28 江西省抚州市九年级二模数学（Word版）-【超级考卷】2026年中考数学模拟试题汇编（江西专用）

**基本信息** 本卷以2025亚冬会、航天日等时代情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过基础巩固（如科学记数法）、能力提升（函数综合）、创新应用（定弦定角模型）三级梯度设计，体现数学抽象、建模与推理素养，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|相反数、科学记数法、轴对称等|结合校徽图案考查轴对称（几何直观）| |填空题|6/18|一元一次方程、因式分解、圆的性质|亚冬会吉祥物采购列方程（模型意识）| |解答题|11/84|函数综合、统计分析、几何证明等|羽毛球击球路线函数建模（应用意识）|

28．江西省抚州市九年级二模数学 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2025 2. 教育是国之大计、党之大计．近日，省财政厅下达2024年教育强国工程资金7.74亿元，支持促进教育公平、提升教育质量，助力教育事业发展．7.74亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下图是江西省部分大学的校徽，忽略各个图案中的文字，其中图案部分是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数的图象如图所示，则反比例函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 4月23日是世界读书日．习总书记说：“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长．”读书正当时，莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动．聪聪为了解本班同学4月份的课外阅读量，对本班同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图）．下列说法中，不正确的是（ ） A. 聪聪班级共有30人 B. 本班同学4月份的课外阅读量的中位数是4 C. 本班同学4月份的课外阅读量的众数是2 D. 本班同学4月份的课外阅读量的平均数是3.7 6. 如图是正方体的展开图，其中与“学”相对的是（ ） A. 做 B. 数 C. 题 D. 学 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨召开．吉祥物“滨滨”和“妮妮”玩偶热销．某商场现购进“滨滨”和“妮妮”玩偶共300个，已知一个“滨滨”25元，一个“妮妮”20元，共花去6750元．求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？若设购进“滨滨”x个，则可列方程为______． 8. 因式分解：______． 9. 在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点，则点的坐标为______． 10. 有一组单项式：，，，，，请你观察它们的排列规律，用你发现的规律写出第（n为正整数）个单项式为______． 11. 如图，在中，，，，则______． 12. 如图，以为边作等腰三角形，，若的半径为，弦的长为，点D在上，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）化简：． 14. 如图，四边形为平行四边形，连接并延长至点D，延长至点A，使得，连接． （1）若，求的度数； （2）若，且，，，则______． 15. 为持续推进基础教育改革的深化进程，并建立起一套契合素质教育标准的学校课程，某地区两所学校联合开发了四门校本选修课程：A．足球、B．管乐、C．戏剧、D．瓷板画供学生选择，每门课程被选到的机会均等． （1）如果你是该校的学生，计划选修三门课程，请列举出你可能选哪三门课程； （2）如果萱萱和扬扬是该校的学生，若只计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？ 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）如图，一次函数的图象交y轴于点C，交x轴于点D．若以为腰的等腰三角形的顶点F是y轴上一点，求点F的坐标． 17. 如图是的正方形网格，网格边长为1，的顶点均在格点上．已知的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图，保留作图痕迹． （1）作的外接圆的直径； （2）过点B作的外接圆的切线． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 情境应用 18. “一盔一带，安全行动”是全国公安部门启动的一项重要安全措施，旨在打造文明城市，提升市民文明素质，此行动要求电动自行车驾驶者及其乘客必须佩戴安全头盔，某商场计划采购一批头盔以响应此倡议．已知购进3个A型头盔和2个B型头盔需要225元，购进2个A型头盔和3个B型头盔需要245元． （1）购进1个A型头盔和1个B型头盔分别需要多少元？ （2）如果该商场准备购进60个这两种型号的头盔，总费用不超过2600元，则至少购进A型头盔多少个？ 19. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，与相交于点O． （1）试判断三角形的形状； （2）已知，，求的值． 20. 如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中． （1）垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）； （2）若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，为迎接中国航天日，某校举行了七、八年级航天知识竞赛，并在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（单位：分．满分100分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】 七年级学生竞赛成绩分别为：55，60，67，75，78，78，86，87，87，87，87，88，88，89，90，94，96，98，99，99． 八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为：72，75，75，75，75，78，85，88，89． 绘制了不完整的统计图． 【分析数据】 两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84.4 87 b 八年级 81.8 a 75 【问题解决】 请根据上述信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图，上表中______，______，八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占扇形的圆心角度数为______°； （2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生成绩更好，还是八年级学生成绩更好？写出一条理由； （3）如果该校八年级有600名学生参加此次竞赛，请估计八年级竞赛成绩不低于90分的学生人数． 22. 【问题】 如何设计击球路线？ 【情境】 某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球路线的分析．如下图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，击球点P在y轴上． 【击球方案】 扣球 羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足一次函数关系．当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为 吊球 羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是时，达到最大高度 高远球 羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．飞行的最大高度在和之间 【探究】 （1）求扣球和吊球时，羽毛球飞行满足的函数解析式． （2）①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离． （3）通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为．要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的最大值． 六、解答题（本大题共12分） 23. [发现] 如图（1），为的一条弦，点在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道的度数 （填“变”或“不变”）；若，则 ．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某一个确定的圆上运动呢？ [研究] 为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若，直线上方一点满足，为了画出点所在的圆，小明以为底边构造了一个等腰，再以为圆心，为半径画圆，则点在上．请根据小明的思路在图中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． [应用] （1）如图（3），，平面内一点满足，则面积的最大值为 ． （2）如图（4），已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，点是的内心． ① ； ②连接，若正方形的边长为2，求的最小值． 28．江西省抚州市九年级二模数学 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数与绝对值，掌握绝对值与相反数的意义是解题的关键；选求出绝对值，再求出相反数即可． 【详解】解：，而的相反数为2025， 故选：D． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：亿， 故选：D． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可．解题的关键是找到对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、反比例函数、正比例函数的图象与性质，判断出的符号是解题的关键．由已知二次函数的图象开口方向可以知道的取值范围，对称轴可以确定的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象． 【详解】解：∵的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∴反比例函数在第一、三象限，正比例函数在第二、四象限， 故选：D． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数，分别根据折线统计图和中位数、众数、平均数的定义求解即可． 【详解】解：A、聪聪班级共有（人），故该选项正确，不符合题意； B、将数据从小到大排列，位于第15和16个位置的数都为4，则中位数为4本，故该选项正确，不符合题意； C、课外阅读量为的出现次数最多，则众数为，故该选项错误，符合题意； D、该组数据的平均数为（本），故该选项正确，不符合题意， 故选：C． 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面即可． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“学”与“做”是相对面． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设购进“滨滨”x个，根据“商场现购进“滨滨”和“妮妮”玩偶共300个，已知一个“滨滨”25元，一个“妮妮”20元，共花去6750元”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设购进“滨滨”x个， 根据题意得：， 故答案为：． 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法因式分解、平方差公式因式分解，先运用提公因式法因式分解、再由平方差公式因式分解即可得到答案．综合运用提公因式法因式分解、平方差公式因式分解是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是图形的平移变换，要牢记左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加是解题的关键． 利用点平移的坐标规律，把点的横坐标加 3 ，纵坐标减5即可得到点的坐标，求出，即可解答． 【详解】解：∵点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点， ∴，即， ∵点， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的构成规律，通过观察分别发现分子、分母和符号的规律，可得结果． 【详解】解：由题意可得：分子部分为，分母部分为n，奇数项为正，偶数项为负， ∴第个单项式为：， 故答案：． 【11题答案】 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点C作于点H，得到，，解直角三角形求出，求出，利用正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点H， 则，都是直角三角形， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【12题答案】 【答案】或或 【解析】 【分析】首先确定点共有两个位置，当在处时，连接，易知；当在处时，此时分两种情况，①当点在直线下方时，连接，过点作于点，首先证明，结合勾股定理解得，再证明，由直角三角形的性质可得；②当点在直线上方时，如图，连接，交于点，在上取一点，使得，连接，然后计算的值． 【详解】解：如下图，过点作于点，连接， ∵的半径为，弦的长为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点其中一个位置与点重合， 延长交于点，连接， 则有， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴以为边作等腰三角形，，点共有两个位置，如图， 当在处时，连接，则，即； 当在处时，此时分两种情况， ①当点在直线下方时，如图，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点在直线上方时，如图，连接，交于点， 则， ∴， ∵， ∴， 在上取一点，使得，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，难度较大，综合性较强，正确作出辅助线并分类讨论是解题关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 【13题答案】 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了有理数的乘方和零指数幂，同分母分式加减运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算有理数的乘方和零指数幂，然后计算加减即可； （2）根据同分母分式加减运算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【14题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理． （1）连接，交于点O，根据平行四边形的性质证明，易证四边形是平行四边形，推出，即可得到； （2）先证明平行四边形为菱形，推出，结合，根据三角形面积公式得到，由勾股定理可求，进而得到，求出，进而求出，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，连接，交于点O． ∵四边形为平行四边形， ，． 又， ，即， ∴四边形是平行四边形， ， ； 【小问2详解】 解：， ∴平行四边形为菱形， ， ． ， ， ． 在直角三角形中，， ． 在直角三角形中，， ， ． 【15题答案】 【答案】（1）共有4种等可能的结果，它们是：，，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． （1）直接列举得到所有4种等可能的结果数即可； （2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 共有4种等可能的结果，它们是：，，，． 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果有4种， ∴他们两人恰好选修同一门课程的概率． 【16题答案】 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）点F的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法，等腰三角形的性质等，灵活运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）将代入反比例函数解析式求出解析式，再求出点的坐标，将、代入一次函数解析式，即可求解； （2）先求出点C的坐标为，点D的坐标为，再求出，分当点F在点C的上方，时，当点F在点C的下方，时，当点F在点C的下方，时，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数解析式，得， ∴反比例函数的解析式为． 将点代入，得，解得， ∴点B的坐标为． 将点分别代入一次函数解析式，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线与y轴交于点C，与x轴交于点D， 将代入，则； 令，解得：； ∴点C的坐标为，点D的坐标为， ， 当点F在点C的上方，时， ， ∴点F的坐标为； 当点F在点C的下方，时， ， ， ∴点F的坐标为； 当点F在点C的下方，时， ， ∴点F的坐标为． 综上所述，点F的坐标为或或． 【17题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，三角形的外接圆，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直径所对圆周角为，结合网格的特征，取格点，则，即交圆于点D，连接即可； （2）由（1）知为的外接圆的直径，利用网格的特征，取中点，即为的外接圆的圆心，连接，再利用网格的特征，取格点E，作直线，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，直径即为所求． 【小问2详解】 解：如图，切线即为所求． AI 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 情境应用 【18题答案】 【答案】（1）购进1个A型头盔需要37元，购进1个B型头盔需要57元 （2）至少购进A型头盔41个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购进1个A型头盔需要x元，购进1个B型头盔需要y元，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型头盔a个，则购进B型头盔个，由题意可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购进1个A型头盔需要x元，购进1个B型头盔需要y元， 由题意得 解得 答：购进1个A型头盔需要37元，购进1个B型头盔需要57元． 【小问2详解】 解：设购进A型头盔a个，则购进B型头盔个，由题意得， 解得， ∴a的最小值为41． 答：至少购进A型头盔41个． 【19题答案】 【答案】（1）是等腰三角形．见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，推出再根据角平分线的定义得到，进而推出，即可得出结论； （2）先根据得到，通过相似三角形的对应边成比例得到，即可得出结果． 【小问1详解】 解：是等腰三角形． ∵四边形是平行四边形， ， ． ∵平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：， ， ， ． ， ， 的值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质及角平分线的定义．在判定两个三角形相似时，综合运用以上知识点是解题的关键． 【20题答案】 【答案】（1）遮蔽宽度BC为 （2）点E下降的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据正切的定义求出，得到； （2）过作于点，证明四边形是矩形，得出，分别求出，时，对应的值，然后相减即可求解． 【小问1详解】 解：由对称性可知， ． 在中，， ， ， ． 答：遮蔽宽度为． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． ，，， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， 当时，； 当时，， ． 答：点下降的高度约为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 【21题答案】 【答案】（1），， （2）七年级学生成绩更好，见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （1）根据频数分布直方图求出七年级抽取的名学生的竞赛成绩在组的人数，即可补全频数分布直方图，根据中位数、众数的定义即可求出的值，求出八年级学生成绩在组的人数，用乘以其占比即可求解； （2）根据平均数、中位数、众数判定即可； （3）用乘以八年级竞赛成绩不低于分的学生人数的占比即可求解． 【小问1详解】 解：七年级抽取的名学生的竞赛成绩在组的人数为（人）， ∴补全频数分布直方图如图： 根据扇形统计图得，八年级学生成绩在组的有（人） 八年级学生成绩排在第的是， ； 七年级学生竞赛成绩最多的是，有个 ； 八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占的扇形的圆心角度数为， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：七年级学生成绩更好， 七年级的平均成绩更高（答案不唯一）． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计八年级竞赛成绩不低于90分的学生人数为210人． 【22题答案】 【答案】（1）扣球时，羽毛球飞行满足的函数解析式为，吊球时，羽毛球飞行满足的函数解析式为． （2）①球网AB的高度为②m （3）a的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用已知点坐标代入一次函数求出参数，再代入二次函数求出扣球时的函数解析式； （2）分别将扣球和吊球的落地点坐标代入对应函数求距离； （3）根据接球情况确定函数过的点，代入二次函数求出的最大值． 【小问1详解】 解：，直线经过点， ，解得， ∴扣球时，羽毛球飞行满足的函数解析式为， 点P的坐标为． 吊球时，设． 抛物线经过点， ，解得， 吊球时，羽毛球飞行满足的函数解析式为． 【小问2详解】 解：①当时，． 答：球网AB的高度为． ②当时，， ， ， ， 解得（不合题意，舍去）， ∴羽毛球落地点到球网的距离为． 【小问3详解】 解：由题意可知，当接球点为，且最大高度为时，的值最大． 点P的坐标为， ， ， 解得． 故的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的解析式求解及应用，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式，再结合实际问题中的点坐标和条件进行计算． 六、解答题（本大题共12分） 【23题答案】 【答案】[发现]不变，75 [研究]补全图形如图1所示，见解析 [应用]（1）（2）①135② 【解析】 【分析】[发现]根据题意，直接得出答案，利用圆周角定理求出； [研究]先作出的垂直平分线，再以垂足为圆心，的一半为半径确定出圆心，即可得出结论； [应用]（1）先确定出的外接圆的半径，再判断出点到的最大距离为3，即可得出结论； （2）①先确定出，再判断出，，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论； ②先作出的外接圆，进而求出外接圆的半径，进而判断出最小时，点的位置，最后构造直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：[发现]根据圆周角性质，的度数不变， ∵， ∴， 故答案为：不变，； [研究]补全图形如图1所示， [应用]（1）如图2，设的外接圆的圆心为，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作于， ∴， 在中，设的半径为，则， 根据勾股定理得，即， 解得或（舍去）， ∴，， ∵点到最大距离为， ∴． 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴，分别是和的角平分线， ∴，， ∴； 故答案为：； ②如图3，作的外接圆，圆心记作点，连接，，在优弧上取一点Q，连接，， 则四边形是的圆内接四边形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，与相交于点此时，是的最小值， 过点作于，，交的延长线于， 则四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，三角形内心、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题意，正确构造出所需圆是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $