江西抚州市崇仁县第一中学2025-2026学年高二下学期5月阶段性检测数学试题

**基本信息** 崇仁一中高二数学阶段性作业聚焦数列、导数等核心知识，以市场销售量调研（第17题）等应用情境培养数学建模与问题解决能力，体现用数学语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、等差数列、函数切线|基础巩固，考查数学抽象与运算能力| |多选|3/18|函数性质、谢宾斯基三角形（数列）|能力提升，结合几何直观与推理意识| |填空|3/15|集合运算、函数单调性、数列求和|强化基础应用，注重符号意识| |解答题|5/77|导数应用、数列通项与求和、数学建模、极值点证明|梯度设计，从切线方程（第15题）到极值点证明（第19题），发展逻辑推理与创新意识|

崇仁一中2026年春季学期高二年级阶段性数学学科作业 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2． 已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 3．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 4．若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 5．函数的图象经过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象不经过（    ） A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知数列的前项和为，若，则等于（   ） A． B． C． D．2026 7．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．当，满足，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．的极小值为 C．的图象关于原点对称 D．有两个零点 10．（多选）如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列的前4项，则（    ） A． B． C． D． 11．若函数在区间上的导函数为增函数，则称在区间上为“凹函数”.已知函数的定义域为，，且，则（   ） A． B．为奇函数 C．函数在区间上为“凹函数” D．若函数为上的“凹函数”，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 已知集合，且，则实数的取值范围是______. 13． 函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 14．已知数列满足，且，则数列的前n项和为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．设函数，若函数在处与直线相切． (1)求实数，的值； (2)求函数在上的最大值． 16．已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，求. 17．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克. (1)求函数的解析式； (2)若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润. 18．已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设为的前项和，求． 19．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)函数有两个不同的极值点，，且， （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇仁一中2026年春季学期高二年级阶段性数学学科作业参考答案 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A B A C C AC ACD 题号 11 答案 AD 1．D 【详解】由，则，集合，故 故选：D. 2．A【详解】，即，解得：，． 3．C 【详解】由可变形为，故为公差为的等差数列，所以，所以，所以． 4．A 【详解】设，则，由题意得，解得. 5．B 【详解】设导函数图象与轴交点为，则，由图象知，时，，单调递增，时，，递减，又的图象过原点，所以时，，点在第三象限，所以图象不过第二象限； 函数在上单调递增，所以，即点在第一象限；因为函数在上单调递减，且递减速度越来越快，所以函数图象一定会经过第四象限. 6．A 【详解】因为，即．当时，，即； 当时，，所以，即． 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即， 所以． 7．C 【详解】可知，设，则， 因为在上都是减函数，所以也是减函数，当时，， 所以在上单调递减，可得 ，，所以． 8．C 【详解】由 .设，， 则 .又因为，，由 ；由 . 所以在上单调递减，在上单调递增.又当时，，与1的大小关系不确定，但是要求实数的最小值，所以只要考虑，此时，所以 . 因为，所以，.设，，则，.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.所以.即实数的最小值为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．AC 【详解】函数的定义域为，所以， 对于A，由，得或，函数在上单调递增，故A正确； 对于B，由，得，函数在上单调递减， 在上单调递增，所以函数在取得极小值，故B错误； 对于C，，函数是奇函数，其图象关于原点对称，故C正确； 对于D，由，解得，函数有3个零点，故D错误． 10．ACD 【详解】选项A：观察图形可知，第1个图案中黑色三角形个数 ； 第2个图案中黑色三角形个数 ；第3个图案中黑色三角形个数 ； 第4个图案中黑色三角形个数 ； 由此可知，数列是首项为1，公比为3的等比数列， 通项公式为 ，故选项A正确； 选项B：由选项A可知 ，显然 ， （例如时，），故选项B错误； 选项C：由通项公式可得 ，故选项C正确； 选项D：当时，，故选项D正确. 11．AD 【分析】先通过赋值法求解抽象函数的解析式，再结合题目给出的“凹函数”定义，利用导数逐一分析各选项即可. 【详解】∵ 函数的定义域为，满足，且， 令，得，即，∵ ，∴ . 令，得，即，代入原式验证：左边，右边，等式成立，故. 对选项A：∵ ，∴ A正确. 对选项B：∵ ，，故，故不是奇函数，B错误. 对选项C：，则，设函数的导函数为,则， 当时，，，故，即在上为减函数，不符合凹函数定义，C错误. 对选项D：，故，则，设函数的导函数为，若为上的凹函数，则为上的增函数，即对任意恒成立， 故恒成立，即对任意恒成立. 令，则，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故，∴ ，即，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 【详解】由解得，所以，由于，所以.故答案为. 13． 【详解】因为在单调递增，所以在恒成立， 所以在恒成立，令，则，因为，当且仅当，即时取等号，所以，即实数的取值范围是. 14． 【详解】由数列满足，当时，可得，所以， 当时，可得，所以，因为，可得，解得， 又由，当时，可得，两式相减，可得，整理得，即， 即，所以数列是首项为，公差的等差数列， 所以，则， 所以数列的前n项和为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(1)(2) 【详解】（1），，函数在处与直线相切，，解得 （2）由（1）知，，，，当时，令，得， 令，得，在上单调递增，在上单调递减，． 16．(1)(2) 【详解】（1）因为①，当时,可得，即， 当时，②.由①②得，即， 即是以1为首项，为公比的等比数列，所以, 当时满足上式，所以. （2）因为，所以， ，两式相减得， 即，则故. 17．(1)；(2)当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元. 【详解】（1）由题意可知，当时，，即，解得，所以. （2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则， ，令，得（舍去）或， 所以当时，在为增函数；当时，在为减函数， 故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，此时元. 所以当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元. 18．(1)； (2) 【详解】（1）等比数列的公比设为，前项和为，数列是公差为的等差数列，设 即有，即，由，，，得， 又，所以，即为，即，代入解得， 可得；． （2）即为 ． 19．(1)(2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）当时, ，,所以，所以函数在点处的切线方程为：，即； （2），，令，则， 令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，当时，，当时， 因为函数有两个不同的极值点，所以有两个不同的根，所以，故m的取值范围为； （ⅱ）因为，所以， 所以，令，则，代入上式得：，因为，所以，要证，只需证，即证，令，则， 令，则，所以即在上单调递减，， 所以在上单调递增，所以，即成立，故得证. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $