湖北曾都区第一高级中学2025-2026学年高二下学期期末复习专题一（导数专题）

**基本信息** 导数专题训练以“概念-应用-综合”为逻辑主线，系统整合求导运算、单调性分析、极值最值、零点问题等核心考点，通过分层题型提炼分类讨论、参变分离、构造函数等实用方法，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题（单选1-5）|基础求导公式与导数几何意义|从导数定义到导函数符号判定| |导数应用|6题（单选6-7、多选8-9、填空10-11）|极值点分析、零点存在性判定、单调区间参数讨论|从单一应用到多考点综合| |综合探究|3题（解答题12-14）|含参函数单调性分类、恒成立问题转化、极值点偏移证明|从方法应用到逻辑推理表达|

湖北曾都一中2025至2026学年高二下期末复习专题一（导数专题） （7+2+2+3题型） 一、单选题 1．下列函数的求导正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的极小值为（   ） A．2 B． C． D． 3．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设函数的导数为，且函数，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 6．已知，若有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有3条 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数有2个极值点 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 三、填空题 10．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 11．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 四、解答题 12．设，函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性和极值点． 13．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)分析的单调性； (3)当时，恒成立，求的取值范围. 14．已知函数（，为常数）． (1)若是偶函数，求的极值； (2)若函数有2个零点，． ①求的取值范围． ②求证． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 湖北曾都一中2025至2026学年高二下期末复习专题一（导数专题）参考解答 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D A B A A C ACD ABD 10． 11． 12．(1) （或写为 ） (2)当时，在上单调递增，无极值点；当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点. 【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出即切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程； （2）求出函数的导函数，再对参数分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间及极值点即可； 【详解】（1）当时，，． 且，． 曲线在点处的切线方程为，即得． （2）． 当时，，是增函数，无极值点； 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 极小值点为，无极大值点. 综上，当时，在上单调递增，无极值点； 当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点. 13．(1) (2)当时，的单调增区间为；单调减区间为； 当时，的单调减区间为；单调增区间为； 当时，的单调增区间为， 当时，的单调增区间为；单调减区间为； (3) 【分析】（1）求出，利用导数几何意义求得切线斜率，代入点斜式直线方程求解即可； （2）求出导函数，按照和分类讨论求解即可； （3）参变分离，把恒成立问题转化为恒成立问题，构造函数，利用导数求解函数最值即可求解. 【详解】（1）当时，得到，则， ，则， 所以切线方程为，即. （2）由题意得， 可得， 当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增; 当时，的解为， ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间上，，在区间上，， 所以的单调增区间为；单调减区间为； ③当，即时， 在区间上，，在区间上，， 故的单调增区间为；单调减区间为. （3）由题意得当时，恒成立， 等价于“当时，恒成立”. 即在上恒成立. 此时，所以恒成立. 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增. 所以，所以. 综上所述，的取值范围是. 14．(1)极大值为，无极小值； (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义列等式求解参数a的值；再求的导函数，通过分析导函数的正负确定的单调性，进而求极值； （2）①确定的定义域，同时根据对数有意义的条件得到a的初步范围；求的导函数，分析的单调性求出最值，结合零点个数列不等式求得参数范围；②不妨设，将证明转化为，即证；构造辅助函数，利用函数单调性完成证明. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 是偶函数，故，即， 即得，而不恒等于0， 故，即； 此时，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故在时取得极大值，极大值为，无极小值； （2）①，定义域为， 且，则， ，由于，故， 令 ，则， 当时，，此时对恒成立， 则在上单调递增，此时至多有1个零点，不符合题意； 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 且当和时，， 则在时取极大值，也是最大值， 即， 要使有2个零点，．需 ， 解得，即的取值范围为． ②由题意可设，其中，， 由于，在上单调递减，可知， 若，则，此时成立， 若，且， 要证，即证，由于在上单调递增， 只需证， 又因为，所以只需证，即 ， 设， ， 因为，故，由，故，则， 故 ，即得 ， 由于，故，结合，得 ， 则可得此时成立， 综合可知. 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $