专题07 二元一次方程组期末常考知识点的难点与易错（高效培优期末专项训练）数学新教材人教版七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组解的应用与方法拓展，通过6大题型系统整合特殊关系、同解、错解等核心考点，提炼整体代入、新定义转化等解题策略，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解的特殊关系|多题覆盖|代入消元法|从解的概念延伸至解满足附加条件的参数求解| |同解方程|多题覆盖|公共解代入法|建立方程组间解的关联，强化方程同解原理| |错解方程|多题覆盖|未看错方程利用法|通过错解反推正确参数，培养批判性思维| |整数解|多题覆盖|参数整数性分析法|结合解的表达式讨论整数解，提升运算精准度| |整体代入法|多题覆盖|换元与整体代换|简化复杂方程组，体现数学抽象与模型意识| |新定义|多题覆盖|定义转化法|将新运算转化为常规方程，发展应用意识|

专题07 二元一次方程组期末常考知识点难点与易错 题型01 二元一次方程组的解满足的特殊关系 题型02 二元一次方程组中的同解方程 题型03 二元一次方程组中的错解方程 题型04 二元一次方程组中的整数解 题型05 整体代入法的应用 题型06 二元一次方程（组）中的新定义 题型01 二元一次方程组的解满足的特殊关系 1．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．7 3．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝3，则k的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 4．已知关于x，y的方程组的解满足方程5x+8y＝10，则k的值等于（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣3 D．4 5．已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则m的值是（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0 6．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则m的值为 　 　 ． 7．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝3，则m的值为　 　 ． 8．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为　 　 ． 9．新趋势•新定义对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）请写出一个x与y具有“邻好关系”的二元一次方程组； （2）方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由； （3）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 题型02 二元一次方程组中的同解方程 10．若关于x，y的方程组与有相同的解，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．3 D．﹣5 11．已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么的平方根是（　　） A．0 B．±1 C． D．±2 12．若关于x、y的方程组和有相同的解，则（a+b）2023的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2021 13．关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝　 　 ． 14．已知关于x，y的方程组与方程组同解，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 15．已知方程组和有相同的解，则a+b的值为　 　 ． 16．如果方程组与方程组的解相同，则（m+n）2＝　 　 ． 题型03 二元一次方程组中的错解方程 17．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 18．已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把c看错了，得，试求出a，b，c的值． 19．已知方程组，王芳看错了方程①中的a得到方程组的解为，李明看错了方程②中的b得到方程组的解为，求原方程组的解． 20．甲、乙两个小马虎，在练习解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解为多少？ 题型04 二元一次方程组中的整数解 21．已知关于x，y的方程组，若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，则m的值为 　 　 ． 22．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则﹣k2+1的值为（　　） A．﹣8或0 B．﹣8或﹣4 C．﹣4 D．0 23．已知关于x，y的方程组有整数解，即x，y都是整数，a是正整数，求a的值． 24．定义：如果两个关于x的方程形如ax﹣b＝0与bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数），那么我们就称这两个方程互为“反对方程”，例如：方程3x﹣1＝0与方程x﹣3＝0互为“反对方程”． （1）若关于x的方程5x﹣2＝0与方程2x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝　 　 ． （2）若关于x的方程3x+2m+1＝0与方程5x﹣2n+1＝0互为“反对方程”，求（m+n）2026的值． （3）若关于x的方程3x﹣c＝0与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 题型05 整体代入法的应用 25．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，若a、b是关于m、n的二元一次方程组的解，则a2﹣b2＝　 　 ． 26．请阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，用加减消元法解得，所以，再解这个方程组得．由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组． 27．（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2． 将y＝2代入①，解得x＝2． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为 　 　 ． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组：． （3）已知x，y满足方程组，求x2+4y2﹣xy的值． 28．小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组． 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的（x+y）看成一个整体，把（x﹣y）看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可化为　 　 ， 解关于m，n的方程组，得， 所以，解这个方程组得． 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组． 题型06 二元一次方程（组）中的新定义 29．形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：ad﹣bc，例如3×8﹣5×6＝﹣6．若1，3，则　 　 ． 30．定义：对于任意实数x，y，规定新的一种运算规则：x*y＝ax+by，x※y＝ax﹣by． （1）当x＝1，y＝2时，x*y＝0，x※y＝4．求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组（m为常数）的解也满足关于x，y的方程3x*y+2x※y＝3，求m的值． 31．素材一：整体代换是数学的一种思想方法，例如x2﹣x＝2，求x2﹣x+186的值．我们不妨将x2﹣x作为一个整体代入，则x2﹣x+186＝2+186＝188． 素材二：已知P（m﹣1，3n+1），其中有理数m，n满足m﹣n＝6，就称点P为“燕南点”．例如要判断点E（3，1）是否为“燕南点”，令，解得，因为m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“燕南点”；再如F（4，﹣2）是否为“燕南点”，令，解得．因为m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“燕南点”． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题； （1）若x2+x＝2，求x2+x+2025的值； （2）请通过计算去判断点M（6，4）是不是“燕南点”． 32．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）和点Q（m，n），若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点（2，1）的“美好点”是（4，1）． （1）①点P（﹣2，3）的“美好点”坐标是　 　 ； ②若点P的“美好点”为（7，﹣3），则点P的坐标是多少？ （2）若点P（a，a+3）的“美好点”位于x轴上，求a的值． 33．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和点Q（x'，y'），若满足：，则称点P的“美点”为点Q．（1） ①求点P（3，1）的“美点”坐标； ②若点P的“美点”Q的坐标为（﹣3，﹣3），求点P的坐标； （2）若点P（3，m﹣1）的“美点”位于坐标轴上，直接写出m的值． 34．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）和点Q（m，n），若满足，则称点P的“伴随点”为点Q．例如，点（2，1）的“伴随点”是点（7，2）． （1）点P（﹣1，2）的“伴随点”的坐标是　 　 ． （2）若点P的“伴随点”为点（3，﹣2），求点P的坐标． （3）若点P（m，﹣2）的“伴随点”在直线y＝2x﹣1上，求m的值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二元一次方程组期末常考知识点难点与易错 题型01 二元一次方程组的解满足的特殊关系 题型02 二元一次方程组中的同解方程 题型03 二元一次方程组中的错解方程 题型04 二元一次方程组中的整数解 题型05 整体代入法的应用 题型06 二元一次方程（组）中的新定义 题型01 二元一次方程组的解满足的特殊关系 1．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：， ①+②，得 2x＝14k， ∴x＝7k， 把x＝7k代入①，得 7k+y＝5k， ∴y＝﹣2k， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解， ∴2×7k+3×（﹣2k）＝6， 解得k， 故选：A． 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．7 【答案】B 【解答】解：方程组， ①﹣②可得2x﹣2y＝2m+6， ∴x﹣y＝m+3， 又∵x﹣y＝4， ∴m+3＝4， ∴m＝1． 故选：B． 3．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝3，则k的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 【答案】D 【解答】解：方程组， ①+②得，10x+10y＝10k， ∴x+y＝k， 又∵x+y＝3， ∴k＝3， 故选：D． 4．已知关于x，y的方程组的解满足方程5x+8y＝10，则k的值等于（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣3 D．4 【答案】D 【解答】解：， ①+②得，3x+2x+5y+3y＝k+2+k， 5x+8y＝2k+2， 又∵5x+8y＝10， ∴2k+2＝10， 解得：k＝4． 故选：D． 5．已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数，则m的值是（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【答案】B 【解答】解：已知关于x，y的方程组的解x和y互为相反数， ∵x 和 y 互为相反数， ∴y＝﹣x， 把y＝﹣x代入3x+5y＝m+4，得：， 把y＝﹣x代入5x+3y＝m，得：， ∴， 解得：m＝﹣2， 故选：B． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则m的值为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：由题意，得：y＝﹣x， ∴原方程组化为：，即：， ∴2m﹣3＝5m﹣12， ∴m＝3； 故答案为：3． 7．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝3，则m的值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意得， 解得， 把代入方程mx+4y＝3m﹣1中，得， 解得m， 故答案为：． 8．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝1，则k的值为　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：根据题意可知，二元一次方程组的解也是二元一次方程组的解， ∴， 解得：， 把代入3x+4y＝k+2，得3×3+4×（﹣2）＝k+2， 解得：k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 9．新趋势•新定义对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）请写出一个x与y具有“邻好关系”的二元一次方程组； （2）方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由； （3）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 【答案】（1）答案不唯一，如等； （2）方程组的解具有“邻好关系”， 理由如下见解答； （3）m＝4或6． 【解答】解：（1）根据题意可知，对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴具有“邻好关系”的二元一次方程组为（答案不唯一）； （2）方程组的解具有“邻好关系”， 理由如下： 解方程组， 解得， 再代入|x﹣y|＝1，符合条件， ∴方程组的解x，y具有“邻好关系”； （3）解方程组得， ∵方程组的解x，y具有“邻好关系”， ∴|x﹣y|＝1， ∴|m+1﹣（2m﹣4）|＝1，即|5﹣m|＝1， ∴5﹣m＝1或5﹣m＝﹣1， ∴解得：m＝4或6． 题型02 二元一次方程组中的同解方程 10．若关于x，y的方程组与有相同的解，则m+n的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．3 D．﹣5 【答案】A 【解答】解：根据题意得两个方程组相同的解是， 把代入方程mx+ny＝1和方程nx+my＝﹣7中，得，， ①+②，得3m+3n＝﹣6， ∴m+n＝﹣2， 故选：A． 11．已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么的平方根是（　　） A．0 B．±1 C． D．±2 【答案】C 【解答】解：根据题意得， 解得， 把代入含有a，b的两个方程得， 解得， 则2，2的平方根是． 故选：C． 12．若关于x、y的方程组和有相同的解，则（a+b）2023的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2021 【答案】B 【解答】解：若关于x、y的方程组和有相同的解， 由题意，得， 解得． 把代入方程组中，得， ①+②，得a+b＝﹣1． ∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 故选：B． 13．关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【解答】解：联立不含m，n的方程： ， 由第二个方程得x＝5y﹣3，代入第一个方程： 3（5y﹣3）﹣2y＝4， 15y﹣9﹣2y＝4， 13y＝13， y＝1， 代入x＝5y﹣3得x＝2， ∴公共解为， 将x＝2，y＝1代入含m，n的方程： ， 由第一个方程得n＝7﹣2m，代入第二个方程： 4m﹣3（7﹣2m）＝19， 4m﹣21+6m＝19， 10m＝40， m＝4， 代入n＝7﹣2m得n＝﹣1， mn＝4×（﹣1）＝﹣4． 故答案为：﹣4． 14．已知关于x，y的方程组与方程组同解，则a＝　1　 ，b＝　8　 ． 【答案】1，8． 【解答】解：联立方程 ， 解得， 把方程组的解代入得， 解得 ， 故答案为：1，8． 15．已知方程组和有相同的解，则a+b的值为　16　 ． 【答案】16 【解答】解：∵方程组和有相同的解， ∴方程组的解也它们的解， 解得：， 代入其他两个方程得， 解得：， a+b＝16． 故答案为：16． 16．如果方程组与方程组的解相同，则（m+n）2＝　25　 ． 【答案】25． 【解答】解：解方程组得， ∵方程组与方程组的解相同， ∴是方程组的解， ∴， 解得， ∴（m+n）2＝（3+2）2＝25， 故答案为：25． 题型03 二元一次方程组中的错解方程 17．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】a＝2，b． 【解答】解：∵甲看错了方程①中的a，解得， ∴是方程②的解， 即7a+2b＝13③， ∵乙看错了方程②中的b，解得， ∴是方程①的解， 即3a﹣2b＝7④， ③+④得，10a＝20， 解得a＝2， 把a＝2代入③得，14+2b＝13， 解得b， 答：a＝2，b． 18．已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把c看错了，得，试求出a，b，c的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 把代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c＝1， 解得：c＝3． 故a＝3，b＝﹣1，c＝3． 19．已知方程组，王芳看错了方程①中的a得到方程组的解为，李明看错了方程②中的b得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可知： 4×5+4b＝12，解得b＝﹣2 4a+5×5＝15，解得：a ∴ 解得： 20．甲、乙两个小马虎，在练习解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解为多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：将x＝1，y＝6代入第二个方程得：1+6b＝7，解得：b＝1， 将x＝﹣1，y＝12代入第一个方程得：﹣a+12＝10，解得：a＝2， 方程组为， ①﹣②得：x＝3， 将x＝3代入②得：y＝4， 则方程组的解为． 题型04 二元一次方程组中的整数解 21．已知关于x，y的方程组，若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，则m的值为 　﹣1或﹣3　 ． 【答案】﹣1或﹣3． 【解答】解：， ①+②得（2+m）x＝1， 解得， ∵x为整数，m为整数， ∴2+m＝±1， ∴m的值为﹣1或﹣3． 故答案为：﹣1或﹣3． 22．已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则﹣k2+1的值为（　　） A．﹣8或0 B．﹣8或﹣4 C．﹣4 D．0 【答案】A 【解答】解：， 由②得，y＝2x， 把y＝2x代入①得，kx+2x＝5， （k+2）x＝5， 解得：， ∴， ∴方程组的解为， ∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即k+2是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴k+2＝1或k+2＝5， ∴k＝﹣1或k＝3， 当k＝﹣1时，﹣k2+1＝﹣（﹣1）2+1＝﹣1+1＝0， 当k＝3时，﹣k2+1＝﹣32+1＝﹣9+1＝﹣8， ∴﹣k2+1的值为0或﹣8． 故选：A． 23．已知关于x，y的方程组有整数解，即x，y都是整数，a是正整数，求a的值． 【答案】a＝2． 【解答】解：①×2﹣②式，得 （2a+1）y＝﹣5． ∵a是正整数，y为整数 ∴2a+1＝5，y＝﹣1， 解得：a＝2． 此时，x＝2，符合题意． ∴a＝2． 24．定义：如果两个关于x的方程形如ax﹣b＝0与bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数），那么我们就称这两个方程互为“反对方程”，例如：方程3x﹣1＝0与方程x﹣3＝0互为“反对方程”． （1）若关于x的方程5x﹣2＝0与方程2x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝　5　 ． （2）若关于x的方程3x+2m+1＝0与方程5x﹣2n+1＝0互为“反对方程”，求（m+n）2026的值． （3）若关于x的方程3x﹣c＝0与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 【答案】（1）5；（2）1；（3）±3． 【解答】解：（1）∵方程5x﹣2＝0与方程2x﹣c＝0互为“反对方程”， ∴c＝5． 故答案为5； （2）根据题意可知，方程3x+2m+1＝0可变为3x﹣（﹣2m﹣1）＝0， 方程5x﹣2n+1＝0可变为5x﹣（2n﹣1）＝0， ∴， 解得：， ∴（m+n）2026＝（﹣3+2）2026＝1； （3）3x﹣c＝0的“反对方程”为c•x﹣3＝0， 由3x﹣c＝0得，， 由c•x﹣3＝0，得， ∵3x﹣c＝0与c•x﹣3＝0的解均为整数， ∴与都为整数， ∵c也为整数， ∴当c＝3时，，，都为整数， 当c＝﹣3时，，，都为整数， ∴c的值为±3． 题型05 整体代入法的应用 25．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，若a、b是关于m、n的二元一次方程组的解，则a2﹣b2＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：设x＝a+b，y＝a﹣b，则关于m、n的二元一次方程组化为组， ∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴ ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2． 故答案为：2． 26．请阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可变形为，用加减消元法解得，所以，再解这个方程组得．由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设x+y＝m，x﹣y＝n， 则原方程组可变形为， 用加减消元法解得：， ∴， 解得：， ∴原方程组的解为． 27．（1）观察发现： 解方程组 将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2． 将y＝2代入①，解得x＝2． 所以原方程组的解是． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解． 请写出方程组的解为 　　 ． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组：． （3）已知x，y满足方程组，求x2+4y2﹣xy的值． 【答案】（1）；（2）；（3）15． 【解答】解：（1）， 由①，得x﹣y＝1③， 把③代入②，得 4×1﹣y＝5， 解得 y＝﹣1． 把 y＝﹣1 代入①，得 x＝0． 所以原方程组的解为． 故答案为：． （2）， 由①，得2x﹣3y＝2③， 把③代入②，得2y＝9， ∴y＝4． 把y＝4代入③，得2x﹣3×4＝2， ∴x＝7． ∴原方程组的解为． （3）， ①+2×②，得7x2+28y2＝119， ∴x2+4y2＝17③． 把③代入②，得2×17+xy＝36， ∴xy＝2． ∴x2+4y2﹣xy＝17﹣2＝15． 28．小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组． 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的（x+y）看成一个整体，把（x﹣y）看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可化为　　 ， 解关于m，n的方程组，得， 所以，解这个方程组得． 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程组可化为： ； 故答案为：； 得：， 即， 两式相加可得：2x＝16，x＝8， 两式相减可得：2y＝4，y＝2， 所以方程组的解是：； （2）设3x+2y＝m，4x﹣y＝n， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以，解这个方程组得． 题型06 二元一次方程（组）中的新定义 29．形如的式子称为二阶行列式，其运算法则为：ad﹣bc，例如3×8﹣5×6＝﹣6．若1，3，则　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵， ∴可得方程组：， ①×3，得6x﹣3y＝3③， ③﹣②，得2x＝0， ∴x＝0， 把x＝0代入①，得0﹣y＝1， ∴y＝﹣1． ∴． 故答案为：2． 30．定义：对于任意实数x，y，规定新的一种运算规则：x*y＝ax+by，x※y＝ax﹣by． （1）当x＝1，y＝2时，x*y＝0，x※y＝4．求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组（m为常数）的解也满足关于x，y的方程3x*y+2x※y＝3，求m的值． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）∵x*y＝ax+by，x※y＝ax﹣by，x＝1，y＝2 ∴， ①+②得：2a＝4， 解得：a＝2， 把a＝2代入①，得：2+2b＝0， 解得：b＝﹣1， ∴； （2）由题意可得方程组 ①+②可得：2ax＝4+4m， ∴ax＝2+2m， ②﹣①可得：2by＝4﹣6m， ∴by＝2﹣3m， ∵3x*y+2x※y＝3， ∴3ax+by+2ax﹣by＝3， ∴5ax＝3， ∴5（2+2m）＝3， ∴10+10m＝3， ∴， ∴m的值为． 31．素材一：整体代换是数学的一种思想方法，例如x2﹣x＝2，求x2﹣x+186的值．我们不妨将x2﹣x作为一个整体代入，则x2﹣x+186＝2+186＝188． 素材二：已知P（m﹣1，3n+1），其中有理数m，n满足m﹣n＝6，就称点P为“燕南点”．例如要判断点E（3，1）是否为“燕南点”，令，解得，因为m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“燕南点”；再如F（4，﹣2）是否为“燕南点”，令，解得．因为m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“燕南点”． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题； （1）若x2+x＝2，求x2+x+2025的值； （2）请通过计算去判断点M（6，4）是不是“燕南点”． 【答案】（1）2027； （2）点M（6，4）是“燕南点”． 【解答】解：（1）∵x2+x＝2， ∴x2+x+2025 ＝2+2025 ＝2027； （2）由题意得， 解得， ∴m﹣n＝7﹣1＝6， ∴点M（6，4）是“燕南点”． 32．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）和点Q（m，n），若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点（2，1）的“美好点”是（4，1）． （1）①点P（﹣2，3）的“美好点”坐标是　（﹣4，5）　 ； ②若点P的“美好点”为（7，﹣3），则点P的坐标是多少？ （2）若点P（a，a+3）的“美好点”位于x轴上，求a的值． 【答案】（1）①（﹣4，5），②（3.5，﹣1）； （2）a＝﹣2.5． 【解答】解：（1）①根据新定义可知： ， ∴点P（﹣2，3）的“美好点”坐标是（﹣4，5）； 故答案为：（﹣4，5）； 点P的“美好点”的坐标是（﹣4，5）． ②设点P的坐标是（a，b） 根据“美好点”的定义可得， 解得：， ∴点P的坐标是（3.5，﹣1）； （2）设点P（a，a+3）的“美好点”为Q（m，n）， 由条件可得， 即， ∴n＝0， ∴a＝﹣2.5． 33．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和点Q（x'，y'），若满足：，则称点P的“美点”为点Q．（1） ①求点P（3，1）的“美点”坐标； ②若点P的“美点”Q的坐标为（﹣3，﹣3），求点P的坐标； （2）若点P（3，m﹣1）的“美点”位于坐标轴上，直接写出m的值． 【答案】（1）①（4，﹣1）；②点P的坐标为（﹣1，﹣2）； （2）m的值为或﹣2． 【解答】解：（1）①∵点P的坐标为（3，1）， ∴它的“美点”坐标为（3+1，2×1﹣3），即（4，﹣1）． ②设点P的坐标为（x，y）， 由题意可知， 解得， ∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）； （2）∴点P（3，m﹣1）， 它的“美点”Q坐标为（3+m﹣1，2m﹣2﹣3），即（2+m，2m﹣5）， ①Q位于x轴上， ∴2m﹣5＝0， 解得m， ②Q位于y轴上， ∴m+2＝0， 解得：m＝﹣2． 综上所述，m的值为或﹣2． 34．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）和点Q（m，n），若满足，则称点P的“伴随点”为点Q．例如，点（2，1）的“伴随点”是点（7，2）． （1）点P（﹣1，2）的“伴随点”的坐标是　（﹣2，5）　 ． （2）若点P的“伴随点”为点（3，﹣2），求点P的坐标． （3）若点P（m，﹣2）的“伴随点”在直线y＝2x﹣1上，求m的值． 【答案】（1）（﹣2，5）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）∵3×（﹣1）+1＝﹣3+1＝﹣2，3×2﹣1＝6﹣1＝5， ∴点P（﹣1，2）的“伴随点”的坐标是（﹣2，5）， 故答案为：（﹣2，5）； （2）∵点P的“伴随点”为点（3，﹣2）， ∴ 由①得：， 由②得：， ∴点P的坐标为：； （3）∵3×（﹣2）﹣1＝﹣6﹣1＝﹣7， ∴点P（m，﹣2）的“伴随点”为（3m+1，﹣7）， ∵点P（m，﹣2）的“伴随点”在直线y＝2x﹣1上， ∴2（3m+1）﹣1＝﹣7， 6m+2﹣1＝﹣7， 6m＝﹣8， ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $