精品解析：江西省九江第一中学2025-2026学年高二下学期第二次月考测试数学试卷

2025-2026年九江一中高二下学期第二次月考测试卷 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 5. 设等比数列的前项和为，若，，，则（ ） A. 315 B. 155 C. 120 D. 80 6. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带．杨辉一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：．若正项数列的前项和为，且满足，数列的通项公式为，则根据三角垛公式，可得数列的前20项和（ ） A. 2620 B. 2660 C. 2870 D. 2980 8. 已知函数，其中，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若为单调递减函数，则 B. 当或时，有且仅有一个极值点 C. 当时，图象与x轴相切 D. 当或时，有且仅有一个零点 11. 已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（ ） A. B. 数列是以2为公比的等比数列 C. 对任意的， D. 的最小正整数n的值为15 三、填空题 12. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求的范围为__________. 13. 在数列中，，若数列满足：，则数列的前n项和为____________. 14. 已知实数与是函数的两个极值点，且，则的最小值为___________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； 16. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小. 17. 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． （1）求抛物线的标准方程及其准线方程． （2）求证：为定值． （3）求证：直线过定点，并求出该定点． 18. 已知等差数列的前n项和为，公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， （ⅰ）求数列的前n项和； （ⅱ）若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 19. 已知函数，若有三个实数根，，，且. （1）求实数的取值范围； （2）求证： ①； ②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年九江一中高二下学期第二次月考测试卷 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解一元二次不等式以及对数型函数的定义域求出集合和，再求交集即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定是特称命题，即可得到结果. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 3. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 4. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以 当且仅当，即时，等号成立． 故选：D． 5. 设等比数列的前项和为，若，，，则（ ） A. 315 B. 155 C. 120 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到，根据得到，再将化简求值即可. 【详解】由题知：， 又因为，所以. 因为，所以. . 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列的前项和，同时考查等比数列的性质，属于中档题. 6. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导得，将函数在区间上不单调转化为的判别式大于0，且在在内有解，利用对勾函数的单调性性可求得结果. 【详解】因为，所以， 当函数在区间上不单调时，且在内有解， 由解得或， 在内有解，即在内有解， 因为在内递减，在内递增， 所以，即， 综上所述：. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用对勾函数的单调性求值域，属于中档题. 7. 杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带．杨辉一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：．若正项数列的前项和为，且满足，数列的通项公式为，则根据三角垛公式，可得数列的前20项和（ ） A. 2620 B. 2660 C. 2870 D. 2980 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的关系可以求得的通项公式，利用，观察三角垛公式公式的通项结合的结构，即为所求. 【详解】由，得，两式相减，得 ，整理，得， 即．因为各项为正，所以， 所以数列是公差为1的等差数列． 又当时，，即， 所以或（舍去），所以， 所以，所以． 因为，所以， 即． 又，所以， 故． 故选：C． 8. 已知函数，其中，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设恰有两个零点转化为与的图象恰有两个不同的交点，利用导数研究的单调性，且必过，画出，的大致图象，进而利用导数的几何意义求，的相切时的切线方程并确定此时的斜率，结合函数图象分析要使，有两个不同交点，斜率a的变化范围即可. 【详解】由恰有两个零点，即恰有两个根，也就是恰有两个根，进而有函数与的图象恰有两个不同的交点， 由，得， ∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 由知：必过； 函数，的大致图象，如下图示： 设与相切于，切线斜率为，则切线方程为， 把代入可得：， ∴化简得，解得或. 当时，切线斜率大于2，又， ∴，此时切点坐标为， ∴的斜率为1，即时与相切. 由函数增长速率，易知：当x无限趋近于时，无限趋近于0且x小于0. ∴若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：由函数有两个零点转化为两个函数有两个不同交点问题，进而应用导数研究函数性质并画出草图，根据导数的几何意义，求直线与曲线相切时切线斜率，结合图象判断有两不同交点情况下直线的斜率变化范围. 二、多选题 9. 若关于的不等式在上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据求解一元二次不等式和基本不等式判断关于的不等式在上是否恒成立，即可得解. 【详解】的解集为，A错误； 当时，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以在上恒成立，B正确； 的解集为，在上恒成立，C正确； 当时，（当且仅当时，等号成立），因为， 所以在上恒成立，D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若为单调递减函数，则 B. 当或时，有且仅有一个极值点 C. 当时，图象与x轴相切 D. 当或时，有且仅有一个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，由恒成立判断A；举例说明判断B；求出函数的零点，并求出在该点处的切线方程判断C；求出函数只有一个零点的m范围判断D作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由为单调递减函数，得，令， 求导得，当时，递增，当时，递减， 则当时，，于是，解得，A正确； 对于B，由选项A知，当时，为单调递减函数，无极值点，B错误； 对于C，当时，，显然，， 且，因此函数的图象在点处的切线为，为x轴，C正确； 对于D，由，得，令，求导得， 当时，，函数在上单调递增，而当时，， 当时，，，因此函数仅只一个零点； 当时，，递增，函数值集合为， ，递减，函数值集合为， 则当时，，函数只有一个零点，当且仅当，解得， 所以当或时，有且仅有一个零点，D正确. 故选：ACD 11. 已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（ ） A. B. 数列是以2为公比的等比数列 C. 对任意的， D. 的最小正整数n的值为15 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题设的递推关系可得，从而可得，由此可得的通项和的通项，从而可逐项判断正误. 【详解】由题设可得， 因为，，故， 所以，所以， 所以，因为，故， 所以，所以为等比数列， 所以即，故，故A错，C错. 又，故， 所以，即是以2为公比的等比数列，故B正确. ， ， 故的最小正整数n的值为15，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛： 题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D是否成立时注意先考虑的值. 三、填空题 12. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求的范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据题意得到，从而得到，再解不等式组即可. 【详解】， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以，即. 所以的范围为. 故答案为： 13. 在数列中，，若数列满足：，则数列的前n项和为____________. 【答案】 【解析】 【详解】分析：根据原题干得到，进而得到，裂项求和即可. 详解：，式子两边同除以得到，故数列是等差数列，公差为2，首项为1， 的前n项和为： 故答案为. 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等. 14. 已知实数与是函数的两个极值点，且，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求函数的导数，转化为方程的两正实根分别为与，并得到的关系，代入后，设函数后，利用导数求函数的最小值. 【详解】∵，∴方程的两正实根分别为与，则，解得，且，，∴，，则，.令，，则.当时，恒成立，∴在上单调递增，∴，则的最小值为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； 【答案】（1）（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）分别求得和，从而得到切线方程； （2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间. 【详解】（1），，， ，又， 在处的切线方程为. （2）， 令，解得：，. ①当时，若和时，；若时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为； ②当时，在上恒成立， 的单调递增区间为，无单调递减区间； ③当时，若和时，；若时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为； 综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型. 16. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； 【小问1详解】 因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为经过的重心，则，故， 由题意，，，， 故，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，故. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角等于. 17. 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． （1）求抛物线的标准方程及其准线方程． （2）求证：为定值． （3）求证：直线过定点，并求出该定点． 【答案】（1）标准方程为，准线方程为； （2）证明见解析； （3）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，代入计算即可得证． 【小问1详解】 由题意知抛物线的标准方程为（）且， ∴，抛物线的标准方程为，准线方程为； 【小问2详解】 设点P的坐标为，， 由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为，则切线的方程为， 联立方程组，消去，得， ∴得（*）， 又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； 【小问3详解】 由题知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，整理得，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 代入有， ∴， ∴且， ∴，故直线过定点． 18. 已知等差数列的前n项和为，公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， （ⅰ）求数列的前n项和； （ⅱ）若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）， （2）（i），，（ii） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解； （2）（i）先计算的通项公式，再用错位相减法求解；（ii）代入，，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果. 【小问1详解】 依题意得，且，解得， ，. 【小问2详解】 （i）由题意得，， 所以， 则， 两式相减，得 ， ，. （ii）由（1）可得， 不等式对一切恒成立， 即，则对一切恒成立， 令，，即， 又， 当时，，即， 当时，，即， 所以且，则， 所以. 实数的最大值为. 【点睛】关键点睛：不等式对一切恒成立，即转化为对一切恒成立，令，问题转化为. 19. 已知函数，若有三个实数根，，，且. （1）求实数的取值范围； （2）求证： ①； ②. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将方程的解的问题转化为函数与的交点问题，借助于求导判断函数的单调性，进而得到函数的简图，数形结合即得参数范围； （2）①构造函数，求导判断得到在区间上单调递增，推得，再由在区间上的单调性即可得证；②结合图形，判断函数的图象总在直线上方，的图象总在直线上方，设直线与直线的交点横坐标分别为，则得，即可得证. 【小问1详解】 令，可得. 设，则函数的图象与有三个交点. 当时，，则. 则函数在区间上单调递减； 当时，，则. 当时，；当时，， 则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则， 当时，，当时，， 函数的大致图象如图， 要使直线与函数的图象有三个交点，需使. 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 ①由（1）可知. 设， 则， 当时，因，则，故在区间上单调递增， 故，即，则. 又，故. 因， 由（1）知在区间上单调递减，则，即. ②过点和的直线的方程为， 由图知直线即为曲线的割线. 当时，， 则函数的图象总在直线上方. 过点且与函数的图象相切的直线的方程为. 当时，， 则函数的图象总在直线上方，如图所示. 设直线与直线的交点横坐标分别为， 则可知， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $