应的的范围分别是：，，，， 所以，当某个产品的参数为192，则其品级是2 7. 某教育研究小组收集了10名高中生每周用于数学复习的时间x（小时）与其数学测试成绩y（百分制）的数据．经计算得，，，，，其中，分别为数学复习的时间与数学测试成绩的标准差，r为相关系数．若用经验回归方程预测成绩，则方程应为（ ） 参考公式：样本相关系数 经验回归方程中斜率的最小二乘估计公式 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过已知的相关系数、方差公式，即可​推导回归直线方程的斜率，再通过回归直线方程经过样本中心点即可求得. 【详解】根据方差定义可知：，， 结合题意可知：，，， 所以， 再根据样本相关系数，， 可得：， 则 ， 根据回归直线过样本中心点，已知，， 则， 因此经验回归方程为. 8. 用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的经验回归方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对指数式取对数化为线性形式，结合已知数据算出，，利用回归直线过样本中心点求出，再对比截距得即，最后相乘． 【详解】由，得， 令，则与满足线性关系， 由，得， 由， 得， 所以， 过样本中心点，即，解得， 对比和，，解得，， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 B. ； C. 在经验回归分析中，若的值越大，则模型的拟合效果越好 D. 在经验回归方程中，当变量x每增加一个单位时，减少2个单位 【答案】CD 【解析】 【分析】根据相关系数的性质判断A；根据期望，方差的线性关系判断B；利用模型的拟合效果与的关系可判断C；根据回归方程的系数的意义判断D. 【详解】对于A，相关系数r的绝对值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，故错误； 对于B，；，故错误； 对于C，决定系数的值越接近于1，回归模型的拟合效果越好，故正确； 对于D，在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，减小2个单位，故正确； 10. 设是一个随机试验中的两个事件，记，，则下列说法正确的是（ ） A. 若相互独立，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由和事件概率加法公式得到，再结合独立事件概率乘法公式，条件概率计算公式，对立事件概率计算公式逐项判断即可. 【详解】由， 代入， 得： ， 选项A，若相互独立，根据独立事件定义：， 代入​，得，A正确， 选项B，若，则​，B错误， 选项C，根据条件概率公式​， 代入，得： ， ​ 因此，对立事件概率，C正确， 选项D，  ，D正确. 11. 小张上班有时坐地铁，有时骑电动车，他各记录了100次坐地铁和骑电动车上班所用的时间，经数据分析得到：坐地铁平均用时30分钟，样本标准差为6；骑电动车平均用时36分钟，样本标准差为2．已知随机变量，则．假设小张坐地铁用时X和骑电动车用时Y都服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若某天有40分钟可用，小张要想尽可能不迟到应选择骑电动车 D. 若某天有37分钟可用，小张要想尽可能不迟到应选择乘地铁 【答案】BCD 【解析】 【详解】根据题意可知，故A选项错误，B选项正确. 若某天有40分钟可用，，. ，且，. 所以小张要想尽可能不迟到应该选择电动车，C选项正确. 若某天有37分钟可用，则, ，且，. 所以小张要想尽可能不迟到应选择乘地铁，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中含项的系数为__________． 【答案】480 【解析】 【详解】由题知：； 第项通项公式：； 的第项通项公式：; 令，则 所以项的系数为：. 13. 某公司安排小张在六天中分别完成A、B、C、D、E、F六项不同的任务（每天一项），并且要求A在B之前做，C与D不在相邻的两天做，则不同的任务安排顺序有__________种． 【答案】240 【解析】 【分析】先排A、B、E、F四项任务，再排C与D，由分步乘法计数原理计算即可. 【详解】先将A、B、E、F四项任务排序，因为要求A在B之前，所以共有种不同的排法， 再将C与D排到四项任务产生的个空位中，共有种不同的排法， 因此由分步乘法计数原理可得不同的任务安排顺序有种. 14. 已知，则a被26除的余数为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】利用二项式定理化简原式，将问题转化为求除以26所得的余数，计算即可. 【详解】由二项式定理可知： 由于最后一项为，所以a被26除的余数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从0，1，5，6，8，9中选四个数字，组成无重复数字的四位数，求分别满足下列的数有多少个？ （1）可以组成多少个四位数？ （2）可以组成多少个偶数？ 【答案】（1）300 （2）156 【解析】 【小问1详解】 若这个四位数中含0，则先从除千位外的三个位置中选一个排0，再从其他5个元素中选3个在剩余位置排列，共有（种）排法； 若这个四位数中不含0，则从其他5个数字中选4个进行全排列，共有（种）排法； 所以四位数共有（个）． 【小问2详解】 若个位是0，则从其他5个数字中任选3个排列在剩余的三个位置，共有（种）排法； 若个位是6或8，则从其他4个不为0的数字中选1个排在千位，再从除千位和个位所排数字之外的4个数中任选2个排在百位和十位，共有（种）排法， 所以偶数共有（个）． 16. 良好的睡眠习惯是保持健康的一种有效策略．某医学研究者为研究睡眠习惯和免疫力水平之间的关系，得到如下数据（单位：人）： 免疫力高 免疫力不高 合计 有良好的睡眠习惯 400 200 600 没有良好的睡眠习惯 100 300 400 合计 500 500 1000 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“有良好的睡眠习惯”与“免疫力高”有关联？ （2）按比例分配的分层随机抽样，从有良好的睡眠习惯的人中抽取6人，从这6个有良好的睡眠习惯的人中随机抽取2人，求这2人中“免疫力高”的人数X的分布列和数学期望． 附：，其中 独立性检验中4个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，可以认为“有良好的睡眠习惯”与“免疫力高”有关联； （2）X的分布列为 X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）先设零假设，代入卡方公式算出，和临界值对比，卡方更大则推翻假设，判定两个变量有关联； （2）按分层抽样比例算出抽出人中免疫力高人、不高人，服从超几何分布，枚举求对应概率列出分布列，再代入期望公式求值． 【小问1详解】 零假设：“有良好的睡眠习惯”与“免疫力高”没有关联， 因为， 所以零假设不成立， 依据小概率值的独立性检验，可以认为“有良好的睡眠习惯”与“免疫力高”有关联； 【小问2详解】 从有良好的睡眠习惯的人中按比例分配的分层随机抽样抽取6人， 则“免疫力高”的有（人），“免疫力不高”的有（人）， 则X的所有可能取值为， ，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P ． 17. 某学生在一次模拟考试中，遇到两道独立的选择题．每道题有4个选项，其中只有1个正确，该学生可以选择两种答题策略： 策略1：两道题都随机猜一个选项． 策略2：第一道题认真思考（正确概率为0.8），若第一题做对，则第二题也认真思考（正确概率仍为0.8）；若第一题做错，则第二题随机猜一个选项． （1）求在策略1下，该学生恰好答对1题的概率； （2）求在策略2下，该学生答对题数X的分布列； （3）比较两种策略下该学生答对题数的期望，并判断哪种策略更优． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 P 0.15 0.21 0.64 （3），，策略2更优【解析】 【小问1详解】 每题随机猜对概率为，答错概率为． 设学生恰好答对1题为事件A，则． 【小问2详解】 X的可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.15 0.21 0.64 【小问3详解】策略1服从二项分布： ． 策略2的期望： ． 因为，所以策略2更优． 18. 某市自2020年起，在多个社区设立“环保志愿者”岗位．每年，社区根据规模提供一定数量的志愿者名额，居民可自愿报名参加，市环保部门统计了近6年志愿者名额x与报名人数y的相关数据，如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 2025 志愿者名额x（个） 2 4 6 8 10 12 报名人数y（位） 参考数据：，，，， 参考公式：样本相关系数 经验回归方程中斜率的最小二乘估计公式 （1）已知该市某大型社区在2024年和2025年共有12人报名，且两年无重复报名人员，12人中有8位男性，已知2024年男性报名人数多于2025年．若从这12人中随机抽取2人，两人均为男性且分别来自2024年和2025年的概率为．现从这12人中随机抽取3人，记其中在2024年报名的男性人数为X，求X的分布列； （2）已知变量y与x的相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程，并据此预估志愿者名额为15个时报名的人数． 【答案】（1） X 0 1 2 3 P （2），37人【解析】 【分析】（1）根据题意结合组合数可得．分析可知X的可能取值为0，1，2，3，结合超几何分布求分布列； （2）根据相关关系结合题中数据可得，进而可得和回归方程，代入即可得结果. 【小问1详解】 设2024年报名的男性人数为m，则， 则，解得． 由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3． ，， ，． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【小问2详解】因为，，， 则，可得， 因为，， 即，解得． 且，可得． 所以y关于x的经验回归方程为． 当时，，所以估计志愿者名额为15个时报名的人数为37人． 19. 一袋子中装有大小相同的2个黑球和1个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入1个异色的球．记第n次这样的操作后，袋中黑球的个数为2的概率为，黑球的个数为3的概率为，事件为“第n次取出的是黑球”． （1）求，； （2）已知当时，，证明：，并求； （3）求，． 【答案】（1）， （2）证明： ； （3）， 【解析】 【分析】第1小问：第1次操作仅存在两种互斥的结果：取黑球后黑球数保持2，取红球后黑球数变为3，直接用古典概型计算对应概率即可. 第2小问：证明乘法公式使用数学归纳法，利用题目给出的两事件条件概率公式，从 的基础情况逐步推广到任意正整数 . 计算 时，先枚举前两次操作后所有可能的黑球数状态，再用全概率公式对不同状态下第三次取黑的概率加权求和，避免枚举所有8种取球序列的多余计算. 第3小问：黑球数始终为2的充要条件是前 次没有任何一次取到红球，直接累乘每次取黑的概率即可得到 的通项。 黑球数最终为3的充要条件是前 次恰好仅取到1次红球，对红球出现的所有位置分别计算路径概率，再利用等差乘等比数列的求和公式化简，即可得到 的闭式通项. 【小问1详解】 第一次取出黑球的概率为，第一次操作后袋中黑球个数仍为2，故； 第一次取出红球的概率为，第一次操作后袋中黑球个数变为3，故； 【小问2详解】 证明略． 记为“第次取出的是红球”，则事件“第三次取出的是黑球”分为四类： 第一类“三次全部取出黑球”， 第二类“第一次取红球，第二次取黑球，第三次取黑球”， 第三类“第一次取黑球，第二次取红球，第三次取黑球”， 第四类“前两次全部取出红球，第三次取出黑球”， 即， 第一类“三次全部取出黑球”； 第二类“第一次取红球，第二次取黑球，第三次取黑球”； 第三类“第一次取黑球，第二次取红球，第三次取黑球”； 第四类“前两次全部取出红球，第三次取出黑球”； 所以 ； 【小问3详解】 由题意得，当时，，即， 累乘可得， 即，也符合， 所以． 由题意得，当时， 即， 令，则，， 两边同时除以，得， 即， 累加可得 ，即 也符合，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如下四个散点图中，负相关的是（ ） A. B. C. D. 2. （，）可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点得到y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 已知（）的展开式中的常数项为24，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 某学校食堂有8个窗口，分别卖：拉面、盖饭、麻辣烫、汉堡、水饺、炒河粉、粥、米粉，现有两位同学分别从这8个窗口中随机选择1个窗口买饭．这两位同学中至少有一人选择在拉面窗口买饭的条件下，他们选择的窗口不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某产品参数X服从正态分布，按照16%，34%，34%，16%的比例按参数从高到低将产品划分为1、2、3和4四个品级．若某个产品的参数为192，则其品级是（ ） 附：，， A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 某教育研究小组收集了10名高中生每周用于数学复习的时间x（小时）与其数学测试成绩y（百分制）的数据．经计算得，，，，，其中，分别为数学复习的时间与数学测试成绩的标准差，r为相关系数．若用经验回归方程预测成绩，则方程应为（ ） 参考公式：样本相关系数 经验回归方程中斜率的最小二乘估计公式 A. B. C. D. 8. 用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的经验回归方程为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 B. ； C. 在经验回归分析中，若的值越大，则模型的拟合效果越好 D. 在经验回归方程中，当变量x每增加一个单位时，减少2个单位 10. 设是一个随机试验中的两个事件，记，，则下列说法正确的是（ ） A. 若相互独立，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 小张上班有时坐地铁，有时骑电动车，他各记录了100次坐地铁和骑电动车上班所用的时间，经数据分析得到：坐地铁平均用时30分钟，样本标准差为6；骑电动车平均用时36分钟，样本标准差为2．已知随机变量，则．假设小张坐地铁用时X和骑电动车用时Y都服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若某天有40分钟可用，小张要想尽可能不迟到应选择骑电动车 D. 若某天有37分钟可用，小张要想尽可能不迟到应选择乘地铁 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中含项的系数为__________． 13. 某公司安排小张在六天中分别完成A、B、C、D、E、F六项不同的任务（每天一项），并且要求A在B之前做，C与D不在相邻的两天做，则不同的任务安排顺序有__________种． 14. 已知，则a被26除的余数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从0，1，5，6，8，9中选四个数字，组成无重复数字的四位数，求分别满足下列的数有多少个？ （1）可以组成多少个四位数？ （2）可以组成多少个偶数？ 16. 良好的睡眠习惯是保持健康的一种有效策略．某医学研究者为研究睡眠习惯和免疫力水平之间的关系，得到如下数据（单位：人）： 免疫力高 免疫力不高 合计 有良好的睡眠习惯 400 200 600 没有良好的睡眠习惯 100 300 400 合计 500 500 1000 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“有良好的睡眠习惯”与“免疫力高”有关联？ （2）按比例分配的分层随机抽样，从有良好的睡眠习惯的人中抽取6人，从这6个有良好的睡眠习惯的人中随机抽取2人，求这2人中“免疫力高”的人数X的分布列和数学期望． 附：，其中 独立性检验中4个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 某学生在一次模拟考试中，遇到两道独立的选择题．每道题有4个选项，其中只有1个正确，该学生可以选择两种答题策略： 策略1：两道题都随机猜一个选项． 策略2：第一道题认真思考（正确概率为0.8），若第一题做对，则第二题也认真思考（正确概率仍为0.8）；若第一题做错，则第二题随机猜一个选项． （1）求在策略1下，该学生恰好答对1题的概率； （2）求在策略2下，该学生答对题数X的分布列； （3）比较两种策略下该学生答对题数的期望，并判断哪种策略更优． 18. 某市自2020年起，在多个社区设立“环保志愿者”岗位．每年，社区根据规模提供一定数量的志愿者名额，居民可自愿报名参加，市环保部门统计了近6年志愿者名额x与报名人数y的相关数据，如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 2025 志愿者名额x（个） 2 4 6 8 10 12 报名人数y（位） 参考数据：，，，， 参考公式：样本相关系数 经验回归方程中斜率的最小二乘估计公式 （1）已知该市某大型社区在2024年和2025年共有12人报名，且两年无重复报名人员，12人中有8位男性，已知2024年男性报名人数多于2025年．若从这12人中随机抽取2人，两人均为男性且分别来自2024年和2025年的概率为．现从这12人中随机抽取3人，记其中在2024年报名的男性人数为X，求X的分布列； （2）已知变量y与x的相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程，并据此预估志愿者名额为15个时报名的人数． 19. 一袋子中装有大小相同的2个黑球和1个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入1个异色的球．记第n次这样的操作后，袋中黑球的个数为2的概率为，黑球的个数为3的概率为，事件为“第n次取出的是黑球”． （1）求，； （2）已知当时，，证明：，并求； （3）求，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $