高一数学下学期期末模拟试卷（湘教版必修第二册全部：平面向量及其应用+三角恒等变换+复数+立体几何初步+概率）

**基本信息** 高一数学期末模拟卷，覆盖湘教版必修二全册，以复数、向量、三角、概率、立体几何为核心，通过动点轨迹（第8题）、仿射坐标系（第19题）等创新设计，考查空间观念、运算能力与模型观念，难度0.65适配学段要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数虚部、向量线性运算、三角恒等变换|基础巩固，如第1题复数概念辨析| |多项选择|3/18|概率互斥对立事件、复数性质|能力区分，如第9题概率事件关系判断| |填空题|3/15|向量垂直、三角求值、三棱锥外接球|空间想象，如第14题球与棱相切问题| |解答题|5/77|解三角形、概率应用、立体几何证明与二面角、仿射坐标系创新题|综合应用，如17题结合线面平行证明与空间角计算，19题创设仿射情境考查数学抽象|

2025—2026学年第二学期期末模拟考试（全解全析） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【解析】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2．在平行四边形中，为的中点．记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为四边形是平行四边形，所以， 又因为为的中点，所以， 在平行四边形中，，. 故选：A. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，等式两边平方可得， 所以，解得. 4．袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中1个红球、1个黄球、2个蓝球．从中任取2个小球，则这两个小球的颜色不同的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】总的基本事件有6个，这两个小球的颜色相同的情况只有1种， 所以这两个小球的颜色相同的概率为，故这两个小球的颜色不同的概率为． 故选：． 5．已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：，而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故选：A 6．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为CD是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故选：B. 7．已知函数，则下列关于的说法正确的是（　　） A.的最小正周期为 B.在区间上单调递减 C.的最大值为 D.的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】，周期 ，最大值 。 故选：C． 8．如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，取的中点，连接，，， 在正方体中，可得且， 因为，分别是棱的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段， 因为正方体的边长为，可得，， 在中，可得，且， 则，所以的最小值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球、2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则（　　） A.“至少有一个白球”与”至少有一个黑球”是互斥事件 B.“都是白球”与”都是黑球”是互斥事件 C.“至少有一个白球”与”都是黑球”是对立事件 D.“第一次摸到的是白球”与”第二次摸到的是黑球”相互独立 【答案】BC 【解析】A 中”至少有一个白球”与”至少有一个黑球”可同时发生（摸出1白1黑），不互斥；D 中不放回抽样导致两次结果不独立。 故选：BC 10．已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则与均为实数 B．若与均为实数，则 C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数 【答案】ABC 【解析】设，．，． 若，则，，所以，，所以A正确； 若与均为实数，则，且，又，，所以，所以B正确； 若，均为纯虚数，则，所以，所以C正确； 取，，则为实数，但，不是纯虚数，所以D错误． 故选：ABC． 11．用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台．如图，在正三棱台中，已知，则（    ） A．正三棱台的体积是 B．直线与平面所成的角为 C．点到平面的距离为 D．正三棱台存在内切球，且内切球半径为 【答案】BCD 【解析】对于B，过作直线的垂线，交直线AC于点M，过作直线的垂线， 交直线AC于点N，连接，则， 所以，由余弦定理得， 所以， 所以，同理可得，又， 、平面，平面， 所以直线与平面所成的角为，故B正确； 对于C，取中点，因为，所以，所以， 又平面，所以平面， 所以点到平面的距离为， ，且， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为，故C正确； 对于D，取中点H，中点，的外心为，的外心为， 过作垂线交于点，所以，， 所以， 所以，，即，故D正确； 对于A，由D选项知，即为正三棱台的高， ， 所以正三棱台的体积为， 故A错误. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面向量，若，则__________. 【答案】 【解析】因为，则，解得，则 所以． 13．已知，则__________． 【答案】 【解析】，即． 又，所以， 所以 ． 故答案为：. 14．在三棱锥中，底面ABC，，，球O与PA相切，且AB的中点M在球O的表面上，若球O的最小半径为2，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【解析】设平面PAB截球O的截面为圆N，其半径为r． 因为PA与球O相切，AB的中点M在球O的表面上，且平面PAB，平面PAB， 所以圆心N到直线PA的距离等于到点M的距离，均为r， 所以N的轨迹为平面内的一条抛物线． 又因为底面ABC，所以.又，， 所以平面PAC．所以． 以AM中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则PA是抛物线N的准线． 设球O的半径为R，球心O到平面的距离为d， 则，当，即平面PAB时等号成立，即． 如图，当点N是AM的中点，即坐标原点时，r最小． 所以，故． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）因为，，由正弦定理可知，，，，由余弦定理，所以； （2）因为，，所以， 由正弦定理，得； （3）因为，所以，则为锐角，， 则，， 所以. 16．某种纪念卡片有红色和蓝色两种，每次购买时只能购买一张，得到红色卡片和蓝色卡片的概率各为.某人连续购买了4张卡片.假设每次购买得到的卡片的颜色互不影响. (1)此人至少得到一张红色卡片的概率； (2)若已知此人至少有一张红色卡片，求此人至少有一张蓝色卡片的概率. 【答案】(1);(2) 【解析】（1）设此人得到的卡片中红色的有张，蓝色的有张，则，， ， 即此人至少得到一张红色卡片的概率为. （2）由题可得， 即若已知此人至少有一张红色卡片，则此人至少有一张蓝色卡片的概率为. 17．在四棱锥中，平面，底面为正方形，，E和F分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）取的中点M，连接， ∵M，E分别为的中点，∴是的中位线，∴且， 又F为的中点，∴且，∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴平面平面，∴平面， （2）取的中点N，G，连接，设， ∴为等腰三角形，∴， ∵，∴即， 又平面，平面，平面平面， ∴即为二面角的平面角， ∴， ∴二面角的平面角的余弦值为． 18．已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】（1）由与正弦定理可得 展开得， 所以，即得， 由于为锐角三角形，和均在内， 则或， 当时，因，则，即得，此时题设条件不满足，舍去. 故，又平分，所以． 故．    （2）由（1）知，则．因为为锐角三角形， 所以解得 已知，由正弦定理，得 因平分，则 设，则，且由（1）知， 则得（*） 因， 则， 设，由，得，则． 由可得，又函数在上单调递增， 故，即. 19．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】(1)1;(2);(3) 【解析】（1）由题意可知，、的夹角为，由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则，所以. （2）由，，得，， 且， 所以，， 则， ， 因为与的夹角为，所以，解得. 又，，所以； 所以 （3）依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以 ， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ， 为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 2025—2026学年度第二学期期末考试（双向细目表） 题型 题号 分值 具体知识点 核心素养考查 难度 备注 单项选择题 1 5 复数的概念、虚部的定义 数学抽象 容易 考查基础概念 2 5 平面向量的线性运算（加法、数乘） 数学运算、逻辑推理 容易 利用平行四边形法则 3 5 同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式 数学运算、逻辑推理 容易 基础公式应用 4 5 古典概型、组合数计算 数据分析、数学运算 容易 摸球模型 5 5 多面体与球（外接球问题）、球体积公式 直观想象、数学运算 中等 考查补形法或模型法 6 5 三角形面积公式、正弦/余弦定理、角平分线性质 逻辑推理、数学运算 中等 结合面积与性质求解边长 7 5 三角恒等变换（降幂公式、辅助角公式）、三角函数性质 数学运算、逻辑推理 中等 求周期、单调区间、对称轴 8 5 线面平行的判定与性质、空间中的距离问题（最值） 直观想象、逻辑推理 较难 动点问题，需分析轨迹 多项选择题 9 6 互斥事件、对立事件、事件的独立性、不放回抽样 逻辑推理、数学抽象 中等 概念辨析与事件关系判断 10 6 复数的运算、共轭复数、虚数与实数概念辨析 逻辑推理、数学抽象 中等 考查复数相关结论的真假判断 11 6 棱台体积、线面角、点面距离、内切球 直观想象、逻辑推理、数学运算 较难 综合性强，需多步计算与判断 填空题 12 5 向量垂直的充要条件、数量积的坐标运算 数学运算 容易 基础运算 13 5 二倍角公式、三角恒等变换求值 数学运算 中等 给值求值型问题 14 5 相切问题、多面体体积 直观想象、数学运算 较难 动态最值问题，需转化 解答题 15 13 (1)正弦/余弦定理 (2)三角恒等变换 (3)三角形面积或求角 逻辑推理、数学运算 中等 常规解三角形问题，考查综合应用 16 15 (1)独立重复试验、对立事件概率(2)条件概率 数学建模、逻辑推理、数学运算 中等 经典概率模型应用 17 15 (1)线面平行的判定 (2)二面角的向量求法 直观想象、数学运算、逻辑推理 中等 立体几何证明与计算 18 17 (1)正弦定理、角平分线定理 (2)函数思想求取值范围（正弦定理/余弦定理+三角函数性质） 逻辑推理、数学运算、数学建模 较难 三角形中的范围问题 19 17 新定义（仿射坐标系）、向量模长与夹角计算 数学抽象、数学运算、逻辑推理 较难 创新题型，考查信息提取与迁移能力 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末模拟考试 高一数学 （考试时间：120分钟　　满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．命题范围：湘教版（2019版）必修第二册　全册 5．难度系数：0.65。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 2．在平行四边形中，为的中点．记，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中1个红球、1个黄球、2个蓝球．从中任取2个小球，则这两个小球的颜色不同的概率为　　 A． B． C． D． 5．已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 6．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（   ） A． B．1 C． D． 7．已知函数，则下列关于的说法正确的是（　　） A.的最小正周期为 B.在区间上单调递减 C.的最大值为 D.的图象关于直线对称 8．如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若 为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球、2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则（　　） A.“至少有一个白球”与”至少有一个黑球”是互斥事件 B.“都是白球”与”都是黑球”是互斥事件 C.“至少有一个白球”与”都是黑球”是对立事件 D.“第一次摸到的是白球”与”第二次摸到的是黑球”相互独立 10．已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则与均为实数 B．若与均为实数，则 C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数 11．用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台．如图，在正三棱台中，已知，则（    ） A．正三棱台的体积是 B．直线与平面所成的角为 C．点到平面的距离为 D．正三棱台存在内切球，且内切球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面向量，若，则__________. 13．已知，则__________． 14．在三棱锥中，底面ABC，，，球O与PA相切，且AB的中点M在球O的表面上，若球O的最小半径为2，则三棱锥的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 16．（15分）某种纪念卡片有红色和蓝色两种，每次购买时只能购买一张，得到红色卡片和蓝色卡片的概率各为.某人连续购买了4张卡片.假设每次购买得到的卡片的颜色互不影响. (1)此人至少得到一张红色卡片的概率； (2)若已知此人至少有一张红色卡片，求此人至少有一张蓝色卡片的概率. 17．（15分）在四棱锥中，平面，底面为正方形，，E和F分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 18．（17分）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 19．（17分）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $