精品解析：山东德州市夏津第一中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

2025-2026学年度高二5月月考 数学试题 一、单选题 1. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】由已知，，，， ，， . 2. 已知线性相关的两个变量、的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用回归直线过样本中心点求出的值，再利用残差的概念可得结果. 【详解】由表格中的数据可得，， 由于回归直线过样本中心点，所以，解得， 当时，，故当时的残差为. 3. 若数列{}的通项公式是 则 （ ） A. 15 B. 12 C. - 12 D. - 15 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，奇数项为负数，偶数项为正数且相邻项数的绝对值之差的绝对值为3， 故 4. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，，消去，得. 5. 已知函数在处的切线方程为，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】， ， 又函数在处的切线方程为， ，解得，则， ， 将点代入切线方程得，即， ． 6. 设函数的导数为，且函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 取，得，则， 所以. 7. 已知函数，与的零点分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间，，即可求解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，所以 在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，令，得， 当时，，函数在内单调递增， 当时，，函数在内单调递减， 当时，，函数在 内单调递增， 因为，， 因此，时，函数没有零点， 又因为， 由零点存在定理，的零点， 因为， 所以. 8. 已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围. 【详解】由及，得， 令函数，有，， 则函数在上为增函数，，， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 残差是预测值减去观测值 B. 由列联表计算得到卡方值越大，则判断两个变量有关的把握就越大 C. 残差的带状区域越窄，拟合效果越好 D. 相关系数r越大，两个变量的相关性越强 【答案】BC 【解析】 【详解】A，残差 = ，不是预测值减观测值，A错误. B，（卡方）数值越大，偏离独立假设程度越高， 两个变量有关联的置信度、把握程度越大，B正确. C，残差带状区域越窄，残差波动越小，模型对原始数据的拟合效果越好，C正确. D，相关系数越接近，相关性越强； 仅数值大（如是很大的负数），代表强负相关，只说越大越强表述错误，D错误. 10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知题意，探索递推规律，由规律得通项，由此判断选项. 【详解】由题意得，第层有个球，. 即，，，， 因为，所以，A正确； 由，当时，，故B错误，C正确； 由，D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，，则（ ） A. 当时，存在极值点 B. 若有三个不同零点，，，则 C. 过点且与曲线相切的直线有且仅有1条 D. 若有三个不同零点，，且在三个零点处的切线斜率分别为，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，可得，由判别式可判断极值点个数；对于B，将函数表达式写成，与原式比较常数项即可判断；对于C，设切点为，写出切线方程，根据切线过点建立等式，整理得到关于的方程，根据解的个数即可判断；对于D，将函数表达式写成，根据导数的运算法则求导，代入得到对应点的导数也即切线斜率，最后通分计算. 【详解】对于A，可得，当时，有， 此时恒成立，不存在极值点，故A错误； 对于B，若有三个不同零点，，， 则， 取，得，即，B正确； 对于C，设切点为，则切线方程为， 因为切线过点，可得， 即，整理得， 解得，则过点且与曲线相切的直线有且仅有1条，C正确； 对于D，若有三个不同零点，，，则， 求导得， 所以， ， 从而 ，D正确. 三、填空题 12. 已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于________． 【答案】 【解析】 【分析】由，，成等差数列，根据等差中项的定义结合等比数列的通项列出方程，求出q即可. 【详解】∵，，成等差数列， ∴，即， ∴， ∴， ∴或 (舍)． ∴. 故答案为：. 13. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数的极值点至少有__________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧两函数与的距离变化，即可得出结论. 【详解】 如图，设是题设直线与曲线的切点横坐标， 存在，使得，则处作的切线与平行， 由图象知，此时有，此时取得最小值； 由图象知，当时在的上方，逐渐减小， 在时逐渐增大，在时逐渐减小，在时逐渐增大， 综上，为函数的极小值点，处取得极大值. 14. 已知函数，当时函数的极值点的个数是______；若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】(1)先求，再作出与的图象，通过图象可判定的零点个数，及零点左右区间的正负性，再由极值点的定义确定结果； (2) 由函数在上是增函数，得，对恒成立， 根据，得，再证明当时，有，对恒成立即可. 【详解】由题知，，. 当时，， 作出与的图象， 由图可知，使得的根即为两图象交点的横坐标，记为，，且. 当时，，有； 当时，，有； 当时，，有. 所以为函数极大值点，为函数的极小值点， 所以当时函数的极值点的个数是2. (2) 若函数在上是增函数，则，对恒成立. 由，得. 当时，， 令， 当时，； 当时，由得， ， 因为，所以，所以， 又，所以当时，， 又为偶函数，由对称性知，当时，有， 所以对任意的，都有，即. 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为：2；. 【点睛】思路点睛：解决函数的极值个数与函数的单调性问题，可从以下方面考虑： (1)导函数是熟悉的函数，可利用该函数的相关性质求解；若导函数不是熟悉的函数，即不容易判定该函数的性质的函数，可继续求导或考虑将该函数分解成两个熟悉的函数，通过图象求解； (2)函数在某区间上单调递增(递减)通常转化为导函数在该区间上大于或等于零(小于或等于零)，再转化为函数恒成立问题，进一步可转化为求函数的最值或通过取值找出参数的范围，再证明该范围符合题意即可. 四、解答题 15. 已知数列中，是与的等差中项，数列中，，点在直线上. （1）求数列，的通项和； （2）设，求数列的前n项和，. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差中项的定义可求，由已知可得，利用等差数列的定义可求； （2）利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 因为是与的等差中项， 所以，所以， 因为在直线上，所以，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 所以， 所以， 两式相减，， 所以，所以. 16. 已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差为，根据题意求得，，进而求得数列的通项公式为，再根据又，得，即数列为等比数列，最后根据等比数列通项公式求解即可； （2）分类讨论当为奇数和偶数时的各项，分别求和再求解即可. 【小问1详解】 设等差数列公差为，则，由得， 由得，所以，所以， 所以数列的通项公式为； 又， 由数列的各项均为正数得，即， 又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 当为奇数时，记，则有 当为偶数时，． 所以，记，则有 所以. 17. 已知函数（a为常数）． （1）讨论函数的单调性； （2）不等式在上恒成立，求实数a的最小整数值． 【答案】（1）答案见解析； （2）2 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域和导函数，分，结合导函数的零点及取值的正负区间研究函数的单调性. （2）变量分离得，再构造函数并利用导数求其最值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得 当时，，函数在上单调递增， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，. 【小问2详解】 当时，不等式， 令，依题意，，恒成立， 求导得，当时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的最小整数值是. 18. 已知函数， （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递减区间为单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【小问1详解】 当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： 【小问2详解】 当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， 【小问3详解】 ， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴在单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增，∴，∴ ，，∴，∴ ∴，∴在上存在零点. 综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题. 19. 已知，． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的极值点个数； （3）若对于任意总有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可； （3）参变分离得对于恒成立，设，然后利用导数法求得的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为，即； 【小问2详解】 由得， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． 【小问3详解】 ， 由，得对于恒成立，设， 则， 因为，所以时，单调递减， 时，单调递增，所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二5月月考 数学试题 一、单选题 1. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 0 2. 已知线性相关的两个变量、的取值如表所示，如果其线性回归方程为，那么当时的残差为（ ） A. B. C. D. 3. 若数列{}的通项公式是 则 （ ） A. 15 B. 12 C. - 12 D. - 15 4. 某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在处的切线方程为，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 6. 设函数的导数为，且函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 7. 已知函数，与的零点分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 残差是预测值减去观测值 B. 由列联表计算得到卡方值越大，则判断两个变量有关的把握就越大 C. 残差的带状区域越窄，拟合效果越好 D. 相关系数r越大，两个变量的相关性越强 10. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法-商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，则（ ） A. 当时，存在极值点 B. 若有三个不同零点，，，则 C. 过点且与曲线相切的直线有且仅有1条 D. 若有三个不同零点，，且在三个零点处的切线斜率分别为，，，则 三、填空题 12. 已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于________． 13. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数的极值点至少有__________个. 14. 已知函数，当时函数的极值点的个数是______；若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知数列中，是与的等差中项，数列中，，点在直线上. （1）求数列，的通项和； （2）设，求数列的前n项和，. 16. 已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数（a为常数）． （1）讨论函数的单调性； （2）不等式在上恒成立，求实数a的最小整数值． 18. 已知函数， （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若在上存在零点，求实数的取值范围. 19. 已知，． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的极值点个数； （3）若对于任意总有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $