专题06矩形性质与判定期末复习讲义(18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题06矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解矩形的定义，明确矩形属于特殊的平行四边形。 2.熟练掌握矩形边、角、对角线、对称性所有性质。 3.掌握矩形三种判定定理，理清平行四边形与矩形的性质、判定区别。 4.掌握直角三角形斜边上中线的性质及其推论。 1.能利用矩形性质进行边长、角度、对角线、面积相关计算。 2.能根据题干条件，灵活选择判定方法，证明一个四边形是矩形。 3.会运用直角三角形斜边中线定理解决几何计算题与证明题。 4.提升几何识图能力，规范几何证明书写格式，提升综合推理能力。 1.熟练解决矩形基础概念、边角计算、填空选择题，基础不丢分。 2.能区分平行四边形与矩形的性质与判定，避免定理混用。 3.熟练掌握矩形证明大题、斜边中线高频题型解题套路。 4.规避常见易错点：混淆矩形与平行四边形对角线性质、证明步骤跳步、判定条件使用错误。 题型01.矩形性质求角度 题型02.矩形性质求线段长 题型03.矩形性质求面积 题型04.矩形性质证明 题型05.求矩形在坐标系中的坐标 题型06.矩形与折叠问题 题型07.添条件使四边形是矩形 题型08.证明四边形是矩形 题型09.矩形性质与判定求角度 题型10.矩形性质与判定求线段长 题型11.矩形性质与判定求面积 题型12.斜边中线等于斜边一半 题型13.矩形中的动点问题 题型14.矩形中最值问题 题型15.矩形存在性问题 题型16.矩形与旋转综合 题型17.矩形多结论问题 题型18.矩形与中位线综合 知识点01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 1.从属关系：矩形属于平行四边形，具备平行四边形的全部性质。 2.定义的双重作用： 作性质：若四边形是矩形，则它是有一个角为直角的平行四边形； 作判定：平行四边形中，只要有一个角是直角，该四边形即为矩形。 知识点02:矩形的性质 矩形包含平行四边形共有性质和自身独有性质，汇总如下： 分析角度 平行四边形通用性质 矩形独有专属性质 图形特征 边 对边平行、对边相等 邻边相互垂直 角 对角相等，邻角互补 四个内角均为90 对角线 两条对角线互相平分 对角线长度相等 对称性 仅中心对称 轴对称 + 中心对称兼备 知识点03:重要推论（直角三角形斜边中线定理） 矩形的一条对角线可将其分割为两个全等直角三角形，由此得出核心结论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点04:矩形的判定定理 分两类判定思路：从平行四边形判定、从一般四边形判定，共 3 种常用判定方法。 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 补充说明 1.判定优先级：优先观察题干给出条件，已知是平行四边形，优先用 “一个直角” 或 “对角线相等”；已知是任意四边形，优先用 “三个直角”。 2.易错提醒：仅有两个角是直角的四边形，不能判定为矩形。 知识点05:矩形相关计算 1.周长：C=2(长+宽) 2.面积：S=长宽 3.结合勾股定理：矩形相邻两边与对角线构成直角三角形，满足勾股定理。 知识点06:性质与判定辨析 性质：已知图形是矩形，推导边、角、对角线的数量与位置关系（由形得关系）； 判定：已知边、角、对角线的关系，证明四边形为矩形（由关系得形）。 知识点07:高频易错点 易错点 错误表述 / 做法 正确内容 判定误用 对角线相等的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形才是矩形 角的判定 两个角为直角，判定四边形是矩形 必须三个角是直角，才能判定任意四边形为矩形 对角线性质混淆 混淆平行四边形与矩形对角线特点 平行四边形对角线仅平分；矩形对角线平分且相等 定理应用 忽略直角三角形斜边中线定理使用前提 定理只适用于直角三角形，非直角三角形不成立 对称性 认为矩形只有中心对称 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形（2 条对称轴） 题型01.矩形性质求角度 1．如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，则，，由作图可得垂直平分，则，从而可得，由此计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在矩形中，对角线、相交于点，点是边上一点，连接，与相交于点，过点作于点，连接，若，，则______． 【答案】/66度 【分析】根据角平分线的判定定理得出平分，求出的度数，利用矩形性质和等腰三角形性质求出，通过证明 得出 ，利用三角形内角和定理求出 ，最后利用平角定义求解． 【详解】 四边形是矩形 ， ， ， ，， ， 平分， ． ， ， ． 在中，． 平分， ． 在 中， ， ． 在和中 ， ． 在 中，， ， ． 3．仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹 (1)在图1中，矩形中，点E在上，，画出的平分线； (2)在图2中，矩形中，点E在上，，画出的平分线EF； (3)在图3中，过点G作直线将平行四边形的面积平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图：连接，由得到，由得，则，即可确定平分； （2）如图：连接相交于O点，连接，利用矩形性质得到，则，根据等腰三角形的性质可判断平分； （3）如图：连接相交于O点，过O、G作直线交与H，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图：连接，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图：直线即为所求． 【点睛】本题主要考查了、平行四边形的性质、矩形的性质等知识点，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，掌握基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解答本题的关键． 题型02.矩形性质求线段长 4．如图，矩形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，若，则的长为（     ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据矩形的性质和三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，分别是，的中点，， ∴， ∴. 5．如图，矩形的对角线，交于点O，E是上一点，连接，，若，，则的值是________． 【答案】 【分析】先证明，得到，，由得到，因此，即可得出，即，根据勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 6．如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，连接，点F是延长线上一点，连接分别交于点O，G．若，则的长为________． 【答案】 【分析】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图，求出直线的解析式为，直线的解析式为：；求出两条直线交点坐标，再求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴； 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，， 设的解析式为：， 代入，得， 解得， 所以，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 代入得， 解得：， 所以，直线的解析式为：； 联立方程组， 解得， ∴， ∴． 7．如图，在矩形中，，，为矩形的对角线，点M，N分别在，的边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为点，点C的对应点为点，连接，，． (1)如图1，若点A，在的同侧． ①求证：． ②当时，求四边形的面积． (2)如图2，当点，都落在矩形的对称轴上时，求线段的长． 【答案】(1)①见解析② (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质和三角形全等的判定SAS，证明，得到，再根据折叠的性质推出，最后利用三角形全等的判定SAS即可证得； ②先利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，证明四边形为平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，证得平行四边形为菱形，最后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解； （2）由折叠和矩形的性质得到，，再利用勾股定理求得，同理可得，最后根据，代入数值即可求解． 【详解】（1）解：如图所示标记点 ①证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，分别沿，折叠得到，， ∴，，，， ∴，， ∴， ， ∴， 在和中 ， ∴； ②由①知，， ∴， ∵，分别沿，折叠得到，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形， ∴，， ∵在矩形中，，， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （2）解：∵，分别沿，折叠得到，，且折叠后点，都落在矩形的对称轴上， ∴，，， 在中，由勾股定理得，， 同理可得，， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了折叠的基本性质，矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质及其菱形的面积，三角形全等的判定和性质和勾股定理等，熟练掌握这些知识并灵活应用是解题的关键． 题型03.矩形性质求面积 8．如图，孙大伯要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形（即）．棚宽．高，长，求覆盖在顶上的矩形塑料薄膜的面积． 【答案】覆盖在顶上的塑料薄膜需 【分析】考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理计算．首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，即是矩形的宽．再根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据勾股定理，得直角三角形的斜边， ∴覆盖在顶上的塑料薄膜的面积为：． 9．列方程（组）解应用题：如图，矩形由10块形状大小相同的小长方形纸片拼接而成． (1)求一块小长方形纸片的长和宽； (2)求由小长方形拼接的矩形的面积． 【答案】(1)一块长方形纸片的长为，宽为 (2) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解答此题的关键． （1）首先设一块长方形纸片的长为，宽为，然后用的代数式分别表示出长方形的两条长边分别为，，宽为,进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案； （2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案． 【详解】（1）解：设一块长方形纸片的长为，宽为． 依题意得： ， 解得： ， 答：一块长方形纸片的长为，宽为． （2）由小长方形拼接的矩形的面积为． 答：小长方形拼接的矩形的面积为． 10．如图1，在矩形中，，点E在边上，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为秒，连结，当点P运动到点D时，． (1)_________； (2)当_________秒时，平分矩形的面积； (3)连结，当的面积为6时，求的值； (4)如图2，作点A关于直线PE的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出的值． 【答案】(1)4 (2)8 (3)或7 (4)或7或 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）当时满足平分矩形面积，进而根据路程求解即可； （3）分类讨论，当点P在上和上，再根据面积建立关于t的你方程求解即可； （4）根据对称的性质，可知，所以可以以E为圆心，为半径画圆，与矩形的边的交点即为对应，有几个点则会有几种情况，然后分类讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题可知， 在中，，， ∴， 故答案为：4； （2）解：如图，当点P在上时，且，时， 平分矩形的面积， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8； （3）解：分以下两种情况讨论： ①如图，当点P再上时， 此时， ∴， ∴， 即； ②如图，当点P在上时， 此时此时， ∴， ∴； 综上，t的值为或7； （4）解：分以下三种情况讨论： ①如图，当点A落在边上且靠近点D时， ∵点A关于对称点为， ∴，， 过E作于点F，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； ②如图，当点A落在边上且靠近点C时， 同理，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； ③如图，当点A落在边上时， 此时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得； 综上，t的值为或7或． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型04.矩形性质证明 11．如图，在矩形中，点在边上，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据矩形的性质得，再证明与全等，由此可证． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中，∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，可得，再由等腰三角形的性质，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 13．学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． (1)【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． (2)【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析；8 【分析】（1）根据“可等垂四边形”的定义得到是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形和矩形的性质，推导线段和的数量关系； （2）利用“一线三垂直”模型证明，根据全等三角形的性质从而得到线段间的和差关系； 结合等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理先求出的长度，再利用等腰三角形的性质求出． 【详解】（1）解： 证明：如图（1），过点作于点，则， ∵矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即． （2） 证明：∵，， ∴， ∴； ∵四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】在第（2）问的第小问利用“一线三垂直”模型证明三角形全等是解题的关键． 题型05.求矩形在坐标系中的坐标 14．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 【答案】 【分析】设点B的坐标为，根据长方形的性质求出长，利用求出的长，进而得出点C的坐标，代入即可求解． 【详解】解：设点B的坐标为，其中， 四边形是长方形，点、在x轴上 ， 轴、轴、轴， ， 点C的纵坐标为 ， ， ， 点C的横坐标为， 点C的坐标为， 将点代入得：， 解得． 15．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和点，得出，，根据折叠的性质可得，，在中，由勾股定理求出 ，则，即点坐标为，求出直线的解析式，令，得，即可求出的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得： ， ∴，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得： ，解得， 即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴的坐标为． 16．如图，已知长方形ABCO中，边AB=12，BC=8．以点O为原点，OA、OC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系． （1）点A的坐标为（0，8），写出B、C两点的坐标； （2）若点P从C点出发，以3单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以2单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，t秒后，写出△BCP的面积S与t之间的函数关系式； （3）在P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化?若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】（1）；（2）；（3）不变，48 【分析】（1）根据矩形的性质和点A 的坐标即可得解； （2）根据题意可得PC的长，利用三角形的面积公式即可求得S与t之间的函数关系式； （3）设P，Q运动时间为t，利用t表示出△ABQ和△BCP的面积，根据S四边形OPBQ=S四边形ABCO- S△ABQ- S△BCP即可求解，根据结果进行判断即可． 【详解】（1）∵四边形ABCO是长方形， ∴OC=AB=12， ∵BC=8， ∴ （2）P运动t秒时，CP=3t S=×3t×8=12t(0≤t≤4)， （3）四边形OPBQ的面积不会发生变化，理由如下：                        设P，Q运动时间为t，则OQ=2t，PC=3t， ∴AQ=AO-OQ=8-2t， ∴S△ABQ=AQAB=×(8-2t)×12=48-12t， S△BCP=PCBC=×3t×8=12t， ∴S四边形OPBQ=S四边形ABCO- S△ABQ- S△BCP=12×8-(48-12t)-12t=48， ∴四边形OPBQ的面积不会发生变化，其值始终为48． 【点睛】本题考查了点的坐标，矩形的性质，三角形的面积等知识．正确表示四边形OPBQ的面积是解题的关键． 题型06.矩形与折叠问题 17．如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为______． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质得到，由平行线的性质推出，由折叠的性质得到，于是得到，即可求出结果． 本题考查平行线的性质，折叠问题，解题的关键是由平行线的性质推出，由折叠的性质得到 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， 由折叠的性质得到：， ， ， 故答案为： 18．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折的性质以及勾股定理，先求，再求出，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由翻折可知：，， ， ， ， 在中， 根据勾股定理得：， ， 解得：， ． 19．如图，长方形纸片中，，．点E是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以C，E，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当时，根据翻折变换的性质求出，判断出是等腰直角三角形，从而求出；②当时，判断出、、在同一直线上，利用勾股定理求出，再设，在中利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知，，，， 分两种情况讨论： ①当时，如图1， ， ， 由翻折变换的性质得， 在中，， 是等腰直角三角形， ； ②当时，如图2， ，， ， 、、三点在同一直线上， 在中，由勾股定理得， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． 综上所述，的长为或． 20．已知矩形的边满足，点为边上一动点，连接，将沿折叠至，延长，交矩形的边长于点． (1)当时，矩形为正方形． ①如图1，若点与点重合，且，求； ②如图2，连接，交于点，连接，，若点是中点，判断的形状，并说明理由； (2)如图3，点是中点．求（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；②为等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）①设正方形的边长为a，利用折叠性质可知，从而求出的长度，接着在中，利用勾股定理建立关于a的方程解出a即可求出； ②设正方形的边长为b，利用折叠的性质得到，，，，且垂直平分，因此点H为的中点，通过三角形中位线定理可推出，，由此可得，确定是直角三角形，接着，在中，利用勾股定理求出的长度，再利用面积法求出的长度，进而得出的长度，最后，在中，用勾股定理求出的长度，发现，结合从而最终判定为等腰直角三角形； （2）设，则，利用折叠的性质可得，，，利用勾股定理求出的长度，从而计算出的比值． 【详解】（1）解：①设正方形的边长为a，则， 由折叠可知：，，， 在中，， ， 在中，， 即， ， ； ②是等腰直角三角形，理由如下： 设正方形的边长为b， 点是中点， ， 由折叠可知：，，，， 则垂直平分，即点H为的中点， ，，， ， 是直角三角形， 在中，， ， 即， ， ， 在中，， ， 是等腰直角三角形； （2）解：设，则，， 由折叠可知：，，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得， ， ． 【点睛】该题的题眼在于“折叠”二字，不论图形如何变化，折叠前后的对应边、对应角相等是解题的关键，同时，通过建立平面直角坐标系将几何位置关系转化为代数关系，是解决动点和参数问题的通法． 题型07.添条件使四边形是矩形 21．如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形和平行四边形的关系即可解答． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，即； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，即，……． 22．战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．随后通过实用技术的不断进步，总结出了校验矩形的方法，如图，下列条件能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形， 在中，，可得四边形是矩形， 故选：D． 23．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接，延长、相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)直接写出满足怎样的数量关系时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）证明，推出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得到四边形是平行四边形； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，即， ∴，， ∵E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 题型08.证明四边形是矩形 24．对于四边形，给出下列4组条件：①；②，；③；④．其中一定能得到“四边形是矩形”的条件有___________．（填给定条件的序号） 【答案】① 【详解】解：①，可得每个角的度数为，四个角都是直角的四边形是矩形，因此四边形是矩形，故①正确． ②，，可得 ，即，无法推出四个角都是直角，例如等腰梯形可满足该条件，但不是矩形，因此四边形不一定是矩形，故②错误． ③，，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，只能判定该四边形为平行四边形，平行四边形不一定是矩形，因此四边形不一定是矩形，故③错误． ④，可得 ，无法保证四个角都是直角，因此四边形不一定是矩形，故④错误． 25．如图，在中，D是边上一点，且，平分交边于点E，平分交边于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证，，再由，即可得出结论； （2）先求出，由勾股定理求出，证出是的中位线得出，由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分，平分， ，，       ， 即，       ，平分， ，       又， 四边形是矩形． （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， ，， ，，E是的中点．       ， ， ，       ，即D是的中点． 是的中位线． ，       26．如图，在中，于点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，，且于点，若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明得出，，进而得出，即可证明四边形是平行四边形，结合已知，即可得证； （2）设，勾股定理分别求得，在中，建立方程，解方程，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：中 ，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是矩形 （2）解：， ， ， ， 在中， 设，则，， 在中， 在中， 解得， ． 题型09.矩形性质与判定求角度 27．如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 28．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 29．如图，在平行四边形中，点E、F、G、H分别在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是证明四边形是矩形． （1）由平行四边形的性质得到，得到，由即可证明； （2）由，，得到，推出四边形是平行四边形，又，得到四边形是矩形，因此，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（1）知， 同理：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 题型10.矩形性质与判定求线段长 30．如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点，如果且，则______． 【答案】8 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 连接，根据三角形中位线定理得出，，，再由矩形的判定得出四边形为矩形，利用其性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴ 故答案为：8． 31．如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（   ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质和垂线段最短可知，的最小值即为的最小值，当时，取得最小值，根据平行四边形的面积进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵于点于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 则的长不可能是． 32．如图，矩形ABCD中，，点E是AD上的一点，且，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10.5 【答案】B 【分析】过点E作EP⊥BC于点P，易证四边形ABPE和四边形CDEP为矩形，得出CD=EP=8，DE=CP=4，根据AAS易证△AEG≌△BFG，得出AE=BF，又FH垂直平分EC，得出FC=FE，令BC=x，则BP=AE=BF=x-4，进而EF=FC=2x-4，FP=2x-8，在Rt△EFP中，EP2+FP2=EF2，进行求解即可． 【详解】解：过点E作EP⊥BC于点P， 在矩形ABCD中 ∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=8， ∴四边形ABPE和四边形CDEP为矩形， 又，， ∴CD=EP=8，DE=CP=4， ∵G是AB的中点， ∴AG=GB=4， 又AD∥BC， ∴∠AEG=∠BFG， 又∠AGE=∠BGF， ∴△AEG≌△BFG（AAS）， ∴AE=BF， ∵FH垂直平分EC， ∴FC=FE， 令BC=x，则BP=x-4， 又AE=BF=BP， ∴BP=AE=BF=x-4， ∴EF=FC=2x-4，FP=2x-8， 在Rt△EFP中，EP2+FP2=EF2， ∴82+（2x-8）2=（2x-4）2 解得x=7． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长． 33．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在直角三角形中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 题型11.矩形性质与判定求面积 34．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，作轴于点，连接，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：4 35．如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，，，， ， ， ，， ， ． 36．如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）首先推知是等边三角形，所以，再用菱形的对角线互相平分即可求得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 又四边形是菱形， ，即， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 题型12.斜边中线等于斜边一半. 37．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 【答案】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，． 在中，，是斜边上的中线， ． 38．如图，在矩形中，，.如果、分别是、的中点，是对角线上的点，，则的长为_____． 【答案】2或8 【分析】先得到四边形是平行四边形，则，由勾股定理求解得到，设与交于点，可证明，则，，再由直角三角形斜边上的中线的性质求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ∴，，， ∵、分别是、的中点， ∴ 四边形是平行四边形， ， ∵， 设与交于点 ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ， ， 同理：． 综上：的长为或． 39．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，，点E，F，G分别是的中点，交于点H．以下结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得，由三角形面积关系得出，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，，，，， ， ， 点为中点， ，故A正确； 、、分别是、、的中点， ，， ，， ， ，故B正确； ，， 四边形是平行四边形， ， 即，故C正确； ，， ，， ∴ ，故D不正确． 40．如图，在中，于点E，F是的中点，连接，，，且，平分． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)如图2，连接，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）不妨设交于点，先通过角平分线证明，再通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，推出，接着证明 ，继而可得 ，即得出的度数 ； （2）延长交的延长线于点，证明，再证垂直平分，在中，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出，最后在中，利用勾股定理求出的长； （3）延长交的延长线于点，先证明，设，则，在中，由勾股定理解得，，；取中点H，连接，证明，再证明为等腰直角三角形，从而得出． 【详解】（1）解：不妨设交于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵，是的中点， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 又，， ∴， ∴． （2）解：延长交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， 又∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）知，即， 又，即为的中点， ∴垂直平分， ∴ ， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵为的中点，， ∴， 在中，，， ∴． （3）解：延长交的延长线于点， 由（2）知， ∴，， 由（1）知，故垂直平分， ∴， 设，由得， 在中，，代入得， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴； 取中点，连接，如图 ， ∵为中点，为中点， ∴且， ∵ ∴， 又， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 题型13.矩形中的动点问题 41．如图，长方形中，，，点Q是的中点，点P在边上运动，当是等腰三角形时，的长为_____． 【答案】4或5或6或16 【分析】首先根据矩形的性质得到，，求出，然后分三种情况讨论，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵点Q是的中点， ∴， 当是等腰三角形时， ①当时，过P作于点M，则，如图1所示： ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴； ②当时， 在中，， ∴； ③当时，以点Q为圆心，为半径作圆，与交于P、S两点，连接，如图2所示，过Q作，交于点N， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， 则，， 即P、S为满足条件的P点的位置， ∴或． 综上所述，的长为4或5或6或16． 42．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为（     ）． A．3 B．3.5 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再根据折叠的性质得到、、，设，用表示出、，最后在中由勾股定理列方程求解． 【详解】解：由四边形是矩形，， 则，，， 在中，由勾股定理得，， 由折叠性质可得：，，，， 设，则，故， 在中，根据勾股定理， 代入得：， 解得， ． 43．如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线的垂直平分线上的一动点，若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合矩形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵点是对角线的垂直平分线上的一动点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是． 44．如图，在矩形中，，，P是的中点，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→D→C→B→A的方向向终点A运动，设点Q运动的时间为x秒（）． (1)点Q在上时，用含x的代数式表示的长； (2)当时，直接写出x的值； (3)若的面积为S，求S与x的函数关系式（）； (4)在整个运动过程中，当时，直接写出x的值． 【答案】(1) (2)秒或8秒 (3) (4)x的值为或 【分析】（1）根据题意直接写出即可； （2）分两种情况讨论，当点Q在上和点Q在上时，分别列式计算即可求解； （3）分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式即可求解； （4）分两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：点Q在上时，则； （2）解：当点Q在上时，则， ∴， 由题意得， 解得； 当点Q在上时，则， 由题意得， 解得； （3）解：当点Q在上即时，则， 由题意得； 当点Q在上即时，则， 由题意得； 当点Q在上即时，则， 由题意得； 综上，； （4）解：当点Q在上时，如图， 此时，则，， ∵，， 在中，由勾股定理得， 解得； 当点Q在上时，如图， 此时，则， ∵，，， 由勾股定理得， 解得； 综上，x的值为或． 题型14.矩形中最值问题 45．如图，在中，，，，为边上的动点，于点，于点，连接，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，判定四边形是矩形，得出，然后根据勾股定理求出相关线段的长度，根据垂线段最短以及等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 根据垂线段最短可得，当时，的值最小，即的值最小， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴当时，由等面积得， ∴， 即线段长度的最小值是． 46．如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点O，连接，由题意易得，，然后根据三角形三边不等关系进行求解即可． 【详解】解：取的中点O，连接，如图所示： ∵在矩形中，，N是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，O是的中点， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，则有当点O、M、N三点共线时，有最小值，最小值为． 47．在矩形中，，，点E、F分别是边，上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，要求的最小值，即求的最小值，作D点关于的对称点，连接交于E，则的值最小，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 要求的最小值，即求的最小值， 作D点关于的对称点，连接交于E， 则的值最小， ∵，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 48．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点位于原点，且点，分别位于轴，轴上．若满足．点是线段上一点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交轴于点． (1)点坐标为 ； (2)当点与点重合时，在图中用直尺和圆规作出点（不写作法，保留作图痕迹），点的坐标为 ； (3)当时，如图3，求点的坐标； (4)如图4，在（2）的条件下，点位于线段上，且．点为平面内一动点，满足，连．直接写出线段长度的最大值为 ． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) (4) 【分析】（1）由非负数的性质求出，即可求解； （2）作的角平分线交于点M，由勾股定理得，设，在中利用勾股定理求出x即可； （3）由折叠得，，可证，由余角的性质证明得， 然后证明四边形是平行四边形即可求解； （4）取的中点，连接，．当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：如图，点M即为所求， ∵四边形是矩形，， ∴，． 由折叠得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接． 由折叠得，， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； （4）解：取的中点，连接，．   ，点是的中点，． ， ， ， 由中点坐标公式可知：点的坐标为， ， ， 当点、、三点共线时，的长度最大， 则的最大值为， 的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性，矩形的性质，等角对等边，直角三角形斜边的中线，勾股定理，平行四边形的判定与性质、轴对称的性质，坐标与图形等知识，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 题型15.矩形存在性问题 49．如图，在中，，，点，在对角线上，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以相同速度向点运动，到点时运动停止，运动时间为秒． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求为何值时，四边形为矩形． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， 点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以相同速度向点运动，， ， ， 四边形为平行四边形； (2)当时，四边形为矩形 【分析】（1）利用平行四边形的性质推出，根据同时同速得到，即可得证结论； （2）要使四边形为矩形，只需要，求出即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：当，四边形为矩形， 理由：要使四边形为矩形，只需要， 当点在的下方时，如图所示， 此时四边形为矩形，， ， ． 50．如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)13，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，则，证明，得，根据对边平行且相等，即可证明四边形是平行四边形； （2）当时，，由平行四边形的性质得，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 51．如图①，在四边形中，，，，，，动点从点出发以的速度向点运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设动点的运动时间为秒． (1)；．用含的代数式表示 (2)①当时，四边形是矩形； ②从运动开始，需要经过多长时间，才能使； (3)连接，当线段把四边形面积分成两部分时，求的值； (4)如图②，若点是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3) (4)或 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）①根据矩形的性质可得，②分两种情况讨论，当，时，即四边形是平行四边形；过点作于点，延长至，使得，当四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据梯形的面积公式分别求得四边形，的面积，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （4）分两种情况讨论当在的左边时，当在的右侧时，分别画出图形，根据菱形的性质求得的长，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：设动点的运动时间为秒 ∵动点从点出发以的速度向点运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动， ∴， ∵， ∴， （2）解：①当四边形是矩形时， ∴ 解得：； ②当，时，四边形是平行四边形， ∴ ∴ 解得： 如图，过点作于点，延长至，使得，则， ∴ 当时， 四边形是平行四边形， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或时，； （3）解： 当线段把四边形面积分成两部分时， ∴四边形的面积为四边形的或 ，解得： ，解得： 综上所述， （4）解：如图，当在的左边时， ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴ ∴ 当在的右侧时，如图，此时， ∴， ∴ 综上所述，或时，以点、、、为顶点的四边形是菱形 题型16.矩形与旋转综合 52．如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 【答案】①③/③① 【分析】过点作于点，由旋转的性质得：，证明和，根据全等三角形的性质逐一判定即可． 【详解】解：过点作于点， ， 在矩形中，， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，③正确； ，①正确； 设，则， ， ，②错误； ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，则④错误； 综上，结论正确的有①③． 53．如图，矩形中，点与轴正半轴的夹角为．若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2026秒时，矩形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，每秒旋转，8次一个循环，，第2026秒时，矩形的对角线交点D与第2次的点D的坐标相同，第2次点D落在第二象限的对角线上，由此可得结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵每秒旋转，8次一个循环，， ∴此时点D与第2次的点D的坐标相同，如图所示： 过点作轴于点E，由旋转的性质可知：， ∴， ∴点D的坐标为． 54．数学课上，同学们对矩形进行探究，已知矩形中，，，将绕点A旋转得到． (1)如图1，当点E落在上，连接，求线段的值． (2)如图2，在旋转过程中，设点M，N分别为，中点，连接，当为正整数时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)1或或或 【分析】（1）利用勾股定理求出，再结合旋转的性质推出，最后再次利用勾股定理求解，即可解题； （2）连接，根据三角形中位线性质推出，由旋转的过程可知，，进而推出，再结合为正整数分析求解，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形中位线定理，并结合图形添加适当的辅助线． 【详解】（1）解：矩形中，，， ， 将绕点A旋转得到， ，， ，， ； （2）解：连接， 点M，N分别为，中点， ， 由旋转的过程可知，，， ， 即， ， ， 为正整数， 的值可以为或或或． 题型17.矩形多结论问题 55．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 【答案】C 【分析】①根据得，再根据得，由此可对结论①进行判断： ②根据平行四边形性质得，再根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③过点作于点，根据，得，进而证明得，同理证明得，由此可对结论③进行判断． 【详解】解：①如图1所示： 在矩形中，，则， 在中，，则， ，故结论①正确； ②∵四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ，故结论②不正确； ③过点作于点，如图2所示： ， ∵，， 又， ， 在矩形中，， ， 在和中， ， ， ， 同理，在和中， ， ， ， ，故结论③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 56．如图，在矩形中，，，点M，N分别是边，上的动点，点M不与A，B重合，且，P是五边形内满足且的点．现给出以下结论： ①； ②点P到边，的距离一定相等； ③点P到边，的距离可能相等； ④点P到边的距离的最大值为1； 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，：结合，，判断结论①正误；可证明，判断结论②正误；结合，可判断结论③正误；结合，可判断结论④正误． 【详解】解：如图所示，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴，． ∴． ∴点，，共线． 同理可得点，，共线． ∵， ∴四边形为矩形． ∴． 同理可得． ∵，，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 结论①正确． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴点到边，的距离一定相等． 结论②正确． ∵， ∴． ∴． ∴点到边，的距离不相等． 结论③错误． ∵ ∴的最大值为． 结论④错误． 综上所述，结论正确的为①②，共2个． 57．如图，矩形中，，对角线相交于O，过C点作交于E点，H为中点，连接交于G点，交的延长线于F点，下列4个结论：①；②；③；④．正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用直角三角形的斜边中线可判断①结论；根据等边对等角和等角的余角相等可判断②结论；利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定可判断③结论；根据等边对等角的性质，得出，结合三角形外角的性质，得出，再结合等角对等边，可判断④结论． 【详解】解：在中，H为中点， ， ， ，①结论正确； ， ， ，， ，②结论正确； 如图，连接， ，， ， 同理可得，， ，即， ， 不能得出，③结论错误； ， ， 矩形， ，，， ，， 由②可知，， ， ， ， ， ， ， ，④结论正确． 题型18.矩形与中位线综合 58．如图， 中，M、N 分别为、中点，点 P 在上，且，若，，则（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】由是中位线得到，由斜边中线得到，最后根据计算即可． 【详解】解：∵M、N 分别为、中点， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∵，，M为中点， ∴， ∴． 59．如图，四边形为矩形，，，对角线，相交于点O，E是边的中点，F是上一点，连接，将沿折叠，当点D的对应点G落在矩形的对角线上时，连接，则的长是______． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点落在上时，设交于点，当点落在上时，设交于点，连接，分别结合矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∴， ∴， 如图，当点落在上时，设交于点， ∵点E是边的中点， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点落在上时，设交于点，连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 60．如图，矩形中，，，点E，F分别是，边上的动点，连接，，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】连接、，在直角中，使用勾股定理求出．容易判断出是的中位线，则，结合，求出的最大值． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，取得最大值， 此时， ∴的最大值为． 61．四边形的探究与实践 (1)问题背景：如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，， ①若，，则________； ②求证：四边形为平行四边形； (2)问题探究：如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：； (3)问题拓展：如图，在（2）的条件下，连接，，若，直接写出的值． 【答案】(1)① ②见解析 (2)见解析 (3) 【分析】  （1）①利用矩形对角线相等且互相平分的性质，先通过勾股定理计算矩形对角线的长度，再取长度的一半即可得到的数值． （1）②利用三角形中位线的性质，得到平行且等于的一半，结合是中点的条件，推导出和平行且相等，直接用一组对边平行且相等的平行四边形判定定理完成证明． （2）通过构造边上的中位线，利用中位线性质得到和平行且相等，先证得是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到等角关系，最终通过等角对等边证明． （3）采用坐标法建立平面直角坐标系，将点放在原点简化计算，依次写出各点坐标，求出直线和的交点的坐标，结合的条件列方程求解出的长度，最后直接计算和的长度比值，得到最终结果． 【详解】（1）①在矩形中，，，， 由勾股定理得， ； ②证明：点是的中点， 点是的中点， 是的中位线，可得 ， 又点是的中点， ， ，且， 四边形为平行四边形． （2）证明：取的中点，连接． 点是的中点， 是的中位线， ， 已知， ， 又， ，即， 四边形是平行四边形， ， 在中，是中点， ， 可得， 由，得， ， 由等角对等边得． （3）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系,如图：设，由，得， ， 由，得 ，即， 设，是中点，故． 设直线的解析式为：, 将点和代入解析式， 得， 解得： 方程为． 同理得，直线的解析式为：． 联立方程求交点：， 解得，， 代入解析式： ， 故． 由得： ， 解得，， ∵点B在点E的左侧，则取， 代入，得各点坐标： ，， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解矩形的定义，明确矩形属于特殊的平行四边形。 2.熟练掌握矩形边、角、对角线、对称性所有性质。 3.掌握矩形三种判定定理，理清平行四边形与矩形的性质、判定区别。 4.掌握直角三角形斜边上中线的性质及其推论。 1.能利用矩形性质进行边长、角度、对角线、面积相关计算。 2.能根据题干条件，灵活选择判定方法，证明一个四边形是矩形。 3.会运用直角三角形斜边中线定理解决几何计算题与证明题。 4.提升几何识图能力，规范几何证明书写格式，提升综合推理能力。 1.熟练解决矩形基础概念、边角计算、填空选择题，基础不丢分。 2.能区分平行四边形与矩形的性质与判定，避免定理混用。 3.熟练掌握矩形证明大题、斜边中线高频题型解题套路。 4.规避常见易错点：混淆矩形与平行四边形对角线性质、证明步骤跳步、判定条件使用错误。 题型01.矩形性质求角度 题型02.矩形性质求线段长 题型03.矩形性质求面积 题型04.矩形性质证明 题型05.求矩形在坐标系中的坐标 题型06.矩形与折叠问题 题型07.添条件使四边形是矩形 题型08.证明四边形是矩形 题型09.矩形性质与判定求角度 题型10.矩形性质与判定求线段长 题型11.矩形性质与判定求面积 题型12.斜边中线等于斜边一半 题型13.矩形中的动点问题 题型14.矩形中最值问题 题型15.矩形存在性问题 题型16.矩形与旋转综合 题型17.矩形多结论问题 题型18.矩形与中位线综合 知识点01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 1.从属关系：矩形属于平行四边形，具备平行四边形的全部性质。 2.定义的双重作用： 作性质：若四边形是矩形，则它是有一个角为直角的平行四边形； 作判定：平行四边形中，只要有一个角是直角，该四边形即为矩形。 知识点02:矩形的性质 矩形包含平行四边形共有性质和自身独有性质，汇总如下： 分析角度 平行四边形通用性质 矩形独有专属性质 图形特征 边 对边平行、对边相等 邻边相互垂直 角 对角相等，邻角互补 四个内角均为90 对角线 两条对角线互相平分 对角线长度相等 对称性 仅中心对称 轴对称 + 中心对称兼备 知识点03:重要推论（直角三角形斜边中线定理） 矩形的一条对角线可将其分割为两个全等直角三角形，由此得出核心结论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点04:矩形的判定定理 分两类判定思路：从平行四边形判定、从一般四边形判定，共 3 种常用判定方法。 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 补充说明 1.判定优先级：优先观察题干给出条件，已知是平行四边形，优先用 “一个直角” 或 “对角线相等”；已知是任意四边形，优先用 “三个直角”。 2.易错提醒：仅有两个角是直角的四边形，不能判定为矩形。 知识点05:矩形相关计算 1.周长：C=2(长+宽) 2.面积：S=长宽 3.结合勾股定理：矩形相邻两边与对角线构成直角三角形，满足勾股定理。 知识点06:性质与判定辨析 性质：已知图形是矩形，推导边、角、对角线的数量与位置关系（由形得关系）； 判定：已知边、角、对角线的关系，证明四边形为矩形（由关系得形）。 知识点07:高频易错点 易错点 错误表述 / 做法 正确内容 判定误用 对角线相等的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形才是矩形 角的判定 两个角为直角，判定四边形是矩形 必须三个角是直角，才能判定任意四边形为矩形 对角线性质混淆 混淆平行四边形与矩形对角线特点 平行四边形对角线仅平分；矩形对角线平分且相等 定理应用 忽略直角三角形斜边中线定理使用前提 定理只适用于直角三角形，非直角三角形不成立 对称性 认为矩形只有中心对称 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形（2 条对称轴） 题型01.矩形性质求角度 1．如图，在矩形中，．按以下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于线段的长为半径画弧，两弧交于点E，F；②作直线交于点G；③连接，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线、相交于点，点是边上一点，连接，与相交于点，过点作于点，连接，若，，则______． 3．仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹 (1)在图1中，矩形中，点E在上，，画出的平分线； (2)在图2中，矩形中，点E在上，，画出的平分线EF； (3)在图3中，过点G作直线将平行四边形的面积平分． 题型02.矩形性质求线段长 4．如图，矩形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，若，则的长为（     ） A．6 B．12 C．18 D．24 5．如图，矩形的对角线，交于点O，E是上一点，连接，，若，，则的值是________． 6．如图，在矩形中，，，点E是边上一点，，连接，点F是延长线上一点，连接分别交于点O，G．若，则的长为________． 7．如图，在矩形中，，，为矩形的对角线，点M，N分别在，的边上，且，将，分别沿，折叠，点A的对应点为点，点C的对应点为点，连接，，． (1)如图1，若点A，在的同侧． ①求证：． ②当时，求四边形的面积． (2)如图2，当点，都落在矩形的对称轴上时，求线段的长． 题型03.矩形性质求面积 8．如图，孙大伯要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形（即）．棚宽．高，长，求覆盖在顶上的矩形塑料薄膜的面积． 9．列方程（组）解应用题：如图，矩形由10块形状大小相同的小长方形纸片拼接而成． (1)求一块小长方形纸片的长和宽； (2)求由小长方形拼接的矩形的面积． 10．如图1，在矩形中，，点E在边上，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为秒，连结，当点P运动到点D时，． (1)_________； (2)当_________秒时，平分矩形的面积； (3)连结，当的面积为6时，求的值； (4)如图2，作点A关于直线PE的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出的值． 题型04.矩形性质证明 11．如图，在矩形中，点在边上，，求证：． 12．如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：． 13．学习了矩形和正方形的知识后，同学们对于特殊平行四边形的性质有了一定程度的了解，某班数学兴趣小组做了进一步的探究．对于平面内的一个四边形，上若存在一点，使得且，则称这样的四边形是“可等垂四边形”，点为四边形的“等垂点”． (1)【初步探索】 如图（1），矩形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，则和的数量关系是______． (2)【类比探究】 如图（2），四边形是“可等垂四边形”，是它的“等垂点”，分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 请写出，，之间的数量关系，并证明； 若，，求的长． 题型05.求矩形在坐标系中的坐标 14．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 15．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 16．如图，已知长方形ABCO中，边AB=12，BC=8．以点O为原点，OA、OC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系． （1）点A的坐标为（0，8），写出B、C两点的坐标； （2）若点P从C点出发，以3单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O），点Q从原点O出发，以2单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，t秒后，写出△BCP的面积S与t之间的函数关系式； （3）在P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化?若不变，求其值；若变化，求变化范围． 题型06.矩形与折叠问题 17．如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为______． 18．如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 19．如图，长方形纸片中，，．点E是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以C，E，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为________． 20．已知矩形的边满足，点为边上一动点，连接，将沿折叠至，延长，交矩形的边长于点． (1)当时，矩形为正方形． ①如图1，若点与点重合，且，求； ②如图2，连接，交于点，连接，，若点是中点，判断的形状，并说明理由； (2)如图3，点是中点．求（用含的式子表示）． 题型07.添条件使四边形是矩形 21．如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 22．战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．随后通过实用技术的不断进步，总结出了校验矩形的方法，如图，下列条件能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 23．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接，延长、相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)直接写出满足怎样的数量关系时，四边形是矩形． 题型08.证明四边形是矩形 24．对于四边形，给出下列4组条件：①；②，；③；④．其中一定能得到“四边形是矩形”的条件有___________．（填给定条件的序号） 25．如图，在中，D是边上一点，且，平分交边于点E，平分交边于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 26．如图，在中，于点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，，且于点，若，，求的面积． 题型09.矩形性质与判定求角度 27．如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 28．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 29．如图，在平行四边形中，点E、F、G、H分别在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型10.矩形性质与判定求线段长 30．如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点，如果且，则______． 31．如图，在中，于点，点在边上运动，于点于点，连接．若，则的长不可能是（   ） A． B．8 C． D．9 32．如图，矩形ABCD中，，点E是AD上的一点，且，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，交CD于点H，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10.5 33．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 题型11.矩形性质与判定求面积 34．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，作轴于点，连接，则的面积为_____． 35．如图，点是矩形的对角线上一点，过作，分别交于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 36．如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 题型12.斜边中线等于斜边一半. 37．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 38．如图，在矩形中，，.如果、分别是、的中点，是对角线上的点，，则的长为_____． 39．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，，点E，F，G分别是的中点，交于点H．以下结论中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 40．如图，在中，于点E，F是的中点，连接，，，且，平分． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)如图2，连接，若，求的度数． 题型13.矩形中的动点问题 41．如图，长方形中，，，点Q是的中点，点P在边上运动，当是等腰三角形时，的长为_____． 42．如图，在矩形中，是上一动点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为（     ）． A．3 B．3.5 C．4 D．5 43．如图，矩形中，点是边的中点，点是对角线的垂直平分线上的一动点，若，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 44．如图，在矩形中，，，P是的中点，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→D→C→B→A的方向向终点A运动，设点Q运动的时间为x秒（）． (1)点Q在上时，用含x的代数式表示的长； (2)当时，直接写出x的值； (3)若的面积为S，求S与x的函数关系式（）； (4)在整个运动过程中，当时，直接写出x的值． 题型14.矩形中最值问题 45．如图，在中，，，，为边上的动点，于点，于点，连接，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C．5 D．6 46．如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 47．在矩形中，，，点E、F分别是边，上的动点，且，则的最小值为______． 48．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点位于原点，且点，分别位于轴，轴上．若满足．点是线段上一点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交轴于点． (1)点坐标为 ； (2)当点与点重合时，在图中用直尺和圆规作出点（不写作法，保留作图痕迹），点的坐标为 ； (3)当时，如图3，求点的坐标； (4)如图4，在（2）的条件下，点位于线段上，且．点为平面内一动点，满足，连．直接写出线段长度的最大值为 ． 题型15.矩形存在性问题 49．如图，在中，，，点，在对角线上，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以相同速度向点运动，到点时运动停止，运动时间为秒． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求为何值时，四边形为矩形． 50．如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由． 51．如图①，在四边形中，，，，，，动点从点出发以的速度向点运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设动点的运动时间为秒． (1)；．用含的代数式表示 (2)①当时，四边形是矩形； ②从运动开始，需要经过多长时间，才能使； (3)连接，当线段把四边形面积分成两部分时，求的值； (4)如图②，若点是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型16.矩形与旋转综合 52．如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 53．如图，矩形中，点与轴正半轴的夹角为．若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2026秒时，矩形的对角线交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 54．数学课上，同学们对矩形进行探究，已知矩形中，，，将绕点A旋转得到． (1)如图1，当点E落在上，连接，求线段的值． (2)如图2，在旋转过程中，设点M，N分别为，中点，连接，当为正整数时，请直接写出的值． 题型17.矩形多结论问题 55．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 56．如图，在矩形中，，，点M，N分别是边，上的动点，点M不与A，B重合，且，P是五边形内满足且的点．现给出以下结论： ①； ②点P到边，的距离一定相等； ③点P到边，的距离可能相等； ④点P到边的距离的最大值为1； 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 57．如图，矩形中，，对角线相交于O，过C点作交于E点，H为中点，连接交于G点，交的延长线于F点，下列4个结论：①；②；③；④．正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型18.矩形与中位线综合 58．如图， 中，M、N 分别为、中点，点 P 在上，且，若，，则（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 59．如图，四边形为矩形，，，对角线，相交于点O，E是边的中点，F是上一点，连接，将沿折叠，当点D的对应点G落在矩形的对角线上时，连接，则的长是______． 60．如图，矩形中，，，点E，F分别是，边上的动点，连接，，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 61．四边形的探究与实践 (1)问题背景：如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，， ①若，，则________； ②求证：四边形为平行四边形； (2)问题探究：如图，在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：； (3)问题拓展：如图，在（2）的条件下，连接，，若，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $