精品解析：河北张家口市部分学校2026届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. i C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算即可. 详解】由题可知：，所以. 故选：A 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】由，，且，得，解得. 故选：D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的交集运算求解. 【详解】由，得，所以， 又，所以. 故选：C. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 88 B. 114 C. 132 D. 144 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设条件可求得的值，从而可得的值. 【详解】根据等差数列的下标和性质，， 解得，所以. 故选：A. 5. 已知l是一条直线，，为两个不同平面，若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因l一条直线，，为两个不同平面，， 当时，可过直线作平面与平面交于直线，根据线面平行的性质定理可得， 又，所以，又，所以，故充分性成立； 当时，当且时符合，但推不出，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件． 6. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和周期性可得答案. 【详解】由是定义在上的偶函数，得； 由是定义在上周期为2的函数， 所以， 又因为， 所以， 故. 7. 已知函数，对任意实数，存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求出在上的最大值，问题转化为存在，使得成立，分离参数求解. 【详解】， 当时，，所以，所以， 所以存在，使得，即成立， 所以，，所以， 故实数的取值范围为. 故选：C. 8. 设函数，若对于任意的都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由定义域可知，可进行参变分离，转化为函数求最值问题解决，结合函数特征，使得的图像始终在的下方，通过求切线的斜率可以求得. 【详解】若对于任意的都成立，即，即. 令，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以； 若对于任意的都成立，由函数及的图象易知， 若使对于恒成立，只需处在图象上方， 的最小值在处，两个图象相切处取得， 函数导数为，时，，即. 综上，的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，B，由，根据二项展开式求解判断；对C，D，利用赋值法分别令，1和，求解判断. 【详解】由题意，， 知，，故A，B正确； 分别令，1和，得，， ， 所以，， 即，，所以C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（ ） A. 满足的点P恰有两个 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出抛物线焦点坐标，再利用抛物线的定义，结合平面几何知识求解即可. 【详解】因为，所以焦点为， 因为，所以点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为， 与抛物线C仅有一个交点，故A错误； 如图1，点在抛物线外，故的最小值为，故B正确； 如图2，过作轴的平行线，与准线交于点，与抛物线交于点， 根据抛物线定义，此时有最小值，故C正确； 因为，当且仅当三点共线且在之间时取等号，故D正确． 11. 若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的递推关系求出通项，再按为奇数、偶数分类求出并逐项求解判断. 【详解】数列中，，当时，，则， 而，解得， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，， 当时，数列的前项中，有个正数，个负数， 任取两项都是正数的概率为， 当时，数列前项中，有个正数，个负数， 任取两项都是正数的概率为， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点与圆：相切的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】易知点在圆上，根据圆的切线性质进行求解即可. 【详解】易知点在圆上，故所求切线与直线垂直， 又，所以所求切线斜率， 故所求切线方程为，即. 故答案为：. 13. 如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为6cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），现用直径为16cm的圆柱形容器量取液态原料（不考虑损耗），则圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为________cm. 【答案】#### 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式以及圆柱的体积公式，可得答案. 【详解】圆台状蛋糕膨胀成型后的体积为， 圆柱形容器中液态原料的体积为，解得， 即圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为. 故答案为：. 14. 设双曲线：的右焦点为为坐标原点，过的直线与的右支相交于，两点.若恒为锐角，则的离心率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先设直线方程再联立方程结合数量积公式应用韦达定理再应用齐次式得出离心率范围即可. 【详解】由题意知，所以，得到，， 设，，直线的斜率不为零，设其方程为，代入， 得， 由韦达定理，得 则. 由于，两点均在的右支上，故. 所以，又恒为锐角，所以恒成立，即， 所以对恒成立.因为， 所以当时，，所以， 又，所以，所以， 又，所以，所以，所以，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解学生喜欢足球是否与性别有关联，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，得到如下列联表： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 40 女生 30 合计 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）并依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关联？ 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 （2）有关【解析】 【小问1详解】 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 【小问2详解】零假设为：该校学生喜欢足球与性别无关， 而， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该校学生喜欢足球与性别有关. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）为边上一点，且，若，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，三角恒等变换求得，得解； （2）在，，中，分别利用余弦定理可得，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由正弦定理及， 得， ， 所以，即， 因为，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为在边上，且，所以，， 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 二者联立，消去，得， 在中，由余弦定理，得， 所以，即， 所以，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 17. 如图，在三棱锥中，，都是以为斜边的等腰直角三角形，，Q为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 在三棱锥中，取中点，连接，令 由，都是以为斜边的等腰直角三角形，得， 且，而，则，， 而平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量，则，取，得， 因此， 所以直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程； （2）若函数在上恰有2个零点，. ①求的取值范围； ②求证：. 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，设切点为，利用导数的几何意义求出，从而得到切线方程； （2）①问题转化为恰有2个不相等的正实数根，，令，利用导数求出函数的单调性和最值，数形结合得解；②由题可得，，得，利用分析法可将所证明问题转化为，令，令，利用导数求出最值得证. 【小问1详解】 当时，，设直线与曲线相切于点， 因为，所以直线的斜率， 又，故的方程为， 又过原点，所以，所以， 所以，故的方程为，即. 【小问2详解】 ①因为在上恰有两个零点， 所以关于的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，， 令，则与的图象有两个不同的交点. 因为，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 当从0右侧无限趋近于0时，趋近于； 当无限趋近于时，则趋近于，则图象如图所示， 所以当时，直线与的图象有两个不同交点， 所以实数的取值范围为. ②由①知，， 所以，， 所以， 不妨设，则， 要证，只需证， 因为，所以，所以， 则只需证. 令，则只需证当时，恒成立， 令， 所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，恒成立，所以原不等式得证. 19. 已知椭圆E：（）的左顶点为，离心率为，直线与E交于M，N两点. （1）求E的方程； （2）若直线l过坐标原点，且在直线上存在点P，使得为等边三角形，求直线l的方程； （3）若直线，的斜率分别为，，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率、顶点坐标及的关系即可求解； （2）讨论直线l斜率存在和不存在时，将直线与椭圆方程联立，求出交点，设，可得，再将的垂直平分线方程与椭圆联立，求出，求出，根据即可求解； （3）设直线，联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据两点斜率关系可得直线过定点，进而根据弦长公式得目标函数，即可结合函数的性质求解最值. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，此时，即， 要使为等边三角形，则点一定在轴上， 而直线与轴的交点，即， 此时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线， 联立，得，即， 设，则，所以， 则， 又的垂直平分线方程为， 联立，解得，即， 则， 因为为等边三角形，所以， 则，解得或， 则直线的方程为或. 【小问3详解】 由题可知，直线的斜率不为0，设直线， 联立方程，得， 所以， 且， 所以 ， 解得，此时恒成立， 所以直线的方程为，直线过定点， 此时， 则， 令，则， 令，则在上单调递减， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知，则（ ） A. B. i C. -1 D. 1 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A 1 B. C. 0 D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 88 B. 114 C. 132 D. 144 5. 已知l是一条直线，，为两个不同平面，若，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，对任意实数，存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若对于任意的都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（ ） A. 满足的点P恰有两个 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. 的最大值为3 11. 若数列的前n项和为，且，在数列的前（）项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点与圆：相切的直线方程为______. 13. 如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为6cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），现用直径为16cm的圆柱形容器量取液态原料（不考虑损耗），则圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为________cm. 14. 设双曲线：的右焦点为为坐标原点，过的直线与的右支相交于，两点.若恒为锐角，则的离心率的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校为了解学生喜欢足球是否与性别有关联，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，得到如下列联表： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 40 女生 30 合计 （1）请将上面的列联表补充完整； （2）并依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关联？ 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 005 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 16. 在中，角，，的对边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）为边上一点，且，若，求的最大值. 17. 如图，在三棱锥中，，都是以为斜边的等腰直角三角形，，Q为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程； （2）若函数在上恰有2个零点，. ①求的取值范围； ②求证：. 19. 已知椭圆E：（）的左顶点为，离心率为，直线与E交于M，N两点. （1）求E的方程； （2）若直线l过坐标原点，且在直线上存在点P，使得为等边三角形，求直线l的方程； （3）若直线，的斜率分别为，，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $