精品解析：山东省郯城县第一中学2025-2026学年高二下学期素养测评（四）数学试题

2025—2026学年度高二下学期素养测评（四） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（ ） A. 0.036 B. 0.040 C. 0.042 D. 0.048 4. 已知随机变量，其正态分布曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 随机变量的分布列为 1 2 3 则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（） A. 21个 B. 20个 C. 19个 D. 18个 7. 从数字1，2，3，4，5中任取三个不同数字组成无重复数字的三位数，记事件：“百位数字为奇数”，事件：“该数能被5整除”．则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若样本数据的方差，则所有的都相等 B. 在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 以模型去拟合一组数据时，设，求得经验回归方程为，则的值分别是4和0.3 D. 利用变量的经验回归方程进行预测，当时，，当时，，则 10. 已知，且，则下列正确的有（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于点对称 B. 若有三个不同的零点，则的取值范围为 C. 的极大值点是 D. 当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. “函数是奇函数”的充要条件是实数_____. 13. 函数的极值为____________． 14. 在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限/年 2 4 5 6 8 失效费/万元 3 4 5 6 7 （1）根据上表数据，计算与的样本相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（已知：，则认为与高度线性相关）（的结果精确到0.0001） （2）求关于的经验回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 16. 已知函数，奇函数的定义域为，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 17. 为了有助于形成节能减排的社会共识，促进资源节约型、环境友好型社会的建设，某市拟建立“多用者多付费”的阶梯电价机制，要求约75的居民用电量在第一阶梯内，约20的居民用电量在第二阶梯内，约5的居民用电量在第三阶梯内．现从该市抽取了200户居民的月用电量（单位：kW·h）进行整理，并由此作出如图所示的频率分布直方图．根据用样本估计总体的思想确定阶梯电价的临界点，并且每户的用电单价与每户的月用电量的关系如表所示． 分档 每户月用电量（单位：kW·h） 用电单价（单位：元/kW·h） 第一阶梯 （含） 0.5 第二阶梯 （含） 0.55 第三阶梯 0.8 （1）求的值，并计算月用电量为350kW·h的家庭需缴纳的电费． （2）对这200户居民的月用电量和每户人口情况进一步整理，得到如表2的“22”列联表． 人口不少于5人 人口少于5人 合计 月用电量在第一阶梯 60 月用电量高于第一阶梯 40 合计 100 100 200 ①记人口不少于5人的家庭中月用电量高于第一阶梯的概率为，求的估计值； ②完成“22”列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为每户人口是否少于5人与户月用电量是否在第一阶梯有关联？ 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 18. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校开展了历史知识竞赛．决赛设置两类题型，每位选手先抽取两道类题，再抽取一道类题．类题答对一道得10分，类题答对一道得20分．已知选手甲答对类题的概率为，答对类题的概率为，且各题是否答对相互独立． （1）求甲恰好答对一道题的概率； （2）设为甲的总得分，求的分布列和数学期望； （3）若选手乙答对类题的概率为，答对类题的概率为，设为乙的总得分，比较和的大小． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高二下学期素养测评（四） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，解得，故; ，解得，故， ． 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，“”的否定为. 3. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（ ） A. 0.036 B. 0.040 C. 0.042 D. 0.048 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】依题意，定义事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”； 所以 即任取一个零件是次品的概率为， 故选：C. 4. 已知随机变量，其正态分布曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由图像可知：，，因为，，所以，. 5. 随机变量的分布列为 1 2 3 则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知：，解得：，所以. 6. 我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（） A. 21个 B. 20个 C. 19个 D. 18个 【答案】A 【解析】 【分析】按照首位数字为进行分类，计算每种情况下的“吉祥数”个数，相加得到总数. 【详解】当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 因此，所有的“吉祥数”共有个. 故选：A 7. 从数字1，2，3，4，5中任取三个不同数字组成无重复数字的三位数，记事件：“百位数字为奇数”，事件：“该数能被5整除”．则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出百位数字为奇数（事件）的基本事件数及百位数字为奇数且该数能被5整除（事件）的基本事件数，代入条件概率的计算公式计算即可. 【详解】. 百位数字为奇数即从1，3，5中选1个数放在百位，有种选法， 十位和个位从剩下的4个数中选2个排列，有种排法， 则事件包含的基本事件数为种. 百位数字为奇数且该数能被5整除，即个位固定为5，百位从1，3中选1个，有种选法， 十位从剩下的3个数字中选1个，有种选法， 则百位数字为奇数且该数能被5整除（事件）的基本事件数为种. 因此，. 故选：A. 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把已知函数有两个极值点问题转化为导数有两个不同零点问题，构造函数，求导并分析单调性、极值，作出大致图像，利用图像求实数的取值范围． 【详解】函数有两个极值点等价于有两个不同的变号零点， 令，即， 设，求导得， 当时，，单调递增，值域为； 当时： 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 在处取得极大值，，即为最大值，故值域为； 作出的大致图像如下： 由图像可知，当时，与有两个交点， 故实数的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若样本数据的方差，则所有的都相等 B. 在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 以模型去拟合一组数据时，设，求得经验回归方程为，则的值分别是4和0.3 D. 利用变量的经验回归方程进行预测，当时，，当时，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据方差的公式即可判断选项A，结合残差分析法判断回归模型的拟合效果，即可判断选项B，结合非线性回归方程和线性方程的表达式，即可判断选项C，列方程组求解即可判断D． 【详解】对于A，令数据的平均数为， 则由，可得， 所以， 所以， 即所有的都相等，A正确； 对于B，在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧， 且分布的带状区域的宽度越窄，说明选用的模型拟合精度越高， 表示回归效果越好，B正确； 对于C，，左右两边取对数得， 设，求得线性回归方程为， 则，，C错误； 对于D，，解得，故D正确． 10. 已知，且，则下列正确的有（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，解得， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 当且仅当，即时，取等号，所以最小值为，故B错误； 对于C，因为， 当且仅当，即，时取等号，故C正确； 对于D，因为，由A可知最大值为， 所以的最大值为4，所以的最大值为2，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于点对称 B. 若有三个不同的零点，则的取值范围为 C. 的极大值点是 D. 当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题设易得，即可判断A；求导，分析函数的单调性，进而判断BC；根据导数的几何意义求解判断D. 【详解】对于A，， 所以的图象关于对称，A正确； 对于B，由，则， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 而， 要使函数有三个不同的零点，则，解得，故B错误； 对于C，由B知，函数在和上单调递减，在上单调递增， 则的极大值点是，故C正确； 对于D，当时，，则， 设切点坐标为，则， 解得，即切点坐标为，切线斜率为， 所以过原点且与曲线相切的直线为，只有一条，故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. “函数是奇函数”的充要条件是实数_____. 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义，结合正弦函数的奇偶性求出. 【详解】函数的定义域为，依题意，，恒成立， 即，，因此， 所以“函数是奇函数”的充要条件是实数. 故答案为：0 13. 函数的极值为____________． 【答案】 （极小值为，无极大值） 【解析】 【详解】由，得  . ∵，∴，∴恒成立， 令，得，得. 令，得，得. ∴在上单调递减，在上单调递增. ∴在处取得极小值，极小值为，无极大值. 14. 在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则的最小值为____________． 【答案】14 【解析】 【详解】由题意得，． 在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，，可得， 即， 化简得，解得或，则的最小值为14. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限/年 2 4 5 6 8 失效费/万元 3 4 5 6 7 （1）根据上表数据，计算与的样本相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；（已知：，则认为与高度线性相关）（的结果精确到0.0001） （2）求关于的经验回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 【答案】（1） ，与高度线性相关 （2） 经验回归方程为 ，使用10年的失效费估算为8.5万元 【解析】 【分析】 （1）先计算变量的均值及乘积和、平方和，再根据相关系数公式求得，判断相关性强弱； （2）利用最小二乘估计公式计算回归系数，得到经验回归方程，代入即可预测失效费. 【小问1详解】 由题意可得，， ，.   ， ， . 所以相关系数 . 由于，因此认为与高度线性相关. 【小问2详解】 根据最小二乘估计公式，得  ，   .  故关于的经验回归方程为  . 当时，，即该机械设备使用10年的失效费估算为8.5万元. 16. 已知函数，奇函数的定义域为，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若对任意，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合分段函数，可得答案； （2）根据复合函数的单调性，结合对数函数以及二次函数的性质，建立不等式，可得答案； （3）根据不等式，明确所求函数的最值，利用对数函数的性质，化简不等式，利用换元法，结合基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以当时，； 当时，， 所以 【小问2详解】 令， 因为外层函数为减函数，且在上单调递减， 所以内层函数在上单调递增，且， 所以即，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 当时，， 对任意，存在，使得， 等价于对任意， 即当时，， 所以，整理得. 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数的取值范围是. 17. 为了有助于形成节能减排的社会共识，促进资源节约型、环境友好型社会的建设，某市拟建立“多用者多付费”的阶梯电价机制，要求约75的居民用电量在第一阶梯内，约20的居民用电量在第二阶梯内，约5的居民用电量在第三阶梯内．现从该市抽取了200户居民的月用电量（单位：kW·h）进行整理，并由此作出如图所示的频率分布直方图．根据用样本估计总体的思想确定阶梯电价的临界点，并且每户的用电单价与每户的月用电量的关系如表所示． 分档 每户月用电量（单位：kW·h） 用电单价（单位：元/kW·h） 第一阶梯 （含） 0.5 第二阶梯 （含） 0.55 第三阶梯 0.8 （1）求的值，并计算月用电量为350kW·h的家庭需缴纳的电费． （2）对这200户居民的月用电量和每户人口情况进一步整理，得到如表2的“22”列联表． 人口不少于5人 人口少于5人 合计 月用电量在第一阶梯 60 月用电量高于第一阶梯 40 合计 100 100 200 ①记人口不少于5人的家庭中月用电量高于第一阶梯的概率为，求的估计值； ②完成“22”列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为每户人口是否少于5人与户月用电量是否在第一阶梯有关联？ 附：，其中． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1），， （2）①②列联表 人口不少于5人 人口少于5人 合计 月用电量在第一阶梯 60 90 150 月用电量高于第一阶梯 40 10 50 合计 100 100 200 依据小概率值的独立性检验认为每户人口是否少于5人与户用电量是否在第一阶梯有关． 【解析】 【小问1详解】 由题意知分别为这组数据的第分位数、第分位数． ，解得， ，解得； 当用电量为350kW·h时，电费为元； 【小问2详解】 ①事件发生的概率可估计为； ② 人口不少于5人 人口少于5人 合计 月用电量在第一阶梯 60 90 150 月用电量高于第一阶梯 40 10 50 合计 100 100 200 ， 因为， 所以依据小概率值的独立性检验认为每户人口是否少于5人与户月用电量是否在第一阶梯有关． 18. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校开展了历史知识竞赛．决赛设置两类题型，每位选手先抽取两道类题，再抽取一道类题．类题答对一道得10分，类题答对一道得20分．已知选手甲答对类题的概率为，答对类题的概率为，且各题是否答对相互独立． （1）求甲恰好答对一道题的概率； （2）设为甲的总得分，求的分布列和数学期望； （3）若选手乙答对类题的概率为，答对类题的概率为，设为乙的总得分，比较和的大小． 【答案】（1） （2）X的分布列为：，，，，； （3） 【解析】 【分析】（1）甲恰好答对一题分为“答对一道 A 类题且 B 类题答错”和“两道 A 类题都答错且 B 类题答对”两种情况. （2）分别求出答对 A 类题的道数和答对 B 类题的情况，按总分合并同分事件. （3）利用数学期望的线性性质分别计算E(X)和E(Y)并比较. 【小问1详解】 甲恰好答对一道题，分为答对道类题且答错类题，或答错道类题且答对类题. 所以所求概率为 . 【小问2详解】 设甲答对类题的道数为，答对类题的道数为，则，， 且. 于是的可能取值为. . . . . . 所以的分布列为： . 【小问3详解】 由期望的线性性质，甲的数学期望为. 易知乙答对A、B两类题的题数分别服从二项分布， 由期望的线性性质可得乙的数学期望为. 所以. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，从而可得切线的斜率，再利用点斜式可求出切线方程； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得函数的最小值，根据最小值为负结合新函数的单调性可求参数的取值范围. 【小问1详解】 当时， ，则. 所以，而， 所以曲线在点处的切线方程为， 整理得切线方程为 【小问2详解】 ， 若，则，故在上为减函数， 则在上至多一个零点，与题设矛盾，故. 此时当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 因为有两个零点，故， 故，整理得， 设，，则， 故在为增函数，而，故的解为. 当时，且当时，时， 故此时有两个不同的零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $