专题09 解三角形小题13种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦解三角形13类小题考法，以题型归类为框架，覆盖定理应用、几何计算及实际问题，形成从基础到综合的知识逻辑链，培养推理能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定理基础应用|30题|正弦/余弦定理直接应用、解的个数判断|从定理直接求边角到多解情况分析，构建定理应用逻辑| |综合与判定|15题|三角形形状判断、定理综合应用|多定理结合三角形性质，培养逻辑推理能力| |几何量计算|35题|面积/周长计算、边角最值、三线问题|从静态计算到动态最值，强化数学眼光与运算能力| |几何与实际应用|20题|平面几何问题、航海测量等实际场景|从抽象几何到现实模型，发展应用意识与数学语言表达|

专题09 解三角形小题13种常考考法归类 题型一 利用正弦定理解三角形 题型八 与角度、边长有关的最值问题 题型二 判断三角形解的个数 题型九 三角形面积计算及应用 题型三 正弦定理的应用 题型十 三角形的周长计算及应用 题型四 利用余弦定理解三角形 题型十一 角平分线、中线和高线 题型五 余弦定理的应用 题型十二 正、余弦定理解决几何问题 题型六 判断三角形形状 题型十三 利用正、余弦定理解决实际问题 题型七 正余弦定理的综合应用 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用正弦定理解三角形 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，，则角B的大小为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解，再结合三角形边角关系求解. 【详解】由正弦定理：，代入，，可得： ， 则或， 由，得， 故. 2．（2026高一·重庆·期中）在中，已知，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】由正弦定理，得 . 3．（2026高一·四川成都·期中）中内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以. 4．（2026高一·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，得到，即可求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得，所以. 5．（2026高一·江西萍乡·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由，，则，故， 由正弦定理，可得， 又，则，故或， 若，有，符合题意； 若，有，符合题意； 综上：或. 6．（2026高一·重庆·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】在中，由正弦定理 因，由，可得， 所以或. 题型2 判断三角形解的个数 7．（2026高二·吉林长春·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据和的关系确定正确答案. 【详解】由于， 所以， 所以三角形解的个数为. 8．（2026高一·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】在中，已知、、，且为锐角，若有两解，则，逐项判断即可. 【详解】在中，已知、、，且为锐角，如下图所示： 由图可知，若有两解，则， 对于A选项，，，，则， 所以，此时不存在，A不满足要求； 对于B选项，，，，因为，故只有一解，B不满足要求； 对于C选项，，，，则，所以， 故有两解，C满足要求； 对于D选项，，，，则，所以， 故只有一解，D不满足要求. 9．（2026高一·山东济宁·期中）在中，，，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据与的大小关系确定解的个数. 【详解】由于， 所以， 所以的解的个数是. 10．（2026高一·重庆·期中）的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方法一： 已知是锐角，固定角、边，画： 把角固定，一边固定射线，另一边为线段且. 过点向作高， ，这是点到直线的最短距离， 边是的长， ：以为圆心、为半径画圆， 和射线交于两个不同点，能构成两个不同三角形，两解， 即三角形有两解的条件为 ， 计算 ， 所以 的取值范围为 . 方法二： 已知，，由余弦定理：， 代入得，整理为：， 有两解等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 设方程两根为，满足：， 解得: . 两根之和：，恒成立， 两根之积： ⇒ ⇒ ， 综上所述，的取值范围：. 11．（2026高一·河南南阳·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】已知边a与其对角A，求边b可利用正弦定理，建立边b与角B之间的关系，因为△ABC有两个，故角B有两个，根据正弦函数图象确定范围即可． 【详解】由正弦定理可得：，因为a＝2，， 故，故， 因为△ABC有两个，故存在两个不同的角B满足题意， 则（否则角B不满足有两个三角形的条件），（否则B只能有直角一个值）， 故且，则， 故，解得．故只有B选项符合题意． 12．（2026高一·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b的取值范围. 【详解】在中，，， 由正弦定理可得： ， 因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为，可得， 综上，的取值范围为. 13．（2026高一·江苏镇江·期中）在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】 如图所示，在中，内角，作于， 要使满足条件的三角形有且仅有两个，则，其中， 即，因此边长的取值范围为，故A正确. 14．（2026高一·重庆万州·阶段检测）在中，角的对边分别为，且，，若满足条件的是唯一的，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据当或时是唯一的即可判断. 【详解】由于，，由正弦定理，要使唯一，须满足以下条件之一： ①当时，即，构成一个直角三角形（），只有唯一解； ②当时，即，边长足够长，只有唯一解； 因此，要使满足条件的是唯一的，的取值范围为， 即的值不可能是，故ACD错误，B正确. 题型3 正弦定理的应用 15．（2026高一·河北衡水·阶段检测）在中，内角的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角即可. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以或. 16．（2026高一·重庆·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦、正切公式求解. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则，整理得， 因此，而， 若，则，都是钝角，矛盾，而， 则，， 解得，所以. 17．（2026高一·安徽阜阳·阶段检测）记△ABC的内角的对边分别为,已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用和角公式与正弦定理将题设等式化成，结合角的范围即可求得角. 【详解】由，展开得， 由正弦定理，， 因， 代入可得， 即. 因为，所以，故， 则，又，所以. 18．（2026高一·吉林延边·期中）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 由正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 所以，又，所以， 又，则. 19．（2026高一·河北雄安·阶段检测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，可得，由正弦定理边化角，结合两角差的正弦公式，可得，根据角的范围，整理求解，即可得答案. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理，得， 所以，即. 在锐角三角形中，，， 所以，即，所以. 题型4 利用余弦定理解三角形 20．（2026高一·重庆·期中）在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理可得：， 代入数据得：，即，解得. ∵ 为三角形内角，即， ∴ . 21．（2026·河南·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理以及二倍角公式求解即可. 【详解】由得，所以， 又由余弦定理，得， 解得或，若，则，得， 又由且，得，与矛盾， 若，由余弦定理得， ，所以. 22．（2026·重庆·模拟预测）在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】在中由余弦定理得： ，则或（舍）. 23．（2026高一·江苏盐城·期中）在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化结合余弦定理可得答案. 【详解】因，由正弦定理边角互化可得： ，设， 则. 24．（2026高一·浙江·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理， 所以． 25．（2026高一·吉林长春·期中）在中，，，，则（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【详解】由题设，应用余弦定理可得. 26．（2026高一·辽宁大连·期中）在中，，，，则（     ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由. 27．（2026高一·四川成都·期中）在中，若，，，则等于（） A． B．7 C．4 D．8 【答案】B 【分析】用余弦定理计算即可得出结果. 【详解】因为，，，且， 所以， 因为，所以. 28．（2026高一·广东佛山·期中）在中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】设，由余弦定理得： . 代入已知条件： . 化简计算，整理得. 解得或（边长为正，舍去负根），故. 题型5 余弦定理的应用 29．（2026高一·山东泰安·期中）在中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理结合题意可得结果. 【详解】由余弦定理得. ∵，∴. 30．（2026高三·山东·阶段检测）设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用二倍角公式及余弦定理角化边，然后因式分解得到为直角三角形，进而求得外接圆半径. 【详解】. 由余弦定理得，， 整理得，，即. 又，所以. 所以是以为斜边的直角三角形， 所以外接圆半径为. 31．（2026·贵州六盘水·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理的推论将化成边的关系，化简整理，再根据余弦定理的推论得，从而求得. 【详解】由余弦定理的推论，结合， 得， 整理得，所以. 所以. 因为，所以. 32．（2026·江西南昌·模拟预测）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 33．（2026高二·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 34．（2026高二·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【详解】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B 题型6 判断三角形形状 35．（2026高一·陕西西安·期中）在中，角､､所对的边分别为.若，则为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理及三角形内角和关系、正弦和角公式计算即可. 【详解】易知，由正弦定理可知， 即，所以， 则，即，该三角形为钝角三角形，选D. 36．（2026高一·安徽亳州·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】由及正弦定理，得， 因为，所以， 代入得，即， 因为，所以，故，因为，所以， 即的形状为直角三角形． 37．（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】使用余弦定理角化边求解. 【详解】由，得， 即，由余弦定理，， 因为，所以， 由，得，整理得，所以是等边三角形 38．（2026高一·辽宁沈阳·期中）在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 39．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 40．（2026高一·甘肃白银·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理及恒等变形化简得，再解三角形即可求解． 【详解】解：根据正弦定理得，． ，， ，解得， 所以为直角三角形． 41．（2026高一·重庆·期中）在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形 【答案】B 【分析】由三角形面积公式和余弦定理化简可得，由正弦定理化简得，结合平面向量线性运算、数量积运算和平面几何知识可得，从而可得是等腰直角三角形. 【详解】根据余弦定理，则. 根据三角形面积公式，则， 化简得，即.因为是三角形内角，所以. 又，由，可得. 则. 如图所示，在边上分别取点，使， 以为邻边作平行四边形，则四边形为菱形， 连接，且，， . 又，且，，即. 又，所以，进而，所以是等腰直角三角形. 42．（2026高一·重庆·期中）在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系、正弦定理、辅助角公式化简可得，进而可得，由此判断三角形形状. 【详解】若，得， 由正弦定理可得， 化简可得，即， 利用辅助角公式可得， 即， 所以或，或者（舍）， 所以一定是直角三角形. 题型7 正余弦定理的综合应用 43．（2026高一·江苏南京·期中）已知的内角的对边分别为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的三角函数关系及辅助角公式得到，即，结合正余弦定理得到，与联立解得，，结合余弦定理求解即可. 【详解】由，得 则，所以. 与联立，解得，. 所以. 又，所以. 44．（2026高一·安徽·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件式利用正弦定理及三角恒等变换化简求得，再将利用正弦定理角化边，结合，求得，最后利用余弦定理求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 由，得，则， 即， 即，又，所以， 因此，即， 由，得，则，所以. 由及正弦定理，得，代入，可得，解得，则， 所以由余弦定理可得， 解得. 45．（2026·甘肃兰州·模拟预测）记的内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边与角的关系转化为关于的三角等式，求出的值，再代入余弦定理计算边． 【详解】由正弦定理得，则， 又，所以， 所以，所以为锐角， 由，得， 由余弦定理得， 所以． 46．（2026高三·河南·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用正弦定理将已知边的关系转化为角的正弦平方的关系，再用余弦定理将已知边的关系转化为边的乘积，进而得到正弦乘积的方程，解出结果. 【详解】依题意，，由正弦定理得，， 所以，由余弦定理可得，， 即，所以， 即，又因为，所以. 47．（2026高一·湖北武汉·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由余弦定理的边角互化可得，，即可得到的关系式，代入计算即可得到，再由同角的平方关系即可得到结果. 【详解】因为，所以， 整理可得①， 又，可得， 所以，解得②， 由①②可得， 所以， 则. 故选：D 题型8 与角度、边长有关的最值问题 48．（2026高一·北京·期中）在中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求出的取值范围即可得解. 【详解】由正弦定理可知，，即， 所以， 又，所以为锐角， 所以. 49．（2026高一·安徽滁州·阶段检测）已知钝角的三边长分别为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由为钝角的三边长，得， 解得，所以实数的取值范围是. 50．（2026高一·北京丰台·期中）在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理得,为三角形外接圆半径. 代入，，得. 因此，. 因为，，所以，且. 则 由，得，所以. 故，即的取值范围是. 51．（2026高一·山东·阶段检测）在中，分别为角所对的边，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦定理、辅助角公式将转换成，由正弦函数性质即可求解. 【详解】已知，根据正弦定理​， 边化角得： ， 因为，所以， 代入上式： ， 整理得， 因为，，所以，得， 由正弦定理， ​， 因此： ， 又，， 代入得： 因为，所以， 则， 因此： 52．（2026高一·江苏宿迁·阶段检测）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 由，得, 所以， ， ， 由，得， 所以，又，所以． 由，得， 所以 ， 由为锐角三角形，得，所以，解得， 由，得，所以． 所以，即 53．（2026高一·湖北武汉·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，即，所以，所以，，解得， 因为锐角，，所以，解得，所以，所以 由正弦定理得，所以，所以 54．（2026·江西·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理，正弦定理，三角恒等变换得，进而得，再结合锐角三角形求得，最后求解范围即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 所以，所以． 因为， 所以，即， 所以． 因为是锐角三角形，，， 所以，即． 因为， 所以，所以． 因为，所以， 所以． 55．（2026高一·山东·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及余弦定理、和角的正弦公式化简可得，再利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变换及余弦的二次型函数值域求解. 【详解】在锐角中，由及三角形面积公式， 得， 而，则， 由余弦定理得， 则，即， 由正弦定理得， 即， 整理得， 则， 由，得，于是， 即，且，， 因此 ， 所以的取值范围是. 56．（2026高一·全国·课堂例题）在锐角中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边化为角，结合和差化积及锐角三角形的条件得到，进而求出的范围，再通过三角函数的恒等变换化简及函数的单调性求值即可. 【详解】由正弦定理可知，， 又 ， 所以. 又，所以， 又，所以，所以. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即. 又是锐角三角形，所以， 所以，则， 所以． 又在上单调递减，所以， 所以． 故选：B. 57．（2026高一·山东济宁·期中）已知函数，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.在钝角中，内角的对边分别是，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的解析式，由，可得，从而得，，结合正弦定理及三角恒等变换，可得，利用换元法及对勾函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知， 又因为， 即， 因为是钝角三角形， 所以或, 即或（舍去）， 所以， 所以，， 所以， ， 令， 所以， 则原式即为， 令，则即为， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 又因为， 所以， 即. 58．（2026高一·江苏连云港·期中）已知在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转化，得到，再结合三角形是锐角三角形求出角的范围，最后化简所求式子并根据角的范围确定其取值范围. 【详解】因为，又， 所以，化简得， 由正弦定理得， 即， 所以，即， 因为是锐角三角形，所以，即， 又，即，解得， 由正弦定理，， 因为，所以，则， 所以的取值范围是. 题型9 三角形面积计算及应用 59．（2026高一·湖南邵阳·期中）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用正弦定理求出角，再结合三角形内角和定理求出角，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理得，即，解得， 因为，则，所以， 因此， 所以的面积为. 60．（2026高一·江苏南通·期中）在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，再利用平方关系和三角形面积公式求解. 【详解】根据题意，， 则，即， 则，又，所以， 所以. 61．（2026高一·贵州安顺·期中）在中，角的对边分别是，若，则的面积为（    ） A． B．1 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再利用余弦定理求，结合三角形面积公式求出面积即可求解． 【详解】在中，由正弦定理得：， 因此， 则， 而，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以． 62．（2026·湖南·模拟预测）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，的面积为，得． 因为是锐角三角形，所以． 由余弦定理得，则． 63．（2026·北京·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由及的面积为， 得，即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 64．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】由及正弦定理得，， 又，所以. 又，即， 所以. 65．（2026高二·河南驻马店·期末）在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则外接圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求得，结合面积公式及正弦定理可求外接圆的半径，进而可求周长； 【详解】由和正弦定理得，即， 因为，所以，又因，则， 由余弦定理，，因，所以，； 在中，由解得， 由正弦定理得的外接圆的半径为， 所以外接圆的周长. 66．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角形三边关系确定参数的取值范围，再结合余弦定理和三角形面积公式，通过二次函数求最值的方法即可得到面积的最大值. 【详解】因为，，由余弦定理：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以， 令，因为，得，即， 则 ， 这是关于的二次函数，开口方向向下，所以当时，二次函数取到最大值为144， 此时. 67．（2026高一·黑龙江·期中）在中，内角的对边分别为，且，的面积为，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和差的正弦公式化简，即可求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 所以， 又，所以， 所以，所以， 又，即， 由得， 所以，又，即， 所以， 所以的面积为，解得，所以. 68．（2026高三·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 【答案】A 【分析】根据正弦定理和三角形内角和关系，确定是直角三角形，由勾股定理及基本不等式求得面积最大值. 【详解】由题设 及正弦定理可得 ， 又， 故，化简得， 因为，所以，即 ， 是直角三角形，直角在 ，   由勾股定理，直角在 ，故 ， 的面积 ，根据基本不等式 ，得： ， 因此 ，当且仅当 时取等号，即面积最大值为 . 69．（2026高一·福建厦门·期中）在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】解法1，设，利用余弦定理可得，令，可得，利用三角变换和三角函数性质求得，得解； 解法2，作，则是的重心，设，可得，，根据运算，结合三角函数性质得解； 解法3，作，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，，可得，由三角形面积公式结合基本不等式求解. 【详解】解法1：令，在内由余弦定理，可知 ，化简得：，故， 所以的面积，令，所以， 又， 所以，所以，所以，当且仅当时，取等号. 解法2：如图，作，垂足为，交于，则是的重心，， 设，所以，，故的面积等于， 所以的面积，当且仅当时取等号. 解法3：如图，作，垂足为，以为原点，为轴建立平面直角坐标系. 设，，则，， 所以的面积，当且仅当时取等号. 70．（2026·山东菏泽·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值，利用三角形面积公式求结论. 【详解】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 题型10 三角形的周长计算及应用 71．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______． 【答案】15 【分析】利用等面积法及正余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知，所以， 又由余弦定理可知， 即，则的周长为. 72．（2026高一·四川德阳·阶段检测）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知，，且，则的周长为________． 【答案】 【分析】利用余弦定理可得，化简可得，进而可求得，结合面积可求得，可求周长. 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得，又，， 因为，又，所以，所以， 又，可得，所以， 所以，所以， 所以的周长为. 故答案为：. 73．（2026·四川绵阳·模拟预测）中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为__________． 【答案】 【分析】先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简得出：；再结合和余弦定理得出的值即可求解. 【详解】因为， 所以， 即.， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，整理得：. 因为， 所以，整理得：， 则， 所以， 故答案为：. 74．（2026高一·河南·阶段检测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的面积为2，则当的周长取到最小值时，______． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理、余弦定理求出周长的函数表达式，再借助函数性质、均值不等式计算作答. 【详解】由题意得，因为，则， 由余弦定理，得，即，则， 而函数在上单调递增，即当a最小时，的周长最小， 显然，当且仅当时取“=”，此时， 所以当的周长取到最小值时，． 故答案为： 75．（2026高一·江苏南京·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为1，则周长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式、诱导公式，可得角C，根据正弦定理，可得边长c的值，根据余弦定理，结合基本不等式，可得的范围，分析即可得答案. 【详解】由，得， 则， 因为，所以，则，所以， 又由外接圆半径为1可知，即， 由余弦定理得，则，即， 由基本不等式得， 所以，整理得， 化简得（当且仅当时取等）， 所以周长的最大值为. 76．（2026高一·广东深圳·阶段检测）在中，，若，求周长的最大值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】由正弦定理化简可得，方法一：利用余弦定理结合基本不等式求解即可；方法二：由正弦定理可得，结合三角恒等变换以及正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】由正弦定理可得：， ∴， ∵， ∴． 方法一： 由余弦定理得， 即． ∵（当且仅当时取等号）， ∴， 解得（当且仅当时取等号）， ∴周长， ∴周长的最大值为． 方法二： 由，则， 根据正弦定理可知， 所以， 当且仅当时，等号成立． 此时周长的最大值为． 题型11 角平分线、中线和高线 77．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 78．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果． 【详解】因为，所以， 又，则，化简得， 由正弦定理得， 因为， 所以，整理得， 又，，所以或， 若，即，不满足条件，则，即， 因为为的平分线，所以， 因为，所以， 在中，① 又因为，， 所以， 即， 化简得② ①代入②得，解得，（舍去）， 所以， 在中，由余弦定理， 所以． 79．（2026高一·安徽宿州·期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【分析】利用正弦面积公式表示出：，化简可得，即，再结合基本不等式中“1”的妙用求解. 【详解】如图，为角平分线，， 即， 化简得，则， 当且仅当时取等号，故最小值为4. 80．（2026高一·广东深圳·期中）在中，内角所对边分别为，若，，角C的角平分线交于点D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式列式求解. 【详解】在中，，由余弦定理得， 解得，又，由， 得，则， 所以. 81．（2026高一·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出角，结合图形写出中线向量的表达式，由向量数量积的运算律，代入即可求得中线的长度. 【详解】在中, 由余弦定理，， 则. 因点是的中点，则， 两边平方得 ， 故. 82．（2026高一·全国·专题练习）已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求边，最后转化为角的函数来求最值即可. 【详解】 取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，， 由， 又因为， 所以， 由余弦定理可知， 令，则， 即， 因为，所以，即， 因为，所以的最小值为. 83．（2026·河北张家口·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的余弦，再利用余弦定理列式求解. 【详解】在中，，则， 在中，，， 由余弦定理得. 84．（2026高一·山东聊城·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据平行条件结合正弦定理得出，再根据即可求出. 【详解】由题意得，，结合正弦定理得， 因，则，则， 若，则，与上式矛盾，故，则， 因，则， 因为AC边上的中线，则， 则 ， 则. 故选：C 85．（2026·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得. 故选：B. 题型12 正、余弦定理解决几何问题 86．（2026高一·山西晋中·阶段检测）在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求三角形内角的余弦值，可以建立平面直角坐标系求出点坐标，进而求出三角形对应边长，利用解三角形的余弦定理求出角的余弦值. 【详解】以点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， ，点的坐标为，过点作于点， 在中，，，， 点的坐标为，是中点，点的坐标为，是中点， 点的坐标为，设直线的解析式为，将点的坐标为代入，得，解得， 直线，设直线的解析式为，将点，的坐标代入，得，解得， 直线，联立直线与直线方程组得，解得，即点的坐标为， 根据两点间距离公式：，，， 根据余弦定理可得：，，解得. 87．（2026高一·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据余弦定理，可得的表达式，根据条件，可得的表达式，根据正弦定理，可得，在中，根据余弦定理，可得的表达式，整理计算，结合辅助角公式及正弦函数的性质，分析求解即可得答案. 【详解】在中，设，由余弦定理得， 又，，所以， 由题意，为等腰直角三角形，则， ，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，取得最大值，且为， 所以对角线的最大值为. 88．（2026高一·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可. 【详解】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 89．（2026高三·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理，可得长，根据面积公式，可得的面积S，又的面积，结合面积公式，代入求解，可得BO的长，根据条件，即可得答案. 【详解】如图： 由余弦定理 ，所以， 的面积， 又 ， 所以，解得， 又，所以. 90．（2026高三·安徽阜阳·期末）在△ABC中，，则=（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理得得，，两式相除代入条件求得结论. 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以， 所以，所以 故选：C 91．（2026高一·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 92．（2026·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定理可得，在中，利用余弦定理求出，进而根据正弦定理求出. 【详解】因为为的平分线，且， 在中，根据正弦定理可知， 在中，根据正弦定理可知， 而，，故将上述两个等式相除可得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 题型13 利用正、余弦定理解决实际问题 93．（2026高一·湖南衡阳·期中）某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理可求得. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 所以． 94．（2026高一·陕西·期中）位于某海域处的观测站获悉，在其正东方向相距15海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.观测站立即将消息告知位于观测站西偏南，且与观测站相距6海里的处的救援船，救援船收到消息立即前往救援.若救援船要在1.5小时之内赶至渔船遇险处，则救援船的航行速度不低于（参考数据：取）（   ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】A 【详解】如图，由题可知，，海里，海里，则. 因为，所以，则， 所以，则海里. 设救援船的航行速度为海里/小时，则，得. 95．（2026高一·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 所以. 96．（2026高一·河北·期中）一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（     ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】设该楼阁的高度米，根据题意得，，，，再结合，根据余弦定理求得即可得答案. 【详解】设该楼阁的高度米， 根据题意，，， 所以，，， 因为， 所以， 因为， ， 所以，即， 整理得，解得米，即该楼阁的高度米.    97．（2026高一·江苏南通·期中）某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由， 可得： 解得： 98．（2026高一·山东泰安·期中）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°方向且与该港口相距30海里的处，正在沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为（   ） A．沿正北方向 B．北偏东45°方向 C．北偏东60°方向 D．北偏东75°方向 【答案】B 【详解】设小艇沿直线方向以海里/小时的速度航行1.5小时后，到达点， 路程为海里，即海里， 由题意得海里，， 在中，由正弦定理得， 即，， 又，故，故， 即小艇的航行方向为北偏东45°方向. 99．（2026高一·山东泰安·期中）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里.当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲､乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲､乙两船可能相遇 【答案】A 【分析】先利用余弦定理求出乙船12分钟的航行距离得到乙船速度，再建立方程判断是否存在时间使两船相遇，从而得到正确结论. 【详解】甲船速度海里/时，航行分钟小时，因此海里， 由题意海里，， 因此是等边三角形，得海里，， 在南偏西，因此，且海里， 在中 ， 解得海里，乙船速度海里/时，和甲船速度相同，因此A正确，B错误； 建立坐标系：设，正北为轴正方向，正东为轴正方向， 设小时后甲、乙两船于处相遇，则， 乙船起点， 则， 由前分析知两船速度相同，则，则， 即， 整理得， 因为方程无正根，所以两船不会相遇，故C、D错误. 100．（2026高三·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理解三角形可得. 【详解】如图，由题意可得．在中，由余弦定理可得 海里， 故甲船至少需要航行的海里数为． 故选：C.    $专题09 解三角形小题13种常考考法归类 题型一 利用正弦定理解三角形 题型八 与角度、边长有关的最值问题 题型二 判断三角形解的个数 题型九 三角形面积计算及应用 题型三 正弦定理的应用 题型十 三角形的周长计算及应用 题型四 利用余弦定理解三角形 题型十一 角平分线、中线和高线 题型五 余弦定理的应用 题型十二 正、余弦定理解决几何问题 题型六 判断三角形形状 题型十三 利用正、余弦定理解决实际问题 题型七 正余弦定理的综合应用 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用正弦定理解三角形 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，，，则角B的大小为（     ） A． B．或 C． D．或 2．（2026高一·重庆·期中）在中，已知，则（    ） A． B．2 C．3 D． 3．（2026高一·四川成都·期中）中内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 4．（2026高一·江苏无锡·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则角C为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（2026高一·江西萍乡·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 6．（2026高一·重庆·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 题型2 判断三角形解的个数 7．（2026高二·吉林长春·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 8．（2026高一·上海·期中）在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．（2026高一·山东济宁·期中）在中，，，，则的解的个数是（    ） A．0个 B．2个 C．1个 D．无法确定 10．（2026高一·重庆·期中）的内角，，的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高一·河南南阳·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 12．（2026高一·陕西咸阳·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（2026高一·江苏镇江·期中）在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（2026高一·重庆万州·阶段检测）在中，角的对边分别为，且，，若满足条件的是唯一的，则的值不可能是（   ） A． B． C． D． 题型3 正弦定理的应用 15．（2026高一·河北衡水·阶段检测）在中，内角的对边分别为，，，且，则（   ） A． B． C．或 D．或 16．（2026高一·重庆·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（   ） A． B． C． D．或 17．（2026高一·安徽阜阳·阶段检测）记△ABC的内角的对边分别为,已知，则（    ） A． B． C． D． 18．（2026高一·吉林延边·期中）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026高一·河北雄安·阶段检测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则（   ） A． B． C． D． 题型4 利用余弦定理解三角形 20．（2026高一·重庆·期中）在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 21．（2026·河南·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A．3 B．5 C． D． 22．（2026·重庆·模拟预测）在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A．3 B． C． D． 23．（2026高一·江苏盐城·期中）在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 24．（2026高一·浙江·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则（   ） A．1 B． C． D． 25．（2026高一·吉林长春·期中）在中，，，，则（    ） A．3 B． C． D．6 26．（2026高一·辽宁大连·期中）在中，，，，则（     ） A．1 B． C． D． 27．（2026高一·四川成都·期中）在中，若，，，则等于（） A． B．7 C．4 D．8 28．（2026高一·广东佛山·期中）在中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型5 余弦定理的应用 29．（2026高一·山东泰安·期中）在中，若，则（ ） A． B． C． D． 30．（2026高三·山东·阶段检测）设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的外接圆半径为（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 31．（2026·贵州六盘水·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 32．（2026·江西南昌·模拟预测）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 33．（2026高二·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 34．（2026高二·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 题型6 判断三角形形状 35．（2026高一·陕西西安·期中）在中，角､､所对的边分别为.若，则为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 36．（2026高一·安徽亳州·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 37．（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 38．（2026高一·辽宁沈阳·期中）在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 39．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 40．（2026高一·甘肃白银·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 41．（2026高一·重庆·期中）在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形 42．（2026高一·重庆·期中）在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 题型7 正余弦定理的综合应用 43．（2026高一·江苏南京·期中）已知的内角的对边分别为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 44．（2026高一·安徽·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．6 B． C． D． 45．（2026·甘肃兰州·模拟预测）记的内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 46．（2026高三·河南·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 47．（2026高一·湖北武汉·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型8 与角度、边长有关的最值问题 48．（2026高一·北京·期中）在中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（2026高一·安徽滁州·阶段检测）已知钝角的三边长分别为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（2026高一·北京丰台·期中）在中，内角对应的边分别为，若，，则的取值范围是（） A． B． C． D． 51．（2026高一·山东·阶段检测）在中，分别为角所对的边，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 52．（2026高一·江苏宿迁·阶段检测）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．（2026高一·湖北武汉·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 54．（2026·江西·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 55．（2026高一·山东·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．（2026高一·全国·课堂例题）在锐角中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 57．（2026高一·山东济宁·期中）已知函数，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.在钝角中，内角的对边分别是，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（2026高一·江苏连云港·期中）已知在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型9 三角形面积计算及应用 59．（2026高一·湖南邵阳·期中）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 60．（2026高一·江苏南通·期中）在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （    ） A． B． C． D． 61．（2026高一·贵州安顺·期中）在中，角的对边分别是，若，则的面积为（    ） A． B．1 C．5 D． 62．（2026·湖南·模拟预测）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 63．（2026·北京·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 64．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知的面积为，若，，则（   ） A． B． C．3 D． 65．（2026高二·河南驻马店·期末）在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则外接圆的周长为（   ） A． B． C． D． 66．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 67．（2026高一·黑龙江·期中）在中，内角的对边分别为，且，的面积为，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 68．（2026高三·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 69．（2026高一·福建厦门·期中）在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 70．（2026·山东菏泽·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 题型10 三角形的周长计算及应用 71．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______． 72．（2026高一·四川德阳·阶段检测）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知，，且，则的周长为________． 73．（2026·四川绵阳·模拟预测）中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为__________． 74．（2026高一·河南·阶段检测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的面积为2，则当的周长取到最小值时，______． 75．（2026高一·江苏南京·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为1，则周长的最大值为（   ） A． B． C． D． 76．（2026高一·广东深圳·阶段检测）在中，，若，求周长的最大值为（    ） A． B． C． D．6 题型11 角平分线、中线和高线 77．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 78．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知中，分别是角的对边，的面积，角的平分线交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 79．（2026高一·安徽宿州·期中）已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且AD为的角平分线，若，则最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．6 80．（2026高一·广东深圳·期中）在中，内角所对边分别为，若，，角C的角平分线交于点D，则（    ） A． B． C． D． 81．（2026高一·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 82．（2026高一·全国·专题练习）已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 83．（2026·河北张家口·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（    ） A． B． C． D． 84．（2026高一·山东聊城·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 85．（2026·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 题型12 正、余弦定理解决几何问题 86．（2026高一·山西晋中·阶段检测）在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（  ） A． B． C． D． 87．（2026高一·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 88．（2026高一·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 89．（2026高三·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 90．（2026高三·安徽阜阳·期末）在△ABC中，，则=（   ） A． B．2 C．3 D． 91．（2026高一·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 92．（2026·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 题型13 利用正、余弦定理解决实际问题 93．（2026高一·湖南衡阳·期中）某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A． B． C． D． 94．（2026高一·陕西·期中）位于某海域处的观测站获悉，在其正东方向相距15海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.观测站立即将消息告知位于观测站西偏南，且与观测站相距6海里的处的救援船，救援船收到消息立即前往救援.若救援船要在1.5小时之内赶至渔船遇险处，则救援船的航行速度不低于（参考数据：取）（   ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 95．（2026高一·四川资阳·期中）数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 96．（2026高一·河北·期中）一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（     ）    A．米 B．米 C．米 D．米 97．（2026高一·江苏南通·期中）某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 98．（2026高一·山东泰安·期中）如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°方向且与该港口相距30海里的处，正在沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为（   ） A．沿正北方向 B．北偏东45°方向 C．北偏东60°方向 D．北偏东75°方向 99．（2026高一·山东泰安·期中）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里.当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲､乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲､乙两船可能相遇 100．（2026高三·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． $